考研學(xué)習(xí)筆記 《量子力學(xué)教程》（第2版）筆記和課后習(xí)題（含考研真題）詳解

周世勛主編的《量子力學(xué)教程》(第2版)是我國高校物理類廣泛采用的權(quán)威教材之一，也被眾多高校(包括科研機(jī)構(gòu))指定為考研考博專業(yè)課參考書目。為了幫助參加研究生入學(xué)考試指定參考書目為周世勛主編的《量子力學(xué)教程》(第2版)的《量子力學(xué)教程》(第2版)輔導(dǎo)用書(均提供免費(fèi)下載，免費(fèi)升級):1.周世勛《量子力學(xué)教程》(第2版)筆記和課后習(xí)題(含考研真題)詳解[免費(fèi)下載]2.周世勛《量子力學(xué)教程》(第2版)配套題庫【名?？佳姓骖}+課后習(xí)題+章節(jié)題庫+模本書是周世勛主編的《量子力學(xué)教程》(第2版)的配套e書，主要包括以下內(nèi)容：(1)梳理知識脈絡(luò)，濃縮學(xué)科精華。本書每章的復(fù)習(xí)筆記均對該章的重難點(diǎn)進(jìn)行了整理，(2)詳解課后習(xí)題，鞏固重點(diǎn)難點(diǎn)。本書參考大量相關(guān)輔導(dǎo)資料，對周世勛主編的《量子力學(xué)教程》(第2版)的課后思考題進(jìn)行了詳細(xì)的分析和解答，并對相關(guān)重要知識點(diǎn)進(jìn)行了(3)精編考研真題，培養(yǎng)解題思路。本書精選詳析了部分名校近年來的相關(guān)考研真題，這(4)免費(fèi)更新內(nèi)容，獲取最新信息。本書定期會進(jìn)行修訂完善，補(bǔ)充最新的考研真題和答()提供全國各高校物理類專業(yè)考研考博輔導(dǎo)班【一對一輔導(dǎo)(面授/網(wǎng)授)、網(wǎng)授精講班等】、3D電子書、3D題庫(免費(fèi)下載，免費(fèi)升級)、全套資料(歷年真題及答案、筆記講義等)、物理類國內(nèi)外經(jīng)典教材名師講堂、考研教輔圖書等。本入學(xué)考試指定考研參考書目為周世勛主編的《量子力學(xué)教程》(第2版)的考生，也可供各1.720度立體旋轉(zhuǎn)：好用好玩的全新學(xué)習(xí)體驗(yàn)2.質(zhì)量保證：每本e書都經(jīng)過圖書編輯隊伍多次反復(fù)修改，顧問團(tuán)隊嚴(yán)格審核目的考試要點(diǎn)，把重要考點(diǎn)全部固化為試題(或講義)形式，形成精準(zhǔn)領(lǐng)先及時的備考e3.免費(fèi)升級：更新并完善內(nèi)容，終身免費(fèi)升級4.功能強(qiáng)大：記錄筆記、答案遮擋等十大功能(1)e書閱讀器——工具欄豐富實(shí)用【為考試教輔量身定做】(2)便箋工具——做筆記、寫反饋【獨(dú)家推出】(3)答案遮擋——先看題后看答案，學(xué)習(xí)效果好【獨(dú)家推出】5.品種齊全：包括全部職稱資格考試、、。主要包括：、、,共3萬余種，每天新上線約30種e書，每天下載約1萬次。我們聯(lián)系(1925044795@),我們定當(dāng)聆聽您的意見并遵旨酌辦；如果有侵權(quán)行為請及時通知我們，我們會在第一時間為您處理!()是一家為全國各類考試和專業(yè)課學(xué)習(xí)提供輔導(dǎo)方案【保過班、網(wǎng)授班、3D電子書、3D題庫】的綜合性學(xué)習(xí)型視頻學(xué)習(xí)網(wǎng)站，擁有近100種考試(含418個考試科目)、194種經(jīng)典教材(含英語、經(jīng)濟(jì)、管理、證券、金融等共16大類),合計近萬小時的面授班、網(wǎng)授如您在購買、使用中有任何疑問，請及時聯(lián)系我們，我們將竭誠為您服務(wù)!全國熱線：(8:30-23:00),(8:30-23:00)詳情訪問：http://(理工類)1.1復(fù)習(xí)筆記1.2課后習(xí)題詳解1.3名?？佳姓骖}詳解第2章波函數(shù)和薛定諤方程2.1復(fù)習(xí)筆記2.2課后習(xí)題詳解2.3名?？佳姓骖}詳解第3章量子力學(xué)中的力學(xué)量3.1復(fù)習(xí)筆記3.2課后習(xí)題詳解3.3名?？佳姓骖}詳解第4章態(tài)和力學(xué)量的表象4.1復(fù)習(xí)筆記4.2課后習(xí)題詳解4.3名校考研真題詳解5.1復(fù)習(xí)筆記5.2課后習(xí)題詳解5.3名?？佳姓骖}詳解6.1復(fù)習(xí)筆記6.2課后習(xí)題詳解6.3名校考研真題詳解第7章自旋與全同粒子7.1復(fù)習(xí)筆記7.2課后習(xí)題詳解7.3名?？佳姓骖}詳解第8章量子力學(xué)若干進(jìn)展8.2課后習(xí)題詳解8.3名校考研真題詳解1.黑體輻射(1)黑體輻射問題所研究的對象(2)黑體輻射實(shí)驗(yàn)黑體以hV為能量單位不連續(xù)地發(fā)射和吸收頻率為V的輻射，而不是像經(jīng)典理論所要求的那2.光電效應(yīng)(1)光量子或光子(2)光電效應(yīng)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象(3)光電效應(yīng)公式3.康普頓效應(yīng)高頻率高頻率X射線被輕元素中的電子散射后，波長隨散射角的增加而增大。圖1-1(2)康普頓公式(3)實(shí)驗(yàn)意義1.經(jīng)典理論在解釋原子結(jié)構(gòu)上的困難(1)經(jīng)典理論不能建立一個穩(wěn)定的原子模型，因電子環(huán)繞原子核做加速運(yùn)動，會不斷以輻(2)加速電子所產(chǎn)生的輻射，其頻率是連續(xù)分布的，這與原子光譜是分立的譜線不符。2.玻爾假設(shè)(1)電子在原子中不可能沿著經(jīng)典理論所允許的每一個軌道運(yùn)動，而只能沿著其中一組特殊的軌道運(yùn)動。稱沿這組特殊軌道運(yùn)動的電子處于穩(wěn)定狀態(tài)(簡稱定態(tài))。(2)電子保持在該狀態(tài)時，既不吸收也不發(fā)出輻射。(3)只有當(dāng)電子由一個定態(tài)躍遷到另一個定態(tài)時，才產(chǎn)生輻射的吸收或發(fā)射現(xiàn)象。電子由能量為Em的定態(tài)躍遷到能量為En的定態(tài)時所吸收或發(fā)射的輻射頻率V滿足：(4)量子化條件：角動量必須是=的整數(shù)倍。3.索末菲量子化條件的推廣4.玻爾理論缺陷1.