排列組合應(yīng)用題的類型及解題策略

排列組合應(yīng)用題的類型及解題策略一．處理排列組合應(yīng)用題的一般步驟為：①明確要完成的是一件什么事（審題）

②有序還是無(wú)序

③分步還是分類。二．處理排列組合應(yīng)用題的規(guī)律（1）兩種思路：直接法，間接法。（2）兩種途徑：元素分析法，位置分析法。解決問題的入手點(diǎn)是：特殊元素優(yōu)先考慮；特殊位置優(yōu)先考慮。特殊優(yōu)先法:對(duì)于存在特殊元素或者特殊位置的排列組合問題，我們可以從這些特殊的東西入手，先解決特殊元素或特殊位置，再去解決其它元素或位置，這種解法叫做特殊優(yōu)先法。例1．電視臺(tái)連續(xù)播放6個(gè)廣告，其中含4個(gè)不同的商業(yè)廣告和2個(gè)不同的公益廣告，要求首尾必須播放公益廣告，則共有

種不同的播放方式（結(jié)果用數(shù)值表示）.解：分二步：首尾必須播放公益廣告的有A22種；中間4個(gè)為不同的商業(yè)廣告有A44種，從而應(yīng)當(dāng)填A(yù)22·A44＝48.從而應(yīng)填48．（3）對(duì)排列組合的混合題，一般先選再排，即先組合再排列。弄清要“完成什么樣的事件”是前提。三．基本題型及方法：1．相鄰問題（1）、全相鄰問題，捆邦法例2、6名同學(xué)排成一排，其中甲，乙兩人必須排在一起的不同排法有（C）種。A）720

B）360

C）240

D）120說(shuō)明：從上述解法可以看出，所謂“捆邦法”，就是在解決對(duì)于某幾個(gè)元素要求相鄰問題時(shí)，可以整體考慮將相鄰元素視作一個(gè)“大”元素。（2）、全不相鄰問題，插空法例3、要排一張有6個(gè)歌唱節(jié)目和4個(gè)舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單，任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不得相鄰，問有多少不同的排法，解：先將6個(gè)歌唱節(jié)目排好，其中不同的排法有6！，這6個(gè)節(jié)目的空隙及兩端共有七個(gè)位置中再排4個(gè)舞蹈節(jié)目有種排法，由乘法原理可知，任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不得相鄰的排法為種例4高三（一）班學(xué)要安排畢業(yè)晚會(huì)的4各音樂節(jié)目，2個(gè)舞蹈節(jié)目和1個(gè)曲藝節(jié)目的演出順序，要求兩個(gè)舞蹈節(jié)目不連排，則不同排法的種數(shù)是（A）1800

（B）3600

（C）4320

（D）5040解：不同排法的種數(shù)為＝3600，故選B說(shuō)明：從解題過程可以看出，不相鄰問題是指要求某些元素不能相鄰，由其它元素將它隔開，此類問題可以先將其它元素排好，再將特殊元素插入，故叫插空法。（3）．不全相鄰排除法，排除處理例5．五個(gè)人站成一排，其中甲、乙、丙三人有兩人相鄰，有多少排法？解：例6．有兩排座位，前排11個(gè)座位，后排12個(gè)座位，現(xiàn)安排2人就座，規(guī)定前排中間的3個(gè)座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是

分類

共346種2、順序一定，除法處理或分類法。例7、信號(hào)兵把紅旗與白旗從上到下掛在旗桿上表示信號(hào)，現(xiàn)有3面紅旗、2面白旗，把5面旗都掛上去，可表示不同信號(hào)的種數(shù)是（

）（用數(shù)字作答）。解：5面旗全排列有種掛，由于3面紅旗與2面白旗的分別全排列均只能作一次的掛法，故有例8．某工程隊(duì)有6項(xiàng)工程需要單獨(dú)完成，其中工程乙必須在工程甲完成后才能進(jìn)行，工程丙必須在工程乙完成后才能進(jìn)行，有工程丁必須在工程丙完成后立即進(jìn)行。那么安排這6項(xiàng)工程的不同排法種數(shù)是

。（用數(shù)字作答）解

=20例9、由數(shù)字0、1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字的6位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于十位的數(shù)字的共有（

）A）210個(gè)

B）300個(gè)

C）464個(gè)

