數(shù)字信號處理-課件 第9章 有限字長效應(yīng)

第9章有限字長效應(yīng)§9-2有限字長運算的誤差效應(yīng)§9-1量化與量化誤差目錄§9-4IIR濾波器的極限環(huán)震蕩§9-3系數(shù)量化對濾波器的影響本章目錄數(shù)字信號處理系統(tǒng)，通常存在如下三種有限字長因素而產(chǎn)生的誤差源：概述

（1）輸入為模擬信號時，對輸入模擬信號的量化誤差，即因A/D的精度或位數(shù)的影響而產(chǎn)生的輸入量化誤差；

（2）對濾波器系統(tǒng)各系數(shù)的量化誤差，即因計算機存貯器的有限字長而產(chǎn)生的系數(shù)量化誤差；（3）計算過程中的誤差，如舍入、截尾、溢出和誤差累積等因素產(chǎn)生的運算量化誤差。誤差產(chǎn)生的原因數(shù)字濾波器為什么產(chǎn)生誤差？為了加深理解，現(xiàn)在從一道數(shù)字濾波器的實際系統(tǒng)說起。設(shè)濾波器的系統(tǒng)函數(shù)如下：誤差產(chǎn)生的原因(1)A/D轉(zhuǎn)換量化誤差(3)系數(shù)量化誤差但因為有限字長，將產(chǎn)生如下幾項誤差設(shè)數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)如下：(2)乘積運算量化誤差例1有限字長的存儲單元會產(chǎn)生哪些誤差？解：若為無限字長，理論上不會產(chǎn)生任何誤差9.1量化與量化誤差9.1.1二進(jìn)制數(shù)的表示1．定點二進(jìn)制數(shù)如果在信號處理的整個運算中，二進(jìn)制小數(shù)點在數(shù)碼中的位置固定不變則稱為定點二進(jìn)制數(shù)，簡稱為定點制。定點二進(jìn)制數(shù)特點：定點二進(jìn)制數(shù)的范圍在（-1,1）之間；最高位為符號位，0為正，1為負(fù)；數(shù)的本身只有小數(shù)部分，稱為“尾數(shù)”；定點數(shù)進(jìn)行加減運算時結(jié)果可能會超出±1,稱為“溢出”乘法運算不會溢出，但字長要增加一倍。為保證字長不變，乘法運算后，應(yīng)對增加的尾數(shù)作截尾或舍入處理，將產(chǎn)生運算誤差。定點二進(jìn)制數(shù)的表示包括原碼、反碼、補碼三種形式。設(shè)有一個b+1位（b位字長，1位符號位）的定點二進(jìn)制數(shù)x，即x包含1位符號位，b位尾數(shù)，故二進(jìn)制數(shù)為β0β1β2┄βb，則（1）原碼表示例：1.111→-0.875,0.110→0.75（2）反碼表示反碼表示,正數(shù)同原碼，負(fù)數(shù)則將原碼中的尾數(shù)按位求反.例：正數(shù)表示：0.101，其反碼為：1.010（3）補碼表示例：x=-0.75

正數(shù)表示為：0.110，取反為：1.001，則補碼為：1.0102．浮點二進(jìn)制浮點制將數(shù)表示為尾數(shù)和指數(shù)兩部分，其表示方法如下：式中，M為x的尾數(shù)部分，2c為x的指數(shù)部分，c為階數(shù)或階碼。（1）浮點制運算規(guī)律

加法運算：對階、相加、歸一化,并對尾數(shù)進(jìn)行截尾或者舍入處理。

乘法運算:尾數(shù)相乘,階碼相加,再作截尾或舍入處理。（2）浮點制的特點優(yōu)點:動態(tài)范圍大,一般不會產(chǎn)生溢出。缺點:加法運算和乘法運算都要對尾數(shù)進(jìn)行量化處理。9.1.2定點制的量化誤差定點二進(jìn)制的乘法運算，運算完成后會使字長增加，例如原來是b位字長，運算后增長到b1位（b1>b），需對尾數(shù)進(jìn)行處理，使b1位字長降低到b位。由于存儲器和寄存器都是b位字長，可以表示的最小數(shù)為2b，稱為量化步長或量化階，通常用q表示，即q=2b量化處理方式包括截尾和舍入兩種方式。

