立體幾何與空間向量綜合測(cè)試卷（新高考專(zhuān)用）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專(zhuān)練（新高考專(zhuān)用）

第七章立體幾何與空間向量綜合測(cè)試卷

（新高考專(zhuān)用）

（考試時(shí)間：120分鐘；滿(mǎn)分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)

在答題卡上。

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.回答第n卷時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷（選擇題）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要

求的。

1.（5分）（2024?湖南?三模）已知〃?，〃是兩條不重合的直線(xiàn)，是兩個(gè)不重合的平面，下列命題正確

的是（）

A.若?n〃a,n〃S，a〃S，則

B.若mua,nu用,則a〃夕

C.若m_La,a_L夕，則n1/?

D.若zn_La,ri1S，m171,則a1￡

【解題思路】利用空間線(xiàn)線(xiàn)的關(guān)系、面面平行、面面垂直的判定定理和性質(zhì)逐一判定各選項(xiàng)，即可得出結(jié)

論.

【解答過(guò)程】對(duì)于A,若?1〃。，a〃S，則?i〃a或nua,則a,"相交、平行、異面都有可能，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若mua,nu〃/?則a與/?相交或平行，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若則n1a,又a10,貝!]n〃/?或riu0,C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由m1a,m_Ln,得九〃a或？iua,若幾〃a,則存在過(guò)n的平面與戊相交，

令交線(xiàn)為，，貝!Jn〃/,而n_L0,于是113，aJ."；若?iua,而則a10,

因止匕a10,D正確.

故選：D.

2.（5分）（2024?浙江嘉興?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)x,yeR,N=（1,1,1）范=（l,y,z）N=@-4,2）,且方，益了||西

則|23+同=()

A.2V2B.0C.3D.3近

【解題思路】根據(jù)向量的垂直和平行，先求出%,y,z的值，再求所給向量的模.

【解答過(guò)程】由五1~c=方7=0今比-4+2=0nx-2,

由了||?=><=+=3=>)7=-2,z=1.

所以囪+同=12(1,1,1)4-(1,-2,1)1=|(3,0,3)|=3&.

故選：D.

3.(5分)(2024?新疆烏魯木齊?三模)三棱錐4-BCD中，ADJ_平面ABC,ABAC=60°,AB=1,AC=2,

AD=4,則三棱錐4-BCD外接球的表面積為()

A.10nB.20nC.25nD.30TC

【解題思路】利用余弦定理先求出底面三角形ABC的外接圓半徑r,再利用爐=r2+6>俗為三棱錐的高,

R為外接球半徑)，即可求解.

【解答過(guò)程】在△4BC中，ABAC=60°,AB=1,AC=2,

由余弦定理可得=AB2+AC2-2AB-AC-coszFXC,

即Be2=1+4-2X1X2XCOS60°=3,所以BC=V3,

設(shè)^ABC的外接圓半徑為r,

BCV3

貝(I2r==2,所以r=l,

smz.BACsin60°

平面力BC,S.AD=4,

設(shè)三棱錐4-BCD外接球半徑為R,

2

則#=r2+(^AD),即R2=1+4=5,

所以三棱錐4-BCD外接球的表面積為4TTR2=201r.

故選：B.

D

B

4.（5分）（2024?遼寧沈陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）已知直三棱柱ABC-4/1的中，/ABC=120°,AB=CCr=2,BC=1,

則異面直線(xiàn)AB】與BCi所成角的余弦值為（）

【解題思路】根據(jù)空間向量法求線(xiàn)線(xiàn)角即可.

【解答過(guò)程】以B為原點(diǎn)，在平面4BC內(nèi)過(guò)B作BC的垂線(xiàn)交AC于D,

以BD為x軸，以8c為y軸，以BBi為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)橹比庵C—4道1的中，/.ABC=120°,48=CQ=2,BC=1,

所以力（次,一1,0）,Bi（0,0,2）,B（0,0,0）,加（0,1,2）,

所以麗=（一百,1,2）,西=（0,1,2）,

設(shè)異面直線(xiàn)力為與BC】所成角為仇

所以皿＜。一?畫(huà),閑一5一國(guó)

所以cos0-南兩

故選：C.