D）600個(gè)解：

故選（B）4、多元問題，分類法例10．某校從8名教師中選派4名教師同時(shí)去4個(gè)邊遠(yuǎn)地區(qū)支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,則不同的選派方案共有

種共有600種不同的選派方案．例11：設(shè)集合。選擇I的兩個(gè)非空子集A和B，要使B中最小的數(shù)大于A中最大的數(shù)，則不同的選擇方法共有A．

B．

C．

D．總計(jì)有，選B.例12將4個(gè)顏色互不相同的球全部放入編號(hào)為1和2的兩個(gè)盒子里，使得放入每個(gè)盒子里的球的個(gè)數(shù)不小于該盒子的編號(hào)，則不同的放球方法有AA．10種B．20種

C．36種D．52種說(shuō)明：元素多，取出的情況也多種，可按要求分成互不相容的幾類情況分別計(jì)算，最后總計(jì)。5、交叉問題，集合法（二元否定問題，依次分類）。例13、從6名運(yùn)動(dòng)員中選出4名參加4×100米接力賽，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少種不同的參賽方法？252例14、某天的課表要排入語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理、化學(xué)、體育共六門課程，且上午安排四節(jié)課，下午安排兩節(jié)課。（1）若第一節(jié)不排體育，下午第一節(jié)不排數(shù)學(xué)，一共有多少種不同的排課方法？

504（2）若要求數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)不能排在一起（上午第四節(jié)與下午第一節(jié)不算連排），一共有多少種不同的排課方法？

216例15、同室4人各寫一張賀年卡，先集中起來(lái)，然后每人從中拿一張別人送來(lái)的賀年卡，則四張賀年卡不同的分配方式有（B

）A）6種

B）9種

C）11種

D）23種說(shuō)明：求解二元否定問題可先把某個(gè)元素按規(guī)定排入，第二步再排另一個(gè)元素，如此繼續(xù)下去，依此即可完成。例16、安排5名歌手的演出順序時(shí)，要求某名歌手不第一個(gè)出場(chǎng)，另一名歌手不最后一個(gè)出場(chǎng)，不同排法的總數(shù)是

.(用數(shù)字作答)。（答：78種）說(shuō)明：某些排列組合問題幾部分之間有交集，可用集合中求元素的個(gè)數(shù)的公式來(lái)求解。6、多排問題，單排法例17、兩排座位，第一排有3個(gè)座位，第二排有5個(gè)座位，若8名學(xué)生入座（每人一座位），則不同的座法為A）

B）

C）

D）解：此題分兩排座可以看成是一排座，故有種座法。∴選（D）說(shuō)明：把元素排成幾排的問題，可歸納為一排考慮，再分段處理。7、至少問題，分類法或間接法（排除處理）例18．從4名男生和3名女生中選出3人，分別從事三項(xiàng)不同的工作，若這3人中至少有1名女生，則選派方案共有（A）108種

（B）186種

（C）216種

（D）270種解析：從全部方案中減去只選派男生的方案數(shù)，合理的選派方案共有=186種，選B.例19．5名乒乓球隊(duì)員中,有2名老隊(duì)員和3名新隊(duì)員.現(xiàn)從中選出3名隊(duì)員排成1、2、3號(hào)參加團(tuán)體比賽,則入選的3名隊(duì)員中至少有一名老隊(duì)員,且1、2號(hào)中至少有1名新隊(duì)員的排法有_______種.(以數(shù)作答)【解析】?jī)衫弦恍聲r(shí),有種排法；兩新一老時(shí),有種排法,即共有48種排法.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有限制條件的排列組合問題以及分類討論思想.例20．將5名實(shí)習(xí)教師分配到高一年級(jí)的３個(gè)班實(shí)習(xí)，每班至少１名，最多２名，則不同的分配方案有

B（A）３０種（B）９０種

（C）１８０種

（D）２７０種說(shuō)明：含“至多”或“至少”的排列組合問題，是需要分類問題，或排除法。排除法，適用于反面情況明確且易于計(jì)算的情況。8、部分符合條件淘汰法例21．四面體的頂點(diǎn)各棱中點(diǎn)共有10個(gè)點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，不同的取法共有

