滬科版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末復(fù)習(xí)考點(diǎn)清單 專題03 三角形中的邊角關(guān)系、命題與證明（8個(gè)考點(diǎn)清單+12種題型解讀）

專題03三角形中的邊角關(guān)系、命題與證明（8個(gè)考點(diǎn)清單+12種題型解讀）目錄TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)題型一】判斷是否是命題 2【考點(diǎn)題型二】判斷是否是真命題 4【考點(diǎn)題型三】寫出某命題的逆命題 6【考點(diǎn)題型四】三角形的穩(wěn)定性及應(yīng)用 7【考點(diǎn)題型五】判定三條線段能否構(gòu)成三角形 9【考點(diǎn)題型六】確定第三邊的取值范圍 10【考點(diǎn)題型七】畫三角形的高 13【考點(diǎn)題型八】與三角形的高有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題 15【考點(diǎn)題型九】與三角形的中線有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題 18【考點(diǎn)題型十】與三角形的角平分線有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題 21【考點(diǎn)題型十一】利用三角形內(nèi)角和求角問(wèn)題 25【考點(diǎn)題型十二】三角形三線的綜合問(wèn)題 27【知識(shí)點(diǎn)01】三角形三邊的關(guān)系定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊；三角形任意兩邊的之差小于第三邊.【知識(shí)點(diǎn)02】三角形的分類【知識(shí)點(diǎn)03】三角形的重要線段（1）三角形的高：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡(jiǎn)稱三角形的高．【要點(diǎn)】三角形的三條高所在的直線相交于一點(diǎn)的位置情況有三種：銳角三角形交點(diǎn)在三角形內(nèi)；直角三角形交點(diǎn)在直角頂點(diǎn)；鈍角三角形交點(diǎn)在三角形外.（2）三角形的中線：三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與它的對(duì)邊中點(diǎn)的連線叫三角形的中線，【要點(diǎn)】一個(gè)三角形有三條中線，它們交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，叫做三角形的重心．中線把三角形分成面積相等的兩個(gè)三角形.（3）三角形的角平分線：三角形的一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線.【要點(diǎn)】一個(gè)三角形有三條角平分線，它們交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心.【知識(shí)點(diǎn)04】三角形的穩(wěn)定性

如果三角形的三邊固定，那么三角形的形狀大小就完全固定了，這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性．【知識(shí)點(diǎn)05】三角形的內(nèi)角三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°．推論：（1）直角三角形的兩個(gè)銳角互余（2）有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形【知識(shí)點(diǎn)06】三角形的外角三角形外角性質(zhì)：（1）三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．（2）三角形的一個(gè)外角大于任意一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角．三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.【知識(shí)點(diǎn)07】定義與命題1.定義：一般地，用來(lái)說(shuō)明一個(gè)名詞或者一個(gè)術(shù)語(yǔ)的意義的句子叫做定義.2.命題：判斷一件事情的句子叫做命題.真命題：正確的命題叫做真命題.假命題：不正確的命題叫做假命題.【知識(shí)點(diǎn)08】證明的必要性要判斷一個(gè)命題是不是真命題，僅僅依靠經(jīng)驗(yàn)、觀察、實(shí)驗(yàn)和猜想是不夠的，必須一步一步、有根有據(jù)地進(jìn)行推理.推理的過(guò)程叫做證明.【考點(diǎn)題型一】判斷是否是命題【例1】（23-24八年級(jí)上·山東聊城·期末）下列語(yǔ)句中，屬于命題的是（

）A．作線段的垂直平分線B．等角的補(bǔ)角相等嗎C．三角形是軸對(duì)稱圖形D．用三條線段去拼成一個(gè)三角形【變式1-1】（23-24七年級(jí)下·湖南湘西·期末）下列語(yǔ)句，不是命題的是（

）A．兩點(diǎn)之間線段最短 B．在同一個(gè)平面內(nèi)兩直線不平行就相交C．連接A，B兩點(diǎn) D．對(duì)頂角相等【變式1-2】（23-24八年級(jí)上·貴州畢節(jié)·期末）下列語(yǔ)句中是命題的是（