玻爾理論所遇到的困難說明探索微觀粒子運(yùn)動規(guī)律的迫切性在光的波粒二象性的啟示下，德布羅意提出微粒具有波粒二象性的假設(shè)。這公式稱為德布羅意公式，或德布羅意關(guān)系。戴維孫-革末的電子衍射實(shí)驗(yàn)該實(shí)驗(yàn)充分說明電子具有波動性，驗(yàn)證了德布羅意波的存在。1.2課后習(xí)題詳解1.1由黑體輻射公式導(dǎo)出維恩位移定律：能量密度極大值所對應(yīng)的波長λAm與溫度T成反比，即λmT=b(常量);并近似計算b的數(shù)值，準(zhǔn)確到二位有效數(shù)字.解：根據(jù)普朗克的黑體輻射公式以及這里的一的物理意義是黑體內(nèi)波長介于λ與λ+dλ之間的輻射能量密度。本題關(guān)注的是λ取何值時，F(xiàn)取得極大值，因此，就得要求E對λ的一階導(dǎo)數(shù)為零，由此可求得相應(yīng)的λ的值，記作E。但要注意的是，還需要驗(yàn)證Pa對λ的二階導(dǎo)數(shù)在λm處的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m就是要求的，具體如下：如果令,則上述方程為這是一個超越方程。首先，易知此方程有解：x=0,但經(jīng)過驗(yàn)證，此解是把x以及三個物理常量代入到上式便知長方面移動，這樣便會根據(jù)熱物體(如遙遠(yuǎn)星體)的發(fā)光顏色來判定溫度的高低。1.2在0K附近，鈉的價電子動能約為3eV,求其德布羅意波長。注意到本題所考慮的鈉的價電子的動能僅為3eV,遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于電子的質(zhì)量與光速平方的乘積，,因此利用非相對論性的電子的能量動量關(guān)系式，這樣，便有在這里，利用了以及最后，對作一點(diǎn)討論，從上式可以看出，當(dāng)粒子的質(zhì)量越大時，這個粒子的波長就越短，因而這個粒子的波動性較弱，而粒子性較強(qiáng)；同樣的，當(dāng)粒子的動能越大時，這個粒子的波長就越短，因而這個粒子的波動性較弱，而粒子性較強(qiáng)，由于宏觀世界的物體質(zhì)量普遍很大，因而波動性極弱，顯現(xiàn)出來的都是粒子性，這種波粒二象性，從某種意義來說，只有在微觀世界才能1.3氦原子的動能是(kB為玻耳茲曼常量),求T=1K時，氦原子的德布羅意波長。解：因?yàn)楹ぴ拥膭幽転檫h(yuǎn)遠(yuǎn)小于這樣，可用非相對論公式據(jù)此可知，當(dāng)體系的溫度越低，相應(yīng)的德布羅意波長就越長，這時這種粒子的波動性就越明顯，特別是當(dāng)波長長到比粒子間的平均距離還長時，粒子間的相干性就尤為明顯，因此這時就不能用經(jīng)典的描述粒子統(tǒng)計分布的玻耳茲曼分布，而必須用量子的描述粒子的統(tǒng)計分布——玻色分布或費(fèi)米分布。1.4利用玻爾一索末菲的量子化條件，求：(2)在均勻磁場中做圓周運(yùn)動的電子軌道的可能半徑。已知外磁場H=10T(特斯拉),玻爾磁子Mg=9×10-24J/T,試計算動能的量子化間隔△E,并與T=4K及T=100K的熱運(yùn)動能量相比較.(1)設(shè)一維諧振子的勁度常數(shù)為k,諧振子質(zhì)量為μ,于是有上式左邊即相空間中橢圓面積故此式說明能量是等間隔分布的量子化能級。后來嚴(yán)格的量子(2)當(dāng)電子在均勻磁場中作圓周運(yùn)動時，有我們以角度作為廣義坐標(biāo)求廣義動量拉格朗日函數(shù)(熱運(yùn)動能量，n為自由度)這里是平面運(yùn)動取n=2所以E=kT1.設(shè)一個粒子的質(zhì)量與人的質(zhì)量相當(dāng)，約為50kg,并以12秒的百米速度作直線運(yùn)動，求粒子相應(yīng)的德布羅意波長。說明其物理意義。[電子科技大學(xué)2006研](2)物理意義：晶體的晶格常數(shù)約為10-1?m,所以，題中的粒子對應(yīng)的德布羅意波長<<晶2.利用波爾-索末菲量子化條件，求解在均勻磁場中作圓周運(yùn)動的電子軌道的可能半徑，相鄰軌道的動能間隔。[電子科技大學(xué)2006研]解：(1)可能的軌道半徑(2)相鄰軌道的動能間隔第2章波函數(shù)和薛定諤方程1.波函數(shù)定義2.玻恩統(tǒng)計對波函數(shù)的解釋波函數(shù)在空間中某一點(diǎn)的強(qiáng)度(振幅絕對值的平方和在該點(diǎn)-找到振幅絕對值的平方，就可以得出粒子在空間任意一點(diǎn)出現(xiàn)的概率.3.波函數(shù)的歸一化條件,它是在全空間必然找到粒子的體現(xiàn)。4.波函數(shù)必須滿足三個基本條件：連續(xù)、單值、有限(1)連續(xù)性：因概率不會在某處發(fā)生突變，故波函數(shù)必須處處連續(xù)；(2)單值性：因任一體積元內(nèi)出現(xiàn)的概率只有一種，故波函數(shù)一定是單值的；(3)因概率不可能為無限大，故波函數(shù)必須是有限的。5.經(jīng)典波與德布羅意波的比較6.態(tài)疊加原理：也是微觀粒子的可能狀態(tài)。也可以說，當(dāng)體系處于態(tài)時，要注意的是，態(tài)疊加原理指的是波函數(shù)(概率幅)的線性疊加，而不是概率的疊加。特點(diǎn)：(1)波函數(shù)由空間部分與時間部分函數(shù)相乘；(2)時間部分函數(shù)是確定的。1.粒子流密度定義2.概率密度在時刻t在r點(diǎn)周圍單位體積內(nèi)粒子出現(xiàn)的概率(即概率密度)是3.概率(粒子數(shù))守恒概率(粒子數(shù))守恒定律的微分形式1.一維無限深方勢阱(1)若勢能滿足在阱內(nèi)(),體系所滿足的定態(tài)薛定諤方程是在阱外(,定態(tài)薛定諤方程是(2)若勢能滿足在阱內(nèi)外的薛定諤方程同(1)2.三維無限深方勢阱3.一維線性諧振子本征值5.勢壘貫穿(隧道效應(yīng)),粒子的能量E很小，以致一(其中，)時，貫穿系目為N,則稱為N重簡并。2.零點(diǎn)能系統(tǒng)有時最低能量并不為零，稱為零點(diǎn)能(zero-pointenergy),它是微觀粒子的波動-粒子3.宇稱描述粒子在空間反演下變換性質(zhì)的相乘性量子數(shù)引，記為P。它只有兩個值+1和-1。如如果波函數(shù)在空間反演下保持不變，該粒子具有偶宇稱(P=+1);稱等于這n個粒子宇稱之積再乘以這n個粒子之間的n-1個軌道宇稱之積?？