（

D

）A）150種

B）147種

C）144種

D）141種解：10個(gè)點(diǎn)取4個(gè)點(diǎn)共有

種取法，其中面ABC內(nèi)的6個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)必共面，這樣的面共有6個(gè)，又各棱中點(diǎn)共6個(gè)點(diǎn)，有四點(diǎn)共面的平面有3個(gè)，故符合條件不共面的平面有

選D說(shuō)明：在選取總數(shù)中，只有一部分符合條件，可從總數(shù)中減去不符合條件數(shù)，即為所求。9．分組問題與分配問題①分組問題：均勻分組，除法處理；非均勻分組，組合處理例22。有9個(gè)不同的文具盒：（1）將其平均分成三組；（2）將其分成三組，每組個(gè)數(shù)2，3，4。上述問題各有多少種不同的分法？分析：（1）此題屬于分組問題：先取3個(gè)為第一組，有種分法，再取3個(gè)不第二組，有種分法，剩下3個(gè)為第三組，有種分法，由于三組之間沒有順序，故有種分法。（2）同（1），共有種分法，因三組個(gè)數(shù)各不相同，故不必再除以。練習(xí)：12個(gè)學(xué)生平均分成3組，參加制作航空模型活動(dòng)，3個(gè)教師各參加一組進(jìn)行指導(dǎo)，問有多少種分組方法？

②分配問題：

定額分配，組合處理；

隨機(jī)分配，先組后排。例23。有9本不同的書：（1）分給甲2本，乙3本，丙4本；（2）分給三個(gè)人，分別得2本，3本，4本。上述問題各有多少種不同的分法？（1）此題是定額分配問題，先讓甲選，有種；再讓乙選，有種；剩下的給丙，有種，共有種不同的分法（2）此題是隨機(jī)分配問題：先將9本書分成2本，3本，4本共有三堆，再將三堆分給三個(gè)人，共有種不同的分法。例24：對(duì)某種產(chǎn)品的6件不同正品和4件不同次品一一進(jìn)行測(cè)試，至區(qū)分出所有次品為止，若所有次品恰好在第5次測(cè)試時(shí)被全部發(fā)現(xiàn)，則這樣的測(cè)試方法有多少種可能?解：第5次必測(cè)出一次品，余下3件次品在前4次被測(cè)出，從4件中確定最后一件次品有種方法，前4次中應(yīng)有1件正品、3件次品，有種，前4次測(cè)試中的順序有種，由分步計(jì)數(shù)原理即得：（）＝576。【評(píng)述】本題涉及一類重要問題：?jiǎn)栴}中既有元素的限制，又有排列的問題，一般是先選元素（即組合）后排列練習(xí)：1。3名教師分配到6個(gè)班里，各人教不同的班級(jí)，若每人教2個(gè)班，有多少種分配方法？2．將10本不同的專著分成3本，3本，3本和1本，分別交給4位學(xué)者閱讀，問有多少種不同的分法？例25某外商計(jì)劃在四個(gè)候選城市投資3個(gè)不同的項(xiàng)目,且在同一個(gè)城市投資的項(xiàng)目不超過2個(gè),則該外商不同的投資方案有

(

)A.16種

B.36種

C.42種

D.60種解析：有兩種情況，一是在兩個(gè)城市分別投資1個(gè)項(xiàng)目、2個(gè)項(xiàng)目，此時(shí)有，二是在在兩個(gè)城市分別投資1，1，1個(gè)項(xiàng)目，此時(shí)有，

共有=60，

故選

（D）10．隔板法：隔板法及其應(yīng)用技巧

在排列組合中，對(duì)于將不可分辨的球裝入到可以分辨的盒子中，每盒至少一個(gè)，求方法數(shù)的問題，常用隔板法。見下例：例26。求方程x+y+z=10的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)。(即：10個(gè)相同的小球分給三人，每人至少1個(gè)，有多少種方法？)分析：將10個(gè)球排成一排，球與球之間形成9個(gè)空隙，將兩個(gè)隔板插入這些空隙中（每空至多插一塊隔板），規(guī)定由隔板分成的左、中、右三部分的球數(shù)分別為x.y.z之值（如圖）○○○

