拋物線【九大題型】（新高考專用）（原卷版）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

拋物線【九大題型】專練

?熱點題型歸納

【題型1拋物線的定義及其應(yīng)用】..............................................................3

【題型2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程】...................................................................4

【題型3拋物線的焦點坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程】.......................................................4

【題型4拋物線的軌跡方程】...................................................................5

【題型5拋物線上的點到定點的距離及最值】....................................................5

【題型6拋物線上的點到定點和焦點距離的和、差最值】.........................................5

【題型7拋物線的焦半徑公式】.................................................................6

【題型8拋物線的幾何性質(zhì)】...................................................................6

【題型9拋物線中的三角形（四邊形）面積問題1.........................................................................7

?考情分析

1、拋物線

考點要求真題統(tǒng)計考情分析

2023年新高考I卷：第22題，

拋物線是圓錐曲線中的重要內(nèi)容，

12分

拋物線及其性質(zhì)是高考數(shù)學(xué)的熱點問

（1）掌握拋物線的定義、幾2023年新高考I［卷：第10題，

題.從近幾年的高考情況來看，主要考查

何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程5分

拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)、

⑵掌握拋物線的簡單幾2023年全國乙卷（文數(shù)）：

面積問題等內(nèi)容，在選擇、填空、解答

何性質(zhì)（范圍、對稱性、第13題，5分

題都可能出現(xiàn)，解題思路和解題步驟相

頂點、離心率）2023年北京卷：第6題，4分

對固定，強(qiáng)調(diào)通性通法，選擇、填空題

（3）了解拋物線的簡單應(yīng)2024年新高考n卷:第10題，

中難度不大，解答題中難度偏大，一般

用6分

以第一小問考查拋物線的方程或軌跡問

2024年北京卷：第11題，5

題，需要靈活求解.

分

?知識梳理

【知識點1拋物線及其性質(zhì)】

1.拋物線的定義

(1)定義：平面內(nèi)與一個定點廠和一條定直線/(/不經(jīng)過點乃的距離相等的點的軌跡叫作拋物線.點F叫

作拋物線的焦點，直線/叫作拋物線的準(zhǔn)線.

(2)集合語言表示

設(shè)點M(x,y)是拋物線上任意一點，點M到直線/的距離為d,則拋物線就是點的集合P={M\\MF\=d}.

2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)

標(biāo)準(zhǔn)

y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py[p>0)x2=-2py(p>0)

方程

1I1

-----/

圖形?一?1■

--------

)1AF〃X叭

頂點(0,0)(0,0)

軸對稱軸y=0對稱軸x=0

F(

焦點F(i°)。4)F(。，/)

_Pp

準(zhǔn)線X~2X=2y=-2y=2

離心率e=1e=l

開口開口向右開口向左開口向上開口向下

\MF\=x+^\MF\=-x+^\MF\=y+^\MF\=-y+%

焦半徑0000

范圍x>0x<0y>0底0

3.拋物線與橢圓、雙曲線幾何性質(zhì)的差異

拋物線與橢圓、雙曲線幾何性質(zhì)的差異：

①它們都是軸對稱圖形，但橢圓和雙曲線又是中心對稱圖形；

②頂點個數(shù)不同，橢圓有4個頂點，雙曲線有2個頂點，拋物線只有1個頂點；

③焦點個數(shù)不同，橢圓和雙曲線各有2個焦點，拋物線只有1個焦點；

④離心率取值范圍不同，橢圓的離心率范圍是雙曲線的離心率范圍是e>l,拋物線的離心率是

e=l；

⑤橢圓和雙曲線都有兩條準(zhǔn)線，而拋物線只有一條準(zhǔn)線；

⑥橢圓是封閉式曲線，雙曲線和拋物線都是非封閉式曲線.

【知識點2拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解方法】

1.拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解

待定系數(shù)法：求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點位置、開口方向，在方

程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個參數(shù)p,只需一個條件就可以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【知識點3拋物線的焦半徑公式】

1.焦半徑公式

設(shè)拋物線上一點P的坐標(biāo)為（死,%），焦點為F.

⑴拋物線：了2=2/(0>0),\PF\=x0+x0+^；

(2)拋物線：必=—2px(p>0),|PF|=x0—y=-x0+y；

(3)拋物線：無2=2勿5>0),\PF\=Vo+y=Vo+y；

(4)拋物線：x?=—2加(p>0),|PF|=Vo-y=—Vo+y.

注：在使用焦半徑公式時，首先要明確拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，不同的標(biāo)準(zhǔn)方程對應(yīng)于不同的焦半

徑公式.