梢姟轃o關(guān)。2.2由下列兩定態(tài)波函數(shù)計算概率流密度：(1)從所得結(jié)果說明解：巨和只有罪分量同向。表示向外傳播的球面波?？梢?，三反向，表示向內(nèi)(即向原點(diǎn))傳播的球面波。2.3一粒子在一維勢場中運(yùn)動，求粒子的能級和對應(yīng)的波函數(shù).解：無關(guān)，是定態(tài)問題。其定態(tài)S—方程在各區(qū)域的具體形式為①②③得根據(jù)波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件確定系數(shù)A,B,由連續(xù)性條件，得⑥若取一底，即得2.5求一維諧振子處在第一激發(fā)態(tài)時概率最大的位置.由2的表達(dá)式可知，時，。顯然不是最大幾率的位置。2.6在一維勢場中運(yùn)動的粒子，勢能對原點(diǎn)對稱：U(-x)=U(x),證明粒子的確定的宇稱.①②③比較①、③式可知，都是描寫在同一勢場作用下的粒子狀態(tài)的波函數(shù)。由于它們描寫的是同一個狀態(tài)，因此一之間只能相差一個常數(shù)。方程①、③可相互進(jìn)行空間反演而得其對方，由①經(jīng)反演，可得③,④⑤④乘⑤,得當(dāng)勢場滿足-時，粒子的定態(tài)波函數(shù)具有確定的宇稱。2.7一粒子在一維勢阱中運(yùn)動。求束縛態(tài)(O<E<V#0)的能級所滿足的方程.解：粒子所滿足的薛定諤方程為則方程變?yōu)棰?.各方程的解為由波函數(shù)的有限性，有因此再根據(jù)波函數(shù)的連續(xù)性，有整理得解此方程即可得出B、C、D、F,進(jìn)而得出波函數(shù)的具體形式，要方程組有非零解，必須化簡得∵為所求束縛態(tài)能級所滿足的方程。2.8分子間的范德瓦耳斯力所產(chǎn)生的勢能可以近似地表示為求束縛態(tài)的能級所滿足的方程.求束縛態(tài)的能級所滿足的方程.解：定態(tài)薛定諤方程為各方程的解分別為由波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性條件得三有限，式為0<x2>,<p〉和<p2>,并驗(yàn)證不確定關(guān)系則因此無妨設(shè)入射粒子和出射粒子的幾率波函數(shù)為其中由兩側(cè)波函數(shù)和波函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)性要求得：得出因此透射系數(shù)4.一粒子的波函數(shù)為ψ(=ψ(x,y,z),寫出粒子位于x~x+dx間的幾率；用球坐標(biāo)表示，粒子波函數(shù)表為ψ(r,θ,φ),寫出粒子在球殼(r,r+dr)中被測到的幾率，及在(θ,φ)方向的立體角dΩ內(nèi)找到粒子的幾率。[南京理工大學(xué)2011研]答：粒子位于x~x+dx間的幾率為粒子在球殼(r,r+dr)中被測到的幾率在(θ,φ)方向的立體角dΩ內(nèi)找到粒子的幾率5.下列波函數(shù)所描寫的狀態(tài)是否為定態(tài)?并說明其理由。(2)[南京理工大學(xué)2011研]答：(1)定態(tài)必須滿足概率密度不隨時間改變，因?yàn)楦怕拭芏入S時間改變，所以該狀態(tài)并不是定態(tài)。(2)因?yàn)橐?不隨時間改變，所以該狀態(tài)是定態(tài)。6.系統(tǒng)哈密頓量為,求出基態(tài)波函數(shù)。[首都師范大學(xué)2011研]答：由薛定諤方程-3,設(shè)2的本征能量為2,基態(tài)波函數(shù)為則由薛定諤方程得：三當(dāng)一時，,得a=b=0,c為任意值，因此歸一化后本征函數(shù)為這也是基態(tài)波函數(shù)。7.下列波函數(shù)所描寫的狀態(tài)是不是定態(tài)?(3)V?(x,t)=u(x)e+u(x)e[電子科技大學(xué)2006研]答：定態(tài)即是體系處于形如式所描述的狀態(tài)，能量具有確定值。是定態(tài)定態(tài)波函數(shù)無此性質(zhì)。8.粒子在如下的一維勢場中運(yùn)動，求粒子的能級和對應(yīng)的波函數(shù)。[電子科技大學(xué)2006研]答：根據(jù)薛定諤方程≥=三上微分方程的解可表示為一(1)粒子的z分量坐標(biāo)出現(xiàn)在一三范圍內(nèi)的幾率(2)粒子的動量分量F出現(xiàn)在一==范圍內(nèi)的幾率(3)粒子的z分量坐標(biāo)出現(xiàn)在范圍內(nèi)，同時動量分量F出現(xiàn)在≥范圍內(nèi)的幾率[電子科技大學(xué)2006研]答：(1)粒子的z分量坐標(biāo)出現(xiàn)在·>范圍內(nèi)的幾率(2)動量波函數(shù),其中對(1)兩端取復(fù)共軛得(3)以4三左乘(2),三左乘(1)的共軛方程(3),再相減，有對全空間積分，得到波函數(shù)在無限遠(yuǎn)處迅速趨于0的條件，等式右端為0,所以一,即與時間無關(guān)。11.設(shè)一維自由粒子在t=0時刻的狀態(tài)為求t時刻粒子的狀態(tài)ψ(x,t)。[北京航空航天大學(xué)2010研]解：根據(jù)題意，由t=0時刻的波函數(shù)可得，則在t時刻粒子的波函數(shù)為第3章量子力學(xué)中的力學(xué)量3.1復(fù)習(xí)筆記一、表示力學(xué)量的算符算符指作用在一個函數(shù)上得出另一個函數(shù)的運(yùn)算符號。例如,則表示某種將變2.力學(xué)量平均值量子力學(xué)中，力學(xué)量用算符表示。力學(xué)量用算符表示后，可以直接計算平均值。在坐標(biāo)表象中，平均值公式是在動量表象中，平均值公式是3.算符具有的基本性質(zhì)：(1)算符相等：如果對任意函數(shù)2,滿足一,則稱算符一(2)單位算符作用于任意函數(shù)喧上，宣不變(3)算符之和：對于任意函數(shù)喧，有一,滿足交換律：o(4)算符乘積：,一般不存在·除非肩，后對易。表明和(5)逆算符：如果2。兩個算符(6)復(fù)共軛、轉(zhuǎn)置、厄米共軛、厄米算符①復(fù)共軛算符-=由式中復(fù)量換成共軛復(fù)量構(gòu)成，例如乙②轉(zhuǎn)置算符日。對任意算符，滿足④厄米算符恒：自，即對任意函數(shù)2重，滿足。