截長補短模型-2023年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)（全國,含解析）（原卷版）

模塊二常見模型專練

專題28截長補短模型

0氟題猾匏

麗（2021年四川廣安中考真題）在數(shù)學(xué)中，我們會用截長補短”的方法來解決幾條線

段之間的和差問題.請看這個例題：如圖1,在四邊形4BCZ）中，ZBAD=ZBCD=9Q°,

AB=AD,若/c=5cm,求四邊形45CD的面積.

三角形的性質(zhì)得＜￡=ZC=5,ZEAB^ZCAD,貝［

NEAC=NEAB+ABAC=ADAC+ABAC=ABAD=90°,得

^JMABCD~S7ABe+SyADC~^NABC+$‘研="3C,這樣，四邊形4BCZ）的面積就轉(zhuǎn)化為等腰直

角三角形及4c面積.

（1萬艮據(jù)上面的思路，我們可以求得四邊形4BCZ）的面積為cm2.

（2汝口圖2,在Y43C中,4cB=90。，且4C+BC=4,求線段"?的最小值.

（3波口圖3,在平行四邊形4BCZ）中，對角線4c與助相交于O,且NBOC=60。；

AC+BD=\G,則4Q是否為定值？若是，求出定值；若不是，求出4Q的最小值及此時平行

四邊形48CZ）的面積.

例2（2021年湖北襄陽中考真題）如圖，四邊形N6CZ）是eO內(nèi)正方形，P是圓上一點

（點P與點A,B,C,D不重合），連接P4PB,PC.

（1番點P是弧力D上一點，

①NBPC度數(shù)為；

②求證：P4+PC=0P8；小明的思路為：這是線段和差倍半問題，可采用截長補短法，

請按小明思路完成下列證明過程（也可按自己的想法給出證明）.證明：在尸。的延長線上

截取點E.使CE=PZ,連接8E.

（2探究當(dāng)點P分別在瀝，耽,劭上，求P4PB,PC的數(shù)量關(guān)系，直接寫出答案，不

需要證明.

模型截長補短

截長補短法，是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種輔助線的添加方法，也是把幾何題化難為易的一

種思想。截長就是在一條線上截取成兩段，補短就是在一條邊上延長，使其等于一條所求邊。

ABCD如圖①，若證明線段AB、CDEF之間存在

I_____________________|EF=AB+CD可以考慮截長補短法。

E?F

截長法：如圖②，在EF上截取EG=AB再

1_________1_____________\證明

EGFGF=C第可。

O

1_________1,.........................1補短法：如圖③，延長AB至H點，使

A6HBH=CD

再證明AH=EF即可。

模型分析

截長補短的方法適用于求證線段的和差倍分關(guān)系。截長，指在長線段中截取一段等于已

知線段；補短，指將短線段延長，延長部分等于已知線段。

該類題目中常出現(xiàn)等腰三角形、角平分線等關(guān)鍵詞句，可以采用截長補短法構(gòu)造全等三

角形來完成證明過程。

概述圖:

勤曾就硼筑

【變式1】（2021秋河北滄州八年級統(tǒng)考期中）【閱讀】在證明線段和差問題時，經(jīng)常采用

截長補短法，再利用全等圖形求線段的數(shù)量關(guān)系.截長法將較長的線段截取為兩段，證明

截取的兩段分別與給出的兩段相等.補短法延長較短兩條線段中的一條，使得與較長線段

相等，證明延長的那一段與另一條較短線段相等.

【應(yīng)用】把兩個全等的直角三角形的斜邊重合，NCAD=NCBD=90。,組成一個四邊形

ACBD,以D為頂點作NA1DN,交邊AC、8C于M、N.

（1錯/4CD=30。，ZMDN=60。,證明：AM+BN=MN；經(jīng)過思考，小紅得到了這樣的解

題思路：利用補短法，延長C8到點E,使跖=/〃，連接￡出，先證明VEUM0VD防，

再證明△”￡）可且△EZW,即可求得結(jié)論.按照小紅的思路，請寫出完整的證明過程；

（2）當(dāng)N/CD+NMDN=90。時，AM、MN、BN三條線段之間有何數(shù)量關(guān)系？（直接寫出你

的結(jié)論，不用證明）

（3珈圖③，在（2）的條件下，若將M、N改在C4、的延長線上，完成圖③，其余條件

不變，則40、MN、6N之間有何數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論.