【知識點4與拋物線有關(guān)的最值問題的解題策略】

1.與拋物線有關(guān)的最值問題的兩個轉(zhuǎn)化策略

（1）轉(zhuǎn)化策略一：將拋物線上的點到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為該點到焦點的距離，構(gòu)造出“兩點之間線段最短”

“三角形兩邊之和大于第三邊”，使問題得以解決.

（2）轉(zhuǎn)化策略二：將拋物線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，利用”與直線上所有點的連線中

垂線段最短”原理解決.

【方法技巧與總結(jié)】

1.通徑：過焦點與對稱軸垂直的弦長等于2P

2.拋物線必=2Px（p>0）上一點尸（X。,為）到焦點尸（芻,0）的距離出產(chǎn)|=X。+§,也稱為拋物線的焦

半徑.

?舉一反三

【題型1拋物線的定義及其應(yīng)用】

【例1】（2024?貴州貴陽?二模）拋物線產(chǎn)=位上一點M與焦點間的距離是10,則M至次軸的距離是（）

A.4B.6C.7D.9

【變式1-1］（2024?河北?模擬預(yù)測）已知點P為平面內(nèi)一動點，設(shè)甲：P的運(yùn)動軌跡為拋物線，乙：P到平

面內(nèi)一定點的距離與到平面內(nèi)一定直線的距離相等，則（）

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

【變式1-2］（2024?北京大興?三模）已知拋物線產(chǎn)=4%的焦點為凡過尸且斜率為一1的直線與直線x=—

1交于點/，點〃在拋物線上，且滿足=則|MF|=（）

A.1B.V2C.2D.2V2

【變式1-3］（2024?福建莆田?模擬預(yù)測）若拋物線C的焦點到準(zhǔn)線的距離為3,且C的開口朝左，則C的標(biāo)準(zhǔn)

方程為（）

A.y2——6xB.y2=6xC.y2——3xD.y2=3x

【題型2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程】

【例2】（2024?山東荷澤?模擬預(yù)測）已知點2（a,2）為拋物線久2=2py（p>0）上一點，且點2到拋物線的焦

點F的距離為3,貝加=（）

1

A.-B.1C.2D.4

【變式2-1］（2024?陜西安康?模擬預(yù)測）過點（2,-3）,且焦點在y軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）

A.x2--3yB.x2=—C.x2=—|yD.x2--4y

【變式2-2］（2024?新疆?三模）已知拋物線y2=2px（p>0）上任意一點到焦點F的距離比到y(tǒng)軸的距離大

1,則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A.y2=xB.y2=2xC.y2=4%D.y2=8x

【變式2-3］（2024?寧夏石嘴山?三模）如圖，過拋物線丫2=2「式2〉0）的焦點廠的直線1交拋物線于兩點

/、B,交其準(zhǔn)線于C,4E與準(zhǔn)線垂直且垂足為E,若|BC|=2|BF|,|4E|=3,則此拋物線的方程為（）

B.y2=9x

D.y2—3%

【題型3拋物線的焦點坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程】

【例3】（2024?內(nèi)蒙古赤峰?二模）已知拋物線C的方程為％=——2,則此拋物線的焦點坐標(biāo)為（）

A.（-4,0）B.C.（-2,0）D.（―馴

【變式3-1]（2024?黑龍江大慶?模擬預(yù)測）已知拋物線C:y=6刀2,貝i]c的準(zhǔn)線方程為（）

?3c31—1

A.y=一萬B.y=-C.y=一mD.y=-

【變式3-2]（2024?河南?三模）拋物線必=—28%的焦點坐標(biāo)為（）

A.（0,-14）B.（0,-7）C.（-14,0）D.（-7,0）

【變式3-3]（2024?福建廈門?模擬預(yù)測）若拋物線產(chǎn)=爪X的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線/2的右焦點，財?的