）A．作的平分線 B．美麗的大自然C．同位角相等 D．你吃飯了嗎【變式1-3】（23-24八年級(jí)上·河南鄭州·期末）下列語(yǔ)句中，是命題的是（）A．你喜歡數(shù)學(xué)嗎？ B．取線段的中點(diǎn)C．美麗的天空 D．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等【考點(diǎn)題型二】判斷是否是真命題【例2】（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期末）下列各命題的逆命題是真命題的是（

）A．全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等 B．兩直線平行，同位角相等C．如果兩個(gè)數(shù)相等，那么它們的絕對(duì)值相等 D．如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么這兩個(gè)角相等【變式2-1】（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期末）下列命題中為假命題的是（）A．同位角不相等，兩直線不平行 B．一個(gè)角的余角一定大于這個(gè)角C．一個(gè)鈍角的補(bǔ)角必是銳角 D．過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線【變式2-2】（23-24七年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期末）下列命題中是真命題的是（

）A．直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段叫做點(diǎn)到直線的距離；B．兩條直線被第三條直線所截，同位角相等；C．無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)；D．過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行．【變式2-3】（23-24八年級(jí)上·四川達(dá)州·期末）下列四個(gè)命題中，是真命題的是（

）A．三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)內(nèi)角 B．有理數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的C．兩條直線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等 D．平面內(nèi)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱【考點(diǎn)題型三】寫出某命題的逆命題【例3】（23-24八年級(jí)下·福建廈門·期末）命題“如果一個(gè)四邊形是菱形，那么它的對(duì)角線互相垂直”的逆命題是，該逆命題是．（填“真命題”或“假命題”）【變式3-1】（23-24七年級(jí)下·山東煙臺(tái)·期末）命題“等邊三角形的各個(gè)內(nèi)角都等于”，其逆命題是．【變式3-2】（23-24七年級(jí)下·江蘇泰州·期末）命題“如果，那么”的逆命題是命題．（選填“真”或“假”）【變式3-3】（23-24八年級(jí)上·河南洛陽(yáng)·期末）命題：“如果兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，那么這兩個(gè)圖形全等”的逆命題是，這個(gè)逆命題是（填“真”或“假”）命題．【考點(diǎn)題型四】三角形的穩(wěn)定性及應(yīng)用【例4】（23-24七年級(jí)下·河南周口·期末）如圖所示的斜拉橋是將主梁用許多拉索直接拉在橋塔上的一種橋梁，這樣做的依據(jù)是．【變式4-1】（23-24七年級(jí)下·陜西渭南·期末）如圖，王師傅在院子的門板上釘了一個(gè)加固板（陰影），這樣做的數(shù)學(xué)依據(jù)是三角形的．【變式4-2】（23-24七年級(jí)下·河南鄭州·期末）下面是跪姿射擊的情形，要使射擊者在射擊過(guò)程中保持槍的穩(wěn)定性，可以選擇①右腳尖，②右膝，③左腳，④左手，⑤左肘，⑥左肩，⑦右肩哪三個(gè)支點(diǎn)（填序號(hào)）．【變式4-3】（23-24八年級(jí)上·河南駐馬店·期末）如圖，五根木條釘成一個(gè)五邊形框架，要使框架穩(wěn)固且不活動(dòng)，至少還需要添根木條．【考點(diǎn)題型五】判定三條線段能否構(gòu)成三角形【例5】（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·期末）下列長(zhǎng)度的各組線段，能構(gòu)成三角形的是（

）A．，， B．，，10 C．，， D．，，【變式5-1】（23-24八年級(jí)下·云南紅河·期末）下列長(zhǎng)度的三條線段能組成三角形的是（

）A．3，3，6 B．2，4，6 C．5，6，12 D．6，8，10【變式5-2】（23-24七年級(jí)下·四川宜賓·期末）下列每組數(shù)分別是三根小木棒的長(zhǎng)度，用它們能擺成三角形的是（

）A．15，12，20 B．4，7，11 C．6，7，15 D．5，5，10【變式5-3】（23-24七年級(jí)下·河北邯鄲·期末）把一根長(zhǎng)12厘米的鐵絲按下面所標(biāo)長(zhǎng)度剪開，剪成的三段首尾順次相接可以圍成三角形的是（

