河北省張家口市2024屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省張家口市2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由，得，所以集合；由，得，所以集合，所以．故選：B．2.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，故．故選：A．3.我國周朝時期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例．在西方，最早提出并證明此定理的為公元前6世紀古希臘的畢達哥拉斯學(xué)派，他們用演繹法證明了直角三角形斜邊的平方等于兩直角邊的平方之和．在3，4，5，6，8，10，12，13這8個數(shù)中任取3個數(shù)，這3個數(shù)恰好可以組成勾股定理關(guān)系的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在這8個數(shù)中任取3個數(shù)共有種取法，能組成勾股定理關(guān)系的有，，，共3組，由古典概型，可知這3個數(shù)恰好可以組成勾股定理關(guān)系的概率為．故選：D．4.已知圓臺的上底面半徑為1，下底面半徑為2，母線與下底面所成的角為，則該圓臺的表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意，得上底面面積為，下底面面積為，由圖形可得，，母線與下底面所成的角為，故，故圓臺的母線長為2，所以側(cè)面積為，所以該圓臺的表面積為．故選：C．5.的展開式中，的系數(shù)為（）A.30 B.60 C.120 D.32【答案】B【解析】的展開式中含的項為，其系數(shù)為．故選：B．6.某工廠生產(chǎn)過程中產(chǎn)生的廢水含有毒物質(zhì)，需循環(huán)過濾后排放，過濾過程中有毒物質(zhì)的含量與時間之間的關(guān)系為，若循環(huán)過濾2h后消除了10％的有毒物質(zhì)，則6h后有毒物質(zhì)的含量占原有有毒物質(zhì)的百分比約為（）A.70％ B.71％ C.73％ D.76％【答案】C【解析】設(shè)為過濾過程中有毒物質(zhì)的含量與時間的函數(shù)，由題意知，，，又，故，所以．設(shè)，則．故選：C．7.已知雙曲線與橢圓有相同的焦點，，且雙曲線C與橢圓E在第一象限的交點為P，若的面積為，則雙曲線C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由橢圓的方程可知，半焦距．又的面積，所以，代入橢圓的方程，得，所以．又，解得，所以雙曲線離心率．故選：A．8.已知定義在R上的函數(shù)滿足，，且，若，則（）A.0 B. C.2 D.【答案】B【解析】由，，得，即，所以，所以，故是以4為周期的周期函數(shù)．又，所以，．又，所以，所以，故．又，所以．故選：B．二、選擇題9.已知數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列，數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列，且，，則下列選項正確的有（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】BC【解析】由，得．A選項，當時，，所以A錯誤；B選項，當時，，所以，所以B正確；C選項，由B選項知，時，，所以，，，即，所以C正確；D選項，當時，，所以，，所以D錯誤．故選：BC．10.如圖，在三棱錐中，平面平面，，，，E，M是棱上的點，M為的中點，F(xiàn)是棱上的點，若平面，則下列選項正確的有（）A.平面平面 B.E為的中點C. D.平面【答案】ABD【解析】對于A選項，由平面，平面，所以平面平面，故A正確；對于B選項，因為平面，平面，所以，又為等邊三角形，所以為的中點，故B正確；對于C選項，因為平面，所以．設(shè)的邊長為2，則，．如圖，取的中點，連接，，則，，所以．在中，由余弦定理，得．在中，，所以，，所以，故C錯誤；對于D選項，由上知，，又為的中點，所以，所以．又平面，平面，所以平面，故D正確．故選：ABD．11.已知，函數(shù)，下列選項正確的有（）A.當時，函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象B.將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，則實數(shù)的最小值為C.若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是D.若在區(qū)間上只有一個零點，則的取值范圍是【答案】BCD【解析】當時，，所以函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得，所以A錯誤；由題意，得，所以，得．又，所以實數(shù)的最小值為，所以B正確；若在上單調(diào)遞增，則，解得．又，所以只有當時，成立，所以C正確；若在上只有一個零點，則解得，所以D正確．故選：BCD．12.已知橢圓的離心率為，，為橢圓C的左、右焦點，P是橢圓C的上頂點，過的直線l交橢圓C于A，B兩點，則下列選項正確的有（）A.為等邊三角形B.直線的斜率之積為CD.