值為（）

A.-4B.4C.-8D.8

【題型4拋物線的軌跡方程】

【例4】（2024?湖南衡陽?三模）已知點尸（2,0）,動圓P過點F,且與x=—2相切，記動圓圓心P點的軌跡為

曲線「，則曲線「的方程為（）

A.y2=2xB.y2=4xC.y2=8%D.y2=12x

【變式4-1]（23-24高二上?北京延慶?期末）到定點F（l,0）的距離比到y(tǒng)軸的距離大1的動點且動點不在久軸

的負(fù)半軸的軌跡方程是（）

A.y2=8xB.y2=4xC.y2—2xD.y2—x

【變式4-21（23-24高二上?重慶?期末）已知點PQ,y）滿足J（x—l）2+產(chǎn)=\+i|,則點P的軌跡為（）

A.橢圓B.雙曲線C.拋物線D.圓

【變式4-3]（23-24高二上?寧夏石嘴山?階段練習(xí)）一個動圓與定圓邑（x+2）2+y2=1相內(nèi)切，且與定

直線/:%=3相切，則此動圓的圓心M的軌跡方程是（）

A.y2=8xB.y2=4xC.y2=—4xD.y2=—8%

【題型5拋物線上的點到定點的距離及最值】

【例5】（2024?全國?模擬預(yù)測）已知/是拋物線C：*=4%上的點，N（4,0）,則|4N|的最小值為（）

A.2B.2V2C.4D.2^3

【變式5-1］（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知P是拋物線y2=2久上的點，Q是圓Q—5）2+y2=i上的點,

則|PQ|的最小值是（）

A.2B.2V2C.2V3D.3

【變式5-2］（2024?湖南益陽?三模）已知”是拋物線V=4x上一點，圓的:（久—+（y—2尸=1關(guān)于直線

y=x—1對稱的圓為心，N是圓C2上的一點，則|MN|的最小值為（）

A.2V2-1B.V2-1C.乎TD.1

【變式5-3］（2024?黑龍江齊齊哈爾?二模）已知拋物線=8x的焦點為F,M為C上的動點，N為圓4:聲+

y2+2x+8y+16=0上的動點，設(shè)點M到y(tǒng)軸的距離為d,則|MN|+d的最小值為（）

A.1B.—C.—D.2

22

【題型6拋物線上的點到定點和焦點距離的和、差最值】

【例6】（2024?四川成都?模擬預(yù)測）設(shè)點4（2,3）,動點尸在拋物線=4x上，記尸到直線x=—2的距離

為d,則|4P|+d的最小值為（）

A.1B.3C.V10-1D.V10+1

【變式6-1］（2024?湖南常德?一模）已知拋物線方程為:V=16x,焦點為尺圓的方程為（x—5）2+（y—1/

=1,設(shè)P為拋物線上的點，Q為圓上的一點，則|PF|+|PQ|的最小值為（）

A.6B.7C.8D.9

【變式6-2］（2024?全國?模擬預(yù)測）在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點F（l,0）,￡（-2,0）,M（2,2）,動點P滿

足線段尸￡的中點在曲線產(chǎn)=2%+2上，則|PM|+|PF|的最小值為（）

A.2B.3C.4D.5

【變式6-3］（2024?陜西西安?一模）設(shè)P為拋物線C：必=以上的動點，4（2,6）關(guān)于P的對稱點為8,記P到

直線x=—1、久=—4的距禺分別詢、G（2'則dj,+dz+的最小值為（）

A.V33+2B.2733+2C.V37+3D.2何+3

【題型7拋物線的焦半徑公式】

[例7](2024?青海西寧?一模)已知F是拋物線C:/=4y的焦點，點M在C上，且M的縱坐標(biāo)為3,則=

()

A.2V2B.2V3C.4D.6

【變式7-1](2024?河南?模擬預(yù)測)已知拋物線=2px(p>0)上的點(成2)到原點的距離為2魚，焦點

為F,準(zhǔn)線/與x軸的交點為過C上一點尸作尸于。，若4FPQ=可,則PF|=()

A.-B.-C.日D.―

【變式7-2](2024?新疆?三模)已知拋物線C：步=式的焦點為「在拋物線C上存在四個點尸，M,Q,

N,若弦PQ與弦MN的交點恰好為尸，且PQ1MN,則高+意=()

A.孝B.1C.V2D.2

【變式7-3](2024?北京西城?三模)點廠拋物線產(chǎn)=2%的焦點，A,B,C為拋物線上三點，若麗+而+

FC=0,^\\FA\+\FB\+\FC\=()

A.2B.2V3C.3D.4V3

【題型8拋物線的幾何性質(zhì)】

[例8](2024?重慶?模擬預(yù)測)48是拋物線y2=2Px(p>0)上的不同兩點，點廠是拋物線的焦點，且△。力8

的重心恰為尸，若[4F|=5,貝3=()

A.1B.2C.3D.4

【變式8-11(23-24高二下?福建廈門?期末)等邊三角形的一個頂點位于原點，另外兩個頂點在拋物線y2=2%

上，則這個等邊三角形的邊長為()

A.2B.2V3C.4D.4V3

【變式8-2](23-24高三下?北京?階段練習(xí))設(shè)拋物線C的焦點為尸，點E是C的準(zhǔn)線與C的對稱軸的交

點，點P在C上，若"EF=30。，則sin/PFE=()

