河南省信陽(yáng)市2024-2025學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)11月期中考試 數(shù)學(xué)試題（含解析）

*2024年11月13日

2024-2025學(xué)年普通高中高二上學(xué)期期中教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)

數(shù)學(xué)

本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分?？忌鞔饡r(shí)，將答案答在答題卡上，

在本試卷上答題無(wú)效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必將本人的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等考生信息填寫在答題卡上，并用2B鉛筆將準(zhǔn)

考證號(hào)填涂在相應(yīng)位置。

2.選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)；非選擇

題答案使用0.5毫米的黑色墨水簽字筆書(shū)寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請(qǐng)按照題號(hào)在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫的答案無(wú)效。

4.保持卡面清潔，不折疊，不破損。

第I卷

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.

1.已知向量a=（2,1,2）,Z?=（m-2,m,5）,若a_L6,則相等于（）

A.-4B.-2C.2D.4

2.已知A（l,—2）,3（2,1）,C（0,-l）,經(jīng)過(guò)點(diǎn)C作直線/,若直線/與線段A8沒(méi)有公共點(diǎn)，則直線/的傾

斜角的取值范圍為（）

一c兀

A.B.0,—

丐4

3.已知某種設(shè)備在一年內(nèi)需要維修的概率為0.2.用計(jì)算器產(chǎn)生1?5之間的隨機(jī)數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)隨機(jī)數(shù)1時(shí)，表

示設(shè)備一年內(nèi)需要維修，其概率為0.2,由于有3臺(tái)設(shè)備，所以每3個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表3臺(tái)設(shè)備一年內(nèi)

需要維修的情況，現(xiàn)產(chǎn)生20組隨機(jī)數(shù)如下：

412451312533224344151254424142

435414335132123233314232353442

據(jù)此估計(jì)一年內(nèi)這3臺(tái)設(shè)備都不需要維修的概率為（）

A.0.4B.0.45C.0.55D.0.6

4.口袋中裝有質(zhì)地和大小相同的6個(gè)小球，小球上面分別標(biāo)有數(shù)字1,1,2,2,3,3,從中任取兩個(gè)小球，

則兩個(gè)小球上的數(shù)字之和大于4的概率為（）

1231

B.-D.——

35515

5.曲線C：（V+y2—I].8（/+力+15=0的周長(zhǎng)為（）

A.307rB,4^271C.6071D.12^271

6.某大學(xué)選拔新生進(jìn)“籃球”“舞蹈”“美術(shù)”三個(gè)社團(tuán)，據(jù)資料統(tǒng)計(jì)，新生通過(guò)考核選拔進(jìn)入這三個(gè)社團(tuán)

成功與否相互獨(dú)立.假設(shè)某新生通過(guò)考核選拔進(jìn)入“籃球”“舞蹈”“美術(shù)”三個(gè)社團(tuán)的概率依次為工，如

2

17

n,已知三個(gè)社團(tuán)他都能進(jìn)入的概率為一，至少進(jìn)入一個(gè)社團(tuán)的概率為一，則（）

189

11212111

A.m=—,n=—B.m=—,n=—C.m=—,n=—D.m=—,n=—

33323332

7.在長(zhǎng)方體ABC。—AgGA中，AG與平面AB。所成的角為a，AC1與4與所成的角為夕，則下列

關(guān)系一定成立的是（）

A.a>J3B.a+）3=90°C.a+J3>90°D.a+/3<90°

8.已知圓C：x2+y2-2x-4y-4^0,尸為直線/：x+y+2=0上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓C的兩條切線，切

點(diǎn)分別為A和8,當(dāng)四邊形出CB的面積最小時(shí)，直線A8的方程為（）

A.5x+5y+3=0B.5x-5y+3=0C.5%+5y-3=0D.5x-5y-3=0

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記錄每次的點(diǎn)數(shù)，設(shè)事件4="第一次出現(xiàn)2點(diǎn)"，B="第二次的

點(diǎn)數(shù)小于5"，C="兩次點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)”,D="兩次點(diǎn)數(shù)之和為9”,則下列說(shuō)法正確的有（）

