解三角形的圖形類問(wèn)題和重要模型-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

重難點(diǎn)11解三角形的圖形類問(wèn)題和重要模型【九大題型】

【新高考專用】

?題型歸納

【題型1兩次使用余弦定理】...................................................................3

【題型2等面積法】...........................................................................5

【題型3解三角形中的中線模型】...............................................................8

【題型4解三角形中的倍角模型】..............................................................II

【題型5解三角中的角平分線模型】............................................................15

【題型6解三角中的高模型】..................................................................19

【題型7解三角形中的等分點(diǎn)模型】...........................................................22

【題型8三角形的重心問(wèn)題】..................................................................25

【題型9三角形的外接圓、內(nèi)切圓問(wèn)題】.......................................................29

?命題規(guī)律

1、解三角形的圖形類問(wèn)題和重要模型

解三角形是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，是每年高考必考內(nèi)容之一.從近幾年的高考情況來(lái)看，正、余弦定理解三

角形在選擇題、填空題中考查較多，難度較易；解答題中解三角形的圖形類問(wèn)題和一些重要模型也是考查

的重要內(nèi)容，中等難度，有時(shí)也會(huì)與三角函數(shù)、平面向量等知識(shí)綜合考查，解題方法多種多樣，需要靈活

求解.

?方法技巧總結(jié)

【知識(shí)點(diǎn)1三角形圖形類問(wèn)題的解題策略】

1.解決三角形圖形類問(wèn)題的常用方法：

(1)兩次使用余弦定理：兩次使用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定理

的性質(zhì)解題；

(2)等面積法：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學(xué)問(wèn)題利用等面積法使得問(wèn)題轉(zhuǎn)化為更為簡(jiǎn)單的問(wèn)

題，相似是三角形中的常用思路；

(3)正、余弦定理結(jié)合：正弦定理和余弦定理相結(jié)合是解三角形問(wèn)題的常用思路；

(4)相似三角形：構(gòu)造輔助線作出相似三角形，結(jié)合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長(zhǎng)比例關(guān)系的

不錯(cuò)選擇；

(5)平面向量：平面向量是解決幾何問(wèn)題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運(yùn)算法

則可以將其與余弦定理充分結(jié)合到一起；

(6)建系：建立平面直角坐標(biāo)系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結(jié)合充分挖掘幾何性質(zhì)使得問(wèn)題更

加直觀化.

【知識(shí)點(diǎn)2解三角形中的重要模型】

1.中線模型

(1)中線長(zhǎng)定理：在△ABC中，角4B,C的對(duì)邊分別為q,b,c,40是5C邊上的中線，則

22

AB+AC=2(AZM+")

(2)向量法：AD2=(Z?2+c2+2bccosA).

2.倍角模型

B=2A=/=q(a+。)

C=2Boc2=b(b+a),這樣的三角形稱為“倍角三角形”.

A=2C=/=0(。+6)

推論1：4=22今/=/b^=高06=a

2cos83-4sin2B

推論2：4=25=￡=1+2cosA<^>b+c=2acosB.

b

3.角平分線模型

1AnAn

角平分線張角定理：如圖，AD為NBAC平分線,則cosNA4Q=L(嗎+嗎)

2bc

斯庫(kù)頓定理：如圖，4。是的角平分線，則5。。。，可記憶：中方=上積-下積.

4.等分點(diǎn)模型

如圖，若尸在邊BC上，且滿足定=4而，|/P|=加，則延長(zhǎng)/尸至。，使麗=4方，連接CO.

易知_&DC=Ze,\AD\=(l+A)\AP\,ABAC+ZACD=1^0°.

A

【題型1兩次使用余弦定理】

【例1】（2024?河南?三模）在△力BC中，AB=3V2,cos^BAC=-^,AD1AC,且4。交BC于點(diǎn)D,AD=3,

則sinC=（）

A.iB.遺C.漁D.延

3333

【解題思路】利用誘導(dǎo)公式求出COSNB4D,再利用余弦定理求出BD及COSN/WB即可得解.

【解答過(guò)程】由cosNB力C=-g>W_L4C,得sin/BAD=sin（NB力C一5）=—cosNB4C=g

而NBA。為銳角，貝ijcos血D=[1一（,=￥，

在△4BD中，由余弦定理得BD=J（3魚(yú)/+32-2x3金x3x券=百，

32+（㈣2―（3&）2_73

所以sinC=cosZ-ADC=—cosZ-ADB=—

故選：B.

【變式1-1]（2024?黑龍江哈爾濱?三模）已知△ABC的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a”,c,且a=V^,BC邊上中

線長(zhǎng)為1,則be最大值為（）

C.V3D.2V3

【解題思路】根據(jù)兩角互補(bǔ)余弦值之和等于0,然后分別在三角形中利用余弦定理求出兩角的余弦，列出方

程求出爐+C2=Z,然后利用基本不等式求出最值即可.

