利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)（學(xué)生版）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

重難點(diǎn)06利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)【九大題型】

【新高考專用】

?題型歸納

【題型1判斷、證明或討論零點(diǎn)的個數(shù)】........................................................2

【題型2零點(diǎn)問題之唯一零點(diǎn)問題】............................................................3

【題型3零點(diǎn)問題之雙零點(diǎn)問題】...............................................................3

【題型4根據(jù)零點(diǎn)情況求參數(shù)范圍】............................................................4

【題型5函數(shù)零點(diǎn)的證明問題】.................................................................5

【題型6多零點(diǎn)的和、差、積與大小關(guān)系問題］..................................................6

【題型7隱零點(diǎn)問題】.........................................................................7

【題型8三角函數(shù)的零點(diǎn)問題】.................................................................8

【題型9與函數(shù)零點(diǎn)相關(guān)的綜合問題】..........................................................8

?命題規(guī)律

1、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)

導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要考查內(nèi)容，而導(dǎo)數(shù)中的函數(shù)零點(diǎn)(方程的根)問題在高考中占有很重要的地位,

主要涉及判斷函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)或范圍.高考?？疾槿魏瘮?shù)與復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)問題，以及函數(shù)零點(diǎn)與其他知

識的交匯問題，一般作為解答題的壓軸題出現(xiàn)，難度較大.

?方法技巧總結(jié)

【知識點(diǎn)1導(dǎo)數(shù)中的函數(shù)零點(diǎn)問題的解題策略】

1.函數(shù)零點(diǎn)(個數(shù))問題的的常用方法

(1)構(gòu)造函數(shù)法：構(gòu)造函數(shù)g(x),利用導(dǎo)數(shù)研究g(x)的性質(zhì)，結(jié)合g(x)的圖象，判斷函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù).

(2)函數(shù)零點(diǎn)存在定理：利用零點(diǎn)存在定理，先判斷函數(shù)在某區(qū)間有零點(diǎn)，再結(jié)合圖象與性質(zhì)確定函數(shù)

有多少個零點(diǎn).

(3)數(shù)形結(jié)合法：函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)個數(shù)，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)圖象的幾何直觀求

解.

2.導(dǎo)數(shù)中的含參函數(shù)零點(diǎn)(個數(shù))問題

利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的零點(diǎn)(個數(shù))問題主要有兩種方法：

(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)兀0的最值，轉(zhuǎn)化為｛X)圖象與X軸的交點(diǎn)問題，主要是應(yīng)用分類討論思想解決.

(2)分離參變量，即由於)=0分離參變量，得折且⑴，研究產(chǎn)。與尸g(x)圖象的交點(diǎn)問題.

3.與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的參數(shù)范圍問題的解題策略

與函數(shù)零點(diǎn)(方程的根)有關(guān)的參數(shù)范圍問題，往往利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)，并結(jié)合

特殊點(diǎn)判斷函數(shù)的大致圖象，進(jìn)而求出參數(shù)的取值范圍.也可分離出參數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)情況.

【知識點(diǎn)2隱零點(diǎn)問題】

1.隱零點(diǎn)問題

隱零點(diǎn)問題是指函數(shù)的零點(diǎn)存在但無法直接求解出來的問題，在函數(shù)不等式與導(dǎo)數(shù)的綜合題目中常會

遇到涉及隱零點(diǎn)的問題，處理隱零點(diǎn)問題的基本策路是判斷單調(diào)性，合理取點(diǎn)判斷符號，再結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)

存在定理處理.