【變式2］（2022秋全國八年級專題練習(xí)）在教、學(xué)、練、評一體化”學(xué)習(xí)活動手冊中，

全等三角形專題復(fù)習(xí)課，學(xué)習(xí)過七種作輔助線的方法，其中有戳長補短”作輔助線的方

法.

截長法：在較長的線段上截取一條線段等于較短線段；

補短法：延長較短線段和較長線段相等.

這兩種方法統(tǒng)稱截長補短法.

請用這兩種方法分別解決下列問題：

已知，如圖，在ZABC中，AB>AC,Zl=Z2,P為AD上任一點，求證AB—AC>PB—PC

【變式3］（2022貴州遵義統(tǒng)考三模）（1）問題發(fā)現(xiàn)：學(xué)完垂徑定理后，小紅對弧的中點與

弦的關(guān)系再次做了研究，如圖甲，e。中，點C是劣弧AB的中點，D點在BC弧之間，過

點C作CE_L4Q,垂足為點E,小紅在電腦上用幾何畫板的度量功能度量了線段ED、DB、

AE的長度如下表所示，小紅發(fā)現(xiàn)了一個數(shù)量關(guān)系，這個關(guān)系是（用ED、DB、AE的

式子表示）

（圖甲）

EDDBAE

1.372.233.60

1.512.073.58

1.631.933.56

1.911.603.51

(2)探索結(jié)論：

怎么完成(1)中關(guān)系的證明呢？小紅根據(jù)學(xué)習(xí)經(jīng)驗想到了截長補短”中的截長”思想，如

圖乙，在線段AE上截取點F,使得在￡=￡應(yīng)，連接CF、CD.小紅試圖構(gòu)造關(guān)于AF、DB

所在的三角形，通過全等完成證明，請接著小紅的想法完成證明.

(3)結(jié)論應(yīng)用：

如圖丙，等邊三角形ABC內(nèi)接于e。，點D在eO上，連接BD、CD,過點C作

CELAD,垂足為點E,若皮＞=6—1,NCBD=45。,求e。的半徑.

【變式4](2022全國九年級專題練習(xí))【閱讀理解】截長補短法，是初中數(shù)學(xué)幾何題中一

種輔助線的添加方法.截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短是通過在一條

短邊上延長一條線段與另一短邊相等，從而解決問題.

P

C

(1腳圖1,ABC是等邊三角形，點D是邊BC下方一點，4DC=120。，探索線段DA、

DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系.

解題思路延長DC到點E,使CE=BD,連接AE,根據(jù)與AC+zBDC=180。，可證zABD：

zACE易證得AXBD烏以CE,得出△ADE是等邊三角形，所以AD=DE,從而探尋線段DA、

DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系.根據(jù)上述解題思路，請直接寫出DA、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系

是

【拓展延伸】

(2波口圖2,在RtAXBC中，$AC=90°,AB=AC.若點D是邊BC下方一點，&DC=90",

探索線段DA、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

【知識應(yīng)用】

(3珈圖3,兩塊斜邊長都為4cm的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，則兩塊三角板的直角

頂點之間的距離PQ的長為cm.

【培優(yōu)練習(xí)】

1.(2022秋山東煙臺七年級統(tǒng)考期末)閱讀材料：

戳長補短法”是幾何證明題中十分重要的方法，通常用來證明幾條線段的數(shù)量關(guān)系.截長,

即在長線段上截取一條線段等于其中一條短線段，再證明剩下的部分等于另一條短線段補

短，即延長其中一條短線段，使延長部分等于另一條線段，再證明延長后的線段等于長線

段.

依據(jù)上述材料，解答下列問題：

如圖，在等邊Y43c中，點E是邊AC上一定點，點D是直線BC上一動點，以DE為邊作

等邊0EF,連接CF.

(1放口圖，若點D在邊BC上，試說明CE+CF=C。；(提示：在線段CD上截取CG=CE,

連接EG.)