截尾：保留前b位，直接舍棄因乘法運算產(chǎn)生的多余位數(shù)的尾數(shù)；

舍入：按最接近的值取b位碼。1．截尾處理：（1）正數(shù)用QT[x]表示對x進(jìn)行截尾處理，則有截尾誤差為正數(shù)的截尾誤差為（2）負(fù)數(shù)由于負(fù)數(shù)的三種碼表示方式不同，所以誤差也不同。

原碼（β0=1）：

補碼（β0=1）：反碼（β0=1）補碼的截尾誤差均為負(fù)值，原碼和反碼的截尾誤差取決于數(shù)的正負(fù)，正數(shù)時為負(fù)，負(fù)數(shù)時為正。根據(jù)對原碼、反碼和補碼的誤差分析，其截尾量化誤差特性如圖所示。2.舍入處理通過對數(shù)的b+1位進(jìn)行加1運算后作截尾處理實現(xiàn)舍入處理，即數(shù)學(xué)中常用的四舍五入法，按最接近的數(shù)進(jìn)行量化處理，所以不論正數(shù)、負(fù)數(shù)，還是原碼、補碼、反碼，誤差總是正負(fù)q/2之間，以QR[x]表示對x作舍入處理，其舍入處理的誤差特性如下圖所示。由上述分析可知，無論采用原碼、反碼還是補碼表示，舍入處理的量化特性均相同，其誤差比截尾處理的誤差小，所以對信號進(jìn)行量化時通常采用舍入處理。9.1.3A/D量化效應(yīng)對一個采樣數(shù)據(jù)x(n)作截尾和舍入處理，則截尾量化誤差：舍入量化誤差為：A/D量化誤差的統(tǒng)計模型如下圖所示。

上兩式給出了量化誤差的范圍，欲精確確定量化誤差的具體數(shù)值存在一定的困難，但可以通過分析量化噪聲的統(tǒng)計特性來描述量化誤差。其中e(n)為量化誤差，根據(jù)e(n)的統(tǒng)計特性，作如下假定：

①e(n)是平穩(wěn)隨機序列；

②e(n)與信號x(n)不相關(guān)；

③e(n)任意兩個值均不相關(guān)，即白噪聲；

④e(n)具有均勻等概率分布。由上述假設(shè)可知量化誤差e(n)表現(xiàn)為一個與信號x(n)完全不相關(guān)的白噪聲序列，稱為量化噪聲。量化誤差e(n)具有加性白噪聲特性，其概率分布如圖所示。（1）截尾量化噪聲（2）舍入量化噪聲同理，根據(jù)誤差e(n)的等概率分布模型，可得定義量化信噪比：用對數(shù)表示：由上式可知，字長b每增加1位，量化信噪比增加6.02dB；信號能量越大，量化信噪比越高?！纠恳阎斎胄盘朅/D量化誤差服從-1至1之間的均勻分布，分別求8、12位A/D轉(zhuǎn)換器的SNR。解：由于量化誤差服從均勻分布，因此可得：當(dāng)b=8位時當(dāng)b=12位時例29.1.4量化噪聲通過線性系統(tǒng)單獨分析量化噪聲通過系統(tǒng)的影響，系統(tǒng)可視為近似理想的線性移不變系統(tǒng)（LSI系統(tǒng)），即暫不考慮系統(tǒng)實現(xiàn)的誤差以及運算誤差，因此，量化誤差通過線性系統(tǒng)的原理可表示為如圖所示。輸出噪聲為則輸出噪聲的方差為：由Parseval定理，可得由留數(shù)定理可得：若e(n)為補碼截尾噪聲，則輸出噪聲中還有一直流分量9.2有限字長運算的誤差效應(yīng)數(shù)字濾波器包含大量的相乘與求和兩種運算。定點制運算中，每一次乘法運算之后都要作一次舍入（截尾）處理，因此，可以將舍入誤差作為獨立噪聲e(n)迭加在信號上，因此，基于定點制乘法運算的理想乘法運算如圖（a）所示，實際乘法運算可用如圖（b）所示的模型進(jìn)行統(tǒng)計分析。根據(jù)舍入噪聲e(n)的特性，對e(n)作如下假設(shè)：1.e(n)

為平穩(wěn)隨機噪聲序列；2.e(n)

與輸入序列x(n)不相關(guān)，各噪聲之間也互不相關(guān)。3.e(n)

為白色噪聲；4.在量化間隔上均勻分布,即每個噪聲都是均勻等概率分布.

