北京市2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析1

Page18北京市2024屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題（試卷滿分為150分，考試時間為120分鐘）一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出集合，再與集合求交集.【詳解】因為，=，所以．故選：D2.已知復(fù)數(shù)z滿意，則（）A. B.1 C. D.5【答案】B【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的除法及模長公式運算求解．【詳解】由題意，所以，故選：B.3.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)偶函數(shù)的定義和常見函數(shù)的單調(diào)性逐項分析即得.【詳解】對于A，因為，所以為奇函數(shù)，故A不符合，對于B，依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得在上單調(diào)遞減，故B不符合，對于C，的定義域為，不關(guān)于原點對稱，為非奇非偶函數(shù)，故C不符合，對于D，因為函數(shù)的定義域為，且，故為偶函數(shù)，在上，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以D符合，故選：D.4.數(shù)列滿意（，），，其前n項和為，若，則（）A.47 B.46 C.45 D.44【答案】C【解析】【分析】由題意可知數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，進(jìn)而可得，從而有，求解即可【詳解】數(shù)列滿意（，），即，，所以數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，所以，又，則，因為，又，且，所以，故選：C5.若點在角的終邊上，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出點M的坐標(biāo)，再利用隨意角的三角函數(shù)的定義求出tan的值,再利用二倍角公式求解【詳解】即為，則故選：D【點睛】本題考查隨意角的三角函數(shù)的定義，以及二倍角公式，屬于簡單題．6.在中，若，，，則角的大小為（）A. B. C. D.或【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理求得，由此求得角的大小.【詳解】由正弦定理得，即，所以或.故選：D【點睛】本小題主要考查正弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題.7.假如是公比為q的等比數(shù)列，為其前n項和，那么“”是“數(shù)列為單調(diào)數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】分別從充分性和必要性結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)入手進(jìn)行分析即可得解.【詳解】充分性：當(dāng)，時，，明顯數(shù)列是遞增數(shù)列，當(dāng)，時，，明顯數(shù)列是遞減數(shù)列，綜上可得充分性成立；必要性：當(dāng)數(shù)列為遞增數(shù)列時，對恒成立，可得，；當(dāng)數(shù)列為遞減數(shù)列時，對恒成立，可得，；綜上可得必要性成立；“”是“數(shù)列為單調(diào)數(shù)列”的充分必要條件.故選：C.8.函數(shù)，則函數(shù)零點個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】復(fù)合方程求解時，先求得的解有，再解即可.【詳解】下面解方程：，當(dāng)時，，得或1（舍去），當(dāng)時，，得，所以的兩根為，由得或，若，則當(dāng)時，無解，當(dāng)時，無解；若，則當(dāng)時，解得，當(dāng)時，解得所以的零點個數(shù)共有兩個.故選：B9.聲音的等級（單位：）與聲音強度（單位：）滿意.噴氣式飛機起飛時，聲音的等級約為；一般說話時，聲音的等級約為，那么噴氣式飛機起飛時聲音強度約為一般說話時聲音強度的A.倍 B.倍 C.倍 D.倍【答案】B【解析】【分析】設(shè)噴氣式飛機起飛時聲音強度和一般說話時聲音強度分別為、，依據(jù)題意得出，，計算出和值，可計算出的值.【詳解】設(shè)噴氣式飛機起飛時聲音強度和一般說話時聲音強度分別為、，由題意可得，解得，，解得，所以，，因此，噴氣式飛機起飛時聲音強度約為一般說話時聲音強度的倍，故選：B.【點睛】本題考查對數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用，同時也涉及了指數(shù)與對數(shù)式的互化，考查計算實力，屬于中等題.10.已知函數(shù)，若存在非零實數(shù)，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】不妨設(shè)，則，，,，然后分和兩種狀況探討求解.【詳解】不妨設(shè)，則，，當(dāng)時，，，所以不存在非零實數(shù)，使得成立；當(dāng)時，若存在非零實數(shù)，使得成立，則方程有正根，即函數(shù)與有交點，先考慮函數(shù)的圖象與直線相切的狀況，設(shè)切點為，則，得，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，所以方程的根只有一個，即，所以，所以函數(shù)的圖象與直線相切時，切點為原點，所以要使函數(shù)的圖象與直線有交點，只需，即，所以實數(shù)k的取值范圍為，故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時，函數(shù)與有交點，然后利用導(dǎo)數(shù)有幾何意義求解函數(shù)的圖象與直線相切的狀況，從而可得答案，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題.