【解答過(guò)程】由題意得N4DB+乙4DC=TT,

所以cosZ-ADB+cosZ-ADC=0,

又a=后且。是8C的中點(diǎn)，所以DB=DC='

-J-..AnrxIzir\nAD^~A—0

i±AABD中，cosZ-ADB=---------=^=-

2ADBDV3

在△皿C中，儂4仙=喂￥=亨

7_y7—m

所以cos^ADC+cos^ADB=，+耳=0,

V3V3

即b24-c2=-,得2bc</)2+c2=-=>6c<-,當(dāng)且僅當(dāng)b=c="取等號(hào),

2242

故選：A.

【變式1-21（2024?浙江臺(tái)州?二模）在△4BC中,角4B,。所對(duì)的邊分別為a,b,c,若acosC2ccosX,

則等的最大值為（）

aL

A.V3B.-C.—D.3

22

【解題思路】根據(jù)題意，由余弦定理代入化簡(jiǎn)，再由基本不等式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【解答過(guò)程】由余弦定理可知，cosC=Tcos4=的等，

2ab2bc

由QCOSC=2ccos4可得Q?0+'=2c-

2ab2bc

22

化簡(jiǎn)可得@2+b-c=2b2+2c2-2a2,

所以3a2=抉+3c2,即次=^3—,

日|-|bc_3bc_33_V3

即/=再5?=率4廠同=

當(dāng)且僅當(dāng)￡=干時(shí)，即6=岳時(shí)，等號(hào)成立，

所以我的最大值為當(dāng)

故選：C.

【變式1-3］（2024?陜西咸陽(yáng)?三模）在△A8C中，a、b、c分別為△ABC的內(nèi)角4B、C的對(duì)邊,M為邊AC

上一點(diǎn)，滿足荻=3俞，若a2+c2—/）2+ac=。，c=2,a=4,則|前|=（）

A.且B.世C.三D.坦

2772

【解題思路】由已知條件求出6,由余弦定理求出B,再由正弦定理求出sinZ,進(jìn)而求出cosA,在△力BM

中，由余弦定理即可求出|麗|

【解答過(guò)程】

由已知，a2+c2—b2=—ac,則cosB="十，一」=—=-

2ac2ac2

因?yàn)锽G(O,Tt),所以8=當(dāng)，

又c=2,a=4,代入/+c?-/?2=-ac,解得b=2位，

因?yàn)镸為邊4c上一點(diǎn)，滿足祝=3而，所以4M=；4C=t，

42

由正弦定理上=-、，即絲=三，解得sinA=學(xué)，所以cosH=竽，

smBsinXsin寧sinX77

設(shè)I前|=x,則在△A8M中，由余弦定理BM2=AB2+AM2-2AB?力McosA,

2

得刀2=22+(巧-2x2XyX^=^,解得X=y,即\BM\=y.

故選：A.

【題型2等面積法】

【例2】（2024?海南?模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，N4CB的平分線與對(duì)邊4B交于點(diǎn)。，若△C4D的面積為△CBD

的2倍，且CD=2,N4CB=120°,則BC=()

A.3B.4C.6D.8

【解題思路】借助三角形面積公式計(jì)算可得C4=2CB,再利用等面積法計(jì)算即可得解.

【解答過(guò)程】由=2SMBD，則有］xCACD-sin等=2x^xCB-CD-sin岑,

即有C4=2CB,

又S/XC4D+S^CBD—S/UBC'

則有工xCA-CD-sin仝+-xCB-CD-sin任=-xCACB-sin^ACB,

22222

即2c/+2BC=G4?8C,即有4BC+2BC=即BC=3.

故選：A.

c

【變式2-1](2024?遼寧丹東?二模)在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，4D平分NB4C,NB4C=120。，48=2班,

AD=苧，貝!MC=()

A.2B.V3C.3D.2V3

【解題思路】本題角平分線長(zhǎng)問(wèn)題，利用面積關(guān)系SOBC=SOBD+S&WC，結(jié)合面積公式，就能求解出力C

的長(zhǎng).

【解答過(guò)程】因?yàn)镾A4BC=S4ABD+S^ADC，

所以gx4BxACxsinl20°=^xABxADxsin60°+^xADxACxsin60°,

即力BXAC^ABXAD+ADXAC,代入2B=2百，AD=竽，

可得2百x4C=2百x竽+竽x4C,則竽xAC=4,

解得AC=V3.

故選：B.