根據(jù)這些條件，分析運算舍入誤差就可按線性系統(tǒng)進(jìn)行處理，每一個噪聲可用線性離散系統(tǒng)的理論求出其輸出噪聲，所有噪聲經(jīng)線性迭加得到總的噪聲輸出。9.2.1IIR濾波器的有限字長效應(yīng)以一階IIR濾波器為例，可用差分方程表示：該差分方程的乘積運算將引入一個舍入噪聲，如下圖所示：系統(tǒng)函數(shù)為由e(n)造成的輸出誤差為

輸出噪聲的方差為這說明，字長越大，輸出噪聲越小，同樣的方法可分析其它高階IIR數(shù)字濾波器的輸出噪聲。

IIR濾波器的有限字長效應(yīng)與濾波器的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)有關(guān)：（1）直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的所有舍入誤差都經(jīng)過全部網(wǎng)絡(luò)的反饋環(huán)節(jié)，反饋過程中形成誤差積累，故輸出誤差很大。（2）級聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，每個舍入誤差只通過該誤差源后面的反饋環(huán)節(jié)，而不通過它前面的反饋環(huán)節(jié)，因而累積誤差小，故誤差小于直接型。（3）并聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，每個并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的舍入誤差只通過自身子網(wǎng)絡(luò)的反饋環(huán)節(jié)，與其它并聯(lián)子網(wǎng)絡(luò)無關(guān)，誤差的積累作用最小，因而誤差最小。該結(jié)論對IIR數(shù)字濾波器具有普遍意義。因此，從有限字長效應(yīng)看，直接型（包括直接Ⅰ和Ⅱ型）結(jié)構(gòu)引起的誤差最大，階數(shù)越高，運算誤差越大，一般盡量少采用，高階系統(tǒng)不宜采用；級聯(lián)型結(jié)構(gòu)的誤差比直接型小，但比并聯(lián)型誤差大；并聯(lián)型結(jié)構(gòu)運算誤差最小。9.2.2FIR濾波器的有限字長效應(yīng)以橫截型結(jié)構(gòu)為例分析FIR的有限字長效應(yīng)。IIR的分析方法同樣適用于FIR濾波器，F(xiàn)IR濾波器無反饋環(huán)節(jié)，不會造成舍入誤差的積累，舍入誤差的影響比同階IIR濾波器小，不會產(chǎn)生非線性振蕩。1.舍入噪聲N-1階FIR的直接型為：有限精度運算時輸出噪聲為：因此，F(xiàn)IR卷積型結(jié)構(gòu)的舍入誤差可表示為如圖所示形式因此，可得輸出噪聲方差與字長有關(guān)，也與點數(shù)N有關(guān)，N越大，運算誤差越大，或者在運算精度相同的情況下，N越大的濾波器需要的字長越長。2.動態(tài)范圍：對于定點運算，由于動態(tài)范圍的限制，可能導(dǎo)致FIR濾波器的輸出發(fā)生溢出，利用比例因子（標(biāo)度因子），壓縮信號的動態(tài)范圍，可避免產(chǎn)生溢出。定點數(shù)不產(chǎn)生溢出的條件：FIR輸出：而對于正弦型類的窄帶信號，輸入信號的標(biāo)度因子以濾波器的頻率響應(yīng)的峰值來表示，由此確定標(biāo)度因子A的值，即為了避免FIR濾波器產(chǎn)生溢出，對x(n)引入標(biāo)度因子A，使9.3系數(shù)量化對濾波器的影響在有限精度條件下，系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)也是通過有限位二進(jìn)制數(shù)表示，系數(shù)的量化表示也將引起一定的誤差。