福建省南平市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省南平市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.下列Venn圖能正確表示集合和關(guān)系的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，又，所以，選項B符合.故選：B.2.函數(shù)的定義域為（）A B.C. D.【答案】C【解析】由題意，解得或，所以函數(shù)的定義域為.故選：C.3.命題“”的否定為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】命題“”的否定為.故選：B.4.設(shè)，，，則a、b、c的大小關(guān)系是（）A. B.C D.【答案】D【解析】因函數(shù)在R上單調(diào)遞減，，則有，又函數(shù)在R上單調(diào)遞增，，則有，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，，則有，于是得，所以.故選：D.5.函數(shù)的部分圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意定義域為全體實數(shù)，它關(guān)于原點對稱，且，所以是偶函數(shù)，當時，，此時，且，當時，，此時，對比選項可知，只有B選項符合題意.故選：B.6.不等式成立的一個充分不必要條件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】要成為不等式成立的一個充分不必要條件，則該條件所對應(yīng)的集合為不等式的解集的真子集，解，得，故不等式的解集為，逐一分析各選項，可知只有D選項對應(yīng)的集合滿足題意，故D正確.故選：D.7.若函數(shù)在恰好有3個零點，則正實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令得，因為函數(shù)在恰好有3個零點，所以函數(shù)在上恰有條對稱軸，當時，，函數(shù)在上恰有條對稱軸，如圖：，則，解得.故選：C.8.已知函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)，由題意知，則函數(shù)的定義域為，又，所以是奇函數(shù)，當時，為增函數(shù)，為增函數(shù)，所以是增函數(shù)，則，由是奇函數(shù)可知，在上單調(diào)遞增，由得，即，則，解得，所以不等式的解集為，故D正確.故選：D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列各式中，值為1是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】對于A：，正確；對于B：，錯誤；對于C：，錯誤；對于D：，正確.故選：AD.10.若，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】對于A：當時，，A不一定成立；對于B：，當且僅當，即時等號成立，B一定成立；對于C：當時，，C不一定成立；對于D：當時，，當時，，即，D一定成立.故選：BD.11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.的圖象關(guān)于點對稱B.在上單調(diào)遞減C.若，則D.為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上所有的點向右平移個單位長度【答案】BC【解析】對于A，，故A錯誤；對于B，當時，，且在內(nèi)單調(diào)遞減，可知上單調(diào)遞減，故B正確；對于C，若，則，故C正確；對于D，把函數(shù)圖象上所有的點向右平移個單位長度，所得函數(shù)圖象對應(yīng)函數(shù)表達式為，故D錯誤.故選：BC.12.若函數(shù)為奇函數(shù)，則（）A.B.函數(shù)的值域為C.，且，有D.，“”是“”的充分不必要條件【答案】ACD【解析】對A：由為奇函數(shù)且定義域為，所以，即，得，故A正確；對B：由，因為，所以，故B錯誤；對C：由，對于，且，則，因為，所以，即，又因為，所以，所以函數(shù)在其定義域上為增函數(shù)，所以且，有，故C正確；對D：充分性：當，因為，由為增函數(shù)，所以，故充分性滿足；必要性：由為增函數(shù)，當恒成立，因為，所以，解得或，故必要性不滿足；綜上可知“”是“”的充分不必要條件，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，其中第16題第1空2分，第2空3分，共20分．13.半徑為2的圓中，的圓心角所對的弧的長度是__________．【答案】【解析】由已知的圓心角所對的弧的長度是.故答案為：.14.已知冪函數(shù)．若是奇函數(shù)，則的值為__________．【答案】3【解析】由題意，解得或，又是奇函數(shù)，當時，不滿足題意；當時，滿足題意.故答案為：3.15.如圖是在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標，會標是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計的，由4個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形．若直角三角形中較小的內(nèi)角為，大正方形的面積為1，小正方形的面積是，則__________．【答案】【解析】直角三角形中較小的內(nèi)角為，則直角三角形的兩條直角邊分別為，所以小正方形的邊長為，所以，即，即，所以，所以.故答案為：.16.已知函數(shù)，用表示中的較小者，記為，則函數(shù)的最大值為__________；若，則的取值范圍為______________．【答案】1【解析】因為函數(shù)，用表示中的較小者，記為，所以，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的最大值為，不等式，即，又明顯為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，所以，解得，因為，恒成立，所以，即，所以的取值范圍為.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知角的頂點與坐標原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，它的終邊過點．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）因為的終邊過點，所以，，所以．（2）因為的終邊過點，所以，所以.18.設(shè)函數(shù)．（1）若，求不等式的解集；（2）若關(guān)于的不等式的解集為，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）當，，不等式即為，解得或，所以的解集為或．（2）因為，所以不等式可化為，依題意對，恒成立，所以當時，，不符合要求；當時，由一元二次函數(shù)性質(zhì)，可知，即，解得，因此實數(shù)的取值范圍是．19.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的定義域，并判斷函數(shù)的奇偶性；（2）解關(guān)于x的不等式．解：（1）由，得函數(shù)的定義域為，定義域關(guān)于原點對稱，又，所以函數(shù)奇函數(shù).（2）因為，所以不等式可化為，因為在是增函數(shù)，所以有，又，所以，解得，又，因此不等式的解集為．20.燕子每年都要進行秋去春來的南北大遷徙，已知某種燕子在飛行時的耗氧量與飛行速度（米/秒）之間滿足關(guān)系：．（1）當該燕子的耗氧量為1280時，它的飛行速度是多少？（2）若該燕子飛行時的耗氧量增加到原來的3倍，則它的飛行速度大約增加多少？（參考數(shù)據(jù)：）解：（1）依題意，有，即，又，所以，所以，解得，故該燕子的飛行速度是35（米/秒）．（2）設(shè)該燕子原來的耗氧量為，飛行速度為，則該燕子的耗氧量為，飛行速度記為，依題意，有，所以，則，則，所以它的飛行速度大約增加8（米/秒）.21.已知函數(shù)是偶函數(shù)．（1）求實數(shù)的值；（2）若函數(shù)的最大值為1，求實數(shù)的值；（3）若函數(shù)有且只有一個零點，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）因為是偶函數(shù)，所以，即對任意恒成立，所以，則，故，由于的任意性，所以.（2）由（1）得，所以的最大值為1，令，則的最大值為1，①當，即時，時，，所以；②當，即時，時，，得（舍去）；綜上，實數(shù)．（3）因為，，函數(shù)有且只有一個零點，即方程有且只有一個實數(shù)根，由，得，則，即，因為恒