2.隱零點(diǎn)問題的解題策略

在求解函數(shù)問題時，很多時候都需要求函數(shù)於)在區(qū)間/上的零點(diǎn)，但所述情形都難以求出其準(zhǔn)確值，

導(dǎo)致解題過程無法繼續(xù)進(jìn)行時，可這樣嘗試求解：先證明函數(shù)段)在區(qū)間/上存在唯一的零點(diǎn)(例如，函數(shù)次X)

在區(qū)間/上是單調(diào)函數(shù)且在區(qū)間/的兩個端點(diǎn)的函數(shù)值異號時就可證明存在唯一的零點(diǎn))，這時可設(shè)出其零

點(diǎn)是X0.因?yàn)閄0不易求出(當(dāng)然，有時是可以求出但無需求出)，所以把零點(diǎn)X0叫做隱零點(diǎn)；若X0容易求出，

就叫做顯零點(diǎn)，而后解答就可繼續(xù)進(jìn)行，實(shí)際上，此解法類似于解析幾何中“設(shè)而不求”的方法.

?舉一反三

【題型1判斷、證明或討論零點(diǎn)的個數(shù)】

【例1】(2024?四川涼山?二模)若/(%)=%sin%+cos%-1,則函數(shù)/(%)的零點(diǎn)個數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

fln(l—%),xG(-°o,0]

【變式1-1](2024?北京房山?一模)若函數(shù)/(%)=1_J_xe(o+oo)，則函數(shù)g(%)=/(%)+%+c零

點(diǎn)的個數(shù)為()

A.1B.2C.1或2D.1或3

【變式1-2](2024?浙江?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=a(e*+sin%)-％-1.

(1)當(dāng)&=決寸，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)a=1時，判斷f(x)的零點(diǎn)個數(shù).

【變式1-3](2024?四川綿陽?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/'(%)=alnx-[+久(aeR).

⑴討論;'(x)的零點(diǎn)個數(shù)；

(2)若關(guān)于x的不等式/'(X)<2x-:在(0,+8)上恒成立，求a的取值范圍.

【題型2零點(diǎn)問題之唯一零點(diǎn)問題】

【例2】（2024?四川成都?三模）若函數(shù)/（%）=砂-/?2大于0的零點(diǎn)有且只有一個，則實(shí)數(shù)k的值為（）

lee2

A.4B.2VeC.-D.-

v24

【變式2-1］（2024?全國?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（%）=2%-fcv-b恰有一個零點(diǎn)％o,Kb>fc>0,則％o的取

值范圍為（）

AS巖）B.（.8,藍(lán)）C.（等,+8）D.（部,+8）

【變式2-2］（2024?廣東汕頭?三模）已知函數(shù)/（X）=x（ex-ax2）.

（1）若曲線y=/（%）在％=-1處的切線與y軸垂直，求y=/'（久）的極值.

（2）若f（x）在（0,+8）只有一個零點(diǎn)，求a.

【變式2-3］（2024?陜西商洛?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/'（%）=3K2+nisinxQ>0）,其中m為常數(shù)且zn2-6,

（1）當(dāng)m=1時，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（OJ（O））處的切線方程，

（2）若函數(shù)g（x）=/（%）-mxcosx在區(qū)間UTT）上有且只有一個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【題型3零點(diǎn)問題之雙零點(diǎn)問題】

【例3】（2024?四川內(nèi)江?三模）若函數(shù)/（久）=當(dāng)—5有兩個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為（）

A.(0,e)B.(e,+8)C.(0,2e)D.(2e,+8)

【變式3-1］（2024?浙江杭州?模擬預(yù)測）若函數(shù)/（%）=a|有且僅有兩個零點(diǎn)，貝的取值范

圍是()

A.(—,0)U(0,e)B.(—,0)U(0,e)

C.(-1，0)U(0,3)D.(-p0)U(0,3)

i

【變式3?2】(2024?全國,模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=%所一a(x>。)，且/(%)有兩個相異零點(diǎn)%力%2?

(1)求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

(2)證明：％1+第2>§.

【變式3-3](2024?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=x2\nx-zn有兩個不同的零點(diǎn)%「冷，且t=%,+

虐.

(1)求實(shí)數(shù)血的取值范圍；

(2)求證：t<1；

(3)比較t與：及2m+：的大小，并證明.