【變式2?2】(2024?湖南長(zhǎng)沙?三模)記△ZBC的內(nèi)角48c的對(duì)邊分別為a,瓦的已知Q=2/=4.

(1)若cosB+2cos4=ccosC,求C的值；

(2)若。是邊AB上的一點(diǎn)，且CD平分41CB,COSNACB=一右求CD的長(zhǎng).

【解題思路】(1)由已知可得acosB+bcosZ=2ccosC,邊化角，可得sirh4cosB+sinBeosA=2sinCcosC,

利用三角恒等變換可求C；

2h"B

(2)由已知可得cos罕=%利用S^BC=SZUDC+SABDC，可得CD=":;千，可求解.

【解答過(guò)程】(1)由題意得2cosB+4cos/=2ccosC,所以acosB+bcosA=2ccosC.

由正弦定理，得sin/cosB+sinBeosZ=2sinCcosC,即sin(/+B)=2sinCcosC.

又sin(i4+B)=sinf,所以sinC=2sinCcosC,又sinCW0,所以cost*=

因?yàn)閏c(Om),所以c

(2)由cos/ZCB=_*,得2cos1=一2，解得cos^^=|.

由SMBC=^AADC+SABDC，

^-absinZ.ACB=-b-COsin^^+-a-CD-sin^^,

22222

即2abeos=(a+b)CD,

c,/-ACB2

2abeos---2x2x4xj16

所以CD=

a+b2+4T

【變式2-3](2024?山東泰安?模擬預(yù)測(cè))已知△ABC內(nèi)角48,C的對(duì)邊分別為a,0c,b(sinB+sinC)=(。一

c)(sinA+sinC).

⑴求/;

(2)A的平分線力。交BC于。點(diǎn)，9b+c=64,求力。的最大值.

【解題思路】⑴根據(jù)題意利用正弦定理可得+c)=(a-c)(a+c),再結(jié)合余弦定理可得cos力=-

即可得結(jié)果;

(2)根據(jù)題意結(jié)合面積關(guān)系可得4。=名，再利用基本不等式分析求解.

b+c

【解答過(guò)程】(1)因?yàn)閎(sin8+sinC)=(a-c)(sinZ+sinC),

由正弦定理得b(b+c)=(a—c)(a+c),整理得/-|-c2-a2=—be,

由余弦定理得cos4=與三=言=一；，

2bc2bc2

且力€(O,TT),所以力=g.

(2)因?yàn)?D為N的角平分線，貝此乙4=4

由SA48D+S&ACD=^AABC>

可得1c-AD-sm/-BAD+|b-AD-smz.CAD—^bcsinz.BAC.

整理得2D(b+c)=be,

又因?yàn)?b+c=64,

用得ZD_匹_J_11

可侍4D_He_14_GW)鬻_39+］、瑤)

當(dāng)且僅當(dāng)：=亞，即c=3b=16時(shí)，等號(hào)成立,

bc

所以4D的最大值為4.

【題型3解三角形中的中線模型】

[例3](2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))記△4BC的內(nèi)角NBZC/B/C的對(duì)邊分別為a,瓦c,己知2bcosBcos2C=a-

2ccosCcos2B.

(1)求NBHC.

(2)若b+c=8,且邊BC上的中線AD=，，求△力BC的面積.

【解題思路】(1)利用正弦定理及三角公式求COSNBAC=-盤(pán)根據(jù)角的范圍可得

(2)根據(jù)余弦定理可得be=15,根據(jù)面積公式求解可得

【解答過(guò)程】(1)由已知條件及正弦定理，得2sinBcosB?cos2c=sinZ.BAC—2sinCcosCcos2B.

整理，得sin28cos2c+sin2Ccos2B=sinZ-BAC,

即sin(2B+2C)=sinZ.BAC.

又(B+Z-C—IT-Z-BACf

所以一sin2z_B4c=sin/BZC,

^—2s\nZ-BACcosZ-BAC=sinZ_B4C.

因?yàn)閟inNBZC與0,所以cosNB4C=-g.

又NB4Ce(0,n),所以=

(2)由題意得，2同=荏+就，

所以4而2=屈2+前2+2AB-AC,

即19=c2+b2+2cbeos曰=(b+c)2-3bc=64—3bc,

所以be=15.

i^SAABC=|bcsinzBXC=；x15xsing=

【變式3-1](2024?湖南長(zhǎng)沙?三模)如圖，在△ABC中，已知48=3,AC=6,4為銳角，BC,AC邊上的兩條

中線AM,8N相交于點(diǎn)P,△4BC的面積為竽.

⑴求BC的長(zhǎng)度；

(2)求N4PB的余弦值.