利用上述厄米共軛算符的定義，上式可以進(jìn)一步寫為二(7)線性算符：如果算符4和任意函數(shù)，4三，滿足-,其中自，為任意常數(shù)，則稱作為線性算符。1.動量算符動量算符P的本征函數(shù)(即自由粒子波函數(shù))自由離子的哈密頓量能量本征值2.角動量z分量算符角動量z分量本征函數(shù)的本征值有共同的本征函數(shù)球諧函數(shù)其中角動量的平方及其z分量在球坐標(biāo)中可表示為相應(yīng)的本征方程分別為三、電子在庫侖場中的運(yùn)動1.類氫原子概念一電子在一帶正電的核所產(chǎn)生的電場中運(yùn)動，核的電荷是;若Z>1原子。如等。2.類氫原子能量本征值及本征函數(shù)類氫原子的哈密頓算符的表示能量本征值方程可表示為：相應(yīng)的能量本征值為：。此能量本征值是2厘度簡并的。上述本征方程在球極坐標(biāo)中的表示形式是說明：在許多高校的考研題中，經(jīng)常用分離變量法一來求解上述方程，尤其是其在氫原子中的應(yīng)用。此時，應(yīng)滿足徑向方程3.氫原子能量本征值及本征函數(shù)氫原子的能量本征方程其相應(yīng)的能級表達(dá)式其中，(玻爾半徑)。相應(yīng)的能量本征態(tài)四、厄米算符1.厄米算符本征函數(shù)的正交性厄米算符的屬于不同本征值的兩個本征函數(shù)相互正交。(1)當(dāng)算符F的本征函數(shù)組成分立譜時，有一本征函數(shù)正交歸一性氫原氫原子體系一維無限深勢阱(2)任一函數(shù)2庭可以用一組完全系≥來表示,其中，常被五、算符的對易關(guān)系兩力學(xué)量同時有確定值的條件不確定關(guān)系1.對易關(guān)系定義：2.對易式中滿足的基本恒等式3.一些重要的對易關(guān)系：4.兩算符是否有共同本征函數(shù)系與它們是否對易間的關(guān)系若一，則算符F和G有共同的本征函數(shù)系；反之亦然。在F和G的共同本征函數(shù)若一,則有不確定關(guān)系,或力學(xué)量F的平均值隨時間的變化滿足(即力學(xué)量F的平均值不隨時間變化),則稱F為守恒量。因而力學(xué)量F為守2.角動量守恒定律：在中心力場中運(yùn)動粒子的角動量的平方及其分量都是守恒量，3.能量守恒定律：哈密頓不顯含時間的體系的能量是守恒量，4.宇稱守恒定律：哈密頓對空間反演不變時宇稱是守恒量，3.1一維線性諧振子處在基態(tài),求：(1)勢能的期望值(2)動能的期望值(3)動量的概率分布函數(shù).或動量幾率分布函數(shù)為：3.2氫原子處在基態(tài)(1)r的期望值；(2)勢能的期望值；(3)最可幾的半徑；(4)動能的期望值；(5)動量的概率分布函數(shù)。(3)電子出現(xiàn)在r+dr球殼內(nèi)出現(xiàn)的幾率為：,故此兩處為電子出現(xiàn)幾率最小的位置。(4)當(dāng)波函數(shù)只與徑向坐標(biāo)r相關(guān)時，最終得到動量幾率分布函數(shù)為：3.3證明氫原子中電子運(yùn)動所產(chǎn)生的電流密度在球極坐標(biāo)中的分量是·解：電子的電流密度為：在球極坐標(biāo)中由于2中關(guān)于看和年部分是實(shí)的，則上式中中括號內(nèi)的前兩項為零，從而得到：3.4由上題可知，氫原子中的電流可以看作是由許多圓周電流組成的(圖3.1)。圖3.1(1)求一圓周電流的磁矩；(2)證明氫原子磁矩為：原子磁矩與角動量之比為：這個比值，稱為回轉(zhuǎn)磁比率.解：(1)一圓周電流的磁矩為：(2)氫原子的磁矩為：3.5一剛性轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動慣量為I,它的能量的經(jīng)典表示式是(1)轉(zhuǎn)子繞一固定軸轉(zhuǎn)動；(2)轉(zhuǎn)子繞一固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動。解：(1)設(shè)該固定軸沿軸方向，則有,其中考慮到波函數(shù)的單值性，上述解應(yīng)滿足因此，轉(zhuǎn)子的定態(tài)能量為(m=0,±1,±2,..)可以看出，能量只能取一系列分立值，構(gòu)成分立譜。利用歸一化條件容易求出則轉(zhuǎn)子體系的歸一化波函數(shù)為：綜上所述，繞固定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)子體系，其能量只能取一系列分立值，并且對應(yīng)于m=0的能級也即基態(tài)是非簡并的，其他能級是二重簡并的。(2)取固定點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則轉(zhuǎn)子的哈米頓算符為：其本征方程為：(式中一設(shè)為匡的本征函數(shù)，2畫為其本征值)。此即為角動量的本征方程，其本征值為：其本征函數(shù)為球諧函數(shù)所以轉(zhuǎn)子的定態(tài)能量為：由上式可知，繞固定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)子體系其能量也是分立的，并且對于能量為的能級，它的簡并度為3.6設(shè)t=0時，粒子的狀態(tài)為,求此時粒子的動量期望值和動能期望值?？梢钥闯龃瞬ê瘮?shù)是由5個平面波疊加而成的。因此，動量-三的可能值為：對應(yīng)的幾率-=應(yīng)為：動能的平均值為：3.7一維運(yùn)動粒子的狀態(tài)是其中λ>0,求：(1)粒子動量的概率分布函數(shù)；(2)粒子的動量期望值.解：(1)先求歸一化常數(shù)，由從而得到<粒子動量處于的概率密度為：動量幾率分布函數(shù)為：(2)粒子的動量期望值為：考慮到p為關(guān)于p的奇函數(shù)，為關(guān)于p的偶函數(shù)，所以被積函數(shù)是關(guān)于p的奇函數(shù)，3.8在一維無限深方勢阱中運(yùn)動的粒子，勢阱的寬度為a,如果粒子的狀態(tài)由波函數(shù)描寫，A為歸一化因子，求粒子能量的概率分布和能量的期望值.解：由波函數(shù)-的形式可知一維無限深勢阱在2處勢為零，其余處為無窮大。由粒子能量的本征函數(shù)和本征值很容易直接求出，分別為：,其中,其中因此3.9設(shè)氫原子處于狀態(tài)望值.相應(yīng)的幾率分別為：有3.10一粒子在硬壁球形空腔中運(yùn)動，勢能為求粒子的能級和定態(tài)波函數(shù).