A.A與8不互斥且相互獨(dú)立B.A與?；コ馇也幌嗷オ?dú)立

C.8與?；コ馇也幌嗷オ?dú)立D.A與C不互斥且相互獨(dú)立

10.已知圓。：x~+y~=4與圓C：x~+_y~—2.x+4y+4=0相父于A,B兩點(diǎn)，直線/：x~2y+5=0,

點(diǎn)尸為直線/上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)尸作圓。的切線尸M,PN（M,N為切點(diǎn)），則下列說(shuō)法正確的有（）

4d5

A.直線AB的方程為x—2y+4=0B.線段的長(zhǎng)為天一

C.直線MN過(guò)定點(diǎn)D.\PM\的最小值是1

11.在三棱錐PABC中，PC_L平面ABC,PC=AB=3,平面ABC內(nèi)動(dòng)點(diǎn)D的軌跡是集合

M={MD4|=2|DB|}.已知且在棱A8所在直線上，i=l,2,則（）

A.動(dòng)點(diǎn)D的軌跡是圓B.平面PCD,1平面PCD2

三棱錐體積的最大值為三棱錐外接球的半徑不是定值

C.PABC3D.P-DXD2C

第n卷

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.己知空間內(nèi)A,B,C,。四點(diǎn)共面，且任意三點(diǎn)不共線，若尸為該平面外一點(diǎn)，PA=-PB-xPC--PD,

33

貝口=.

13.已知事件A與事件B相互獨(dú)立，若尸（A）=0.3,P（B）=0.4,則尸（初）=.

14.若直線無(wú)一ysin8+2=0與圓f+Q—1J=i只有一個(gè)公共點(diǎn)，則1?。=.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.（本小題滿分13分）

已知圓C的圓心在直線x-2y=0上，且與y軸相切于點(diǎn)（0,1）.

（1）求圓C的方程；

（2）若圓C與直線/：%—y+m=0交于A,B兩點(diǎn),且,求根的值.

從下列兩個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面問(wèn)題中并作答：

?ZACfi=120°；@|AB|=2^.

注：如果選擇多個(gè)條件分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

16.（本小題滿分15分）

某校田徑隊(duì)有3名短跑運(yùn)動(dòng)員，根據(jù)平時(shí)的訓(xùn)練情況統(tǒng)計(jì)：甲、乙、丙3名運(yùn)動(dòng)員100m跑（互不影響）的

311

成績(jī)?cè)?3s內(nèi)（稱為合格）的概率分別是一，一，-.若對(duì)這3名短跑運(yùn)動(dòng)員的100m跑的成績(jī)進(jìn)行一次檢

423

測(cè).

（1）3名運(yùn)動(dòng)員都合格的概率與3名運(yùn)動(dòng)員都不合格的概率分別是多少？

（2）出現(xiàn)幾名運(yùn)動(dòng)員合格的概率最大？

17.（本小題滿分15分）

如圖，在三棱錐中，ABLBC,AB=2,BC=20,APfiC為等邊三角形，BP,AP,BC的中

點(diǎn)分別為。，E,O,且49=6。。.

p

(1)證明：平面ABC_L平面P8C.

(2)若P為AC的中點(diǎn)，求點(diǎn)C的平面BEF的距離.

18.(本小題滿分17分)

在梯形ABC。中，AB//CD,ADLCD,尸為AB中點(diǎn)，AB=2AD=2,CD=3,EC=2DE,如

圖，以EF為軸將平面ADEF折起，使得平面石尸，平面8CEF.

(1)若M為EC的中點(diǎn)，證明：Mb〃平面48C；

(2)證明：平面5DE_L平面BCD；

(3)若N是線段OC上一動(dòng)點(diǎn)，平面8NE與平面夾角的余弦值為逅，求。N的長(zhǎng).

6

19.(本小題滿分17分)

在平面直角坐標(biāo)系尤。V中，圓O為AABC的內(nèi)切圓，其中3(2,-1),C(-l,3).