）A． B．C． D．【考點(diǎn)題型六】確定第三邊的取值范圍【例6】（23-24七年級(jí)下·陜西榆林·期末）在中，，，則的長(zhǎng)可能為．（只寫一個(gè)）【變式6-1】（23-24八年級(jí)上·寧夏固原·期末）在中，，，第三邊的取值范圍是．【變式6-2】（23-24七年級(jí)下·江蘇徐州·期末）一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別是2和5，若第三邊的長(zhǎng)為奇數(shù)，則第三邊的長(zhǎng)是．【變式6-3】（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·期末）已知的邊長(zhǎng)a，b，c滿足，若c為偶數(shù)，則的形狀為三角形．（按邊分類）【變式6-4】（23-24七年級(jí)下·四川資陽(yáng)·期末）已知關(guān)于x的不等式組至少有兩個(gè)整數(shù)解，且存在以3，a，6為邊的三角形，則整數(shù)a的值有個(gè)【考點(diǎn)題型七】畫三角形的高【例7】（23-24七年級(jí)下·河南鄭州·期末）數(shù)學(xué)課上同學(xué)們用三角板作三角形的高，有四位同學(xué)的作法如下，其中正確的是（

）A． B． C． D．【變式7-1】（23-24七年級(jí)下·廣東佛山·期末）如圖，在中，邊上的高是（

）A． B． C． D．【變式7-2】（23-24七年級(jí)下·山西臨汾·期末）小林求的面積時(shí)、作了邊上的高，下列作圖正確的是（）A．

B．

C．

D．

【變式7-3】（23-24八年級(jí)下·陜西西安·期末）（回憶童年，認(rèn)識(shí)三角形高）下列四個(gè)圖形中，線段是的高的是（

）A． B． C． D．【考點(diǎn)題型八】與三角形的高有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題【例8】（23-24七年級(jí)下·吉林長(zhǎng)春·期末）如圖，在中，，，，，，則的長(zhǎng)為．【變式8-1】（23-24七年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期末）在中，是邊上的高，交直線于點(diǎn)E，，，則°【變式8-2】（23-24七年級(jí)下·江蘇南京·期末）如圖，中，，分別是，邊上的高線．若，，則的度數(shù)是．【變式8-3】（23-24七年級(jí)下·遼寧盤錦·期末）在直角坐標(biāo)系中，，在y軸上找一點(diǎn)C，使面積為9，則C點(diǎn)坐標(biāo)為．【考點(diǎn)題型九】與三角形的中線有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題【例9】（23-24七年級(jí)下·陜西西安·期末）如圖，是的中線，，若的周長(zhǎng)比的周長(zhǎng)大，則的長(zhǎng)為．【變式9-1】（23-24七年級(jí)上·江蘇鹽城·期末）如圖，在中，，為邊的中線，的周長(zhǎng)比的周長(zhǎng)大，，則．【變式9-2】（23-24七年級(jí)下·重慶萬(wàn)州·期末）如圖，的面積為18，為的中線，E、F為的兩個(gè)三等分點(diǎn)，連接，則圖中陰影部分的面積和為．【變式9-3】（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·期末）如圖，已知中，，，，點(diǎn)G是的中點(diǎn)，若的面積是27，則的面積為．【考點(diǎn)題型十】與三角形的角平分線有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題【例10】（23-24八年級(jí)上·安徽宣城·期末）如圖，在中，與的平分線交于點(diǎn)P，設(shè)的度數(shù)為x度，的度數(shù)為y度，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為．【變式10-1】（22-23七年級(jí)下·廣東深圳·期末）如圖，在中，和的角平分線交于點(diǎn)，延長(zhǎng)BO與的外角平分線交于點(diǎn)，若，則．【變式10-2】（23-24七年級(jí)下·吉林長(zhǎng)春·期末）如圖，在中，，、、分別平分的外角、內(nèi)角和外角．下列結(jié)論正確的是：．（只填序號(hào)）①；②；③．【變式10-3】（22-23七年級(jí)下·山東煙臺(tái)·期末）如圖，和分別是的內(nèi)角平分線和外角平分線，是的角平分線，是的角平分線，是的角平分線，是的角平分線，若，則．