A.空B.C.乎D.日

【變式8-3](23-24高二下?重慶?階段練習(xí))已知x軸上一定點4(a,0)(a>0),和拋物線外=2Px(p>0)±

的一動點M,若|2M|>a恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為()

A.(0,|]B.(0,p]C.(0,可D.(0,2p]

【題型9拋物線中的三角形（四邊形）面積問題】

【例9】（2024?江西新余?二模）已知點Q（2,—2）在拋物線C：y2=2px±,尸為拋物線的焦點，貝|△OQF

（。為坐標(biāo)原點）的面積是（）

A.1B.1C.2D.4

【變式9-1］（23-24高二上?廣東廣州?期末）已知拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點為R直線/與C相

交于/、5兩點，與y軸相交于點￡已知|AF|=5,\BF\=3,若△4EF的面積是△BEF面積的2倍，貝U

拋物線C的方程為（）

A.y2-2xB.y2=4xC.y2-6xD.y2=8x

【變式9-2］（23-24高二上?廣東廣州?期末）設(shè)F為拋物線產(chǎn)=4x的焦點，4B,C為該拋物線上不同的三點,

且西+而+同=6,0為坐標(biāo)原點，若△。凡4、△OFB、△OFC的面積分別為Si、S2、S3,則配+S號+S專

=（）

A.3B.4C.5D.6

【變式9-3］（23-24高二?全國?課后作業(yè)）已知拋物線C：必=8居點P為拋物線上任意一點，過點P向圓

D：久2+產(chǎn)―4久+3=0作切線，切點分別為4B,則四邊形P4DB的面積的最小值為（）

A.1B.2C.V3D.V5

一、單選題

1.（2024?江西?模擬預(yù)測）若拋物線爐=8y上一點（久0，處）到焦點的距離是該點到x軸距離的2倍.則=

（）

3

A.|B.1C.-D.2

2.（2024?四川?模擬預(yù)測）已知拋物線。久2=8y的焦點為F,P是拋物線C上的一點，。為坐標(biāo)原點，|OP|=4

V3,則|PF|=（）

A.4B.6C.8D.10

3.（23-24高二下?甘肅白銀?期中）若圓C與無軸相切且與圓光2+儼=4外切，則圓C的圓心的軌跡方程為

（）

A.%2=4y+4B.x2=—4y+4

C.%2=4|y|+4D.x2=4y—4

4.（2024?北京海淀?三模）已知拋物線外=4x的焦點為尸、點〃在拋物線上，垂直〉軸于點N,若

=6,則△MNF的面積為（）

A.8B.4V5C.5V5D.10V5

5.（2024?西藏林芝?模擬預(yù)測）己知拋物線外=8x上一點P到準(zhǔn)線的距離為山，到直線Z:4x—3y+12=0

的距離為d2,則di+d2的最小值為（）

A.1B.2C.3D.4

6.（2024?四川雅安?三模）已知過圓錐曲線的焦點且與焦點所在的對稱軸垂直的弦被稱為該圓錐曲線的通

徑，清代數(shù)學(xué)家明安圖在《割圓密率捷法》中，也稱圓的直徑為通徑.已知圓。一2）2+（y+l）2=4的一條

直徑與拋物線/=2py（p>0）的通徑恰好構(gòu)成一個正方形的一組鄰邊，貝lip=（）

1

A.-B.1C.2D.4

7.（2024?山西運(yùn)城?三模）已知拋物線。鏟=4x的焦點為F,動點M在C上，點B與點力（1,-2）關(guān)于直線

=對稱，則盟■的最小值為（）

A.孝B.|C.D.|

8.（2024?江西九江?二模）己知拋物線C:外=2px過點力（1,2）,F為C的焦點，點P為C上一點，。為坐標(biāo)原點，

則（）

A.C的準(zhǔn)線方程為久=—2

B.△AF。的面積為1

C.不存在點P,使得點P到C的焦點的距離為2

D.存在點P,使得△POF為等邊三角形

二、多選題

9.（2024?湖南長沙?二模）已知拋物線C與拋物線產(chǎn)=4x關(guān)于y軸對稱，則下列說法正確的是（）

A.拋物線C的焦點坐標(biāo)是（-1,0）

B.拋物線C關(guān)于y軸對稱

C.拋物線C的準(zhǔn)線方程為久=1

D,拋物線C的焦點到準(zhǔn)線的距離為4

10.（2024?湖北襄陽?二模）拋物線ON=2py的焦點為F,P為其上一動點，當(dāng)P運(yùn)動到。1）時，\PF\=2,

直線I與拋物線相交于4