二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分.）11.函數(shù)的定義域是______.【答案】.【解析】【分析】由對數(shù)真數(shù)大于零，且分式的分母不為零，從而可求出函數(shù)的定義域.【詳解】由題意得，解得且，所以函數(shù)的定義域為，故答案為：.12.計算：______.【答案】1【解析】【分析】依據(jù)對數(shù)運算法則即可求解．【詳解】故答案為：113.已知等比數(shù)列滿意：，，則數(shù)列的公比______；______.【答案】①.或；②.【解析】【分析】由等比數(shù)列的通項公式干脆計算公比，依據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得，從而推斷得數(shù)列是等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列前項和公式計算即可得答案.【詳解】在等比數(shù)列中，，，所以，得或；因為，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，由等比數(shù)列前項和公式可得.故答案為：或；14.若關(guān)于x的不等式在區(qū)間上有解，則實數(shù)a的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)題中條件，由分別參數(shù)的方法得到，求出在給定區(qū)間的最大值，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以由得，因為關(guān)于的不等式在區(qū)間上有解，所以只需小于等于的最大值，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故的最大值為1，所以，即實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.15.已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有5個零點，則下列結(jié)論中正確的是______.①在區(qū)間上單調(diào)遞增；②在區(qū)間上有且僅有3個極大值點；③在區(qū)間上有且僅有2個微小值點；④的取值范圍是.【答案】①②④【解析】【分析】依據(jù)題中所給范圍確定，解出的取值范圍；在運用整體代入得思想，分別求出在②③④條件下得范圍，，結(jié)合的取值范圍即可推斷②③④是否正確.【詳解】當(dāng)時，，令由題可知在僅有五個零點，故解得，故④正確①當(dāng)時，而，，故①正確②③當(dāng)時，，其中令，可取0、1、2，故在區(qū)間有3個極大值點故②正確；同理令，若，可取0、1；若，可取0、1、2，故③錯誤；故答案為：①②④三、解答題（本大題共6小題，共85分.）16.已知函數(shù)，.（1）求的最小正周期；（2）求在區(qū)間，上的最大值和最小值.【答案】（1）；（2）最大值為，最小值為【解析】【分析】(1)先對函數(shù)進(jìn)行降冪，再逆用兩角差的正弦公式將函數(shù)化簡為，即可求得周期；(2)首先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，則在，上遞減，在，上遞增，即可求得最大值與最小值.【詳解】⑴∴函數(shù)的最小正周期為.⑵令，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，，.由，得，.記，，，，，則，∴當(dāng)，時，在，上遞減，在，上遞增又，，∴在區(qū)間，內(nèi)的最大值為，最小值為.【點睛】本題考查降冪公式，兩角差的正弦公式，正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬于基礎(chǔ)題.17.在中，，.再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使其能夠確定唯一的三角形，求：（1）a的值；（2）的面積.條件①：；條件②：；條件③：.注：假如選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】（1）選②，；選③，；（2）選②，；選③，.【解析】【分析】（1）利用正弦定理，余弦定理即得；（2）依據(jù)三角形面積公式結(jié)合條件即得.【小問1詳解】選條件①：，在中，由余弦定理得，，，即.解得或，滿意條件的三角形有兩個，不符合題意，舍去；選條件②：即，在中，由余弦定理得，，，解得；選條件③：，在中，由正弦定理得，，所以；【小問2詳解】選條件②：由題可知，，所以的面積；選條件③：，則，，所以的面積.18.某科研單位在研發(fā)鈦合金產(chǎn)品的過程中運用了一種新材料.該產(chǎn)品的性能指標(biāo)值是這種新材料的含量x（單位：克）的函數(shù)，且性能指標(biāo)值越大，該產(chǎn)品的性能越好.當(dāng)時，y和x的關(guān)系為以下三種函數(shù)模型中的一個：①；②（且）；③（且）；其中k，a，b，c均為常數(shù).當(dāng)時，，其中m為常數(shù).探討過程中部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：x（單位：克）02610……y88……（1）指出模型①②③中最能反映y和x（）關(guān)系的一個，并說明理由；（2）求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（3）求該新合金材料的含量x為多少時，產(chǎn)品的性能達(dá)到最佳.【答案】（1）模型①；（2）；（3）當(dāng)克時產(chǎn)品的性能達(dá)到最佳．【解析】【分析】（1）依據(jù)題中數(shù)據(jù)結(jié)合條件即得；（2）結(jié)合待定系數(shù)法，代入數(shù)據(jù)運算即得；（3）按，分類，結(jié)合指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)分別求最值，進(jìn)而即得.