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2024-2025高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷(基礎(chǔ)篇)【人教A版(2019)】(考試時(shí)間:120分鐘試卷滿分:150分)注意事項(xiàng):1.本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上;2.回答第Ⅰ卷時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無效;3.回答第Ⅱ卷時(shí),將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效;4.測試范圍:選擇性必修第一冊全冊、選擇性必修第二冊第四章數(shù)列;5.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回.第Ⅰ卷一.選擇題(共8小題,滿分40分,每小題5分)1.(5分)(2023上·江蘇南通·高二統(tǒng)考期末)過點(diǎn)1,2且與直線2x+y-3=0平行的直線的方程為(
)A.2x-y=0 B.2x-y-4=0C.2x+y-4=0 D.2x+y-5=02.(5分)(2023上·新疆伊犁·高二??计谀├脭?shù)學(xué)歸納法證明fn=1+2+3+4+???+4n-1A.f1=1 C.f2=1+2 3.(5分)(2022下·安徽滁州·高二統(tǒng)考期末)三棱柱ABC-DEF中,G為棱AD的中點(diǎn),若BA=a,BC=b,BD=A.-a+bC.-12a4.(5分)(2022上·寧夏銀川·高二??计谀┰O(shè)a>b>0,若雙曲線C1:x2a2-y2b2A.22 B.12 C.325.(5分)(2023上·新疆伊犁·高二??计谀┮阎猠1、e2、e3為空間三個(gè)不共面的向量,向量a=e1+μe2+4eA.-3 B.3 C.-15 D.156.(5分)(2023上·安徽滁州·高二??计谀┲本€l過圓C:x+32+y2=4的圓心,并且與直線A.x+y-2=0 B.x-y+2=0 C.x+y-3=0 D.x-y+3=07.(5分)(2023上·湖南衡陽·高二??计谀┮阎缺葦?shù)列an的公比為-12,前n項(xiàng)和為Sn.若S2m=31,A.3 B.4 C.5 D.78.(5分)(2023上·安徽滁州·高二??计谀╇p曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F122,0,點(diǎn)AA.2 B.3 C.2 D.1二.多選題(共4小題,滿分20分,每小題5分)9.(5分)(2023上·湖南婁底·高二統(tǒng)考期末)下列有關(guān)數(shù)列的說法正確的是(
)A.?dāng)?shù)列-2023,0,4與數(shù)列4,0,-2023是同一個(gè)數(shù)列B.?dāng)?shù)列{an}C.在數(shù)列1,2,D.?dāng)?shù)列3,5,9,17,33,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為a10.(5分)(2023上·甘肅金昌·高二??计谀┫铝兄本€中,與圓x2+yA.x+y=2 B.3x+y-4=0 C.x+y=22 11.(5分)(2023上·重慶·高二統(tǒng)考期末)已知空間向量a=2,-1,2,b=A.a(chǎn)=3 B.2a-b=0,-5,212.(5分)(2023下·云南曲靖·高一曲靖一中??计谀┮阎獧E圓Γ:x2a2+y2b2=1a>b>0的左,右焦點(diǎn)分別為F1,FA.橢圓Γ的離心率的取值范圍是2B.當(dāng)橢圓Γ的離心率為32時(shí),QFC.存在點(diǎn)Q使∠D.1QF第Ⅱ卷三.填空題(共4小題,滿分20分,每小題5分)13.(5分)(2023下·重慶沙坪壩·高一??计谀┤魞蓷l平行直線l1:3x-4y-4=0與l2:3x-4y+C=0間的距離為2,則C=14.(5分)(2023下·江西宜春·高一??计谀┮阎猘n為等差數(shù)列,前n項(xiàng)和為Sn,若S4=415.(5分)(2023上·新疆伊犁·高二??计谀┬甭蕿?的直線過拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),且與C交于A,B兩點(diǎn),則16.(5分)(2023上·湖南懷化·高二統(tǒng)考期末)如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1中,E?F分別為四.解答題(共6小題,滿分70分)17.(10分)(2023上·四川成都·高二統(tǒng)考期末)已知點(diǎn)P(-4,2),直線l:3x-4y-5=0.(1)求經(jīng)過點(diǎn)P且與直線l平行的直線的方程;(2)求經(jīng)過點(diǎn)P且與直線l垂直的直線的方程.18.(12分)(2023上·浙江寧波·高二統(tǒng)考期末)已知空間三點(diǎn)A(-1,0,2),B(0,1,2),C(-3,0,4),設(shè)AB=(1)求a與b的夾角θ的余弦值;(2)若向量ka+b與a19.(12分)(2023上·重慶·高二統(tǒng)考期末)已知an是等差數(shù)列,bn是公比大于0的等比數(shù)列,bn的前n項(xiàng)和為Sn,且a3+a(1)求an和b(2)求數(shù)列an-bn的前20.(12分)(2023上·吉林長春·高二??计谀┮阎獔AC的半徑為2,圓心在射線y=x(x≥0)上,直線3x+4y+3=0與圓C相切.(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)求直線l:2x-y+1=0與圓C相交的弦長.21.(12分)(2023下·北京海淀·高二清華附中??计谀┧睦忮FP-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=CD=1,AB=BC=2,PC=3,AB//
(1)求證:BC⊥平面PAB;(2)求二面角A-PD-C的余弦值.22.(12分)(2023下·江蘇淮安·高二統(tǒng)考期末)已知橢圓M:x2a2+y2b2=1a>b>0,點(diǎn)F1-1,0、C-2,0分別是橢圓M
(1)求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若A0,3,求(3)是否存在直線l,使得點(diǎn)B在以線段AC為直徑的圓上,若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由.