【題型4根據(jù)零點(diǎn)情況求參數(shù)范圍】

【例4】(2024?江西鷹潭?模擬預(yù)測)已知a>l,若函數(shù)f(x)=凝也。-ex有兩個不同的零點(diǎn)，則a的取值

范圍是()

A.(e,+8)B.(l,e)C.(2e,+8)D.(e,2e)

【變式4-1】(2024?陜西漢中?二模)已知函數(shù);'(>)=，—久3—3久212：,無4°,g@)=/⑴一皿有4個零

\inx,xu

點(diǎn)，則〃?的取值范圍為()

A.B.(-2,0]U{|}C.(-2,0]U{i}D.(-c?,0]U(i,|)

【變式4-2](2024?貴州貴陽一模)已知函數(shù)/⑺=21?”>°,若方程/OO+e久=0存在三個不相等

(efx<0

的實(shí)根，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(―oo,e)B.(—co,—e)C.(―8,—2e)D.(-8,2e)

【變式4-3](2023?遼寧大連?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(久)=產(chǎn)+2父+居產(chǎn)o,若函數(shù)⑴=八久)一收一

I—LX,%<U

4x|,(k6R)恰有4個零點(diǎn)，則左的取值范圍()

A.(—8,—1)u(2A/^,+8)B.(—8,-U(0,2)

C.(一8,0)u(0,2+2a)D.(-00,0)U(2+2V5,+00)

【題型5函數(shù)零點(diǎn)的證明問題】

【例5】(2024?江蘇揚(yáng)州?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=ln(zn%)-％(TH>。).

(1)若/(%)<0恒成立，求m的取值范圍;

(2)若/(%)有兩個不同的零點(diǎn)第1，、2，證明第1+冷>2.

【變式5-1](2024?重慶?模擬預(yù)測)已知函數(shù)f(x)=a(ln久+l)+￡(a>0).

(1)求證：l+%ln%>0；

(2)若%是f(%)的兩個相異零點(diǎn)，求證：1%2-％11<1-3

【變式5-2](2024,遼寧?三模)已知/(%)=(%—l)ex+|ax2.

(1)討論函數(shù)/(久)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)a>0時，證明：函數(shù)/(%)有且僅有兩個零點(diǎn)％1，第2，且久1+%2V0.

【變式5-3](2024,全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=好—(2+a)%+aln%,aER.

(1)討論/(%)的單調(diào)性；

(2)設(shè)g(%)=亍一/(%)+好一(q+1)%一2。+(。-l)ln%,若g(%)存在兩個不同的零點(diǎn)久。如且％iV知

(i)證明：2。>e+1；

(ii)證明：(2-%]V4

丁za—宗1

【題型6多零點(diǎn)的和、差、積與大小關(guān)系問題】

【例6】(2023?四川成都?三模)已知函數(shù)/(久)=乂一§一alnx有三個零點(diǎn)的,支2，%3，其中aeR,則口向冷冷

的取值范圍是()

A.(1,+co)B.(2,+oo)C.(e,+oo)D.(3,+oo)

【變式6-1](2023?四川南充?一模)已知函數(shù)/(x)=|lnx-|+2|-m(0<m<3)有兩個不同的零點(diǎn)支口

久2(向<》2)，下列關(guān)于打，久2的說法正確的有()個

OmO

①工<e2m②％i>----③e5V%2V----?%x>1

%1m+23-m12

A.1B.2C.3D.4

【變式6-2](2023?四川成都?一模)已知函數(shù)/(%)=(ln%)2+：%2有三個零點(diǎn)％]、冷、心且

久1<町<久3,則此+四+崛的取值范圍是()

XlX2X3

A.(一六,。)B.(一/,。)C.(一力)D.(-|,0)

【變式6-3](2023?四川南充?一模)已知函數(shù)f(x)=|lnx-|+2|-m(0<m<3)有兩個不同的零點(diǎn)句,

%2，下列關(guān)于第1，%2的說法正確的有()個

<e2m②％1>=一③九1%2〉1

%1m+2

A.0B.1C.2D.3

【題型7隱零點(diǎn)問題】

【例7】(2023?陜西咸陽?模擬預(yù)測)已知/(無)=(x—l)2ex—^x3+ax(x>0)(aGR).