5.（5分）（2024?貴州?模擬預(yù)測(cè)）為了美化廣場(chǎng)環(huán)境，縣政府計(jì)劃定購(gòu)一批石墩.已知這批石墩可以看作

是一個(gè)圓臺(tái)和一個(gè)圓柱拼接而成，其軸截面如下圖所示，其中A8=2CE=2EF=40cm,AC=10V2cm,

則該石墩的體積為（）

【解題思路】過(guò)點(diǎn)C作CM_L4B于M,根據(jù)條件，求出圓臺(tái)的高，再利用圓臺(tái)與圓柱的體積公式，即可求出

結(jié)果.

【解答過(guò)程】如圖，過(guò)點(diǎn)C作CM14B于M,

因?yàn)閨48|=2\CE\=2\EF\=40cm,\AC\=10位cm,所以|AM|=10,\CM\=yJ\CA\2-\AM\2=

V200-100=10,

所以圓臺(tái)的體積為。=（（S上+S卜一+Js上?S卜.）無(wú)=i（Ttx102+Ttx202+V1Tx102Xitx202）x10=

爭(zhēng)（3），

又圓柱的體積為％=S/I=TTX102X20=2000Tt（cm3）,

所以該石墩的體積為竽+2000n=誓（513）,

故選：D.

6.（5分）（2024?江西贛州?二模）已知球。內(nèi)切于正四棱錐P—A8CD,P4=4B=2,訪(fǎng)是球。的一條

直徑，點(diǎn)。為正四棱錐表面上的點(diǎn)，則藤?麗的取值范圍為（）

A.[0,2]B.[4-2V3,2]C.[0,4-V3]D.[0,4-2V3]

【解題思路】根據(jù)給定條件，利用體積法求出球。半徑，再利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即得.

【解答過(guò)程】令H是正四棱錐P—4BCD底面正方形中心，則PH1平面力BCD,而力H=VL

則PH=y/PA2-AH2=V2,正四棱錐P—ABC。的體積V=|x22xV2=^,

正四棱錐P-4BCD的表面積S=4xfx22+22=4（V3+1）,

顯然球。的球心。在線(xiàn)段PH上，設(shè)球半徑為r,則U=（Sr,即「="=告它，

在4P。力中，^PAO<45°=AAPO,于是。4>OP,又M是球O的一條直徑，

因此無(wú).而=（而+岳）?（而一荏）=麗？—云2=而2_麗2,

222

顯然。HWQ0W4。，貝卜詼?而）min=。，（QE-QF）max=AO-OHAH^2,

所以赤-而的取值范圍為[0,2].

故選：A.

p

7.（5分）（2024?陜西榆林?模擬預(yù)測(cè)）在正方體力BCD-&B1C1D1中，E,尸分別是。小，8的的中點(diǎn)，

則（）

A.EF//BDB.尸小〃平面3CE

C.EF1BC1D.AF_L平面BCC/i

【解題思路】對(duì)于A,說(shuō)明EF,BD異面即可判斷；對(duì)于B,說(shuō)明平面8CE〃平面GH￡>i即可判斷；對(duì)于C,

可以用反證法導(dǎo)出矛盾，進(jìn)而判斷；對(duì)于D,顯然不垂直.

【解答過(guò)程】對(duì)于A,

設(shè)G為BBi中點(diǎn)，貝！|EG〃BD,但EG,EF相交，所以異面，故A錯(cuò)誤:

對(duì)于B,設(shè)CCi的中點(diǎn)為H,則EC〃GH,BE//GDr,

因?yàn)镚HC平面BEC,BCu平面BEC,GDyC平面BEC,BEu平面BEC,

所以GH〃平面BEC,GDi〃平面BEC,

又因?yàn)镚HnGDr=G,GH,GD1u平面GH小,

故平面BCE〃平面GHDi，

又FD]u平面GHDi，故尸小〃平面BCE,選項(xiàng)B正確.