高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷(基礎(chǔ)篇)參考答案與試題解析第Ⅰ卷一.選擇題(共8小題,滿分40分,每小題5分)1.(5分)(2023上·江蘇南通·高二統(tǒng)考期末)過點(diǎn)1,2且與直線2x+y-3=0平行的直線的方程為(
)A.2x-y=0 B.2x-y-4=0C.2x+y-4=0 D.2x+y-5=0【解題思路】設(shè)出所求的直線方程,再利用待定系數(shù)法求解即得.【解答過程】依題意,設(shè)所求直線方程為2x+y-m=0(m≠3),因此2×1+2-m=0,解得m=4,所以過點(diǎn)1,2且與直線2x+y-3=0平行的直線的方程為2x+y-4=0.故選:C.2.(5分)(2023上·新疆伊犁·高二??计谀├脭?shù)學(xué)歸納法證明fn=1+2+3+4+???+4n-1A.f1=1 C.f2=1+2 【解題思路】觀察f(n)為4n-1項(xiàng)連續(xù)正整數(shù)之和的規(guī)律,可得f(1).【解答過程】由題意f(n)=1+2+3+?+4n-1,n∈N即從1起連續(xù)4n-1項(xiàng)正整數(shù)之和.則f(1)為從1起連續(xù)3個(gè)正整數(shù)之和,故第一步應(yīng)證明f(1)=1+2+3.故選:B.3.(5分)(2022下·安徽滁州·高二統(tǒng)考期末)三棱柱ABC-DEF中,G為棱AD的中點(diǎn),若BA=a,BC=b,BD=A.-a+bC.-12a【解題思路】利用空間向量的線性運(yùn)算法則與空間向量基本定理,求解即可.【解答過程】CG故選:D.4.(5分)(2022上·寧夏銀川·高二??计谀┰O(shè)a>b>0,若雙曲線C1:x2a2-y2b2A.22 B.12 C.32【解題思路】由雙曲線的離心率得a,b關(guān)系,再根據(jù)橢圓中a,b,c關(guān)系變形得出橢圓離心率.【解答過程】由題意a2+b2故選:B.5.(5分)(2023上·新疆伊犁·高二??计谀┮阎猠1、e2、e3為空間三個(gè)不共面的向量,向量a=e1+μe2+4eA.-3 B.3 C.-15 D.15【解題思路】設(shè)a=kbk∈R,根據(jù)空間向量共線的基本定理可得出關(guān)于k、λ【解答過程】因?yàn)閑1、e2、e3為空間三個(gè)不共面的向量,向量a若a與b共線,設(shè)a=kbk∈R可得1=3kμ=9k4=λk,解得k=1故選:D.6.(5分)(2023上·安徽滁州·高二??计谀┲本€l過圓C:x+32+y2=4的圓心,并且與直線A.x+y-2=0 B.x-y+2=0 C.x+y-3=0 D.x-y+3=0【解題思路】求圓心坐標(biāo),由垂直可得斜率,然后根據(jù)點(diǎn)斜式可得.【解答過程】由(x+3)2+y又因?yàn)橹本€l與直線x+y+2=0垂直,所以直線l的斜率為k=1,由點(diǎn)斜式得直線l:y-0=x+3,化簡得直線l的方程是x-y+3=0.故選:D.7.(5分)(2023上·湖南衡陽·高二??计谀┮阎缺葦?shù)列an的公比為-12,前n項(xiàng)和為Sn.若S2m=31,A.3 B.4 C.5 D.7【解題思路】由等比數(shù)列前n項(xiàng)和列出S2m與Sm,兩式相比即可解出答案;或根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)得Sm,S2m-Sm【解答過程】法一:因?yàn)榈缺葦?shù)列an的公比為-則S2m=a所以S2mSm法二:根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)得Sm,S2m-Sm所以S2m-SmS故選:C.8.(5分)(2023上·安徽滁州·高二??计谀╇p曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F122,0,點(diǎn)AA.2 B.3 C.2 D.1【解題思路】根據(jù)題意,利用雙曲線的定義把△APF1的周長用△APF的周長來表示,可求△APF【解答過程】如下圖所示:
設(shè)該雙曲線的左焦點(diǎn)為點(diǎn)F,由雙曲線的定義可得PFAF=AF1=(22)2所以,△APFAP當(dāng)且僅當(dāng)A,P,F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí),△APF1的周長取得最小值,即6+2a=8,解得故選:D.二.多選題(共4小題,滿分20分,每小題5分)9.(5分)(2023上·湖南婁底·高二統(tǒng)考期末)下列有關(guān)數(shù)列的說法正確的是(
