立體幾何與空間向量（學(xué)生版）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

第07講立體幾何與空間向

（新高考專用）

一、單項(xiàng)選擇題

1.（2024?北京?高考真題）如圖，在四棱錐P—4BCD中，底面力BCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，PAPB=4,

PC=PD=2應(yīng)，該棱錐的高為（）

A.1B.2C.V2D.V3

2.（2024?全國(guó)?高考真題）設(shè)a、0為兩個(gè)平面，九為兩條直線，且aC夕=m.下述四個(gè)命題：

①若zn〃九，則n〃a或?1〃/?②若m-Lri,則nJLa或n1°

③若n〃a且n/",則④若？i與a,0所成的角相等，則m1幾

其中所有真命題的編號(hào)是（）

A.①③B.②④C.①②③D.①③④

3.（2024?天津?高考真題）一個(gè)五面體力BC-DEF.已知AD||BE||CF,且兩兩之間距離為1.并已知力D=

4.（2024?天津?高考真題）若機(jī)，幾為兩條不同的直線，a為一個(gè)平面，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.若m〃a,n//a,則ni1nB.若7n〃a,n〃a,則7n〃7i

C.若m〃a,n_La,則m_LnD.若m〃a,n_La,則TH與n相交

5.（2024?全國(guó)?高考真題）已知正三棱臺(tái)48。一4/1的的體積為學(xué)AB=6,力出=2,貝！與平面48C

所成角的正切值為（）

1

A.-B.1C.2D.3

2

6.（2024?全國(guó)?高考真題）已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為次，則圓錐的

體積為（）

A.2V3TTB.3V3TTC.6V3TTD.9V3TT

7.（2024?上海?高考真題）定義一個(gè)集合。，集合中的元素是空間內(nèi)的點(diǎn)集，任取PI，P2，P360,存在不全

為0的實(shí)數(shù)及，冬,乙，使得力加1+7兩+%西=「已知（l,o,0）eQ,則（0,0,1）斐C的充分條件是（）

A.（0,0,0）GQB.（-1,0,0）￡Q

C.（0,1,0）CQD.（0,0,-1）en

8.（2023?北京?高考真題）坡屋頂是我國(guó)傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)元素.安裝燈帶可以勾勒

出建筑輪廓，展現(xiàn)造型之美.如圖，某坡屋頂可視為一個(gè)五面體，其中兩個(gè)面是全等的等腰梯形，兩個(gè)面

是全等的等腰三角形.若48=25m,BC=4。=10m,且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面與

平面力BCD的夾角的正切值均為手，則該五面體的所有棱長(zhǎng)之和為（）

A.102mB.112m

C.117mD.125m

9.（2023?全國(guó)?高考真題）在三棱錐P—ABC中，△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，PA=PB=2,PC=恥,

則該棱錐的體積為（）

A.IB.V3C.2D.3

10.（2023?全國(guó)?高考真題）已知為等腰直角三角形，為斜邊，△ABD為等邊三角形，若二面角C-

A8-D為150。，則直線CD與平面N3C所成角的正切值為（）

A.1B.yC.yD.|

11.（2023?全國(guó)?高考真題）己知圓錐P。的底面半徑為舊,。為底面圓心，刃,PB為圓錐的母線，乙4。8=120°,

若△P4B的面積等于苧，則該圓錐的體積為（）

4

A.nB.V6TTC.37rD.3V67T

12.（2023?天津?高考真題）在三棱錐P—4BC中，點(diǎn)分別在棱尸C/3上，且PM=[PC,PN='B,

則三棱錐P-AMN和三棱錐P-力BC的體積之比為（）

1214

----

A.993D.9

13.（2022?天津?高考真題）十字歇山頂是中國(guó)古代建筑屋頂?shù)慕?jīng)典樣式之一，左圖中的故宮角樓的頂部

即為十字歇山頂.其上部可視為由兩個(gè)相同的直三棱柱重疊而成的幾何體（如右圖）.這兩個(gè)直三棱柱有一個(gè)

公共側(cè)面48co.在底面BCE中，若BE=CE=3/BCE=120。,則該幾何體的體積為（）

D.27V3

14.（2022?全國(guó)?高考真題）已知正三棱臺(tái)的高為1,上、下底面邊長(zhǎng)分別為3舊和4百，其頂點(diǎn)都在同一

球面上，則該球的表面積為（）

A.IOOTTB.128TTC.144TTD.192n

15.（2022?全國(guó)?高考真題）甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角之和為2m側(cè)面積分別

SV

為S甲和S乙，體積分別為唉和%若+2,則於=（）

A.V5B.2V2C.V10D.—

4

16.（2022?全國(guó)?高考真題）如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個(gè)多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為1,則

17.（2022?全國(guó)?高考真題）已知球O的半徑為1,四棱錐的頂點(diǎn)為O,底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上,

則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（）

A.-B.-C.—D.—

3232

18.（2022?北京?高考真題）已知正三棱錐P-ABC的六條棱長(zhǎng)均為6,S是△ABC及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合.設(shè)

集合T={QeS\PQ<5},則7表示的區(qū)域的面積為（）

37r

A.—B.nC.2兀D.3兀

4

19.（2022?全國(guó)?高考真題）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問(wèn)題，其中一部分水蓄入某水庫(kù).