對(duì)于C,在△EBCi中,BE豐EC1,BF=故所與3的不可能垂直（否則EF垂直平分8的,會(huì)得到EB=ECr,

這與BE7EC1矛盾），C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

對(duì)于D,

易知力B_L平面BCC/i，又=4故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：B.

8.(5分)(2024?山東臨沂?二模)已知正方體4BCD-4把1的。1中，M,N分別為。的，的。的中點(diǎn)，則

()

A.直線(xiàn)aW與&C所成角的余弦值為當(dāng)B.平面BMN與平面8的小夾角的余弦值為嚕

C.在BCi上存在點(diǎn)°,使得D.在8道上存在點(diǎn)尸，使得P力〃平面8MN

【解題思路】以￡?為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為1,由空間向量計(jì)算異

面直線(xiàn)所成角，二面角和線(xiàn)線(xiàn)垂直可判斷ABC；由四點(diǎn)共面，而4C平面BMW可判斷D.

【解答過(guò)程】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為1,

所以4(1,0,0),0(0,0,0),C(0,l,0),41(1,0,1),01(0,0,1),Bid,1,1),的(0,1,1),

對(duì)于A,麗=(0,碇=(一1,1,一1)，

直線(xiàn)與&C所成角的余弦值為|cos(而，4?|=?黑褊=裊=g故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,而=(0,-g0),BM=(-1,0,0;

fn-MN——-y=0

2

設(shè)平面BMN的法向量為元=(x,y,z),貝時(shí)_,1,

In?BM=—x+-z=0

?。?1,可得y=0,z=2,所以元=(1,0,2),

QDi=(0,-1,0),BCl=(-1,0,1);

設(shè)平面8的。1的法向量為布=(xi，yi，zj,則1_元上小=一月=°,

(n?BCi=—/+Zi=0

取=1,可得yi=0,zi=1,所以記=(1,0,1),

平面BMN與平面BQ小夾角的余弦值為：

3保而=森=云=甯，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因?yàn)?。在BC1上，設(shè)Q(%o，l,Zo),所以m=2幣，0<A<1,

則C10=(%0,0,z0-1),CXB=(1,0,-1),所以M；=A,z0=-A+1,

所以Q(4,1,—4+1),B-IQ=(2—1,0,—所BD]—(―1,—1,1),

所以瓦1?麗7=1-；1一4=0,解得：A=|.

故BCi上存在點(diǎn)QU，1，)，使得故C正確；

對(duì)于D,因?yàn)镸N〃DC〃4B,所以力四點(diǎn)共面，

而46平面BMN,所以當(dāng)。上不存在點(diǎn)尸，使得P4〃平面BMN,故D錯(cuò)誤.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的

要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

9.(6分)(2024?山東淄博?二模)如圖，在平行六面體/BCD-///。。中，以頂點(diǎn)/為端點(diǎn)的三條棱

長(zhǎng)都是1,且它們彼此的夾角都是以M為4G與瓦0/的交點(diǎn).若同=方，AD=~b,AAl=C,則下列說(shuō)法

A.CM=-^-lb+cB.（CM,裾）=]

C.BD]=a+b+cD.前?西=1

【解題思路】由題意可知，a-b=a-c=fo-c=lxlxcos^=i再利用空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)

算逐個(gè)判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.

【解答過(guò)程】由題意可知，工?萬(wàn)=27=石7=1X1Xcos.g,

對(duì)于A,CM=CC^+C^M=AA^+—=AA^——（^AB+AD）———CL——b+c,故A正確；

對(duì)于B,又因?yàn)榍?=荏+前+ak=N+l+2,

所以屈.霜=-（a+b+c）=-1a2-1a-b-1a-c-1b-a-1P-|b-c+c-a+c-

b+c2=0,

所以〈而，宿）=5故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,~BD[^BA+BC+JB[^-AB+AD+AA^^-a+b+~c,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,AD-BD1—b-（—a+b+~c）——'a-b+~b2+b-~c—1,故D正確.