由于濾波器的所有系數(shù)必須以有限長度的二進(jìn)制形式存放在存儲器中，因此，必然對系數(shù)的理論值進(jìn)行量化處理，使得實際系數(shù)值與理論系數(shù)值存在一定的誤差，從而使系統(tǒng)函數(shù)的零點和極點位置產(chǎn)生一定的偏離，可能影響到濾波器的性能。1.極點位置靈敏度指每個極點位置對各系數(shù)偏差的敏感程度。極點位置的變化可以直接影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性，而極點位置靈敏度可以反映系數(shù)量化對濾波器穩(wěn)定性的影響。設(shè)系數(shù)量化后的系統(tǒng)函數(shù)為：系數(shù)量化后，極點變?yōu)閦i+Δzi，極點位置偏差Δzi是由于系數(shù)ai的誤差Δai所引起的。（1）Δai對Δzi的影響（2）極點靈敏度與A(z)的關(guān)系對系統(tǒng)函數(shù)的分母多項式進(jìn)行偏微分運算可得：經(jīng)推到可得：（1）若這些矢量(zi-zk)的模越大，即極點彼此間的距離越遠(yuǎn)，則極點位置靈敏度越低；（2）若這些矢量的模(zi-zk)越小，極點位置靈敏度就越高；上式中分母(zi-zk)的每個因子是一個由極點zk指向當(dāng)前極點zi的矢量，乘積是所有極點指向極點zk的矢量積，根據(jù)該式可得如下結(jié)論：（3）即極點位置靈敏度與極點間距離成反比。（4）該式僅適應(yīng)于單極點系統(tǒng)，對于重極點系統(tǒng)，依據(jù)偏導(dǎo)數(shù)的概念可進(jìn)行類似的推導(dǎo)。2.影響極點位置靈敏度的幾個因素：（1）與零極點的分布狀態(tài)有關(guān)，極點位置靈敏度大小與極點間距離成反比；（2）與濾波器結(jié)構(gòu)有關(guān)，直接型極點位置靈敏度高，系統(tǒng)階數(shù)越大，靈敏度越高；并聯(lián)或級聯(lián)型，系數(shù)量化誤差對極點位置的影響小；（3）高階濾波器避免用直接型，盡量分解為低階網(wǎng)絡(luò)的級聯(lián)或并聯(lián)，以降低極點對系數(shù)量化誤差的位置靈敏度。9.4IIR濾波器的極限環(huán)震蕩特殊情況下，在IIR濾波器的定點運算中，可能產(chǎn)生如下兩種情況的極限環(huán)（limitcycle）振蕩現(xiàn)象。（1）零輸入極限環(huán)振蕩零輸入極限環(huán)振蕩是指對于穩(wěn)定的IIR數(shù)字濾波器，當(dāng)輸入停止以后，若系統(tǒng)的輸出并沒有逐漸衰減到0，而是一直維持等幅振蕩或者等幅輸出?！纠繕O限環(huán)現(xiàn)象示例。一階IIR數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)如下設(shè)輸入信號x(n)及邊界條件如下：試求若采用定點制算法，且b=4（不計符號位）時該系統(tǒng)的輸出y(n)。解：根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)H(z)可知，該濾波器系統(tǒng)的極點為z=0.5，系統(tǒng)函數(shù)的極點在單位圓內(nèi)，故系統(tǒng)穩(wěn)定。若用無限精度表示，則系統(tǒng)的輸出為例3隨著n的增加，輸出逐漸衰減至0。若b=4，需要對運算結(jié)果進(jìn)行舍入處理，由于a=0.5，若用4位二進(jìn)制表示，則為a=0.1000根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)可得系統(tǒng)的差分方程為：由于系統(tǒng)的輸入為：由此可得即雖然n>0時刻以后未給系統(tǒng)施加激勵，但由于誤差效應(yīng)，系統(tǒng)的輸出并沒有衰減到0，當(dāng)時n≥4，系統(tǒng)輸出一直穩(wěn)定為1/16，產(chǎn)生了極限環(huán)振蕩現(xiàn)象。