【解題思路】(1)因?yàn)镾.BC="BrCsinNBAC,得到，由乙84c=或在△力BC由余弦定理即可得到BC

的長(zhǎng)度.

(2)因?yàn)榱t+BC2=9+27=36=4。2,所以乙⑶4C為直角，BN=3,；.BP==2.在aABM中，

由勾股定理得力M,即得到4P,在△力BP中，由余弦定理即可得到乙4PB的余弦值.

【解答過(guò)程】(1)由題知，SAABC=^AB-ACsim.BAC-所以sin/B4C=亨，

又因?yàn)镹B4CC(0,n),所以NB4C=0或g.因?yàn)锳BAC為銳角，所以NB4C=g.

2

在44BC中，由余弦定理知PC?=AB2+AC-2-AB-ACCOSABAC,

整理得=9+36-2X3X6X1=27,解得8c=3V3.

(2)因?yàn)榱?+Be2=9+27=36=AC2,

所以N4BC=]BN/AC=3,,BP=|BN=2

在△ABM中，由勾股定理得：AB2+BM2=AM2,AM=4P=|AM=A/7

所以在△力BP中，由余弦定理得cos乙4PB=1AB2=￡

￡>/ir'DrJLTT

所以乙4PB的余弦值為以

14

【變式3-2](2024?陜西西安?三模)在44BC中，角2,B,C的對(duì)邊是a,b,c,已知b(l+cosA)=c(l-cos2B).

(1)證明力=c;

(2)若BC邊上的高ZD為2,AC邊上的中線BE為2也求△ABC的面積.

【解題思路】(1)利用三角函數(shù)恒等變換以及正弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得cos(8-C)=1,可求B-Ce(-

TT,TT),可得B一宜=0,即可證明。=C；

(2)由題意可求cosC=隼=條在ABEC中，由余弦定理可得a=4g,b=c=4,利用三角形的面積公式即

可求解.

【解答過(guò)程】(1)證明：因?yàn)?1+cos/)=c(l-cos2B),

則b(l+cos/)=c-2sin2B,

由正弦定理得:sinB(l+cosTl)=sinC-2sin2B,

因?yàn)锽W(0,n),sinBH0,

所以1+cos>l=2sinCsinB,

又因?yàn)锽+C+/=m所以1-cos(B+C)=2sinCsinB,

所以1-cosBcosC+sinCsinF=2sinCsinB

所以cos(B-C)=1,

因?yàn)锽-CC(—Tt,TT),

所以B—C=0所以B=C,即6=c,得證；

(2)因?yàn)?c邊上的高40為2HC邊上的中線BE為2V7,所以4。1BC,

所以cosC=：=/,

在△BEC中，由余弦定理得：BE2=BC2+EC2-2BC-ECcosC,

所以28=a?+(療一2a?g?條即28=券+彳,且,?+4=/,解得a=4但b=c=4,

所以S=|axAD=4A/3.

【變式3-3](2024?新疆烏魯木齊?二模)在△ABC中，點(diǎn)M,N分別為BC,4C的中點(diǎn)，4M與BN交于點(diǎn)G,4M=

3,/-MAB=45°.

(1)若力C=5或,求中線BN的長(zhǎng)；

(2)若△力BC是銳角三角形，求四邊形GMCN面積的取值范圍.

【解題思路】(1)對(duì)2宿=四+前兩邊同時(shí)平方可得|法|=7VL再由平面向量的運(yùn)算法則得前=宿-

|國(guó)，對(duì)其兩邊同時(shí)平方即可得出答案.

(2)由分析知SGMCN=￥|4B],再分別討論為銳角，由數(shù)量積的定義求出明的范圍，即可得出

答案.

【解答過(guò)程】(1)因?yàn)辄c(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，所以2前=屈+前，

則左=2詢一屈，即就2=4宿2-4前?屈+同2,

即50=4x9-4x3x麗X號(hào)+|祠之，解得：國(guó)=7a或畫(huà)=一企(舍去)，

又因?yàn)榍?AN-AB=|4C-AB=1x(2AM-AB)-AB=AM-1屈，

BN2=AM2-3AB-AM+-AB2,即麗2=9-33x7V2x—+-x49x2=—,

424x2

所以I前I=竽=學(xué).

A

(2)SGMCN=S&AMC_S&AGN=HAMC~^AMC=

=|x|x\AB\x3x^-=^\AB\,

因?yàn)椤髁C是銳角三角形，所以乙4是銳角，即麗?前＞0,

2

即卷《2前一詬)>0,所以|屈I-3V2|AB|<o,Mo<|AB|<3V2,

NB是銳角，即麗?瓦？＞0,BP（AM-AB）-^4F＜0,

所以3|祠x曰-廊『＜0,得畫(huà)＞苧,

NC是銳角，即方?麗>0,BP(^4F-2XM)-(XB-AM)>0,

所以|說(shuō)『_3AB-AM+2\AM^>0,得|同『一竽|而|+18>0,

所以國(guó)eR,綜上：乎＜畫(huà)＜3V2,

所以SGMCN=爭(zhēng)力B|eC,3).