故選：AD.

10.（6分）（2024?浙江?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱錐P-EDF的平面展開(kāi)圖中，E,F分別是4B,BC的中點(diǎn),

正方形4BCD的邊長(zhǎng)為2,則在三棱錐P-EDF中（）

A.△PEF的面積為］B.PD1EF

C.平面PEF1平面DEFD.三棱錐P—EDF的體積為1

【解題思路】直接求△BEF的面積可判定A,連接BD交EF于G,根據(jù)條件證EF1平面GPD即可判定B,判

定PG、DG的夾角是否為直角可判定C,利用棱錐的體積公式可判定D.

【解答過(guò)程】

AD

0>

B^F~~lcF

對(duì)于A,易知尸=SNEF=：xBExBF=p故A正確;

對(duì)于B,連接BD交EF于G,根據(jù)正方形的性質(zhì)易知EFlBD,

所以有EFlGD,EF1GP,

又PG,GDu平面PGD,所以EFl平面GPD,

PDu平面GPD,所以EF1PD,故B正確；

對(duì)于C,由上可知NPGD為平面PEF與平面DEF的夾角，

易知PG=^,DG=等,PD=2豐7PG2+DG2,則PG,DG不垂直，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由題意可知PD,PE,PF兩兩垂直，

則Vp-EDF=1XPDx|XPFxPF=i,故D正確.

故選：ABD.

11.（6分）（2024?江蘇南京?二模）在棱長(zhǎng)為1的正方體48。。一公%的。1中，E、F分另I」為4B、8C的中

點(diǎn)，點(diǎn)P滿(mǎn)足中=入硒＞+〃硒在oW4w1,0wD，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若4=1,〃=0,則三棱錐P-BEC外接球的表面積為營(yíng)

B.若4=〃=￡,則異面直線(xiàn)CP與B#所成角的余弦值為嚶

C.若2+〃=1,則4PEF面積的最小值為J

O

D.若存在實(shí)數(shù)久,y使得麗=%瓦孑+）/瓦F，則。止的最小值為學(xué)

【解題思路】根據(jù)長(zhǎng)方體的外接球即可求解A,建立空間直角坐標(biāo)系，即可根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合模

長(zhǎng)公式以及夾角公式即可求解BD,根據(jù)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)可得P在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，PE=PF,即可根據(jù)面

積公式求解.

【解答過(guò)程】A：由題意，P與當(dāng)重合，

故三棱錐P-BEC的外接球與以BBi，BE,BC為長(zhǎng)寬高的長(zhǎng)方體的外接球相同，

故半徑2R=J12+]_2+（；）=|,表面積為4TTR2=3n,故力對(duì)；

B：以。為原點(diǎn)建系，C（0,l,0）,。式0,0,1）,力式1,0,1）,F（pl,0）,￡（1,|,0）,X（1,0,0）,

由于=16+T和=（一U，o）,所以pG，gi）,

而帝=（一],0,-1）,|cos底，第）1=篇篇（言|=乎,故B錯(cuò)；

C：由2+〃=1得，P在線(xiàn)段為。1上運(yùn)動(dòng)，設(shè)P在底面力BCD的投影為Q,連接QE,QF,

由于QE=QF,所以PE=JPQ2+QE2,PF=JPQ2+Q/2,故PE=PF,

連接EF,BD相交于M,連接MP,

SAPEF=.PM=；x[JPQ2+Q“22*4x1=1,當(dāng)Q,M重合時(shí)取等號(hào)，故C錯(cuò);

ZZZZZZZ4

D：由中=硒瓦+鬲瓦(0<2<1,0<<1)

得P(l—〃,兒1),Q=(一出兒1),(0,-|,-1).序=(一go,-1),

一(―"

由衣=久瓦e+丫瓦/可得《〃=Ly,

lx+y=—1

所以；=~D^P=(1-^A,o),=,健+(〃_1)2=[(〃+；)+(〃_1)2=[2(〃一1+:,

當(dāng)〃=*時(shí)，|用1?=苧，故D正確.

