冪函數(shù)與二次函數(shù)（原卷版）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新高考專(zhuān)用）

第04講幕函數(shù)與二次函數(shù)

目錄

第一部分：基礎(chǔ)知識(shí).................................................2

第二部分：高考真題回顧.............................................3

第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)...........................................3

高頻考點(diǎn)一：塞函數(shù)的定義........................................3

角度1：求哥函數(shù)的值..........................................3

角度2：求塞函數(shù)的解析式......................................3

角度3：由幕函數(shù)求參數(shù)........................................3

高頻考點(diǎn)二：塞函數(shù)的值域........................................4

高頻考點(diǎn)三：幕函數(shù)圖象..........................................5

角度1：判斷褰函數(shù)圖象........................................5

角度2：募函數(shù)圖象過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題..................................6

高頻考點(diǎn)四：塞函數(shù)單調(diào)性........................................7

角度1：判斷幕函數(shù)的單調(diào)性....................................7

角度2：由事函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)..................................8

角度3：由嘉函數(shù)單調(diào)性解不等式................................8

高頻考點(diǎn)五：塞函數(shù)的奇偶性......................................9

高頻考點(diǎn)六：二次函數(shù)............................................10

角度1：二次函數(shù)值域問(wèn)題.....................................10

角度2：求二次函數(shù)解析式.....................................10

角度3：由二次函數(shù)單調(diào)性（區(qū)間）求參數(shù).......................10

角度4：根據(jù)二次函數(shù)最值(值域)求參數(shù).......................11

角度5：動(dòng)軸定范圍，定軸動(dòng)范圍的最值問(wèn)題.....................11

第四部分：新定義題(解答題).......................................13

第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)

1、塞函數(shù)

(1)幕函數(shù)定義

一般地，形如的函數(shù)稱(chēng)為募函數(shù)，其中X是自變量，a是常數(shù).

(2)五種常見(jiàn)暴函數(shù)

—1

函數(shù)y=xy=x2y=戶(hù)y=x

手7K小

圖象

定義域RRR{x|x>0}{x|xw0}

值域R{yly>0)R{yly>0){y"0}

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)

性在(-8,0］上

在(—8,0)和

質(zhì)在R上單單調(diào)遞減；在在R上單調(diào)在［0,+8)上單

單調(diào)性(0,+8)上單

調(diào)遞增(0,+8)上單遞增調(diào)遞增

調(diào)遞減

調(diào)遞增

公共點(diǎn)(1,1)

(3)嘉函數(shù)性質(zhì)(高頻考點(diǎn))

幕函數(shù)/(乃=/，在xe(0,+8)

①當(dāng)a>0時(shí)，/(%)=%“在(0,+8)單調(diào)遞增；

②當(dāng)a<0時(shí)，/(x)=/在(0,+s)單調(diào)遞減；

2、二次函數(shù)

形如/(x)=ax2+bx+c{aw0)的函數(shù)叫做二次函數(shù).

第二部分：高考真題回顧

1.（2023,天津?統(tǒng)考高考真題）設(shè)4=1.0產(chǎn)5力=1.01。6,°=0.6°5,則d"c的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.c<a<b

第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)

高頻考點(diǎn)一：塞函數(shù)的定義

角度1:求塞函數(shù)的值

典型例題

例題1.（2024下?河南?高一信陽(yáng)高中校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知〃力=（笈2+2左+2）鏟+1+機(jī)-3是累函數(shù)，則

f（m）=（）

21

A.3B.—C.6D.—

33

例題2.（2024上?河北承德?高一統(tǒng)考期末）已知塞函數(shù)〃x）的圖象過(guò)點(diǎn)（0,8）,則而卜.

角度2：求塞函數(shù)的解析式

典型例題

例題L（2024上?安徽蕪湖?高一統(tǒng)考期末）若塞函數(shù)〃x）=a?（a,beR）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3,6）,則

/（x）=------------

（2\

例題2.（2024上?河北保定,高一統(tǒng)考期末）已知幕函數(shù)/（X）的圖象過(guò)點(diǎn)（2,8）,則/2）=.

\7

角度3：由塞函數(shù)求參數(shù)

典型例題

例題L（2024上?山東威海?高一統(tǒng)考期末）己知事函數(shù)/。）=百-2左-14）/在（0,+“）上單調(diào)遞增，則左=

A.-3B.3C.-5D.5

例題2.（2024上?安徽阜陽(yáng),高一阜陽(yáng)市第三中學(xué)校考期末）己知事函數(shù)yeR）的圖象不

經(jīng)過(guò)第二象限，則加=（）

A.2B.一2或1C.-1或2D.-1

練透核心考點(diǎn)

1.（2024上?河南商丘?高一?？计谀┤簟?=（裙-3）/是定義域?yàn)镽的幕函數(shù)，則，"=.

2.（2024上?安徽淮南?高一深圳市高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）若幕函數(shù)"%）=（病一2吁2）”3出在區(qū)間（0,+力）

上單調(diào)遞減，則機(jī)=.

3.（2024下?湖北?高一湖北省漢川市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）己知哥函數(shù)/（力=（蘇+機(jī)-5）廿M在

（0,+8）上單調(diào)遞減，則機(jī)=.