(1)求圓。的方程及點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)在直線A0上是否存在異于點(diǎn)A的定點(diǎn)Q,使得對(duì)圓0上任意一點(diǎn)P,都有|以|=川尸。］(2為常

數(shù))？若存在，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)及力的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2024-2025學(xué)年普通高中高二上學(xué)期期中教學(xué)質(zhì)量檢

測(cè)數(shù)學(xué)參考答案

一、選擇題

1.B

【解析】由〃_Lb,a=(2,l,2),b=(m—2,m,5),得2小一4+相+10=0.解得根=-2.

2.C

【解析】直線的傾斜角為乙7T，直線AC的傾斜角為37r叫，根據(jù)傾斜角定義，故選C.

44

3.C

【解析】由題意可知，代表事件”一年內(nèi)3臺(tái)設(shè)備都不需要維修”的數(shù)組有533,224,344,254,424,435,

335,233,232,353,442,共11組.所以一年內(nèi)這3臺(tái)設(shè)備都不需要維修的概率為P=—=0.55.

20

4.A

【解析】記兩個(gè)標(biāo)有數(shù)字1的小球分別為A,a,兩個(gè)標(biāo)有數(shù)字2的小球分別為2,b,兩個(gè)標(biāo)有數(shù)字3的小

球分別為C,c.從中任取兩個(gè)小球的所有可能結(jié)果有AmAB,Ab,AC,Ac,aB,ab,aC,ac,Bb,BC,

Be,bC,be,Cc,共15種情況，其中滿足兩個(gè)小球上的數(shù)字之和大于4的有BC,Be,bC,be,Cc,共5

種情況.所以兩個(gè)小球上的數(shù)字之和大于4的概率為P=-=-.

153

5.C

【解析】由(V+y2—1)2—8(f+)2)+15=。，得(-+/—1)2—8(Y+y2—1)+7=0,即

[(X2+/-l)-l][(x2+/-1)-7]=0,即％2+y2=2或/+/=8.所以曲線C表示兩個(gè)同心圓，且

這兩個(gè)圓的半徑分別為點(diǎn)，20.所以曲線C的周長(zhǎng)為2兀義(應(yīng)+20)=6071.

6.A

1

m=—

【解析】依題意,解得4J

17

7.D

【解析】因?yàn)镃C1，平面ABCD,所以NC]AC=a.易知NGA3]=，，則sina=CJ,cos/3=^-,

sin￡="G.因?yàn)镃G，與。的大小關(guān)系不確定，所以無(wú)法確定sina,sin夕的大小關(guān)系，則a,夕的

大小不確定，A錯(cuò)誤.因?yàn)閟ina=C9,cos夕="白=更￡^^—〉,所以sina＜cos/7=sin

AqAC,ACXACX

（90。—4）.因?yàn)閍,夕均為銳角，所以90。一萬(wàn)也是銳角，則々＜90?！?，即。+尸＜90。.

8.A

【解析】由/+/—2%一4y—4=0=（無(wú)一1?+（丁一2）2=9,得圓C的圓心C（l,2）,半徑r=3.因?yàn)?/p>

\AP\=^\PCf-\ACf=s]\PCf-9，所以四邊形PACB的面積S=2x^\AP\-\AC\=3^\PCf-9.所以當(dāng)

x-y+l=0

|PC|最小時(shí),5也最小，此時(shí)，PCL.故尸C的方程為y—2=x—l,即x—y+l=0.聯(lián)立,

x+y+2=0

313.所以直線AB的方程為—1）+（—；—2]（y—2）=9,

解得％=__,y=__,即P

222

化簡(jiǎn)，得5x+5y+3=0.

二、選擇題

9.ABD

【解析】因?yàn)锳與B可能同時(shí)發(fā)生，所以它們不互斥，且兩者發(fā)生的概率互不影響，所以A與8不互斥且

相互獨(dú)立，A正確.因?yàn)楫?dāng)A發(fā)生時(shí)，兩次點(diǎn)數(shù)之和不超過(guò)8,所以。不可能發(fā)生，即A與。不可能同時(shí)發(fā)

生.所以A與。互斥.又因?yàn)锳不發(fā)生時(shí)，。有可能發(fā)生，所以A發(fā)生與否影響。發(fā)生的概率.所以A與。

不相互獨(dú)立，B正確.同理可得，B與。也不相互獨(dú)立.因?yàn)?與D可能同時(shí)發(fā)生（如第一次拋出5點(diǎn)，第

二次拋出4點(diǎn)），所以它們不互斥，C錯(cuò)誤.顯然A與C可能同時(shí)發(fā)生，所以兩者不互斥.因?yàn)锳發(fā)生與否都

有尸（c）=g,所以A與。相互獨(dú)立，D正確.