故選：AD.

第n卷(非選擇題)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.(5分)(2024?遼寧?一模)已知空間中的三個(gè)點(diǎn)4(1,1,1),B(2,l,-1),1(3,0,0),則點(diǎn)4到直線(xiàn)BC的

距離為一等_.

【解題思路】由題意求出瓦正和瓦?在而上的投影，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可求解.

【解答過(guò)程】由題意知，X(l,l,l),B(2,l,-1),C(3,0,0),

所以或=(-1,0,2),阮=(1,-1,1)，

得|說(shuō)|=V5,[BC\-V3,BA-BC|-1+0+2|_V3

-弟-二7'

2

所以點(diǎn)/到直線(xiàn)BC的距離為d=BA

故答案為：要.

13.（5分）（2024?四川?模擬預(yù)測(cè)）在平面四邊形4BCD中,AB=AD=1,BC=CD=^2,ABA.AD,BCD

沿BD折起，使點(diǎn)C到達(dá)C',且AC'=K,則四面體ABC'D的外接球?yàn)榍?,若點(diǎn)E在線(xiàn)段BD上，且BD=4BE,

過(guò)點(diǎn)E作球。的截面，則所得截面圓中面積最小的圓半徑為—半

4

【解題思路】先根據(jù)勾股定理逆定理得到C'B1AB.C'D1AD,再根據(jù)直角三角形中線(xiàn)性質(zhì)找出外接球的球

心，再結(jié)合球的截面距離分析，要所得的截面圓中面積最小，只需截面圓半徑最小，只需球心到截面的距

離d最大即可.

【解答過(guò)程】由題意知，C'B=C'D=五,AB=AD=1,AC'=

由勾股定理可知，CB2+AB2=C'A2,CD2+AD2=C'A2,所以C'B_LHB,C,D_LHD,

取C1的中點(diǎn)0,所以O(shè)B=OC,=OD=0A,所以四面體ABC'。的外接球。在斜邊CZ的中點(diǎn)處，四面體ZBC'D

的外接球。的半徑R=\CA=y,

根據(jù)題意可知，過(guò)點(diǎn)E作球。的截面，若要所得的截面圓中面積最小，只需截面圓半徑最小，設(shè)球。到截面

的距離d,只需球心到截面的距離d最大即可，

而當(dāng)且僅當(dāng)。E與截面垂直時(shí)，球心到截面的距離d最大，即dmax=0E,

取的中點(diǎn)F,EF=-BD=—,易知△為等腰三角形,OF=>JOB2-BF2=佰-之=：,所以。不=OF2+

44-\l422

加=（3+陸號(hào),

所以截面圓的半徑為r=Vff2-OE2=乎.

4

故答案為：手.

4

c

14.（5分）（2024?廣東茂名?模擬預(yù)測(cè)）已知四棱柱ABCD-4/1的。1的底面是正方形，AB=4,AAt=4魚(yú),

點(diǎn)名在底面力BCD的射影為BC中點(diǎn)〃，則直線(xiàn)與平面A8CD所成角的正弦值為

【解題思路】以點(diǎn)以為坐標(biāo)原點(diǎn)，瓦5、近、西的方向分別為xj、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系H-xyz,

求得平面2BCD的一個(gè)法向量為n=（0,0,1）,直線(xiàn)4%的一個(gè)方向向量河=（0,6,277）,利用向量的夾角公

式可求直線(xiàn)4入與平面4BCD所成角的正弦值.