可得于要求r=0時波函數(shù)有限，從而1,其中系數(shù)由邊界條件,可得k應(yīng)取分立值，滿足-。設(shè)的相關(guān)的數(shù)學(xué)手冊中查到),則3.11求第3.6題中粒子位置和動量的不確定關(guān)系-解：在3.6題中已經(jīng)得到一03.12粒子處于狀態(tài)式中ξ為常量。求粒子的動量期望值，并計算不確定關(guān)系(△x)2(△p)2=?解：先把V(x)歸一化，由歸一化條件，得從而得到動量平均值為：3.13利用不確定關(guān)系估計氫原子的基態(tài)能量.解：設(shè)氫原子基態(tài)的最可幾半徑為R,則原子半徑的不確定范圍可近似取為得對于氫原子，基態(tài)波函數(shù)為偶宇稱，而動量算符巨為奇宇稱，所以p=0作為數(shù)量級估算可近似取則有基態(tài)能量應(yīng)取的極小值，由得3.3名校考研真題詳解1.問下列算符是否是厄米算符，并指明原因。[南京理工大學(xué)2011研]答：(1)因?yàn)橐?彼此不對易。所以4不是厄米算符。都不是厄米算符，所以不是厄米算符。2.對一個量子體系進(jìn)行某一力學(xué)量的測量值，測量結(jié)果與表示力學(xué)量算符有什么關(guān)系?兩個力學(xué)量同時具有確定值的條件是什么?[南京理工大學(xué)2011研]答：測量結(jié)果是該力學(xué)量算符的本征值中的一個。兩個力學(xué)量同時具有確定值的條件是這兩個力學(xué)量彼此對易。3.證明下列對易關(guān)系一證明：(1)由表達(dá)式一三二。[南京理工大學(xué)2011研]4.兩互相對易的算符可有共同的本征態(tài)(只要求在無簡并情況下證明)[首都師范大學(xué)2011研]答：利用先,則-所以一也是4的本征函數(shù)，2宣與眉在無簡并的條件下相差一個常數(shù)，因此同也是算符恒的本征態(tài)。5.計算算符的對易關(guān)系(I為虛數(shù)單位)[電子科技大學(xué)2006研]答：設(shè)ψ為任意波函數(shù)，6.下列算符哪些是厄米算符?眉[電子科技大學(xué)2006研]【解析】算符后是厄密算符的定義是一,其中準(zhǔn)與看是任意波函數(shù)。T,則一。于是上式變?yōu)?2)當(dāng)波函數(shù)滿足束縛態(tài)條件或者周期邊界條件時，是厄米算符,則。于是上式變?yōu)棰凼嵌蛎姿惴窘馕觥?。于是上式變成所以為厄米算符不是厄米算符同理可證i并不是厄米算符。7.判斷()是否是厄米算符。并寫出過程(無過程不記分)。[電子科技大學(xué)2006研]答：法一：設(shè)ψ、φ為任意波函數(shù)，因?yàn)?、4三為厄米算符，i(Pxy)*(xφ)dr-i?(Pxxy)*(Pxφ)dr=i(第4章態(tài)和力學(xué)量的表象1.表象2.態(tài)函數(shù)在Q表象中的矩陣表示伯特空間。設(shè)3.算符F在Q表象中的矩陣表示.算符F在Q表象中對應(yīng)一個矩陣(方陣),矩陣元是三，平均值公式是4.不同表象中的同一狀態(tài)波函數(shù)函數(shù)時動數(shù)5.一個典型的例子分析1.變換矩陣以2E為矩陣元的矩陣S稱為變換矩陣。設(shè)態(tài)4在A,B表象中的矩陣表示分別為a,b,S,算符在兩表象之間的變換為E變換矩陣的物理意義：通過變換矩陣，可將A表象的基矢n變換為B表象的基矢蘭。2.幺正算符3.幺正變換的兩條重要性質(zhì)：(1)幺正變換不改變算符的本征值；(2)幺正變換不改變矩陣F的跡。1.狄拉克符號定義2.狄拉克符號表示方法3.本征矢的封閉性4.一些公式通常寫法與狄拉克符號的寫法對照表4.2一些式子的通常寫法與用狄拉克符號的寫法對照表坐標(biāo)表象狄拉克符號5.厄米共軛變換規(guī)則(1)把全部次序整個顛倒；(2)做如下變換：注意：左矢三與左矢三的標(biāo)積記為,右矢=與右矢三標(biāo)積記為≥,1.占有數(shù)表象.2.升算符與降算符定義升算符(或產(chǎn)生算符)=和降算符(或湮滅算符)其中一=,為粒子數(shù)算符；3.其他常用關(guān)系式(1)粒子數(shù)算符本征方程一(2)哈密頓量本征方程(3)粒子數(shù)表象中的正交歸一性4.2課后習(xí)題詳解4.1求在動量表象中角動量Lx,的矩陣元和Lx2的矩陣元。4.2求一維無限深方勢阱中粒子的坐標(biāo)和動量在能量表象中的矩陣元。相應(yīng)的能量本征值為：坐標(biāo)在能量表象中表示矩陣的對角元為：其非對角元為：動量算符在坐標(biāo)表象下可寫為：動量在能量表象中表示矩陣的對角元為：其非對角元為：4.3求在動量表象中線性諧振子的能量本征函數(shù)。解：諧振子體系的哈密頓量在坐標(biāo)表象中可寫為：,而坐標(biāo)算符在動量表象中可寫為：。因此哈密頓量在動量表象中可寫為：從而可以直接寫出定態(tài)薛定諤方程此方程與位置表象中一維諧振子本征方程完全一致，因此4.4求線性諧振子哈密頓量在動量表象中的矩陣元。解：諧振子體系的哈密頓量在坐標(biāo)表象中可寫為：動量表象的基矢在坐標(biāo)表象中的形式是顯然的。哈密頓量在動量表象中的矩陣元可以直接計4.5設(shè)已知在的共同表象中，算符的矩陣分別為解：作的久期方程為：方程有三個根：將上述本征值代入本征方程可以求出相應(yīng)的本征函數(shù)。的本征方程為：其中為-的本征函數(shù)在一共同表象中的矩陣形式。當(dāng)B三時，有利用歸一化條件得由以上結(jié)果可知，從2和Lz的共同表象變到表象的變換矩陣為：所以對角化的矩陣為-按照與上同樣的方法可得，的歸一化的本征函數(shù)為：4.6求連續(xù)性方程的矩陣表示哈密頓算符則將上式代入連續(xù)性方程得代入上式，再對2信變化的整個空間積分可得把上式寫成矩陣形式為：矩陣元。[北京科技大學(xué)2010研]證明：(1)在位置4表象中，動量p的厄密矩陣元表示為22.對(L2L?)的共同本征態(tài)Yn,即(3)體系處于態(tài)-=,即則4=的測量及其幾率為考慮坐標(biāo)軸圍繞y軸按右手螺旋方向轉(zhuǎn)動π/2,使新坐標(biāo)系Ox'y'z'的z'軸與舊坐標(biāo)系O迭加形式。[北京科技大學(xué)2010研]其中二=L的本征方程求-的可能測量值及對應(yīng)概率。