【題型4解三角形中的倍角模型】

【例4】（2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè)）已知銳角△力BC中，角4,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,其中a=8,

a?,siM/—sin2c口

片1+SNB'且a^c-

⑴求證：B=2C；

（2）已知點(diǎn)M在線段力C上，S.AABM=ACBM,求BM的取值范圍.

【解題思路】（1）由正弦定理得扶=c2+ac,又由余弦定理得挾=a?+c2-2accosB,結(jié)合整理可得角

的關(guān)系;

⑵由正弦定理得a=券，又因?yàn)椤鲊?guó)為銳角三角形且B=2C,結(jié)合三角函數(shù)值域可求得線段

長(zhǎng)度的取值范圍.

【解答過(guò)程】（1）因?yàn)榘?1+四竺*,

csin"B

即二=%￥竺，由正弦定理可得二=土;(a+c)(a-c)

csin￡BcbL~-

又QHc,即a-cHO,所以，=貴，整理得扶=+QC,

由余弦定理得房=a2+c2—2accosB,整理得c=a—2ccosB,

由正弦定理得sinC=sinA—2sinCcosB,

故sinC=sin(B+C)-2sinCcosB,

即sinC=sinBcosC+sinCcosB—2sinCcosB,

整理得sinC=sin(B—C),

又因?yàn)椤髁C為銳角三角形，則ce(o,3，Be(o，m，可得g—

所以C=B—C,即B=2C.

(2)因?yàn)辄c(diǎn)M在線段AC上，且乙=即平分乙48C,

又B=2C,所以NC=NCBM,則4BMC=TT-C-NCBM=TT-2C,

在△MCB中，由正弦定理得eBM

sinC'

BCsinC8sinC8sinC_4

所以=—,

sinzFMCsin2c2sinCcosCcosC

(0<C<-

2

因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，且B=2C,所以|0<2C<^,解得￡vc<；.

264

0<n-3C<-

I2

故了＜cosC〈苧，所以竽＜BM＜4&.

因此線段BM長(zhǎng)度的取值范圍(竽,4夜).

【變式4-1](2024?內(nèi)蒙古?三模)在4ABC中，內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且(a-&b)cosC=c(V2cosF-

cosA).

(1)求擲值;

(2)若B=2C,證明：△ABC為直角三角形.

【解題思路】(1)由正弦定理和逆用正弦和角公式得到力=&。，求出答案；

(2)由(1)得至！JsinB=V2sinX,結(jié)合B=2C,得至!Jsin2c=V2sin2CcosC+V2cos2CsinC,化簡(jiǎn)得到

cosC=與C=?B=%得到答案.

N4Z

【解答過(guò)程】(1)由(a—V2Z?)cosC=c(V2cosB-cosZ),

可得acosC+ccosi4=魚(yú)(bcosC+ccosB),

所以sinXcosC+sinCcosA=V2(sin^cosC+sinCcosB),

所以sinB=V2sin>l,

則b=V2a,即2=V2.

a

(2)證明：由(1)可得sinB=V^sinA

又B=2C,所以sin2C=魚(yú)sin(B+C)=V2sin3C,

即sin2c=V2sin(2C+C)=V2sin2CcosC+V2cos2CsinC,

故2sinCcosC=2V2sinCcos2C4-V2cos2CsinC,

所以2cosC=2V^cos2c+2A/2COS2C—V2,

即4V2COS2C—2cosf-V2=0,

因?yàn)锽=2C,所以C為銳角，

解得cosC=?(負(fù)值舍去),即C=*B=]

所以△力BC為直角三角形.

【變式4-2](2024?陜西商洛?模擬預(yù)測(cè))在銳角△ABC中.內(nèi)角4B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,已知a-

2ccosB=c.

⑴求證：B=2C；

⑵求sinF+2gcos2c的取值范圍.

【解題思路】(1)由正弦定理，三角形內(nèi)角和定理變形，利用兩角和差公式求得sinC=sin(B-C),然后

利用正弦函數(shù)性質(zhì)即可求得B=2C；

(2)利用三角恒等變換得sinB+2bcos2c=2sin(B+§+次，由條件求8的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求

解范圍即可.