【解答過(guò)程】因?yàn)辄c(diǎn)當(dāng)在底面力BCD的射影為BC中點(diǎn)則當(dāng)“，平面力BCD,

又因?yàn)樗倪呅?BCD為正方形，

以點(diǎn)〃為坐標(biāo)原點(diǎn)，瓦?、近、西的方向分別為xj、z軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系H-xyz,

因?yàn)楫?dāng)"J_平面4BCD,BC貝1BC,

2

因?yàn)榱=4,AAt=4V2,貝Ij/H=BBl-BH=V32-4=2V7,

則2(4,—2,0)、￡)(4,2,0)、8(0,—2,0)、BI(0,0,2A/7),

所以河=AD+西=AD+兩=(0,4,0)+(0,2,2V7)=(0,6,2夕),

易知平面4BCD的一個(gè)法向量為n=(0,0,1),

cos西,=

因此‘直線(xiàn)皿】與平面所成角的正弦值為圣

故答案為：字

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及驗(yàn)算步驟。

15.（13分）（2024?內(nèi)蒙古赤峰?三模）如圖，在三棱臺(tái)力/1的-ABC中，△&當(dāng)前和△ABC都為等

邊三角形，且邊長(zhǎng)分別為2和4,CC1=2,^ACC1=NBC/=90°,G為線(xiàn)段4C的中點(diǎn)，H為線(xiàn)段BC上

的點(diǎn)，A\B“平面CiGH.

（1）求證：點(diǎn)H為線(xiàn)段BC的中點(diǎn)；

（2）求三棱錐B-的體積.

【解題思路】（1）因?yàn)?B〃平面QGH,所以想到用線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理證明;

（2）利用等體積法將三棱錐B-力轉(zhuǎn)化為三棱錐的體積求解即可.

【解答過(guò)程】（1）連接&C,設(shè)&CnCiG=。，連接H。、&G

因?yàn)槿馀_(tái)A1BlCl-ABC,所以41c"/AC

又CG=^/1C=2,所以四邊形&C1CG為平行四邊形

所以CO=0A1.

又〃平面CiGH,4/CL平面&BC,平面CB&n平面CiGH=HO,

：.AXB//HO

:四邊形&C1CG是正方形，。是&C的中點(diǎn)，

二點(diǎn)”是8C的中點(diǎn).

(2)因?yàn)?4。的=乙BCJ=90°,貝UCCi1AC,CCr1BC,

又ACCBC=C,AC,BCu平面ABC

：.CC11平面ZBC,

由（1）知力iG〃CC>且CCi=AXG=2,

△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，

°1V3

S/^BC=]x4x4x-=4V3，

?.?〃為BC中點(diǎn)，

1''^AABH—5sA4BC=5X4次-2\[3,

B-ArAH-At-ABH

—^AABHX4道=|x28X2=竽.

16.（15分）（2024?陜西寶雞三模）如圖，在三棱柱48。一4/1的中，與BB1的距離為百，AB=AC=

⑴證明：平面AMBBi1平面N5C；

（2）若點(diǎn)N是棱41的的中點(diǎn)，求點(diǎn)N到平面A/4的距離.

【解題思路】（1）要證明面面垂直，轉(zhuǎn)化為證明線(xiàn)面垂直，即證明力平面48名4；

（2）根據(jù)面面垂直，求三棱柱的高，以及利用等體積轉(zhuǎn)化求點(diǎn)N到平面4/C的距離.

【解答過(guò)程】（1）取棱4月中點(diǎn)。，連接3D

因?yàn)榱=&B,所以BDJ.441

因?yàn)槿庵鵄BC—4叢的，所以44IIBB1

所以BDJ.BB1，所以BD=遮

因?yàn)榱=2,所以4D=1,44i=2；

因?yàn)榱=2,A1C=2V2,

所以4c2+4吊=4停2,

所以力C_L441，

同理4cl48,

因?yàn)?41CAB=4,且力A。4Bu平面A1力BBi，所以4C1平面力BB。

因?yàn)榱u平面ABC,所以平面力lABBi1平面ABC；

（2）過(guò)當(dāng)作B1E14B,垂足為E,連結(jié)CE,

由（1）可知平面414B81J_平面力BC,且平面Ai力BBiC平面力BC=AB,

所以/E1平面SBC,CEu平面2BC,則/E_LCE,

有（1）可知，△力是等邊三角形，可得8亞=b，CE=V13,BiC=4,

5

AA1CB14,A1C=2V2,A1B1—2,BIC—4,

22+（2A/2）-42V2mil■rV14

cos/B遇停=I"?*?2=一7,則51*/D8通道=工

可得△力iCBi的面積為,x2x2應(yīng)x9=近，

22

又k-41cBi=Vc-A1C1B1=I''I''-竽

設(shè)N到面為B1C的距禺為h,則九1-418道=,,^AA1B1C'2h,

17.（15分）（2024?河南周口?模擬預(yù)測(cè)）如圖，平行六面體力BCD-4/1的小中，底面（BCD與平面48的小

都是邊長(zhǎng)為2的菱形，NBCD=NBC1A=120。，側(cè)面BCC1B1的面積為底.