【小問1詳解】模型①最能反映y和x（）的關(guān)系，由題可知時，，明顯模型③不合題意，若為模型②，則，不合題意，故模型①最能反映y和x（）的關(guān)系；【小問2詳解】當(dāng)時，，由可得，由得，由得，解得，所以；當(dāng)時，y＝，由，可得，解得，即有y＝.綜上，可得；【小問3詳解】當(dāng)時，，即有時，性能指標(biāo)值取得最大值12；當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以當(dāng)x＝7時，性能指標(biāo)值取得最大值3；綜上可得，當(dāng)x＝4克時產(chǎn)品的性能達(dá)到最佳．19已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；（3）求證：“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”的充分不必要條件.【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）詳見解析.【解析】【分析】（1）依據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即得；（2）由題可得，然后分，，探討，依據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即得；（3）依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得，然后依據(jù)充分條件，必要條件的定義即得.【小問1詳解】當(dāng)時，，∴，∴，，所以曲線在點處的切線方程為，即；【小問2詳解】由，可得，由，可得，當(dāng)，即時，時，恒成立，單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值為；當(dāng)，即時，時，恒成立，單調(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值為；當(dāng)，即時，時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值為；綜上，當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為；當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為；當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為；【小問3詳解】由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，可得，即在區(qū)間上恒成立，又時，，所以，由可推出，而由推不出，所以“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”的充分不必要條件.20.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)存在兩個微小值點，，求證：.【答案】（1）在上遞減，在上遞增；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)后，，令，再求導(dǎo)后可推斷出恒成立，所以的符號與的符號相同，從而可求出其函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由（1）知，當(dāng)時，只有一個微小值點，不合題意，當(dāng)時，的最小值為，結(jié)合零點存在性定理可求出函數(shù)的微小值，從而可得結(jié)論.【小問1詳解】函數(shù)的定義域為，由，得，令，則，當(dāng)時，，所以，恒成立，當(dāng)時，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上遞減，在上遞增，所以當(dāng)時，取得最小值，即，由于當(dāng)時，，綜上恒成立，所以的符號與的符號相同，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上遞減，在上遞增；【小問2詳解】由（1）知，當(dāng)時，只有一個微小值點，不合題意，當(dāng)時，的最小值為，因為，所以存在，使得，因為，，所以存在，使得，1000遞減微小值遞增極大值遞減微小值遞增因此為的兩個微小值點，且，即，因為，所以，即，所以.【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，解題的關(guān)鍵是當(dāng)時，依據(jù)極值的求法和零點的存在性定理求解證明，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題.21.已知正整數(shù)，集合.對于中的元素，，定義，令.（1）干脆寫出的兩個元素及的元素個數(shù)；（2）已知，，…，，滿意對隨意，都有，求m的最大值；（3）證明：對隨意，，…，，總存在，使得.【答案】（1），；個（2）4（3）證明見解析【解析】【分析】（1）由題可知中的n個數(shù)中有隨意3個數(shù)字為1，數(shù)字為0，依據(jù)排列組合數(shù)可列的元素個數(shù)通式為；（2）其次小問等價于同時滿意的元素個數(shù)最多幾個，首先須要線分析最多幾個不同元素同一位置的重量可以同時為1，在以此極限狀況找到m的不等式關(guān)系求出m最大值；（3）由題可知共有個非空子集，并且由題意可知當(dāng)時，因此證明存在等式，即證明的值必有奇數(shù)即可.【小問1詳解】，；，即中6個重量中恰有3個1，故的元素個數(shù)為；【小問2詳解】對于的非空子集，設(shè)，這里為的第j個重量，定義，規(guī)定.設(shè)，令我們先證明引理：.（反證），令，不妨設(shè)，，…，滿意，其中又因，且，，故，故，這與沖突，引理證畢.回到原題，由引理，得，，，符合題意，綜上，當(dāng)時，m的最大值為4【小問3詳解】