10.BCD

+V2—A

【解析】聯(lián)立1。，兩式相減，得x—2y—4=0即為直線AB的方程，A錯(cuò)誤.聯(lián)立

x2+y--2x+4y+4=0

8

x——公

x2+y2=4尤=°或＜

,用＜56,則|AB|=——,B正確.設(shè)加（七,另），N值,%）,

x2+y2-2x+4y+4=0[y=-2

因?yàn)镸,N為圓0的切點(diǎn)，所以直線PM的方程為XX]+?1=4,直線PN的方程為x%+y%=4.設(shè)

P（x0,y0},貝4"十%M=4,所以直線MN的方程為5+%丁=4.又因?yàn)椋ァ?%+5=0,所以

5OX2+%%=4

4

x=——

2x+y=05

（2x+y）y0-5x-4=0.由<得，即直線MN過(guò)定點(diǎn)C正確.因?yàn)?/p>

-5x-4=0

|0-0+5|

PM2+OM2=PO2,所以當(dāng)|/網(wǎng)最小時(shí)，|「。|最小，且|PO|的最小值為=石，所以此時(shí)

|PM|=75^4=1,D正確.

11.ABC

【解析】對(duì)于A,在平面ABC內(nèi)，以點(diǎn)3為坐標(biāo)原點(diǎn)，54方向?yàn)闊o(wú)軸正方向建立如圖1所示的平面直角

坐標(biāo)系，則3（0,0）,A（3,0）.設(shè)￡＞（羽y）,貝可￡＞時(shí)=必+/,口不=（%一3『+/.又12Ml=2Q@,

所以（x—3）2+寸=4（必+力，即（九+行+/=4,則點(diǎn)。的軌跡是以（_1,0）為圓心，2為半徑的圓,

A正確.

圖1

對(duì)于B,由A的分析可知，22為圓的直徑，又點(diǎn)c在圓上，所以cp?如圖2,因?yàn)镻C,平面

ABC,CD】u平面ABC,所以PC_LC￡>i.又尸CCD2=C，所以CR_L.平面PCZJ?又u平面PCR,

所以平面PC2，平面PCZ＞2,B正確.

圖2

對(duì)于C,點(diǎn)尸到平面ABC的距離確定了，A3的長(zhǎng)度確定了，所以當(dāng)點(diǎn)C到直線A2的距離最大時(shí)，三棱錐

PABC的體積最大.顯然點(diǎn)C到直線AB的距離的最大值為2,此時(shí)三棱錐PABC的體積

%-板=g|PC|x；忸|x2=（x3x3x2=3,C正確.

對(duì)于D,因?yàn)槠矫鍼C。，平面PC。?，平面兩兩相互垂直，所以可以將三棱錐P-。。2c補(bǔ)成直

四棱柱，易知直四棱柱的外接球即三棱錐P-。。2c的外接球，直四棱柱的外接球直徑等于

+|CD『+|°3「.因?yàn)?9，|。?！?|?！?gt;2|2=|口。2「=16,所以三棱錐尸—DQ2c外接球

的半徑是定值D錯(cuò)誤.

2

三、填空題

1

12.—

3

【解析】由*—X—工=1,解得％

333

13.0.28

【解析】因?yàn)槭录嗀與事件8相互獨(dú)立，所以事件.與事件2相互獨(dú)立.因?yàn)槭ˋ）=0.3,尸（5）=04,

所以=l—0.3=0.7.所以尸（初）=尸（彳）尸（3）=0.7*0.4=0.28.

,377

14.土二一

7

【解析】圓半徑r=1,圓心（0,1）到直線尤―ysin。+2=0的距離為d=W"：.因?yàn)橹本€與圓只有一

Vl+sin20

個(gè)公共點(diǎn)，所以d=r，即忸生1=1,解得sin￡=a.所以tan6=土地.

