福建省廈門市2023-2024學年高一上學期1月期末質(zhì)量檢測數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1福建省廈門市2023-2024學年高一上學期1月期末質(zhì)量檢測數(shù)學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可得：.故選：B.2.已知，則（）A.2 B. C.3 D.4【答案】B【解析】因為，可得，且，解得.故選：B.3.已知，為第二象限角，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因，為第二象限角，則，所以.故選：C.4.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為指數(shù)函數(shù)為上的增函數(shù)，則，又因為冪函數(shù)在上為增函數(shù)，則，故.故選：D.5.若命題：，是假命題，則（）A. B.C.或 D.【答案】A【解析】由命題：，是假命題，可知命題的否定：“，”是真命題，即，解得：.故選：A.6.已知定義在上的奇函數(shù)滿足①；②，，且，，則的解集為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】不妨設(shè)，，故在上單調(diào)遞增，因為為定義在上的奇函數(shù)，所以，故定義域為，且，故為偶函數(shù)，因為，所以，，所以，解得或.故選：A.7.已知函數(shù)，若，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意可知：函數(shù)的對稱軸為，且，如圖所示，若，結(jié)合對稱性可知，且，對于選項A：例如，則符合題意，但，故A錯誤；對于選項BC：若，顯然滿足題意，但，，故BC錯誤；對于選項D：因為，則，所以，故D正確.故選：D.8.已知函數(shù)恰有三個零點，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因，①當時，做出兩段拋物線的圖像如圖：此時函數(shù)只有兩個零點，不滿足題意；②當時，，做出兩段拋物線的圖像如圖：此時函數(shù)恰有三個零點，滿足題意；③當時，因為在有兩個零點，且當時兩段拋物線的函數(shù)值相等，若要滿足題意，則兩段拋物線的圖像應該如圖：此時，滿足題意；綜上實數(shù)的取值范圍為.故選：B.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分.9.下列函數(shù)中，與函數(shù)是同一個函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】顯然函數(shù)的定義域為，對于選項A：因為，即對應關(guān)系不一致，故A錯誤；對于選項B：因為，且定義域為，所以兩個函數(shù)相同，故B正確；對于選項C：因為的定義域為，即定義域不同，故C錯誤；對于選項D：因為恒成立，即的定義域為，且，所以兩個函數(shù)相同，故D正確.故選：BD.10.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點的充分條件可以是（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】因為在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點，則，即，解得，故AB符合題意，CD不符合題意.故選：AB.11.已知實數(shù)，，滿足且，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】因為且，所以，A選項，，故，A正確；B選項，不妨設(shè)，此時滿足且，但，B錯誤；C選項，因為且，所以，，所以，C正確；D選項，，因為，所以，故，D正確.故選：ACD.12.已知表示不超過的最大整數(shù)，例如：，.定義在上的函數(shù)滿足，且當時，，則（）A.B.當時，C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有23個實根【答案】ACD【解析】對于選項A：，故A正確；對于選項B：因為，則，可得，故B錯誤；對于選項C：因為當時，，可知當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，結(jié)合，可知的單調(diào)遞增區(qū)間為，當時，，，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，故C正確；對于選項D：當，，且，則，且等號不同時成立，原方程無實根；當時，畫出函數(shù)的圖象，如圖所示，因為，要證，只需證，令，則，只需證，如圖所示，可知，成立，所以方程在區(qū)間上恰有2個實根，所以方程在區(qū)間上恰有個實根，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知某扇形的半徑為2，弧長為，則該扇形的圓心角為__________.【答案】【解析】設(shè)圓心角為，則，解得.故答案為：.14.已知函數(shù)的定義域為，，，，，，…，.寫出滿足上述條件的一個函數(shù)：______________.【答案】（答案不唯一）【解析】例如，則，且，所以符合題意.故答案為：.15.已知函數(shù)，若，則的最小值為______.【答案】4【解析】作出函數(shù)的圖象，如圖所示，因為，且，則，可得，即，且，則，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為4.