(2加圖，若點D在邊BC的延長線上，請?zhí)骄烤€段CE,CF與CD之間的數(shù)量關(guān)系并說明

理由.

AF

BCD

2.(2022秋全國九年級專題練習(xí))問題：如圖1,eO中，AB是直徑，4c=6C,點D

是劣弧BC上任一點(不與點B、C重合)，求證：4〃一8」為定值.

程.

證明：在AD上截取點E,使*=應(yīng))，連接CE.

運用：如圖2,在平面直角坐標(biāo)系中，eO,與x軸相切于點4(3,0),與y軸相交于B、C兩

點，且BC=8,連接AB、OXB.

(1X)B的長為

(2加圖3,過A、B兩點作e(92與y軸的負(fù)半軸交于點M,與O"?的延長線交于點N,連接

AM、MN,當(dāng)e&的大小變化時，問BM—6N的值是否變化，為什么?如果不變，請求出

6N的值.

3.(2022秋北京八年級統(tǒng)考期末)如圖，在等邊ABC中，點P是BC邊上一點，ZBAP=

a(30°<?<60"),作點B關(guān)于直線AP的對稱點D,連接DC并延長交直線AP于點E,

連接BE.

(1)依題意補全圖形，并直接寫出4EB的度數(shù)；

(2)用等式表示線段AE,BE,CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

分析：①涉及的知識要素：圖形軸對稱的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與

性質(zhì)……

②通過截長補短，利用60。角構(gòu)造等邊三角形，進(jìn)而構(gòu)造出全等三角形，從而達(dá)到轉(zhuǎn)移邊的

目的.

請根據(jù)上述分析過程，完成解答過程.

4.(2021秋湖南永州九年級?？茧A段練習(xí))【閱讀理解】截長補短法，是初中數(shù)學(xué)幾何題

中一種輔助線的添加方法.截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短是通過在

一條短邊上延長一條線段與另一短邊相等，從而解決問題.

Q

圖1圖3

(1)如圖1,y46c是等邊三角形，點。是邊6C下方一點，ZBDC=nO°,探索線段04、

DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系.

解題思路：延長到點笈，使CE=BD,連接絲，根據(jù)的C+NMC=180。，可證

NABD=NACE,易證得VZ8D白以CE,得出V4QE是等邊三角形，所以=從而

DA、DB、￡>C之間的數(shù)量關(guān)系.

根據(jù)上述解題思路，請寫出04、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系是，并寫出證明過程；

【拓展延伸】

(2)如圖2,在R/V4BC中,ZBAC=90°,AB=AC,若點刀是邊6C下方一點，

ZBDC=90°,探索線段DB、OC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

【知識應(yīng)用】

(3)如圖3,兩塊斜邊長都為2aM的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，則兩塊三角板的直

角頂點之間的距離尸。的平方為多少？

5.(2022秋河北石家莊八年級?？计谀?【閱讀理解】截長補短法，是初中數(shù)學(xué)幾何題中

一種輔助線的添加方法.截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短是通過在一

條短邊上延長一條線段與另一長邊相等，從而解決問題.

(1)如圖，△期。是等邊三角形，點。是邊下方一點，連結(jié)DB、DC,且

ZBDC=\20°,探索線段DB、之間的數(shù)量關(guān)系.

解題思路：延長DC到點￡,使(為=助，連接4E,根據(jù)/84C+BDC=180。，則

ZABD+ZACD=180°,因為NACD+NACE=18。?？勺CNABD=NACE,易證得八4皮

ACE,得出是等邊三角形，所以=從而探尋線段Q4DB、之間的數(shù)量

關(guān)系.根據(jù)上述解題思路，請直接寫出/M、DB、D。之間的數(shù)量關(guān)系是；

【拓展延伸】

(2)如圖②，在RtZU5C中，ZBAC=90°,AB=AC.若點。是邊BC下方一點，

ZBDC=9Q°,探索線段。4、DB、Z>C之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

【知識應(yīng)用】

(3)如圖③，兩塊斜邊長都為2cm的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，已知30°所對直角

邊等于斜邊一半，則P。的長為cm.(結(jié)果無需化簡)

（2021秋新疆烏魯木齊八年級烏魯木齊市第70中校考期末）閱讀下面文字并填空:

數(shù)學(xué)習(xí)題課上李老師出了這樣一道題：如圖1,在Y45C中，AD平分/胡C,

ZB=2NC.求證：AB+BD^AC.