Jl+si/e47

四、解答題

15.

（1）設(shè)圓心坐標(biāo)為C（Q,Z?）,半徑為八

由圓。的圓心在直線x—2y=0上，得a=2b.

因?yàn)閳AC與y軸相切于點(diǎn)（0,1）,所以Z?=l,a=2,則尸=|a—0]=2.

所以圓C的圓心坐標(biāo)為（2,1）,則圓C的方程為（％—2）2+（y—1）2=4.

（2）如果選擇條件①：ZACB=nO°,m|C4|=|CB|=2,

|2-1+/司

所以圓心C到直線/的距離d==1.解得加=V2-1或zn=-\/2-1.

如果選擇條件②：|AB|=26,而|CM=|CB|=2,

所以圓心C到直線/的距離d=JCA/—包］=1,則d=巴1+時(shí)=1.解得加=J5—1或/=-、歷—1.

V112^TZT

3

16.設(shè)甲、乙、丙3名運(yùn)動(dòng)員100機(jī)跑合格分別為事件A,B,C,顯然A,B,C相互獨(dú)立，且P（A）="

P"）=；，P（C）J，P（A）=l^=j,P（B）=l-P（B）=i,P（C）=1-P（C）=|.

設(shè)恰有左名運(yùn)動(dòng)員合格的概率為6（左=0,1,2,3）.

（1）3名運(yùn)動(dòng)員都合格的概率為

3111

^=P（ABC）=P（A）P（B）P（C）=-x-x-=-.

3名運(yùn)動(dòng)員都不合格的概率為

^=P（ABC）=P（A）P（B）P（C）=ix1x|=1.

（2）2名運(yùn)動(dòng)員合格的概率為

=P（AJBC+ABC+ABC）=P（A）P（JB）P（C）+P（A）P（B）P（C）+P（A）P（JB）P（C）

3123111115

=—X—X——|——X—X--I——X—X—=——.

42342342312

1名運(yùn)動(dòng)員合格的概率為

-W13

88

因?yàn)?/p>

128812

所以出現(xiàn)2名運(yùn)動(dòng)員合格的概率最大.

17.

（1）因?yàn)锳P3C為等邊三角形，D,O分別是BP,BC的中點(diǎn)，且5c=20,所以DO=3D=J5,

AD=6DO=R.

又AB=2,所以=">2,即至，班）.

又因?yàn)锳BL5C,且BCBD=B,所以AB,平面P8C

又ABu平面ABC,所以平面ABC_L平面P8C.

(2)連接尸O,則PPO_L3C.由(1)可知，平面ABC_L平面PBC.

所以POJ_平面ABC.

因?yàn)槭瑸锳C的中點(diǎn)，所以點(diǎn)C到平面BEF的距離等于點(diǎn)A到平面BEF的距離.

在直角AA5C中，可知5歹=生=‘8+2?=后,

22

ApO^2

在直角AABP中，可知5E=——=----------=6

22

因?yàn)镋F是AACP的中位線，

在z“PC272r-

所以EF==----=72,

22

AfiEF的面積S、BEF=3*6xJ3—

設(shè)點(diǎn)A到平面BEF的距離為d,則三棱錐ABEF的體積VA_BEF=—d.

又A4B尸的面積S^BF=；x2x夜=J5,點(diǎn)E到平面A3F的距離為華=乎，

所以三棱錐EABF的體積/MF=Jx0x亞=1

323

山河百俎,2715

由----=—，得d=---------.

635

所以點(diǎn)C到平面8EF的距離為獨(dú)5.

5

18.

(1)由EC=2Z>E,CD=3,得EC=2,DE=1.因?yàn)镸為EC的中點(diǎn)，尸為AB中點(diǎn)，AB=2,所

以MC=FB=1,且MC〃EB.所以四邊形尸為平行四邊形.所以

而仁平面ABC,3Cu平面A8C,所以叱〃平面A8C.

(2)因?yàn)槠矫鍭DEF_L平面BCER平面ADEFQ平面5CEF=石尸，

DEYEF,所以。石，平面