○○○

○○○○

則隔板與解的個(gè)數(shù)之間建立了一一對(duì)立關(guān)系，故解的個(gè)數(shù)為個(gè)。實(shí)際運(yùn)用隔板法解題時(shí)，在確定球數(shù)、如何插隔板等問題上形成了一些技巧。下面舉例說(shuō)明：技巧一：添加球數(shù)用隔板法。例27．求方程x+y+z=10的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)。分析：注意到x、y、z可以為零，故上題解法中的限定“每空至多插一塊隔板”就不成立了。怎么辦呢？只要添加三個(gè)球，給x、y、z

各一個(gè)球。這樣原問題就轉(zhuǎn)化為求x+y+z=13的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)了，故解的個(gè)數(shù)為=66個(gè)?！拘〗Y(jié)】本例通過添加球數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為如例1中的典型的隔板法問題。技巧二：減少球數(shù)用隔板法。例28．將20個(gè)相同的小球放入編號(hào)分別為1，2，3，4的四個(gè)盒子中，要求每個(gè)盒子中的球數(shù)不少于它的編號(hào)數(shù)，求放法總數(shù)。分析1：先在編號(hào)1，2，3，4的四個(gè)盒子內(nèi)分別放0，1，2，3個(gè)球，有1種方法；再把剩下的14個(gè)球，分成4組，每組至少1個(gè)，由例25知有

=286種方法。分析2：第一步先在編號(hào)1，2，3，4的四個(gè)盒子內(nèi)分別放1，2，3，4個(gè)球，有1種方法；第二步把剩下的10個(gè)相同的球放入編號(hào)為1，2，3，4的盒子里，由例26知有

=286

種方法?！拘〗Y(jié)】?jī)煞N解法均通過減少球數(shù)將問題轉(zhuǎn)化為例25、例26中的典型問題。技巧三：先后插入用隔板法。例29。為構(gòu)建和諧社會(huì)出一份力，一文藝團(tuán)體下基層宣傳演出，準(zhǔn)備的節(jié)目表中原有4個(gè)歌舞節(jié)目，如果保持這些節(jié)目的相對(duì)順序不變，擬再添2個(gè)小品節(jié)目，則不同的排列方法有多少種？分析：記兩個(gè)小品節(jié)目分別為A、B。先排A節(jié)目。根據(jù)A節(jié)目前后的歌舞節(jié)目數(shù)目考慮方法數(shù)，相當(dāng)于把4個(gè)球分成兩堆，由例26知有種方法。這一步完成后就有5個(gè)節(jié)目了。再考慮需加入的B節(jié)目前后的節(jié)目數(shù)，同上理知有種方法。故由乘法原理知，共有種方法。11．?dāng)?shù)字問題（組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的整數(shù)）①能被2整除的數(shù)的特征：末位數(shù)是偶數(shù)；不能被2整除的數(shù)的特征：末位數(shù)是奇數(shù)。②能被3整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之和是3的倍數(shù)；能被9整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之和是9的倍數(shù)。③

能被4整除的數(shù)的特征：末兩位是4的倍數(shù)。④

能被5整除的數(shù)的特征：末位數(shù)是0或5。5能被25整除的數(shù)的特征：末兩位數(shù)是25，50，75。

能被6整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之和是3的倍數(shù)的偶數(shù)。例30在這五個(gè)數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，各位數(shù)字之和為奇數(shù)的共有（A）36個(gè)

（B）24個(gè)

（C）18個(gè)

（D）6個(gè)解：依題意，所選的三位數(shù)字有兩種情況：（1）3個(gè)數(shù)字都是奇數(shù)，有種方法（2）3個(gè)數(shù)字中有一個(gè)是奇數(shù)，有，故共有＋＝24種方法，故選B例31。用數(shù)字0，1，2，3，4組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，則其中數(shù)字1，2相鄰的偶數(shù)有

24個(gè)（用數(shù)字作答）．12．分球入盒問題例32：將5個(gè)小球放到3個(gè)盒子中，在下列條件下，各有多少種投放方法？1小球不同，盒子不同，盒子不空解：將小球分成3份，每份1，1，3或1，2，2。再放在3個(gè)不同的盒子中，即先分堆，后分配。有②小球不同，盒子不同，盒子可空

解：種③小球不同，盒子相同，盒子不空

解：只要將5個(gè)不同小球分成3份，分法為：1，1，3；1，2，2。共有=25種④小球不同，盒子相同，盒子可空本題即是將5個(gè)