[北京科技大學(xué)2011研]于(2)由算符關(guān)系(3)表象中三的矩陣表示是,設(shè)其本征態(tài)為,本征值為日，由久期方程得得，=x測值為0的概率為Lx測值為-的概率為(1)令==帶入上式得λ=1,故F是本征函數(shù)；(5)令>=帶入上式得λ=-1,故sinxtcosx是本征函數(shù)第5章微擾理論(1)非簡并情況第n個能級可近似表示為：相應(yīng)的波函數(shù)可近似表示為：(2)簡并情況能級的一級修正由久期方程即給出。,分別把每一個根F代入方程,即可求得相應(yīng)的解，記為三，于是可得出新的零級波函數(shù)2.氫原子的一級斯塔克效應(yīng)(1)斯塔克(Stark)效應(yīng)：原子在外電場作用下所產(chǎn)生的譜線分裂的現(xiàn)象。(2)用簡并情況下的微擾論解釋氫原子的斯塔克效應(yīng)：由于電子在氫原子中受到球?qū)ΨQ的庫侖場的作用，第n個能級有n2度簡并。加上電場后，勢場的對稱性受到破壞，能級發(fā)生分裂，使簡并部分被消除。二、變分法1.變分法求體系基態(tài)能量方法總結(jié)：選擇含有參數(shù)入的嘗試波函數(shù)計算H的平均能量2==,它是變分參量入的函數(shù)。由極值條件的最小值。它表示基態(tài)能量的上限。2.變分法在氦原子基態(tài)中的應(yīng)用舉例(1)選擇適當(dāng)?shù)膰L試波函數(shù)取兩個類氫原子基態(tài)本征函數(shù)的乘積做嘗試波函數(shù)一(2)以有效電荷數(shù)做參量，求H的平均能量(4)將Z=1.69代回H(Z)說明：能精確求解的量子體系并不是很多，而有時問題也并不一定要求有十分精確的答案，于是我們就需要發(fā)展求解的近似方法。從時間的關(guān)系講，近似方法有一類是與時間無關(guān)的，用以求能級、期望值等；另一類是隨時間變化的，主要求躍遷幾率等。從取近似的做法而言，有小參數(shù)展開的，如微擾論、WKB近似等；有從整體討論問題的，如變分法。要根據(jù)具體問題的特征選擇恰當(dāng)?shù)慕品椒āＨ?、與時間有關(guān)的微擾理論1.定態(tài)微擾論和與時間有關(guān)微擾論研究對象比較：(1)定態(tài)微擾論與時間無關(guān)，研究在有微擾作用下，定態(tài)能量與波函數(shù)的修正，從而得到有微擾時的能量和波函數(shù)。(2)與時間相關(guān)的微擾論的哈密頓算符與時間有關(guān)，體系的能量不守恒。因而不存在定態(tài)，也就談不上對能量的修正。故只能研究有微擾時的波函數(shù)，量子狀態(tài)之間的躍遷，以及體系對光的吸收和發(fā)射(能量變化)等。2.含時微擾體系理論含時微擾體系哈密頓量←體系波函數(shù)4所滿足的薛定諤方程將W按一的本征函數(shù)F展開,則在t時刻發(fā)現(xiàn)體系處于目態(tài)的概率是。若體系t=0時處于Ho的本征態(tài)-三，則體系在微擾作用下由初態(tài)「躍遷到終態(tài)9m態(tài)的概率為：中其,中其,3.躍遷概率計算(1)如果末態(tài)是連續(xù)譜，由能量為4=的態(tài)躍遷到能量間隔為一的態(tài)的躍遷幾率可由費(fèi)米黃金規(guī)則給出：由此關(guān)系可知，測量能量越準(zhǔn)確(△E小),則用于測量的時間越長(2大)。1.幾個相關(guān)概念(1)自發(fā)躍遷：在不受外界影響的情況下體2.自發(fā)輻射(并設(shè)),受激輻射系數(shù)等于吸收系數(shù)-,為：(1)單位時間內(nèi)由m態(tài)到態(tài)的受激輻射應(yīng)該超過由k態(tài)到9m態(tài)的吸收。即粒子數(shù)必須反轉(zhuǎn)。(2)自發(fā)發(fā)射應(yīng)遠(yuǎn)小于受激發(fā)射。一般把不能實(shí)現(xiàn)的躍遷稱為禁戒躍遷。偶極躍遷中角量子數(shù)和磁量子數(shù)的選擇定則是：對于總量子數(shù)n沒有選擇定則。如果在任何級近似中躍遷概率均為零，則這種躍遷稱為嚴(yán)格禁戒躍遷。說明：無論是自發(fā)輻射還是受激輻射或是受激吸收，都要滿足相同的選擇定則。5.2課后習(xí)題詳解5.1如果類氫原子的核不是點(diǎn)電荷，而是半徑為ro、電荷均勻分布的小球，計算這種效應(yīng)對類氫原子基態(tài)能量的一級修正。解：這種分布只對一的區(qū)域有影響，對一的區(qū)域無影響。據(jù)題意知：其中一是不考慮這種效應(yīng)的勢能分布，即≥為考慮這種效應(yīng)后的勢能分布，在B三區(qū)域，在<ro區(qū)域，我們利用高斯定理求電場強(qiáng)度E設(shè)電荷體密度取半徑為r的球面為積分曲面，可解得正為(基態(tài) ,可視為一種微擾，由它引起的一級修5.2轉(zhuǎn)動慣量為I,電偶極矩為D的空間轉(zhuǎn)子處在均勻電場ζ中，如果電場較小，用微擾法2的本征值為：5.3設(shè)一體系未受微擾作用時只有兩個能級：Eo?及Eo?,現(xiàn)在元為5.4設(shè)在t=0時，氫原子處于基態(tài)，以后由于受到單色光的照射而電離。設(shè)單色光的電場可以近似地表示為(sinot,ζ及w均為常量；電離后電子的波函數(shù)近似地以平面波表示。求這單色光的最小頻率和在時刻t躍遷到電離態(tài)的概率。中中在平面為xoz平面。設(shè)電場與z軸夾角為，則5.5基態(tài)氫原子處于平行板電場中，若電場是求經(jīng)過長時間后氫原子處在2p態(tài)的概率。2麗，石可取2三值，其相應(yīng)的狀態(tài)為：氫原子處在2p態(tài)的幾率也就是從么躍遷到的幾率之和，也即下面具體計算當(dāng)一T,從而由宇稱分析知下面計算其余三個矩陣元：由于一需分別計算三個分量。類似地，從而可得最后得到氫原子由第一激發(fā)態(tài)到基態(tài)的自發(fā)發(fā)射概率為：5.7計算氫原子由2p態(tài)躍遷到1s態(tài)時所發(fā)出的光譜線強(qiáng)度。解：設(shè)處于2p態(tài)的氫原子數(shù)目為4,則譜線強(qiáng)度可以寫為：(2)設(shè)諧振子在t=0時處于基態(tài)|0>,從t>0開始受微擾H"=x2exp(-2kt)(k為常數(shù)，且k>0)的作2.質(zhì)量為m的一維粒子連在倔強(qiáng)系數(shù)為K的彈簧上，分別受如下擾動，求能量本征值：(1)勢能增加一個常數(shù)C。(2)施加均勻外電場ε,并假設(shè)諧振子帶電荷q。