已知該水庫(kù)水位為海拔148.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為140.0km2；水位為海拔157.5m時(shí)，相應(yīng)水面

的面積為180.0km2,將該水庫(kù)在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫(kù)水位從海拔148.5m上升

至IJ157.5m時(shí)，增加的水量約為（夕=2.65）（）

A.1.0x109m3B.1.2x109m3C.1.4x109m3D.1.6x109m3

20.（2022?全國(guó)?高考真題）在正方體4BCD-41%的。1中，E,9分別為AB,BC的中點(diǎn)，則（）

A.平面BiEF_L平面BDDiB.平面_L平面力iBD

C.平面8止/〃平面力MCD.平面8止/〃平面

二、多項(xiàng)選擇題

21.（2023?全國(guó)?高考真題）下列物體中，能夠被整體放入棱長(zhǎng)為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚

度忽略不計(jì)）內(nèi)的有（）

A.直徑為0.99m的球體

B.所有棱長(zhǎng)均為1.4m的四面體

C.底面直徑為0.01m,高為1.8m的圓柱體

D.底面直徑為1.2m,高為0.01m的圓柱體

22.（2023?全國(guó)?高考真題）已知圓錐的頂點(diǎn)為P,底面圓心為。，為底面直徑，乙4P8=120。，P4=2,

點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角P—HC—。為45。，則（）.

A.該圓錐的體積為T(mén)TB.該圓錐的側(cè)面積為47^71

C.AC=2V2D.△PAC的面積為百

23.（2022?全國(guó)?高考真題）如圖，四邊形4BCD為正方形，ED1平面ABCD,FB||ED,AB=ED=2FB,

記三棱錐E—力CD,F-ABC,F—4CE的體積分別為匕,七,%,則（）

￡

A.%=2V2B.&=V1

C.V3=%+展D.2V3=3匕

三、填空題

24.（2024?全國(guó)?高考真題）已知圓臺(tái)甲、乙的上底面半徑均為勺,下底面半徑均為上，圓臺(tái)的母線長(zhǎng)分別為

202—丫1）,3（72—71），則圓臺(tái)甲與乙的體積之比為.

25.（2023?全國(guó)?高考真題）已知點(diǎn)S,4,B,C均在半徑為2的球面上，△ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，SA1

平面力BC,則S力=.

26.（2023?全國(guó)?高考真題）在正方體48。。-力中停1。1中，=4,。為4的的中點(diǎn)，若該正方體的棱與球

。的球面有公共點(diǎn)，則球。的半徑的取值范圍是.

27.（2023?全國(guó)?高考真題）在正方體4BCD—4/CiDi中，E,尸分別為N8,0小的中點(diǎn)，以即為直徑

的球的球面與該正方體的棱共有個(gè)公共點(diǎn).

28.（2023?全國(guó)?高考真題）在正四棱臺(tái)ABCD—4把1的￡?1中，48=2,A/i=1,A4=&,則該棱臺(tái)的體

積為.

29.（2023?全國(guó)?高考真題）底面邊長(zhǎng)為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2,

高為3的正四棱錐，所得棱臺(tái)的體積為.

四、解答題

30.（2024?上海?高考真題）如圖為正四棱錐P-力BCD,。為底面ABCD的中心.

(1)若力P=5,AD=3V2,求aPO力繞PO旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積;

(2)若力P=4D,E為PB的中點(diǎn)，求直線BD與平面4EC所成角的大小.

31.（2024?全國(guó)?高考真題）如圖，AB//CD,CD//EF,AB=DE=EF=CF=2,CD=4,AD=BC=V10,

AE=2g,M為CD的中點(diǎn).

EF

(1)證明：EM〃平面BCF；

(2)求點(diǎn)M到ADE的距離.

32.（2024?全國(guó)?高考真題）如圖，四棱錐P—A8CD中，PAABCD,P4=HC=2,8C=1,4B=百.

B

(1)若4D1PB,證明：力D〃平面PBC；

(2)若4D1DC,且二面角4一CP-D的正弦值為手，求AD.

33.（2024?北京?高考真題）如圖，在四棱錐P—4BCD中，BC//AD,AB=BC=1,4。=3,點(diǎn)E在4。上,

且PE1AD,PE=DE=2.

(1)若尸為線段PE中點(diǎn)，求證：BF〃平面PCD.

(2)若力B，平面PAD,求平面P4B與平面PCD夾角的余弦值.

34.(2024?全國(guó)?高考真題)如圖，在以N,B,C,D,E,歹為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形48CD與四邊形

4DEF均為等腰梯形，EF//AD.BC//AD,AD=^,AB=BC=EF=2,ED=V10,FF=2V3,M為力。的中

(1)證明：BM〃平面CDE；

(2)求二面角尸-BM-E的正弦值.