【解答過(guò)程】(1)因?yàn)閍—2ccosB=c,

所以sinA=sinC+2sinCcosB=sinBcosf+cosBsinC,

所以sinC=sinBcosC-cosBsinC=sin(B—C),

因?yàn)?,C為銳角三角形內(nèi)角，所以0<B<*0<C<5

所以一廣B—所以C=B-C,即B=2C；

（2）sinB+2A/3COS2C=sinB+V3（l+cos2C）=sinB+V3cosB+V3=2sin（B+］）+V5,

（0<B

由題意得|o<C=*，解得曰<8<m，所以?<8+m<”,

乙乙3L33o

八，3B/7i

0<71---<一

I22

所以［<sin（B+§<亨，所以1+g<sinB+2V3cos2C<2V3,

即sinB+2^cos2c的取值范圍為（1+百,2百）.

【變式4-3］（2024?天津河北?二模）在△力BC中，角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知c=4,b=3.

⑴若cosC=—i,求a的值和△ABC的面積；

⑵在（1）的條件下，求cosCc+g的值；

（3）若力=2B,求a的值.

【解題思路】（1）由余弦定理求a,再根據(jù)cosC求sinC,進(jìn)而求得△力BC的面積；

（2）由二倍角公式求得sin2c和cos2C,再由兩角和與差的余弦公式得解；

（3）由正弦定理得到cosB與a的關(guān)系，再結(jié)合余弦定理求解a的值.

【解答過(guò)程】(1)在△力BC中，由余弦定理得cosC=駕三，即等吧=一

2ab2x3xa4

化簡(jiǎn)得2a2+3。-14=0,解得a=2或a=-1(舍)，??.a=2,

CG(Oji),cos。=-*,?sinf=V1—cos2C=平，

4BC的面積S=—ctbsiviC=—x2x3x——=-.

2244

(2)sin2c=2sinCcosC=2x—x(—!),

4V4/8

cos2C=2cos2c-1=2x(——1=—

(I吟“IT?”.7171(V15\V33V5-7

cos(2nrL4—1=COS2Lcos—sin2csin-=—Kx—(----1x—=-----.

V3/3382V87216

(3)在△ABC中，由正弦定理得-*=-&羨

smAsmB

??,A=2B,a=—^―=-------，化簡(jiǎn)得cosB=

sin2BsinB2sinFcosF6

由余弦定理得cosB=片土。2+16-9

2x4xtz

解得。=用（負(fù)值舍去），

2x4xa6

所以a=V21.

【題型5解三角中的角平分線模型】

【例5】（2024?河北張家口三模）在△ABC中，內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,點(diǎn)。為邊BC上一點(diǎn),

且滿足(而+IC)-=0.

⑴證明：AD=b-,

（2）若4。為內(nèi)角/的平分線，且而=：而+|前，求sinA.

【解題思路】（1）記的中點(diǎn)為E,利用向量運(yùn)算證明4ELBC即可；

（2）先根據(jù)向量關(guān)系得而=2尻，再由角平分線定理可得c=2b,分別在△/!（：￡）,△4BD使用余弦定理可

得涼=竽，再在△4BC中利用余弦定理求cos4然后由平方關(guān)系可得sinA

【解答過(guò)程】（1）記CD的中點(diǎn)為E,則前+尼=2荏，

因?yàn)椋ǘ?尼）?尻=2荏?阮=0,所以ZE_LBC,

所以力E為CD的垂直平分線，所以4。=AC=b.

(2)i己NC力。=e,

因?yàn)槎?（四+g尼，所以而-荏=2（而一前）,

所以而=2反，BD=|a,DC=1a,

又力。為內(nèi)角N的平分線，所以（=瞿=2,c=2b,

在ZBD中，分別由余弦定理得：

b2+b2-2b2cos。=—,b2+4b2—4b2cos。=—,

99

聯(lián)立可得a?=竽，

*+4'_吧1

在aABC中，由余弦定理得cosTl=-3

4/8

所以sinA=J1-0之=挈.

A3

【變式5-1](2024?四川攀枝花?三模)請(qǐng)?jiān)冖?a=2ccosB,分包=tanC+tanB,

ccosB

③百sin(4+B)=3-2cos2(三個(gè)條件中選擇一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，B,C所對(duì)的邊分別是a,6,c,已知

⑴求角C;

(2)若6=4,點(diǎn)。在邊力B上，CD為N4CB的平分線，求邊長(zhǎng)a的值.

【解題思路】(1)選①，由余弦定理可得cosC的值，再由角C的范圍，得到角C的大小即可；選②，由正弦

定理及輔助角公式，可得tanC的值，再由角C的范圍，得到角C的大小即可；選③，由三角形內(nèi)角和定理及

半角公式得到角C的大小即可；

(2)由角平分線的性質(zhì)結(jié)合等面積法列出方程，得到a的值即可.