(3)在原來的彈簧上并聯(lián)一個倔強(qiáng)系數(shù)為K'的彈簧。[首都師范大學(xué)2011研]答：(1)即為諧振子模型，本征能量值為(2)此時薛定諤方程可以表示為(3)并聯(lián)上一個倔強(qiáng)系數(shù)為K'的彈簧，相當(dāng)于此時用一個倔強(qiáng)系數(shù)為(K+K')的彈簧。求能量至二級修正值。[電子科技大學(xué)2006研]代入能量的二級近似公式En=EOn+H'm+4.已知體系哈密頓算符的矩陣形式為其中看為實(shí)常數(shù)；(2)能級修正計算公式5.波函數(shù)一級修正計算公式：[電子科技大學(xué)2006研]解：取-和-分別為設(shè)-三在所給表象中的本征矢為,由本征方程及正交歸一關(guān)系，得到則5.設(shè)體系的Hamilton量為一。已知E的某一能量本征值Ek°是二度簡并的，對應(yīng)的簡并態(tài)為{|u?>,|u?>}。視巨為微擾，并且已知在簡并子空間{u|?>,|u?>}中它的表示,λ<<1。求體系能量本征值Ek的一級近似和零級近似波函數(shù)。[北京航空航天大學(xué)2010研]解：設(shè)體系的一級近似能量為零級近似波函數(shù)為已知，對于簡并態(tài)波函數(shù)，其一級近似能量滿足即上述方程有非零解的條件是解得，E,時，代入(1)式可得a=b,又有歸一化可得則零級近似波函數(shù)為則零級近似波函當(dāng)E=間時，代入(1)式可得a=-b,又有歸一化可得則零級近似波函數(shù)為6.1復(fù)習(xí)筆記一、碰撞過程散射截面1.彈性散射如果一個粒子與另一個粒子碰撞的過程中，只有動能的交換，粒子內(nèi)部狀態(tài)并無改變，則稱這種碰撞為彈性碰撞(彈性散射)。圖6-12.非彈性散射若碰撞中粒子內(nèi)部狀態(tài)有所改變(如原子被激發(fā)或電離),則稱為非彈性碰撞(或非彈性散3.微分散射截面與散射總截面微分散射截面二8三是單位時間內(nèi)散射到乙方向單位立體角內(nèi)的粒子數(shù)4日與入射粒子流強(qiáng)度-匡之比(如圖6-1示):4.散射振幅散射粒子在離開散射中心很遠(yuǎn)的地方，波函數(shù)可表示為：其中三稱為散射振幅，滿足二、中心力場中的彈性散射1.分波法(1)微分散射截面適用范圍：適用于低能散射情形。B的分波的散射截面可略去。(2)光學(xué)定理：光學(xué)定理表明向前(一)散射振幅的虛部與總散射截面成正比，這反映了散射中概率流守恒。在向前散射區(qū)域，入射平面波與散射球面波發(fā)生相消干涉，減少的幾率流傳播到所有其他方向。(3)方形勢阱的低能性散射微分散射截面2.玻恩近似法(1)適用條件：(高能散射)微分散射截面后是散射角。其中∠為粒子和散射中心相互作用的勢能，后是散射角。(2)屏蔽庫侖場的散射：其中高速帶電粒子(帶電Ee),當(dāng)2同時，上式歸結(jié)為盧瑟福散射公式。三、質(zhì)心系與實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系由質(zhì)心系中的微分散射截面求實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系中的微分散射截面由質(zhì)心系中的微分散射截面求實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系中的微分散射截面特別地，當(dāng)<6.2課后習(xí)題詳解6.1粒子受到勢能為的場的散射，求s分波的微分散射截面。解：定態(tài)薛定諤方程為：其中。由于勢是球?qū)ΨQ的，所以波函數(shù)的角部分仍然可取為球諧函數(shù)。徑向方程其中是歸一化系數(shù)。很容易得到2在之時的漸近行為：按分波法理論對于S分波，取l=0,可得6.2慢速粒子受到勢能為的場的散射，若E<Uo,Uo>0,,令,上述方程成為：再令P=k,,上述方程成為：此方程為二階貝塞爾方程。考慮到波函數(shù)在r=0處的有限性，方程的解為：按分波法理論,因此對于S分波，可得相移【解法二】對于S分波，可得到同上的徑向方程，令,則有方程考慮到≥,則同上由分波法理論有,即2畫，場中散射的微分散射截面，式中可以算得在什么條件下，可以應(yīng)用玻恩近似法。可以算得右側(cè)兩個積分容易算出，分別為：其中由于1,可以將此勢阱近似看成一方勢阱，按照與教材類似的討論，born近似適用的條件為：6.3名校考研真題詳解用玻恩近似法計算中心力場勢的微分散射截面。[西安交通大學(xué)2006研]答：已知微分散射截面公式為。利用中心力場勢的玻恩近似：其中，作為入射方向，自為散射方向，且作與作夾角為θ。設(shè)一,選取z軸方向?yàn)殡y方向，則一第7章自旋與全同粒子7.1復(fù)習(xí)筆記1.電子自旋假設(shè)的兩個要點(diǎn)：(1)每個電子具有自旋角動量S,它在空間任何方向上的投影只能取兩個數(shù)值：(2)每個電子具有磁矩內(nèi)稟磁矩的值即玻爾磁子的值，即2.2.電子自旋的回旋磁比率電子自旋磁矩和自旋角動量之比(電子自旋的回旋磁比率)是：1.自旋算符和泡利矩陣匡在空間任意方向上的投影只能取兩個數(shù)值滿足記一,則稱為自旋量子數(shù)。2.自旋函數(shù)此時，電子波函數(shù)可以表示為如下形式：I,其中2(2)任意的旋量波函數(shù)可表示為：對一般的自旋態(tài)：三、簡單塞曼效應(yīng)1.簡單塞曼效應(yīng)概念在沒有外磁場時的一條譜線在外磁場中分裂為三條，這即是簡單塞曼效應(yīng)。2.簡單塞曼效應(yīng)的物理機(jī)制考慮氫原子或類氫原子在均勻外磁場中的情形。在較強(qiáng)的外磁場作用下，須考慮電子的軌道磁矩和自旋磁矩與磁場B的相互作用。由于外磁場較強(qiáng)，可略去電子的自旋和軌道運(yùn)動之間的相互作用能量。此時，哈密頓量可表示為：力學(xué)量組相互對易，其共同本征函數(shù)是定態(tài)薛定諤方程的解：則由此可見，在外磁場中，能級與m有關(guān)，原來m不同而能量相同的簡并現(xiàn)象被外磁場消除。當(dāng)原子處于s態(tài)時，≥三，因此原來的能級-分裂為兩個。在外磁場中電子由能級-時，譜線頻率為,式中在量子躍遷中磁量子數(shù)的改變遵循選擇定則<。由于能量簡并的消失，原來的一條譜線分裂為三條，形成了簡單塞曼效應(yīng)。