4.（2024上?安徽亳州?高一亳州二中校考期末）已知事函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)尸（2,⑹，則“4）等

于.

高頻考點(diǎn)二：幕函數(shù)的值域

典型例題

例題1.（2024?全國(guó)?高一假期作業(yè)）下列函數(shù)中，值域?yàn)椋?,+8）的是（）

A.于（X）=GB./（x）=x+—（x>0）

U"在D.&）=1一4>1）

例題2.（2024?全國(guó)?高一假期作業(yè)）已知塞函數(shù)〃x）=x2/F-6（"?eZ）在區(qū)間（0,+8）上是減函數(shù).

（1）求函數(shù)〃x）的解析式；

⑵討論函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性；

⑶求函數(shù)的值域.

練透核心考點(diǎn)

1.（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）下列函數(shù)中，定義域和值域不相同的是（）

L2x-2,x<0

A.尸一1B.y=<xC.y=一D.y=

xx+2,x>0

2

x3,-l<x<0

2.（2024下?河北承德?高二承德縣第一中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）函數(shù)）=的值域?yàn)?

2

,0<x<1

高頻考點(diǎn)三：塞函數(shù)圖象

角度1:判斷募函數(shù)圖象

典型例題

例題L（2024?江蘇?高一假期作業(yè)）函數(shù)=g/與g（x）=：（以?+l）+x在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖

象不可能為（）

例題2.（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）給定一組函數(shù)解析式：

①y=/;②,=③>=天5；④y=x§；⑤y=妙；⑥,=了百；⑦y=尤§?

⑶

A.⑥③④②⑦①⑤B.⑥④②③⑦①⑤

C.⑥④③②⑦①⑤D.⑥④③②⑦⑤①

角度2：塞函數(shù)圖象過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題

典型例題

例題1.（2024上?上海?高一上海市吳淞中學(xué)?？计谀┫铝忻}中正確的是（）

A.當(dāng)他=0時(shí)，函數(shù)y=x'"的圖象是一條直線

B.暴函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)（0,0）,（U）兩點(diǎn)

C.基函數(shù)y=/圖象不可能在第四象限內(nèi)

D.若累函數(shù)〉=/為奇函數(shù)，則、=/是定義域內(nèi)的嚴(yán)格增函數(shù)

例題2.（2024?全國(guó)?高一專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)y="夕<0）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A,若點(diǎn)A在一次函數(shù)

y=:九x+〃的圖象上，其中相，?>0,則'+'的最小值為（）

mn

A.1B.&C,2D.4

練透核心考點(diǎn)

1.（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知暴函數(shù)、J（〃,qeZ且。應(yīng)互質(zhì)）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，如圖所示,

則（）

A.p,q均為奇數(shù)，且:>°

B.q為偶數(shù),p為奇數(shù)，且/＜。

C.q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且￡＞。

Q

D.q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且/＜。

2.（多選）（2024上?重慶北培?高一統(tǒng)考期末）函數(shù)/'（"=加-2%+1與g（x）=x"在同一直角坐標(biāo)系中的

3.（多選）（2024?全國(guó)?高一專(zhuān)題練習(xí)）已知事函數(shù)=f的圖象經(jīng)過(guò)函數(shù)g（x）=a＞2-g"＞0且"1）

的圖象所過(guò)的定點(diǎn)，則幕函數(shù)具有的特性是（）

A.在定義域內(nèi)單調(diào)遞減B.圖象過(guò)點(diǎn)（1,1）

C.是奇函數(shù)D.定義域是R

高頻考點(diǎn)四：塞函數(shù)單調(diào)性

角度1：判斷幕函數(shù)的單調(diào)性

典型例題

例題L（2023上?北京海淀?高一統(tǒng)考期末）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在（0,+⑹上單調(diào)遞減的是（）

A.f（x）=4xB.f（x）=-x\x\

C.D.f（x）=x3

例題2.（2023上?湖南常德?高一湖南省桃源縣第一中學(xué)校考期中）函數(shù)/（尤）=（_*2+2尤+3）-5的單調(diào)遞減

區(qū)間為（）

A.[—1,1]B.C.（—1,1]D.。,3）

角度2：由幕函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)

典型例題

例題1.（2023上?江蘇鎮(zhèn)江?高一江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)校考階段練習(xí)）若y=（瘍是幕函數(shù)，

且在（0,+8）上單調(diào)遞增，則機(jī)的值為（）

A.-1或3B.1或-3C.-1D.3

例題2.（2023上?廣東佛山?高一佛山市順德區(qū)樂(lè)從中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知事函數(shù)y=（療-3卜"""3單調(diào)

遞減，則實(shí)數(shù)〃仁.

角度3：由塞函數(shù)單調(diào)性解不等式

典型例題

例題1.（2023上?高一課時(shí)練習(xí)）已知募函數(shù)y=x?-3（peN+）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，且在（0,+s）上單調(diào)遞

減，求滿(mǎn)足（°+1）9＜（3—2a）《的。的取值范圍.