(1)討論函數(shù)/(%)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)a=0時，判定函數(shù)g(%)=/(%)+In%-零點(diǎn)的個數(shù)，并說明理由.

【變式7-1](23-24高三上?遼寧鞍山?階段練習(xí))已知函數(shù)/(%)=hrr—ar+1,g(x)=x(ex-%).

(1)若直線y=2%與函數(shù)/(%)的圖象相切，求實(shí)數(shù)。的值；

(2)當(dāng)@=一1時，求證：/(%)<g(x)+X2.

【變式7-2](2024?廣東廣州?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=沅次(a>0).

⑴求/(%)在區(qū)間[-1,1]上的最大值與最小值；

(2)當(dāng)a21時，求證：f(x)>Inx+%+1.

【變式7-3](2023?內(nèi)蒙古包頭?一模)已知函數(shù)/(%)=ae%-ln(%+l)-1.

(1)當(dāng)a=e時，求曲線y=/(%)在點(diǎn)(0/(0))處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成三角形的面積;

(2)證明：當(dāng)a>1時，/(%)沒有零點(diǎn).

【題型8三角函數(shù)的零點(diǎn)問題】

[例8](2023?江西上饒一模)已知函數(shù)/(%)=sin2x+2sin%-1,則/(%)在第G[0,2023冗]上的零點(diǎn)個數(shù)

是()

A.2023B.2024C.2025D.2026

(e%+%,%V0

【變式8-1](2023?河南?模擬預(yù)測)已知函數(shù)D有4個不同的零點(diǎn)，則正實(shí)

(SinI60%——I,USXSK

數(shù)a的范圍為()

兒解)B?諾)

【變式8-2](2024?廣西欽州?三模)已知函數(shù)/(%)=asinx+xcosx.

(1)若a=0,求曲線y=/O)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程；

(2)若a>-1,證明：/(%)在(-nji)上有3個零點(diǎn).

【變式8-3](2024?廣東深圳?模擬預(yù)測)已知/(%)=%sin%-acos%在第=]時取得極大值.

(1)討論/(%)在[一nji]上的單調(diào)性；

(2)令九(%)=x2—4xsinx—4cosx+4,試判斷h(%)在R上零點(diǎn)的個數(shù).

【題型9與函數(shù)零點(diǎn)相關(guān)的綜合問題】

【例9】(2024?廣東廣州?二模)已知函數(shù)/(%)=a(%+1)已-％+好.

⑴討論/(%)的零點(diǎn)個數(shù)；

(2)若/(%)存在兩個極值點(diǎn)，記%0為/(%)的極大值點(diǎn)，為/(%)的零點(diǎn)，證明：&-2%1>2.

【變式9?1】(2024?四川遂寧?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=%-[+aln%,其中aCR.

(1)當(dāng)％E[1,+8)時,/(%)>0,求4的取值范圍.

(2)若。<一2,證明：/(%)有三個零點(diǎn)％1，%2，%3(%1<%2<%3)，且%1，%2，久3成等比數(shù)列.

【變式9-21(2024?北京朝陽?二模)已知函數(shù)f(%)=a%—lnCL—%)(a€R).

(1)求曲線y=/(%)在點(diǎn)(OJ(O))處的切線方程；

(2)若/(%)>0恒成立，求a的值；

(3)若/(%)有兩個不同的零點(diǎn)；TL%2，且|%2-％11>e-1,求Q的取值范圍.