⑴求平行六面體4BCD-481的。1的體積；

(2)求平面BCC/i與平面CDDiCi的夾角的余弦值.

【解題思路】(1)連接ZC,4的，根據(jù)菱形的性質(zhì)、余弦定理，結(jié)合線(xiàn)面垂直的判定定理、三角形面積公

式、棱柱的體積公式進(jìn)行求解即可；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.

【解答過(guò)程】(1)連接AC,力的，

因?yàn)榈酌鍭BC。與平面48的小均為菱形，且N8C。=/LBC1D1=120°,

所以△43。與4AB。均為等邊三角形，

取的中點(diǎn)。，連接。C,。的，則。C14B,OCiLAB,貝i]OC=。的=舊，

因?yàn)閭?cè)面Beg%的面積為回，

所以△BCQ的面積為苧，貝6x2x2sinNCBCi=手，

所以sinzCBQ=平，貝UcoszCFCi=.

在△BCCi中，C篇=22+22—2x2x2x[=6,貝|。的=返，

所以。。2+。*=(7篇，所以。C_LOC\.

因?yàn)榱CiOC=。，4B,OCu平面ABCD,

所以。的1平面力BCD,

故平行六面體4BCD-4止10。1的體積，=SABCD-OC1=2X2sin60°XV3=6.

(2)由(1)可知，48,。。,。的兩兩垂直，以。為原點(diǎn)，以。所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸，建

立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。一xyz.

則8(1,0,0),C(0,V3,0),^(0,0,73),￡>(-2,V3,0),

BC=(-1,73,0),CC\=(0,-V3,V3),CD=(-2,0,0),

設(shè)平面BCC/i的法向量為記=Cq,yi，zD，

由［匹三=。，得廠凡L。，取為=1,則記=（返L1）.

（31?隹=0,I-Wyi+V3Zi=0,

設(shè)平面COD1C1的法向量為元=（%2，、2*2）,,

由佇.￡=0,得,-2X2彳。,取為=1,則元=（0,1,1）,

（CCi-n=0,（一73y2+V3z2=0,

于7Gcos〈mm〉=^=w=可.

設(shè)平面BCC/i與平面CD%Ci的夾角為仇

所以cos0=|cos（m,n）|=等.

18.（17分）（2024?江蘇無(wú)錫?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體力BCD-中,點(diǎn)E在棱力公

上，且4E=1.

（1）求四棱錐。1-E4BB1的表面積

（2）若點(diǎn)P在棱0的上，且P到平面為DE的距離為亨，求點(diǎn)P到直線(xiàn)EBi的距離.

【解題思路】（1）根據(jù)三角形以及梯形面積公式即可求解，

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間距離的向量法求解即可.

【解答過(guò)程】（1）由力E=L4B=4,所以===不=5,

￡>iBi=4V2,

2Z

所以SADIE4=gxlx4=2,SB=gx4V2xJ5-（2V2）=2V34,S=S=g

AD11EAD1ABAD1B1Bx4V2x

4=8V2,SEABB1=1x（14-4）x4=10,

故四棱錐—E4BB1的表面積為+S^DIBIE+SAD\AB+S^DIBIB+SfZBBi=2+2V34+I6V2+

10=12+2V34+16V2

（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，DAfDC,所在直線(xiàn)分別為久軸、y軸、z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

則4(4,0,0),B(4,4,0),Bi(4,4,4),(0,0,4),F(4,0,l),P(0,a,4),其中OVa—