35.(2024?天津?高考真題)已知四棱柱ABCD-4/1的。1中，底面4BCD為梯形，AB//CD,1平面A8CD,

AD1AB,其中=力4=2,4D=DC=1.N是當(dāng)?shù)牡闹悬c(diǎn)，M是D%的中點(diǎn).

⑴求證小N〃平面CH/；

(2)求平面C/M與平面BBiCCi的夾角余弦值;

⑶求點(diǎn)B到平面C/M的距離.

36.(2024?全國(guó)?高考真題)如圖，平面四邊形/5CD中,48=8,CD=3,AD=5遮,N4DC=90°,AD=30°,

點(diǎn)、E,/滿足族=|而，AF=^AB,將△力EF沿所翻折至aPEF,使得PC=4百.

(1)證明：EFLPD-,

(2)求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值.

37.(2023?北京?高考真題)如圖，在三棱錐P—4BC中，P41平面ABC,PA=AB=BC=1,PC=瓜

⑴求證：BC1平面a8；

(2)求二面角力-PC-B的大小.

38.(2023?全國(guó)?高考真題)如圖，在三棱柱4BC-力i/Ci中，力道1平面力BC,乙4c8=90。.

(1)證明：平面4CCM1，平面BBiCiC；

(2)設(shè)力B=A1B,AA1=2,求四棱錐&-⑶當(dāng)?shù)?。的?

39.(2023?全國(guó)?高考真題)如圖，在三棱柱^^。一公當(dāng)?shù)闹?，ArCABC,N力CB=90。,力&=2,&

到平面BCC/i的距離為1.

G

B、

(1)證明：41c=AC；

(2)已知與的距離為2,求AB】與平面BCC/i所成角的正弦值.

40.(2023?天津?高考真題)如圖，在三棱臺(tái)2BC-&BiCi中，_L平面4BC,4B14C,4B=AC==

2,A1C1=1,M為BC中點(diǎn).，N為48的中點(diǎn)，

B

⑴求證：&N//平面AMCi；

(2)求平面AM。與平面ACC14所成夾角的余弦值;

(3)求點(diǎn)C到平面AM。的距離.

41.(2023?全國(guó)?高考真題)如圖，在三棱錐P—4BC中，AB1BC,AB=2,BC=2&,PB=PC=V6,

BP,AP,8c的中點(diǎn)分別為D,E,。，點(diǎn)F在4C上，BFLAO.

A

(1)求證：EF〃平面AD。；

(2)若"OF=120°,求三棱錐P-ABC的體積.

42.(2023?全國(guó)?高考真題)如圖，在三棱錐P—4BC中，AB1BC,AB=2,BC=2<2,PB=PC=V6,

BP,AP,的中點(diǎn)分別為。，E,O,AD=同0,點(diǎn)尸在NC上，BFLAO.

(1)證明：EF〃平面力。。；

(2)證明：平面4。。1平面3M；

(3)求二面角。-AO-C的正弦值.

43.(2023?全國(guó)?高考真題)如圖，在正四棱柱人芋⑺-4真的4中,48==4.點(diǎn)陽(yáng)為0,。2分

另I」在棱A4i，8Bi，CCiQ￡)i上，AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.

⑴證明：B2c2||4。2；

(2)點(diǎn)P在棱B81上，當(dāng)二面角P-42c2-。2為150。時(shí)，求B2P.

44.(2023?全國(guó)?高考真題)如圖，三棱錐A—BCD中，DA=DB=DC,BD1CD,^ADB=7.ADC=60",

￡為8C的中點(diǎn).

(1)證明：BC1DA,

(2)點(diǎn)尸滿足麗=瓦?，求二面角D-力B—F的正弦值.

45.(2022?浙江?高考真題)如圖，已知4BCD和CDEF都是直角梯形,AB//DC,DC//EF,AB=5,DC=3,

EF=1,ABAD=^CDE=60°,二面角F-DC-B的平面角為60。.設(shè)N分別為AE,BC的中點(diǎn).

EF

⑴證明：FNLAD；

(2)求直線BM與平面4DE所成角的正弦值.

46.(2022?全國(guó)?高考真題)如圖，四面體力BCD中，AD1CD,AD=CD.^ADB=^BDC,￡為/C的中點(diǎn).

(1)證明：平面BED1平面/CO；

(2)設(shè)4B=BD=2,乙4cB=60。，點(diǎn)尸在8。上，當(dāng)△AFC的面積最小時(shí)，求三棱錐F—力BC的體積.

47.(2022?全國(guó)?高考真題)小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動(dòng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底

面4BCD是邊長(zhǎng)為8(單位：cm)的正方形，△EAB,△FBC,△GCD,△HDA均為正三角形,且它們所在的平

面都與平面力BCD垂直.

⑴證明：EF〃平面4BCD；

(2)求該包裝盒的容積(不計(jì)包裝盒材料的厚度).

48.(2022?天津?高考真題)如圖，在直三棱柱4BC—4/1附中，AC148,點(diǎn)D、￡、尸分別為公當(dāng),力力口CD

(1)求證：EF〃平面4