（圖1）

李老師給出了如下簡要分析：要證45+皮）="C就是要證線段的和差問題，所以有兩個方

法，方法一：截長法'如圖2,在AC上截取陛=加，連接DE,只要證成）=即

可，這就將證明線段和差問題為證明線段相等問題，只要證出

V,得出NB=NAED及BD=,再證出N

=Z__,進(jìn)而得出⑷=￡0,則結(jié)論成立.此種證法的基礎(chǔ)是巴知AD平分

NBAC,將△/皮＞沿直線AD對折，使點B落在AC邊上的點E處，成為可能.

（圖2）

方法二：補短法”如圖3,延長AB至點F,使BF=BD.只要證即可.此時先證

N=NC,再證出V,則結(jié)論成立.”

/--J）

截長補短法”是我們今后證明線段或角的和差倍分”問題常用的方法.

7.（2022秋浙江八年級專題練習(xí)）閱讀材料并完成習(xí)題:

截長補短”的方法來構(gòu)造全等三角形解決問題.請看這個例題：如圖I,

在四邊形ABCD中，BAD=2BCD=90°,AB=AD,若AG=2cm,求四邊形ABCD的面積.

解：延長線段CB到E,使得BE=CD,連接AE,我們可以證明Z^BAE名ZDAC,根據(jù)全等

三角形的性質(zhì)得AE=AC=2,zEAB=zCAD,貝!I

ZEAC=ZEAB+ZBAC=zDAC+zdBAC=2BAD=90°,得S四邊形

ABCD=S.BC+S^DC=S9BC+S.BE=SMEC，這樣，四邊形ABCD的面積就轉(zhuǎn)化為等腰直角三角

形EAC面積.

(1)根據(jù)上面的思路，我們可以求得四邊形ABCD的面積為cm2.

(2)請你用上面學(xué)到的方法完成下面的習(xí)題.

如圖2,已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm,zG=2N=90°,求五邊形FGHMN的面積.

8.(2023全國九年級專題練習(xí))例：截長補短法，是初中幾何題中一種添加輔助線的方法，

也是把幾何題化難為易的一種策略.截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短

就是通過延長或旋轉(zhuǎn)等方式使兩條短邊拼合到一起，從而解決問題.

(1)如圖1,△是等邊三角形，點D是邊BC下方一點，zBDC=120",探索線段DA、

DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系.

解題思路將AVBD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到ZACE,可得AE=AD,CE=BD,zABD=4CE,

zDAE=60°,根據(jù)2BAGzBDC=180°,可知及BI>zACD=180°,貝I/VCE+承CD480°,易

知ADE是等邊三角形，所以AADE,從而解決問題.

根據(jù)上述解題思路，三條線段DA、DB、DC之間的等量關(guān)系是—；

(2)如圖2,Rt&iBC中，z￡AC=90°,AB=AC.點D是邊BC下方一點，2BDC=90°,探

索三條線段DA、DB、DC之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

AA

D

圖1圖2

（2021秋山東濟(jì)寧八年級統(tǒng)考期中）現(xiàn)閱讀下面的材料，然后解答問題：

截長補短法，是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種常見輔助線的做法.在證明線段的和、差、倍、分等

問題中有著廣泛的應(yīng)用.截長法：在較長的線段上截一條線段等于較短線段，而后再證明剩

余的線段與另一段線段相等.補短法：就是延長較短線段與較長線段相等，而后證延長的部

分等于另一條線段.

請用截長法解決問題（1）

（1）已知：如圖1等腰直角三角形46c中，?B90?,是角平分線，交6C邊于點

D.求證：AC=AB+BD.

0S1

請用補短法解決問題（2）

（2）如圖2,已知，如圖2,在A45C中,NB=2NC,4。是的角平分線.求證:

AC=AB+BD.