【解答過(guò)程】(1)選①，因?yàn)?a-b=2ccosB,

則由余弦定理可得2a—b=2c?駕法，

2ac

整理可得〃+&2—c2=ab,由余弦定理可得M+b2—c2=2abcosC,

可得cosC=g因?yàn)椤?(0,2，所以C=全

選②，且匕=tanC+tanB,

rrt>iV3sin4sinf,sinB

所以------=----1--------,

sinfcosBcosCcosB

整理可得：.sin」=sin(B+C)sin4

,sinCcosBcosCcosBcosCcosB

]

因?yàn)閟in4>0,cosB*0,—=

sinCcosC，

所以tanC=8,因?yàn)镃E(Oji),可得C=]；

選③，V3sin(?l+B)=3-2cos2|,可得V5sinC=2—cosC,

可得2sin(C+])=2=>sin(C+^)=1,

因?yàn)閏e(o，m，c+江所以c+7=5可得c=*

(2)在△ZBC中，S^ABC=S^ACD+S^BCD,

可得3a-CD+CD=V3a,記為①，

又SACDB=[a,CD=記為②，

由①②可得==i

a+43

解得。=2或Q=-|(舍去)，

所以邊長(zhǎng)a=2.

【變式5?2】(2024?廣東深圳?模擬預(yù)測(cè))已知△ZBC中內(nèi)角的對(duì)邊分別為Q,6,C,且滿足Bc+bsinZ=

V^acosB.

⑴求角4的大??；

(2)若。是邊3c上一點(diǎn)，且是角/的角平分線，求有的最小值.

【解題思路】(1)由正弦定理和正弦和角公式得到tan力=-百，求出4=與；

(2)利用余弦定理得到BC=7b2+c2+be,由三角形面積公式和S^BD+S^ACD=S^BC求出4。=/，表

達(dá)出第二亞卷泗,利用兩次基本不等式求出最值.

b+c

【解答過(guò)程】(1)由題意知△/BC中，V3c+bsinA=V3acos^,

故BsinC+sinBsinA=V^sinZeosB

即V^sin(Z+B)+sinBsinA=V3sinXcosB,

即遮(sirh4cosB+cosZsinB)+sinBsinZ=V^sinZeosB,

所以V^cosZsinB+sinBsinX=0,

而3G(0,11),故sinBW0,

故gcosA+sinZ=0,即tanA=—V3,

又ae(0,TT),故4=號(hào)；

(2)由余弦定理：BC=Vh2+c2-2bccosA=Vb2+c2+be,

又S4ABD+S△ACD=S4ABC，

所以工c?孫in60°+-b-ADsm60°=-Z?csinl20°,所以AD=

222b+c

r-rBCy/b2+c2+bc\2bc+bcrrb+c02>[bc0后

所以布=匹=8,辰,幅=2遮,

b+cb+c

當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)，取等號(hào)，則與的最小值為2百.

AD

【變式5-3】(2024?山東?模擬預(yù)測(cè))從①加字當(dāng)=叱￡,③2asin2?=b戾比4這三個(gè)條

bcosBsinn+smca2

件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中.

已知△力BC的內(nèi)角力，B,C的對(duì)邊分別為a,b,c且.

(1)求角B的大?。?/p>

(2)若2的角平分線交邊BC于點(diǎn)D,且逐，c=2,求邊6.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【解題思路】(1)利用正弦定理，余弦定理，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理，二倍角公式，求cosB,從而確定

B的大小.

(2)在△4BD中，利用正弦定理可求NB4D,進(jìn)而判斷△4BC的形狀，可求邊6.

【解答過(guò)程】(1)若選擇①，則因?yàn)槲?鼻@,

bcosB

由正弦定理得sinBcosf+cosBsinC+2sinZcosB=0,

所以sin(B+C)+2sinZcosB=0,即sin4(2cosB+1)=0,

從而cosB=--|,

因?yàn)锽G(0,兀)，所以B=g.

若選擇②則：因?yàn)榫?dāng)=上，

smn+sinca

由正弦定理得按=a2+c2+ac,

又由余弦定理抉二次+_2accosB,

從而cosB=-1,

B€(0,兀)，所以B=g.

若選擇③則：因?yàn)?asin2|=^3bsinA,所以a(l—cosB)=V^bsinA,

由正弦定理得sin4(l—cosB)=V^sinBsinZ,

整理得V^sinB+cosB=1,所以sin+J=1

因?yàn)?￡(0,兀)，所以

所以所以

663

(2)如圖：在△4BD中，￡=

B

D

AC

所以sin乙MB=甯=苧，

所以所以4BAD==

所以NACB=/.BAC=-,

6

所以△4BC是等腰三角形，且。=的

所以b=2acos-=2V3.