)A.?dāng)?shù)列-2023,0,4與數(shù)列4,0,-2023是同一個(gè)數(shù)列B.?dāng)?shù)列{an}C.在數(shù)列1,2,D.?dāng)?shù)列3,5,9,17,33,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為a【解題思路】根據(jù)數(shù)列概念即可得選項(xiàng)A正誤;利用數(shù)列的通項(xiàng)公式等于110,計(jì)算出結(jié)果,即可得選項(xiàng)B的正誤;根據(jù)數(shù)列的規(guī)律,即可得選項(xiàng)C、D的正誤.【解答過程】解:因?yàn)閿?shù)列-2023,0,4的首項(xiàng)是-2023,而數(shù)列4,0,-2023的首項(xiàng)是4,所以兩個(gè)數(shù)列不是同一個(gè),故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;當(dāng)an=nn+1=110時(shí),解得:即110是該數(shù)列的第10項(xiàng),故選項(xiàng)B正確;因?yàn)閿?shù)列1,2,3所以第8個(gè)數(shù)是8=2因?yàn)閍a4=2故選:BCD.10.(5分)(2023上·甘肅金昌·高二??计谀┫铝兄本€中,與圓x2+yA.x+y=2 B.3x+y-4=0 C.x+y=22 【解題思路】根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系對(duì)選項(xiàng)一一驗(yàn)證即可.【解答過程】圓x2+y2=4對(duì)于選項(xiàng)A,圓心到直線的距離d=-2對(duì)于選項(xiàng)B,圓心到直線的距離d=-4對(duì)于選項(xiàng)C,圓心到直線的距離d=-2對(duì)于選項(xiàng)D,圓心到直線的距離d=8故選:BC.11.(5分)(2023上·重慶·高二統(tǒng)考期末)已知空間向量a=2,-1,2,b=A.a(chǎn)=3 B.2a-b=0,-5,2【解題思路】根據(jù)空間向量坐標(biāo)運(yùn)算法則計(jì)算可得.【解答過程】因?yàn)閍=2,-1,2,所以a=2aa?b=2×4+-1×3+2×0=5又b=42故選:AD.12.(5分)(2023下·云南曲靖·高一曲靖一中??计谀┮阎獧E圓Γ:x2a2+y2b2=1a>b>0的左,右焦點(diǎn)分別為F1,FA.橢圓Γ的離心率的取值范圍是2B.當(dāng)橢圓Γ的離心率為32時(shí),QFC.存在點(diǎn)Q使∠D.1QF【解題思路】根據(jù)點(diǎn)P1,1在橢圓Γ外,求出b的取值范圍,即可求出離心率的取值范圍,從而判斷A;根據(jù)離心率求出c,則QF1∈a-c,a+c,即可判斷B;設(shè)上頂點(diǎn)A【解答過程】由題意得a=3,又點(diǎn)P1,1在橢圓Γ外,則13所以橢圓Γ的離心率e=ca=3-b當(dāng)e=32時(shí),c=32,所以QF設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為A0,b,F1-c,0,F2c,0,由于A因?yàn)辄c(diǎn)Q在橢圓Γ上,所以QF則1=3當(dāng)且僅當(dāng)QF所以1QF1故選:ABC.第Ⅱ卷三.填空題(共4小題,滿分20分,每小題5分)13.(5分)(2023下·重慶沙坪壩·高一??计谀┤魞蓷l平行直線l1:3x-4y-4=0與l2:3x-4y+C=0間的距離為2,則C=6或-14【解題思路】根據(jù)兩平行線見距離公式運(yùn)算求解.【解答過程】由題意可得:C--432+-4故答案為:6或-14.14.(5分)(2023下·江西宜春·高一??计谀┮阎猘n為等差數(shù)列,前n項(xiàng)和為Sn,若S4=4S2【解題思路】利用等差數(shù)列基本量,列方程組,即可求解.【解答過程】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1,公差為d4a1+4×32所以an故答案為:2n-1.15.(5分)(2023上·新疆伊犁·高二??计谀┬甭蕿?的直線過拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),且與C交于A,B兩點(diǎn),則AB=【解題思路】聯(lián)立直線與拋物線的方程,再根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)弦公式求解即可.【解答過程】由題意拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)1,0,故斜率為2的直線過拋物線C:聯(lián)立y2=4x有2x-12=4x則x1+x2=4,又拋物線C:故答案為:6.16.