廣東省深圳市深圳盟校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省深圳市深圳盟校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題考生注意：1.本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.3.考生作答時(shí)，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：選擇性必修第一冊第一章和第二章.一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：C.2.直線的一個(gè)方向向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得，所以直線的斜率為，又當(dāng)直線斜率存在時(shí)，直線的一個(gè)方向向量為，所以直線的一個(gè)方向向量為，故選：C.3.若直線的一個(gè)方向向量為，直線的一個(gè)方向向量為，則直線所成角的大小為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)直線所成角為，所以，所以.故選：B.4.已知圓關(guān)于直線對稱，則實(shí)數(shù)（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】由，得，故圓心為，又因?yàn)閳A關(guān)于直線對稱，故圓心在直線上，則.故選：A.5.已知點(diǎn)，若過點(diǎn)的直線與線段AB相交，則該直線斜率的取值范圍是（）A. B. C. D.[1,4]【答案】D【解析】記為點(diǎn)，則直線PA的斜率，直線PB的斜率，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，且與線段AB相交，結(jié)合圖象，可得直線的斜率的取值范圍是[1,4].故選：D．6.已知直線的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則直線與平面的關(guān)系是（）A. B. C. D.或【答案】D【解析】因，所以，則或.故選：D.7.如圖，在正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】如圖，以為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S建立空間直角坐標(biāo)系，如下所示：易知，，;取，，則，所以點(diǎn)到直線的距離為．故選：B.8.已知，是圓上兩點(diǎn)，且，若直線上存在點(diǎn)使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意可知:圓的圓心為，半徑，設(shè)中點(diǎn)為，則，且，可得，又因?yàn)?，可知為等腰直角三角形，則，可得，故點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，因?yàn)橹本€上存在點(diǎn)使得，即直線與圓有交點(diǎn)，即圓心到直線的距離，解得或.故選：A.二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知直線過點(diǎn)，且在軸上的截距是軸上的截距的3倍，則直線的方程為（）A B. C. D.【答案】BD【解析】當(dāng)截距為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，將點(diǎn)代入可得，所以，即;當(dāng)截距不等于0時(shí)，設(shè)直線的方程為，將點(diǎn)代入可得，解得，所以直線的方程為，即，所以直線的方程為或.故選：BD.10.下列圓中與圓相切的是（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】由題知，圓的圓心為，半徑為4.A選項(xiàng)，的圓心為，半徑為2，故，由于，所以圓與內(nèi)切，A正確；B選項(xiàng)，的圓心為，半徑為1，故，由于，故圓與外切，B正確；C選項(xiàng)，的圓心為，半徑為4，故，由于，故圓與不相切，C錯(cuò)誤;D選項(xiàng)，的圓心為，半徑為1，故，由于，故圓與不相切，D錯(cuò)誤.故選：AB．11.如圖，四棱錐中，底面，底面為正方形，且，分別為的中點(diǎn)，則（）A.B.與所成角的余弦值是C.點(diǎn)到平面的距離為D.過點(diǎn)的平面截四棱錐的截面面積為【答案】AC【解析】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以，故A正確；，則與所成角的余弦值為，故B錯(cuò)誤；，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，則令，可得，則點(diǎn)到平面的距離為，故C正確；設(shè)過點(diǎn)的平面與線段的交點(diǎn)為，則，因?yàn)楣裁?，則共面，故存在唯一實(shí)數(shù)對使得，即，所以解得，所以，則，因?yàn)?，所以，所以過點(diǎn)的平面截四棱錐的截面面積為，故D錯(cuò)誤．故選：AC.三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為___________.【答案】【解析】因?yàn)椋跃€段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，故答案為：.13.若直線與直線平行，則與之間的距離為___________.【答案】【解析】因?yàn)橹本€與直線平行，所以直線斜率存在，且，得到，此時(shí)，即，滿足，所以與之間的距離，故答案為：.14.空間直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)且一個(gè)法向量為的平面的方程為，閱讀上面材料，解決下面問題：已知平面的方程為，直線是兩平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為___________.【答案】【解析】法一:因?yàn)槠矫娴姆匠虨?，所以平面的一個(gè)法向量，又直線:上有兩個(gè)點(diǎn)，所以直線的方向向量為，所以直線與平面所成角的正弦值為.故答案為：．法二:由題知兩平面與的法向量分別為，設(shè)直線的一個(gè)方向向量，則即取，則，又平面的法向量，所以直線與平面所成角的正弦值為.故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.求滿足下列條件的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（1）圓心為，經(jīng)過點(diǎn)；（2）圓心在直線上，且與軸交于點(diǎn).解：（1）由兩點(diǎn)間的距離公式可得圓的半徑故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）因?yàn)閳A與y軸交于點(diǎn)，所以圓心在直線y=3上.又圓心在直線上，所以圓心的坐標(biāo)為，所以圓的半徑，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.16.已知向量，，.（1）當(dāng)時(shí)，若向量與垂直，求實(shí)數(shù)的值；（2）若向量與向量、共面，求實(shí)數(shù)的值.解：（1）因?yàn)?，所以，解得，?由，且，得，解得.（2）因向量與向量、共面，所以設(shè)，因此，即，解得，故的值為.17.已知的三個(gè)頂點(diǎn)是.（1）求BC邊上的高所在直線的方程;（2）若直線過點(diǎn)，且點(diǎn)A，B到直線的距離相等，求直線的方程.解：（1）因?yàn)椋訠C邊上的高所在直線的斜率為1，所以BC邊上高所在直線為，即.（2）因?yàn)辄c(diǎn)A，B到直線的距離相等，所以直線與AB平行或過AB的中點(diǎn)，①當(dāng)直線與AB平行，所以，所以，即.②當(dāng)直線過AB的中點(diǎn)，所以，所以，即.綜上，直線的方程為或.18.已知以點(diǎn)為圓心圓與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)N，O為坐標(biāo)原點(diǎn).（M，N與不重合）（1）求證：的面積為定值;（2）設(shè)直線與圓交于點(diǎn)A，B，若，求實(shí)數(shù)的值；（3）在（2）的條件下，設(shè)P，Q分別是直線和圓上的動(dòng)點(diǎn)，求|PQ|的最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).解：（1）由圓的方程，化簡得，其與軸，軸的交點(diǎn)分別為:，所以為定值.（2）如圖①所示，因?yàn)?，所?又OC的斜率，所以，解得（負(fù)數(shù)舍去），（3）如圖②所示，由②知:圓的方程為:，圓心，半徑.設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則中點(diǎn)為，且解得，即，則，又點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最短距離為，則的最小值為，此時(shí)直線的方程為:，即.點(diǎn)為直線與直線的交點(diǎn)，則解得即點(diǎn)19.在中，，，，分別是上的點(diǎn)，滿足且經(jīng)過的重心，將沿折起到的位置，使，是的中點(diǎn)，如圖所示.（1）求證：平面；（2）求與平面所成角的大小；（3）在線段上是否存在點(diǎn)，使平面與平面成角余弦值為？若存在，求出的長度；若不存在，請說明理由.解：（1）因?yàn)樵谥?，，，且，所以，，則折疊后，，又平面，所以平面，平面，所以，又已知，且都面內(nèi)，所以平面；（2）由（1），以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)?，故，由幾何關(guān)系可知，，，，故，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，不妨令，則，，.設(shè)與平面所成角的大小為，則有，設(shè)為與平面所