6

【題型6解三角中的高模型】

[例6](2024?四川?模擬預(yù)測(cè))在△ABC中,內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且舊csinB+bcosQA+B)=b.

(1)求角。的大??；

(2)若a=8,△ABC的面積為4百，求ZB邊上的高.

【解題思路】(1)由正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角，結(jié)合誘導(dǎo)公式、輔助角公式及特殊角的三角函數(shù)值解方程即

可.

(2)由三角形面積公式、余弦定理分別可得b、c,再由等面積法求解即可.

【解答過(guò)程】(1)"."VScsinB+bcos(A+B)=b,

由正弦定理可得：V3sinCsinB+sinBcos(X+B)=sinB,

V3sinCsinB—sinFcosC=sinB.

VsinBW0,

V3sinC—cosC=1,

VCG(Oji),

???S=jabsinc=|x8xbs嗚=2?=4?

,\b=2.

由余弦定理可知c=J22+82-2x2x8xcosg=2V13.

而S=^ch=[x2V13xh=4V3,解得h=-yp-,

所以AB邊上的[WJ為q黑.

【變式6-1](2024?福建泉州?模擬預(yù)測(cè))設(shè)448。的內(nèi)角4,5,。所對(duì)的邊分別為4",0,且有2%0$(4-歐=

a+c,

⑴求角B：

(2)若ZC邊上的高h(yuǎn)=fb,求cosAcosC.

【解題思路】(1)由正弦定理及兩角和的正弦公式可得角8的大小；

(2)由等面積法可得抉=2ac,再由正弦定理可得sinZsinC的值，再由cosB=—cos(4+C),可得cos/cosC

的值.

【解答過(guò)程】⑴因?yàn)?力3(力一或=。+的

由正弦定理可得2sinBQcosA+?sin/)=sinA+sinC,

即sinBcosA+V^sinZsinB=sin/+sin(71+B)

即sinBcosZ+V^sin/sinB=sinA+sinZcosB+cosZsinB,

所以V^sinBsinZ=sinA+sin/cosB,

在三角形中，sinA>0,

所以V^sinB—cosB=1,

即sin因?yàn)锽E(0,TT),則§

可得=g則

663

(2)因?yàn)?4c邊上的IWJ/I=3匕，

4

所以S&4BC=Mh=灑fb=*2①

又SAABC=IacsinB=|acXy=yac?

由①②可得Z)2=2ac,

由正弦定理可得siMg=2sinXsinC,

結(jié)合(1)中8=三可得sin/sinC=：,

38

因?yàn)閏osB=—cos(i4+C)=—cosAcosC+sinAsinC=

所以cos/cosC=sinZsinC=---

2828

【變式6-2]（2024?河北秦皇島?三模）在中，內(nèi)角4B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,C=5且a+b=7,

△ABC的外接圓半徑為殍.

（1）求△ABC的面積；

（2）求44BC邊AB上的高兒

【解題思路】（1）利用正弦定理及余弦定理可求出M，利用面積公式計(jì)算即可；

（2）根據(jù)三角形面積公式即可求.

【解答過(guò)程】⑴在△力BC中，由正弦定理可得，9：=2X%貝ljc=2x竽x"=4,

smc332

根據(jù)余弦定理c?=a2+fa2—2abeosC,得16=次+房一2abeosC=（a+b）2—3ab,

所以3ab=49-16=33,所以ab=11,

所以S.BC=^absinC=

L4

11

⑵S^ABC=-absinC=~ch,

匚llxsin60°11V3

所以％=—4—

【變式6-3]（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知△力BC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,a=l,sin8+

V3bcosX=0.

⑴求角A；

（2）設(shè)力M是△ABC的高，求力M的最大值.

【解題思路】（1）正弦定理將sinB代換，再結(jié)合商數(shù)關(guān)系求出角；

（2）法一：余弦定理結(jié)合基本不等式求出面積最大值，即可確定高的最大值；法二：由正弦定理將面積表

示為角的函數(shù)，結(jié)合三角恒等變換，求出函數(shù)最大值，即可確定高的最大值.

【解答過(guò)程】（1）由sinB+WbcosA=0及得如竺+V^bcos4=0,

smAsinBa

又a=l,bH0,所以sin/+V^cos/=0,得tan/=—日，

因?yàn)?e（0,2，所以

(2)解法一由余弦定理得/=/?2+c2—2bccosZ.BAC,貝!J1=b2+c2+he>2bc+be=3bc,

得bcw],當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào),

所以S/^BC—"'4M='bcsing-2X3X

得故力M的最大值為￡

66

解法二由正弦定理得-，