故答案為：4.16.水星是離太陽最近的行星，在地球上較難觀測到.當?shù)厍蚝退沁B線與地球和太陽連線的夾角達到最大時，稱水星東（西）大距，這是觀測水星的最佳時機（如圖1）.將行星的公轉(zhuǎn)視為勻速圓周運動，則研究水星大距類似如下問題：在平面直角坐標系中，點A，分別在以坐標原點為圓心，半徑分別為1，3的圓上沿逆時針方向做勻速圓周運動，角速度分別為，.當達到最大時，稱A位于的“大距點”.如圖2，初始時刻A位于，位于以為始邊的角的終邊上.（1）若，當A第一次位于的“大距點”時，A的坐標為______；（2）在內(nèi)，A位于的“大距點”的次數(shù)最多有______次【答案】6【解析】當時，經(jīng)過時間，，，當A位于的“大距點”時，與小圓相切，此時為直角三角形，所以，因為，所以，因為A是第一次位于的“大距點”，可知，則，所以，，即A的坐標為，經(jīng)過時間，，，對于任意，當A位于的“大距點”時，A，兩點坐標滿足，即，當時，求“大距點”個數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為直線與在的交點個數(shù)問題，若與有7個交點，則第1個交點到第7個交點間隔恰好3個周期，共長度等于36，因為，所以內(nèi)不可能有7個交點，又當時，，如圖所示，與有6個交點，故A最多有6次位于的“大距點”.故答案為：6.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知函數(shù).（1）若的解集為，求，；（2）若，，，求的最小值.解：（1）因為的解集為，可知，是方程的兩根，則，解得，.（2）因為，即，且，，則，當且僅當，即時，等號成立，所以當，時，的最小值為9.18.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）求的解析式；（2）將的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，求在區(qū)間上的最大值和最小值.解：（1）由圖可知：，且，因為，所以，又因為，即，則，即，且，可知，所以.（2）由的圖象向右平移個單位長度后得，因為，令，當，即時，取最小值；當，即時，取最大值1.19.已知函數(shù).（1）判斷在區(qū)間上單調(diào)性，并用定義證明；（2）當時，恒成立，求實數(shù)的最大值.解：（1）在區(qū)間上單調(diào)遞減，證明：，，且，則，因為，則，，，，可得，即，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減.（2）解法一：因為的定義域為，且，所以為偶函數(shù)，由（1）可知在上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上的最小值為，因為恒成立，等價于恒成立，則，解得，所以的最大值為.解法二：因為，則，可得，所以，即當時，的最小值為，因為恒成立，可得，所以的最大值為.20.已知函數(shù).（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若方程在區(qū)間上有三個實根，，，求的值.解：（1），由，，解得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，.（2）解法一：令，由得，所以在區(qū)間上有三個實根，，，等價于在區(qū)間上有三個實根，，，由對稱性得，，所以，因為，，所以，所以.解法二：令，由，得，所以在區(qū)間上有三個實根，，，等價于在區(qū)間上有三個實根，，，由周期性，有，因為，，所以，.21.在常溫下，物體冷卻的溫度變化可以用牛頓冷卻定律來描述：如果物體原來的溫度為，空氣的溫度為，那么分鐘后物體的溫度（單位：）可由公式求得，其中是一個隨著物體與空氣的接觸狀況而定的正常數(shù).知空氣的溫度為，現(xiàn)用某品牌電熱水壺燒600毫升水，2分鐘后水燒開（溫度為），再過30分鐘，壺中開水自然冷卻到.假設(shè)燒水時水的溫度是關(guān)于時間的一次函數(shù)，水的初始溫度與空氣的溫度一致.（1）從開始燒水算起，求壺中水的溫度（單位：）關(guān)于時間（單位：分鐘）的函數(shù)解析式；（2）電熱水壺在保溫模式下會自動檢測壺中水溫，若水溫高于，保溫管不加熱；若水溫不高于，保溫管開始加熱，直至水溫達到才停止加熱，保溫管加熱時水溫的上升速度是正常燒水時的.水燒開后，立即將電熱水壺設(shè)定為保溫模式.從開始燒水算起，求96分鐘后壺中水的溫度.解：（1）由題意知，空氣的溫度為，水溫從自然冷卻到用時30分鐘，則，即，所以，當時，依題意設(shè)，則，解得，所以；當時，依題意得，，即；綜上所述：.（2）由，解得，即從開始燒水算起，水溫從升到，再冷卻到，用了62分鐘，因為，所以保溫管加熱過，因為保溫管加熱時水溫上升速度是正常燒水時的，所以保溫管加熱時，水溫每分鐘升高，所以水溫從升至，所用時間為分鐘，假設(shè)水溫從降至需要分鐘，則，即，因為，所以，即水溫從冷卻至所用時間超過30分鐘，因為，所以從開始燒水算起，96分鐘內(nèi)保溫管只加熱過1次，所以當時，，所以當時，，所以從開始燒水算起，96分鐘后壺中水的溫度為.22.已知函數(shù).（1）解不等式；（2）討論函數(shù)的零點個數(shù).解：（1）的定義域為，因為，所以是奇函數(shù)，因為是增函數(shù)，所以是增函數(shù)，由得，即，所以，解得，即原不等式的解集為.（2）由得，①當，即時，等式成立，所以為的一個零點；②當，即