10.（2022秋八年級課時練習(xí)）數(shù)學(xué)課上，小白遇到這樣一個問題：

如圖1,在等腰及/A4BC中，ZBAC=90°,AB=AC,AD=AE,求證ZABE=ZACD；

過點A作4口，跖于點G交于點歹，過歹作正？，。。交跖于點P,交CD于點、H,試探

究線段8尸，F(xiàn)P,4尸之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

小白通過研究發(fā)現(xiàn)，NNq與4/FC有某種數(shù)量關(guān)系；

小明通過研究發(fā)現(xiàn)，將三條線段中的兩條放到同一條直線上，即截長補短”，再通過進(jìn)一步

推理，可以得出結(jié)論.

閱讀上面材料，請回答下面問題：

（1）求證ZABE=ZACD；

（2）猜想N4/Z與NHFC的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（3）探究線段HP,FP,4■之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

11.（2021秋江蘇無錫八年級宜興市實驗中學(xué)校考期中）【初步探索】

截長補短法，是初中幾何題中一種添加輔助線的方法，也是把幾何題化難為易的一種策

略.截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補短就是通過延長或旋轉(zhuǎn)等方式使兩

條短邊拼合到一起，從而解決問題.

（1）如圖1,是等邊三角形，點D是邊BC下方一點，2BDC=120°,探索線段DA、

DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系；

H

圖1

()如圖2,為等邊三角形，直線a"<B,D為BC邊上一點，zADE交直線a于點

E,且zADE=60°.求證：CD+CE=CA；

圖2

【延伸拓展】

(3)如圖3,在四邊形ABCD中，zABC+zADC=180°,AB=AD.若點E在CB的延長線

上，點F在CD的延長線上，滿足EF=BE+FD,請直接寫出ZEAF與zDAB的數(shù)量關(guān)

系.

12.(2023秋山西呂梁九年級?？茧A段練習(xí))綜合與實踐

問題情境：已知在等邊中，P是邊ZC上的一個定點.M是6C上的一個動點，以尸”

為邊在PM的右側(cè)作等邊連接CN.

猜想證明：

AAA

4N

N

N

圖1圖2圖3

(1腳圖1,當(dāng)點M在8。邊上時，過點P作PH〃45交8。于點H,試猜想CP,CN,CM

之間的數(shù)量關(guān)系.并說明理由.

(2澗題解決：如圖2,當(dāng)點M在C8的延長線上時，已知C15,CM=U.請直接寫出CW

的長.

⑶如圖3,當(dāng)點M在6。的延長線上時，(1)中的猜想是否依然成立？若成立，請說明理由;

若不成立，請寫出正確的猜想并說明理由.

13.(2023秋河南南陽八年級?？计谀?【問題初探】

(1)如圖1,在Y46。中，ZBAC=90°,期=4。，點D是8。上一點，連結(jié)4Q,以AD

為一邊作V4DE,使"4E=9O。，AD=AE,連結(jié)跖，猜想跖和CD有怎樣的數(shù)量關(guān)系，

并說明理由；

【類比再探】

(2)如圖2,在Y46c中，ZBAC=90°,初=4C,點M是研上一點，點D是6C上一

點，連結(jié)MD,以MD為一邊作YMDE,使NDME=90。，MD=ME,連結(jié)M，貝ij

ZEBD=(直接寫出答案，不寫過程)；

【方法遷移】

（3）如圖3,在Y45c是等邊三角形，點D是8。上一點，連結(jié)3,以4Q為一邊作等邊

三角形ME,連結(jié)跖，則5Q,BE,5C之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？答案：

（直接寫出答案，不寫過程）；

【拓展創(chuàng)新】

（4）如圖4,Y46C是等邊三角形，點M是43上一點，點D是8。上一點，連結(jié)

MD,以為一邊作等邊三角形連結(jié)BE.猜想NEBZ）的度數(shù)，并說明理由.

圖1圖2圖3圖4

14.（2023秋重慶沙坪壩九年級重慶市鳳鳴山中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，YABC和AABD分

別位于45兩側(cè)，點E為4Q中點，連接班，CE.

(1物圖1,若加C=460=9O。，4C=3,AB=BD=4,求CE的長;

(2旗口圖2,連接CD交疝?于點尸，在