【考點(diǎn)題型十一】利用三角形內(nèi)角和求角問(wèn)題【例11】（24-25八年級(jí)上·甘肅定西·期末）已知中，，那么中最大角的度數(shù)為．【變式11-1】（23-24七年級(jí)下·安徽黃山·期末）將一把直尺和一塊含和的三角板按如圖所示的位置放置，若，那么的度數(shù)為．【變式11-2】（23-24七年級(jí)下·廣東廣州·期末）如圖，，，，，．則，．【變式11-3】（23-24八年級(jí)上·江西吉安·期末）如圖，將一個(gè)直角三角板放置在銳角三角形上，使得該三角板的兩條直角邊恰好分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)，若，則．【考點(diǎn)題型十二】三角形三線的綜合問(wèn)題【例12】（23-24八年級(jí)上·貴州遵義·期末）如圖，在中，，，(1)求證：(2)如果，，，求的長(zhǎng)．【變式12-1】（23-24七年級(jí)下·廣東揭陽(yáng)·期末）如圖，、、分別是的高線、角平分線和中線．(1)若，，求的面積．(2)若，求的度數(shù)．【變式12-2】（23-24七年級(jí)下·廣西南寧·期末）如圖，是的高，．(1)若點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，當(dāng)，時(shí)，求的度數(shù)；(2)若，，，求的長(zhǎng)度．【變式12-3】（23-24七年級(jí)下·河南南陽(yáng)·期末）如圖，分別為的中線、高，點(diǎn)E為的中點(diǎn)．(1)若求的度數(shù)；(2)若的面積為15，求的長(zhǎng)．【變式12-4】（23-24七年級(jí)下·湖北十堰·期末）如圖所示，在中，是角平分線，是高．(1)若，求：的度數(shù)．(2)已知，請(qǐng)直接寫出與的關(guān)系．(3)已知，求證：．

專題03三角形中的邊角關(guān)系、命題與證明（8個(gè)考點(diǎn)清單+12種題型解讀）目錄TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)題型一】判斷是否是命題 2【考點(diǎn)題型二】判斷是否是真命題 4【考點(diǎn)題型三】寫出某命題的逆命題 6【考點(diǎn)題型四】三角形的穩(wěn)定性及應(yīng)用 7【考點(diǎn)題型五】判定三條線段能否構(gòu)成三角形 9【考點(diǎn)題型六】確定第三邊的取值范圍 10【考點(diǎn)題型七】畫三角形的高 13【考點(diǎn)題型八】與三角形的高有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題 15【考點(diǎn)題型九】與三角形的中線有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題 18【考點(diǎn)題型十】與三角形的角平分線有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題 21【考點(diǎn)題型十一】利用三角形內(nèi)角和求角問(wèn)題 25【考點(diǎn)題型十二】三角形三線的綜合問(wèn)題 27【知識(shí)點(diǎn)01】三角形三邊的關(guān)系定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊；三角形任意兩邊的之差小于第三邊.【知識(shí)點(diǎn)02】三角形的分類【知識(shí)點(diǎn)03】三角形的重要線段（1）三角形的高：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡(jiǎn)稱三角形的高．【要點(diǎn)】三角形的三條高所在的直線相交于一點(diǎn)的位置情況有三種：銳角三角形交點(diǎn)在三角形內(nèi)；直角三角形交點(diǎn)在直角頂點(diǎn)；鈍角三角形交點(diǎn)在三角形外.（2）三角形的中線：三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與它的對(duì)邊中點(diǎn)的連線叫三角形的中線，【要點(diǎn)】一個(gè)三角形有三條中線，它們交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，叫做三角形的重心．中線把三角形分成面積相等的兩個(gè)三角形.（3）三角形的角平分線：三角形的一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線.【要點(diǎn)】一個(gè)三角形有三條角平分線，它們交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心.【知識(shí)點(diǎn)04】三角形的穩(wěn)定性