(5分)(2023上·湖南懷化·高二統(tǒng)考期末)如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1中,E?F分別為BC,CD中點(diǎn),【解題思路】利用坐標(biāo)法,根據(jù)點(diǎn)到平面的距離向量求法即得.【解答過程】如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則B1所以C1設(shè)平面C1EF的法向量為則m?C1E=x-2z=0所以B1到平面C1EF故答案為:43四.解答題(共6小題,滿分70分)17.(10分)(2023上·四川成都·高二統(tǒng)考期末)已知點(diǎn)P(-4,2),直線l:3x-4y-5=0.(1)求經(jīng)過點(diǎn)P且與直線l平行的直線的方程;(2)求經(jīng)過點(diǎn)P且與直線l垂直的直線的方程.【解題思路】(1)設(shè)出所求平行直線的方程,利用P點(diǎn)坐標(biāo)求得正確答案.(2)利用點(diǎn)斜式求得所求直線的方程.【解答過程】(1)設(shè)經(jīng)過點(diǎn)P且與直線l平行的直線的方程為3x-4y+C=0,將P-4,2代入得-12-8+C=0,C=20所以所求直線方程為3x-4y+20=0(2)直線l:3x-4y-5=0的斜率為34與直線l垂直的直線的斜率為-4所以經(jīng)過點(diǎn)P且與直線l垂直的直線的方程為y-2=-4即4x+3y+10=0.18.(12分)(2023上·浙江寧波·高二統(tǒng)考期末)已知空間三點(diǎn)A(-1,0,2),B(0,1,2),C(-3,0,4),設(shè)AB=(1)求a與b的夾角θ的余弦值;(2)若向量ka+b與a【解題思路】(1)先求出向量a,(2)利用向量垂直的充要條件列出方程,解方程求出k的值.【解答過程】(1)因?yàn)閍=AB=所以空間向量的夾角公式,可得cosθ=所以a與b的夾角θ的余弦值為-1(2)由(1)可知a=(1,1,0),b因?yàn)橄蛄縦a+b與a所以ka2-k所以k2-3k-1=0,解得19.(12分)(2023上·重慶·高二統(tǒng)考期末)已知an是等差數(shù)列,bn是公比大于0的等比數(shù)列,bn的前n項(xiàng)和為Sn,且a3+a(1)求an和b(2)求數(shù)列an-bn的前【解題思路】(1)由bn是公比大于0的等比數(shù)列及b1=1,b3=b2+2求出公比,由等差數(shù)列下標(biāo)和定理結(jié)合(2)利用分組求和,結(jié)合等差等比前n項(xiàng)和公式計(jì)算即可.【解答過程】(1)設(shè)an的公差為d,bn的公比為∵b3=b2+2,b1=1∵q>0,∴q=2,∴bn∵a3+a∵a∴d=1,∴an故an=n,(2)由(1)得,T=1+2+3+???+n-=∴Tn20.(12分)(2023上·吉林長春·高二??计谀┮阎獔AC的半徑為2,圓心在射線y=x(x≥0)上,直線3x+4y+3=0與圓C相切.(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)求直線l:2x-y+1=0與圓C相交的弦長.【解題思路】(1)根據(jù)直線與圓相切,應(yīng)用點(diǎn)線距離公式求圓心坐標(biāo),寫出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)根據(jù)相交弦、弦心距、半徑之間的幾何關(guān)系求弦長即可.【解答過程】(1)由題意可設(shè):圓心為Ca,a由圓C與3x+4y+3=0相切,有|7a+3|5=2,即可得a=1或所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2(2)由(1)可知:C(1,1),r=2,則C到直線l:2x-y+1=0的距離為d=2所以直線l與圓C相交的弦長為2r21.(12分)(2023下·北京海淀·高二清華附中??计谀┧睦忮FP-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=CD=1,AB=BC=2,PC=3,AB//
(1)求證:BC⊥平面PAB;(2)求二面角A-PD-C的余弦值.【解題思路】(1)由線面垂直的性質(zhì)得到PA⊥BC、PA⊥AC,從而得到AB⊥BC,即可得證;(2)建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量法計(jì)算可得.【解答過程】(1)連接AC,因?yàn)镻A⊥平面
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