四、兩個角動量的耦合角動量理論是比較嚴(yán)格的理論，可自成體系，只需從基本定義式←出發(fā)，就可推演出角動量的幾乎全部內(nèi)容。1.總角動量分量間的對易關(guān)系體系的總角動量滿足角動量的一般對易關(guān)系：或統(tǒng)一寫成：2.總角動量平方與-的三個分量對易關(guān)系：3.力學(xué)量一E=的共同本征函數(shù),滿足其中恒為0,正整數(shù)或半奇正整數(shù)，(1)耦合表象力學(xué)量組一相互對易，其共同本征矢構(gòu)成正交歸一系。以此本征矢為基矢的表象稱為耦合表象。耦合表象的基矢記為：,或簡記為(2)無耦合表象力學(xué)量組一也相互對易，相應(yīng)的表象稱為無耦合表象。無耦合表象的基矢為：五、光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)在無外場的情形下，電子自旋對原子能級和譜線有影響。在哈密頓量中體現(xiàn)在電子的自旋和軌道運(yùn)動之間的相互作用引起了附加項。體系的哈密頓量可表示為：若不考慮電子的自旋和軌道運(yùn)動之間的相互作用，守恒量完全集((H,L2,J2.J?)的本征態(tài)是體系的定態(tài)。相應(yīng)的本征態(tài)和能量本征值分別為：將相互作用以微擾加入，按簡并情況下微擾理論，對于1.全同粒子定義在量子力學(xué)中，把內(nèi)稟屬性(靜質(zhì)量、電荷、自旋、磁矩、壽命等)相同的微觀粒子成為全2.全同性原理(1)全同性原理：由于全同粒子的不可區(qū)分性，使得由全同粒子所組成的體系中，兩全同(2)全同性原理或表述為交換對稱性：任何可觀測量，特別是哈密頓量，對于任何兩全同3.費(fèi)米子與波色子凡自旋為A整數(shù)倍的粒子所組成的全同粒子體系的波函數(shù)是對稱七、全同粒子體系的波函數(shù)泡利原理不考慮粒子間的相互作用，并設(shè)2表示第j個粒子處于的第i個本征態(tài)，對于其中乍表示有乍個粒子處于乍態(tài)，注意這里的P只是對處于不同單粒子態(tài)的粒子進(jìn)行對換在不考慮自旋與軌道耦合的情形下，上述波函數(shù)可以寫成空間其中表示第1(2)個電子處于自旋向上或向下的態(tài)。令總自旋角動從對稱自旋波函數(shù)-日和反對稱自旋波函數(shù)4=的形式還可看出：2自是兩電子自旋相平行的是兩電子自旋反平行的態(tài)，是三重簡并的，被稱為三重態(tài)。具有自旋相互作用的體系，其能級、散射截面和躍遷概率等性質(zhì)都將受到自旋相互作用的影九、氦原子(微擾法)氦原子體系的哈密頓可以近似寫為：由于哈密頓與自旋無關(guān)，體系波函數(shù)的自旋部分是清楚的。對于空間部分，以為微擾，并注意到整體波函數(shù)的反對稱性質(zhì)，可以算得體系的能量的一級近似及零級近似波函數(shù)其中自是單態(tài)，2F是三重態(tài)。處于單態(tài)的氦稱為仲氦，處于三重態(tài)的氦稱為正氦。年的物理意義為：后表示電子相互作用的庫侖能，作表示兩電子的交換能。十、氫分子(海特勒-倫敦法)化學(xué)鍵1.共價鍵在化學(xué)中，中性原子形成分子時，中性原子之間形成的化學(xué)鍵稱為共價鍵。共價鍵具有飽和性，價的概念就是由這種性質(zhì)而來的。氫原子是一價的，即氫原子只能和另一個氫原子結(jié)合形成氫分子，而不能同時和兩個氫原子2.化學(xué)鍵的物理解釋共價鍵是由量子力學(xué)中的交換現(xiàn)象而來的。量子力學(xué)還可以解釋化學(xué)鍵的飽和性：通過對氫分子體系能量的討論發(fā)現(xiàn)，氫分子形成于兩氫原子的電子自旋相互抵消時，所以氫分子形成后，第三個氫原子的自旋就不能為氫分子所抵消，因而氫分子就不能和第三個氫原子結(jié)合。7.2課后習(xí)題詳解證明：由對易關(guān)系：上式兩邊乘-后，得,代入上式得解：在F表象中2畝、眉、肩的矩陣表示分別為：態(tài)中的本征值和所屬的本征函數(shù)。土?xí)r，設(shè)相應(yīng)本征函數(shù)為,由本征方程,得因此，本征值對應(yīng)的本征函數(shù)為：的本征值和所屬的本征函數(shù)。在這些本征態(tài)中，測量有哪些可能值?這些可能值各以多大的概率出現(xiàn)?E的期望值是多少?解：在目表象中，年的矩陣表示為：解：(1)ψ可改寫成態(tài)I:主量子數(shù)n=2,角量子數(shù)2,磁量子數(shù)m=1,自旋向上：態(tài)IⅡ:主量子數(shù)n=2,角量子數(shù)二匾，磁量子數(shù)m=0,自旋向下。(2)總磁矩-自的z分量的平均值為：7.6一體系由三個全同的玻色子組成，玻色子之間無相互子態(tài)。問體系可能的狀態(tài)有幾個?它們的波函數(shù)怎樣用單粒子波函數(shù)構(gòu)成?解：(1)體系可能的狀態(tài)有4個。(2)設(shè)兩個單粒子態(tài)為后，,則體系可能的狀態(tài)為：空間的直積空間是4維空間，在此空間中相互獨(dú)立的非零矢量最多有4個，所以上述4個矢程其中因此，此電子的波函數(shù)為：相應(yīng)的能量本征值為：對于基態(tài)電子：對于x方向運(yùn)動的電子的第一激發(fā)態(tài)：對于兩電子體系，由于其相互作用勢能可忽略，體系的波函數(shù)可以寫成兩電子波函數(shù)的積。由于電子是費(fèi)米子，則體系的總的波函數(shù)應(yīng)是反對稱的。兩無耦合的電子自旋波函數(shù)可以構(gòu)成三個自旋對稱態(tài),2畝，底和一個自旋反對稱態(tài)間。而空間部分可以構(gòu)成的對稱態(tài)和反對稱態(tài)分別為：因此，體系可處于4個態(tài)，分別為：7.3名校考研真題詳解1.在-三表象上求出4=的本征態(tài)的表示。[北京航空航天大學(xué)2010研]式(2)右乘自，并利用一,得一(3)式(2)式左乘，并利用2,得一(4)(3)+(4)得代入(5)得,得a=d=0,由-=是厄米性算符,可得由于,計算可得得則一,可以是任意實(shí)數(shù)(存在相位不定性)?？梢匀∫弧Ｓ谑怯?的本征方程,很容易求得-=的本征值與本征矢：2.求出并驗(yàn)證由-=表象到4三表象的表象變換矩陣U。[北京航空航天大學(xué)2010研]設(shè)4表象到-表象的變換矩陣則U必須滿足以下方程：則-表象到-表象的變換矩陣2三的矩陣表示。3.兩個1/2自旋粒子的相互作用為,求它們的能量本征值和相應(yīng)的本征