【變式9-3](2024?江西景德鎮(zhèn)?三模)已知函數(shù)/(%)=e%-a/,^(x)=ex—bx.

(1)當(dāng)b=e時，求函數(shù)g(%)的極值；

(2)已知實(shí)數(shù)ae(0,9).

①求證：函數(shù)f(x)有且僅有一個零點(diǎn)；

②設(shè)該零點(diǎn)為與，若f(O圖象上有且只有一對點(diǎn)4(%1，月)，3(久2，、2)(久1<久2)關(guān)于點(diǎn)(右，0)成中心對稱，求

實(shí)數(shù)a的取值范圍.

?過關(guān)測試

一、單選題

1.(2024?陜西安康?模擬預(yù)測)函數(shù)/(x)=In久+壯—2的零點(diǎn)所在區(qū)間是()

A.(o,y)B.(y,l)c.(1,V2)D.(V2.2)

2.(2024?陜西西安?模擬預(yù)測)若函數(shù)/(%)=/一3%+a在區(qū)間(0,2)內(nèi)有兩個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍

是()

A.(0,2)B.(2,+8)C.(0,1)D.(1,+8)

3.(2024?四川綿陽?模擬預(yù)測)函數(shù)/(%)=e%-々％-b恰好有一零點(diǎn)汽°,Kk>b>0,則％o的取值范圍是

()

A.(一8,0)B.(0,1)C.(-8,1)D.(1,+oo)

]n%—~,x>0,

(nF'有4個零點(diǎn)，則3

{sin(3%+-h—TI<X<0

的取值范圍是()

A?(蜀B.黑)C.(瀉]D」與

5.(2024?四川宜賓?模擬預(yù)測)定義在(0,+8)上的單調(diào)函數(shù)/(%),對任意的XG(0,+8)有/[/(%)-In%]=1

恒成立，若方程/(%)?/'(%)=根有兩個不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)血的取值范圍為()

A.(一8,1)B.(0,1)C.(0,1]D.(-00,1]

6.(2024?河北衡水?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=In%+1-a%有兩個零點(diǎn)％L%2，且％1<%2，則下列命題正

確的是()

2

A.a>1B.+%2<展

C./?亞<1D.%2—>—1

|3—2%|+1,%>0,

2

7.(2024?四川?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(%)=(%+2)2若函數(shù)y=[/(%)]-a/(%)有5個不同的零

丁，久三。?

點(diǎn)，則a的取值范圍是()

A.(0,1]B.(1,4]C.(1,4)D.(1,+8)

8.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/'(X)=e2x-2(a+l)xe*+a(a+2)/(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))，

則下列結(jié)論錯誤的是()

A.BaeR,使函數(shù)人久)恰有1個零點(diǎn)

B.BaeR,使函數(shù)/(x)恰有3個零點(diǎn)

C.maeR,使函數(shù)八久)沒有零點(diǎn)

D.若函數(shù)/(%)有2個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為(e-2,e)

二、多選題

9.(2023?廣西?模擬預(yù)測)已知方程a%-2%ln%=/+3(ae7?)有兩個不同的根%「若無1<%2，則

()

A.aC(4,+8)B.%1<1<x2

C.In/+lnx2_1>ln2D.xrx2>1

10.(2024?重慶?三模)已知函數(shù)f(x)=e2，-a/(a為常數(shù))，則下列結(jié)論正確的是()

A.當(dāng)a=l時，”久)在(0)(0))處的切線方程為2x—y+l=0

B.若f(x)有3個零點(diǎn)，則a的取值范圍為匕2,+8)

C.當(dāng)a=e2時，x=1是/(X)的極大值點(diǎn)

D.當(dāng)a=：時,/(x)有唯一零點(diǎn)與,M-l<%o<-1

11.(2024?浙江紹興?三模)已知函數(shù)人比)=a(ex+a)-x有兩個零點(diǎn)久口x2,則下列說法正確的是()

A.a的值可以取3