例題2.（2023上?廣西欽州?高一?？计谥校┮阎?0〃2+2機(jī)_2）?尤高+2〃-3是幕函數(shù).

（1）求"?、"的值；

（2）若/■（2a+l）＜〃3-4a）,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

練透核心考點(diǎn)

1.（多選）（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又是定義域上的減函數(shù)的是（）

A.f（x）=-3x5B./（%）=21

C.〃x）=：D./（力=-2/

2.（2023上?河北滄州?高一統(tǒng)考期中）若幕函數(shù)“尤）=（療-9加+19）尤”1在（0,+8）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)

m=

3.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知累函數(shù)〃x）=（2加+根-2產(chǎn)后在（0,+向上是增函數(shù)

⑴求〃尤）的解析式；

⑵若/求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

4.（2023上?湖南長(zhǎng)沙?高一長(zhǎng)沙一中?？计谥校┘褐潞瘮?shù)"對(duì)=（2/-根-2）11在定義域內(nèi)單調(diào)遞增.

⑴求〃尤）的解析式；

（2）求關(guān)于x的不等式〃x+l）<八尤2-2尤+3）的解集.

高頻考點(diǎn)五：幕函數(shù)的奇偶性

典型例題

例題1.（2024?全國(guó)?高一假期作業(yè)），鼎函數(shù)〃尤）=（蘇+加-1卜.在（。,+8）上為增函數(shù)"是"函數(shù)

g（x）=2'-M.2T為奇函數(shù)”的（）條件

A.充分不必要B.必要不充分

C.充分必要D.既不充分也不必要

例題2.（2024上?上海虹口?高一統(tǒng)考期末）設(shè)ae>2,若毫函數(shù)y=/的圖像關(guān)于>軸對(duì)稱(chēng)，

且在區(qū)間（。,+8）上是嚴(yán)格增函數(shù)，則實(shí)數(shù).

練透核心考點(diǎn)

1.（多選）（2024上?廣東深圳?高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)/（x）=（2機(jī)-療）/"為幕函數(shù)，則下列結(jié)論正確

的為（）

A.772=1B./（X）為偶函數(shù)

c./（X）為單調(diào)遞增函數(shù)D.“X）的值域?yàn)椋邸?+功

2.(2024上?福建南平?高一統(tǒng)考期末)已知暴函數(shù)/(%)=(m2-3m+l)xM-2.若/(x)是奇函數(shù),則機(jī)的值為.

高頻考點(diǎn)六：二次函數(shù)

角度1：二次函數(shù)值域問(wèn)題

典型例題

例題L(2024上?江西?高一校聯(lián)考期末)已知函數(shù)/(x)=f-2x+3,則/(尤)在區(qū)間[0,4]的值域?yàn)?)

A.[3,6]B.[2,6]

C.[2,11]D.[3,11]

例題2.(2024上?河南新鄉(xiāng)?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)“X)滿(mǎn)足log3〃x)=如，且"X)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,3).

(1)求“X)的解析式；

(2)求函數(shù)g(力="(x)f—4/(x)+5在上的值域.

角度2：求二次函數(shù)解析式

典型例題

例題1.(2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知二次函數(shù)尸加+版+c的圖象過(guò)點(diǎn)(0,0),(5,0),且最小值為一亍.

①求函數(shù)的解析式；

例題2.(2024上?青海西寧?高一統(tǒng)考期末)設(shè)/?(x)=m？+7a+6,已知函數(shù)過(guò)點(diǎn)(1,3),且函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸

為x=2.

⑴求函數(shù)的表達(dá)式；

(2)若xe[-L,3],函數(shù)的最大值為最小值為N,求M+N的值.

角度3：由二次函數(shù)單調(diào)性(區(qū)間)求參數(shù)

典型例題

例題1.（2024下?云南紅河?高一蒙自一中?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知二次函數(shù)>=2以+1在區(qū)間（2,3）內(nèi)是單

調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.（-co,2]u[3,+oo）B.[2,3]

C.（^o,-3]u[-2,+oo）D.[-3,-2]

例題2.（2024上?四川宜賓?高一統(tǒng)考期末）已知事函數(shù)/（x）=（療-3相+3卜的為偶函數(shù)，若函數(shù)

丫=〃司-2（”1）無(wú)在區(qū)間（-1,1）上為單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）

A.（-<?,0]B.[2,+co）C.[0,2]D.（-<?,0]kJ[2,+oo）

角度4：根據(jù)二次函數(shù)最值（值域）求參數(shù)

典型例題

例題1.（2024上?廣東中山?高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)/（x）=x2-4x+5在[見(jiàn)”]上的值域是口,10],貝!J"f”的

最大值是（）

A.3B.6C.4D.8

例題2.（2024上?江西九江?高一江西省廬山市第一中學(xué)?？计谀┰O(shè)二次函數(shù)/（司=辦2-2彳+°（“€11）的

值域是[0,+8）,則■+工的最小值是.

ca

角度5：動(dòng)軸定范圍，定軸動(dòng)范圍的最值問(wèn)題

典型例題

例題1.（2023上?北京?高一北京市第十二中學(xué)校考期中）已