當直線l與垂直時，若周長為16，則【答案】ACD【解析】因為橢圓的離心率為，所以，即，則，又因為，，所以為等邊三角形，故A正確；當直線垂直于軸時，不妨設(shè)點在點上方，則兩點的坐標分別為，，且，所以直線的斜率之積為，故B錯誤；設(shè)，因為，，，則，所以，又因為，且，所以，所以成立，故C正確；如圖所示，由上知，為等邊三角形，因為直線與垂直，所以直線為線段的垂直平分線，所以直線的斜率為，且，，所以的周長等于的周長，又因為，所以的周長為，所以，所以，，所以直線的方程為，代入橢圓方程，整理化簡得，易知，設(shè)，則，，所以，故D正確．故選：ACD．三、填空題13.已知，則__________．【答案】【解析】由題意可得：．故答案為：.14.已知向量，的夾角為，，，則__________．【答案】【解析】由題意，向量，的夾角為，，，，故答案為：.15.過圓內(nèi)一點作相互垂直的兩條弦和，若，則__________．【答案】【解析】由圓，可得圓心為，半徑為，因為，可得，設(shè)圓心到直線和的距離分別為，故，又由，所以，解得，所以，因為，解得．故答案為：.16.已知函數(shù)在R上無零點，則實數(shù)a的取值范圍是__________．【答案】【解析】當時，，符合題意；當時，令，得，設(shè)，則，則在區(qū)間上，，函數(shù)單調(diào)遞增；在區(qū)間上，，函數(shù)單調(diào)遞減；在區(qū)間上，，函數(shù)單調(diào)遞減；在區(qū)間上，，函數(shù)單調(diào)遞增；又，，則當時，，當時，，則函數(shù)的圖象如圖所示，所以當時，函數(shù)在上無零點．故答案為：．四、解答題17.某公司男女職工人數(shù)相等，該公司為了解職工是否接受去外地長時間出差，進行了如下調(diào)查：在男女職工中各隨機抽取了100人，經(jīng)調(diào)查，男職工和女職工接受去外地長時間出差的人數(shù)分別為40和20．（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為是否接受去外地長時間出差與性別有關(guān)聯(lián)？單位：人性別接受不接受合計男女合計（2）若將頻率視為概率，用樣本估計總體，從該公司中隨機抽取5人，記其中接受去外地長時間出差的人數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望，附表：0.10.050.010.0050.00127063.8416.6357.87910.828附：，其中．解：（1）依題意，列出列聯(lián)表如下：單位：人性別接受不接受合計男4060100女2080100合計60140200零假設(shè)為：是否接受去外地長時間出差與性別相互獨立，即是否接受去外地長時間出差與性別無關(guān)，所以．根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為是否接受去外地長時間出差與性別有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.005．（2）由題意，接受去外地長時間出差的頻率為，所以接受去外地長時間出差的概率為．隨機變量的可能取值為0，1，2，3，4，5，由題意，得，所以的數(shù)學(xué)期望．18.如圖，在四棱錐中，平面，，，．（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：因為平面，平面，所以，，．又，，所以，所以．又，所以．又，所以，即．又，，平面，所以平面．（2）解：如圖，由（1）可知，，，兩兩垂直，以點為坐標原點，分別以，，的方向為，，軸的正方向，建立空間直角坐標系．設(shè)．因為，所以為等邊三角形，所以，所以，，，，，，，．設(shè)為平面的法向量，則有即可?。O(shè)為平面的法向量，則有即可取，所以，所以平面與平面夾角的余弦值為．19.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．（1）若，，求的面積；（2）已知為邊的中線，且，求的最大值．解：（1）由正弦定理，得，所以．又，所以，又，所以，又，故．由余弦定理，得，由，解得，所以的面積．（2）設(shè)，則．由及正弦定理可得，，所以，，故，其中，，當時，的最大值為．20.已知數(shù)列滿足，.（1）若，證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前2n項和．（1）證明：由題意，得，，故，所以，即，又，所以數(shù)列是以1為首項，為公比的等比數(shù)列．（2）解：由上知，故，所以．設(shè)，故．21.已知定點，點D是直線上一動點，過點D作l的垂線，與線段的中垂線交于點M，動點M的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的方程；（2）不過點的直線與曲線C交于A，B兩點，以為直徑的圓經(jīng)過點P，證明：直線過定點．（1）解：由題意知，為線段的中垂線上的點，所以．又，所以點到直線的距離與點到定點的距離相等，所以點的軌跡以為焦點，直線為準線的拋物線，所以曲線的方程為．（2）證明：如圖，設(shè)，．由得，則，．因為以為直徑的圓經(jīng)過點，所以，所以．又，，所以，故或．若，則直線過點，與題意矛盾，所以，故，所以直線，過定點．22.已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在處的切線經(jīng)過點，求a的值；（2）若恒成立，求a取值范圍．解：（1），又，故，所以函數(shù)在