如果三角形的三邊固定，那么三角形的形狀大小就完全固定了，這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性．【知識(shí)點(diǎn)05】三角形的內(nèi)角三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°．推論：（1）直角三角形的兩個(gè)銳角互余（2）有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形【知識(shí)點(diǎn)06】三角形的外角三角形外角性質(zhì)：（1）三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．（2）三角形的一個(gè)外角大于任意一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角．三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.【知識(shí)點(diǎn)07】定義與命題1.定義：一般地，用來(lái)說(shuō)明一個(gè)名詞或者一個(gè)術(shù)語(yǔ)的意義的句子叫做定義.2.命題：判斷一件事情的句子叫做命題.真命題：正確的命題叫做真命題.假命題：不正確的命題叫做假命題.【知識(shí)點(diǎn)08】證明的必要性要判斷一個(gè)命題是不是真命題，僅僅依靠經(jīng)驗(yàn)、觀察、實(shí)驗(yàn)和猜想是不夠的，必須一步一步、有根有據(jù)地進(jìn)行推理.推理的過(guò)程叫做證明.【考點(diǎn)題型一】判斷是否是命題【例1】（23-24八年級(jí)上·山東聊城·期末）下列語(yǔ)句中，屬于命題的是（

）A．作線段的垂直平分線B．等角的補(bǔ)角相等嗎C．三角形是軸對(duì)稱圖形D．用三條線段去拼成一個(gè)三角形【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】判斷是否是命題【分析】本題主要考查了命題的定義：一般的，在數(shù)學(xué)中我們把用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫做命題．分析是否是命題，需要分別分析各選項(xiàng)是否是用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句．【詳解】解：A、沒(méi)對(duì)一件事情做出判斷，不符合命題的概念，故本選項(xiàng)不符合；B、是問(wèn)句，未做判斷，故本選項(xiàng)不符合；C、符合命題的概念，故本選項(xiàng)符合；D、沒(méi)對(duì)一件事情做出判斷，不符合命題的概念，故本選項(xiàng)不符合；故選：C．【變式1-1】（23-24七年級(jí)下·湖南湘西·期末）下列語(yǔ)句，不是命題的是（

）A．兩點(diǎn)之間線段最短 B．在同一個(gè)平面內(nèi)兩直線不平行就相交C．連接A，B兩點(diǎn) D．對(duì)頂角相等【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】判斷是否是命題【分析】本題考查了命題：判斷一件事情的語(yǔ)句叫做命題，正確的命題稱為真命題，錯(cuò)誤的命題稱為假命題．命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成的．根據(jù)命題的定義對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A．兩點(diǎn)之間線段最短，是命題；B．在同一個(gè)平面內(nèi)兩直線不平行就相交，是命題；C．連接A，B兩點(diǎn)，為描述性語(yǔ)言，不是命題；D．對(duì)頂角相等，是命題．故選：C．【變式1-2】（23-24八年級(jí)上·貴州畢節(jié)·期末）下列語(yǔ)句中是命題的是（

）A．作的平分線 B．美麗的大自然C．同位角相等 D．你吃飯了嗎【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】判斷是否是命題【分析】本題主要考查了命題的定義，命題就是判斷一件事情的語(yǔ)句，據(jù)此逐一判斷即可．【詳解】解：根據(jù)命題的定義可知，四個(gè)選項(xiàng)中只有C選項(xiàng)中的語(yǔ)句是命題，故選：C．【變式1-3】（23-24八年級(jí)上·河南鄭州·期末）下列語(yǔ)句中，是命題的是（）A．你喜歡數(shù)學(xué)嗎？ B．取線段的中點(diǎn)C．美麗的天空 D．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】判斷是否是命題【分析】本題考查了命題的定義，判斷一件事情的語(yǔ)句叫命題，根據(jù)命題的定義逐一進(jìn)行判斷即可得到答案，掌握命題的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：、你喜歡數(shù)學(xué)嗎？是疑問(wèn)句，沒(méi)有作出判斷，不是命題，不符合題意；、取線段的中點(diǎn)，沒(méi)有作出判斷，不是命題，不符合題意；、美麗的天空，是描敘性語(yǔ)言，沒(méi)有作出判斷，不是命題；、兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，是命題，符合題意；故選：．【考點(diǎn)題型二】判斷是否是真命題【例2】（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期末）下列各命題的逆命題是真命題的是（

）A．全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等 B．兩直線平行，同位角相等C．如果兩個(gè)數(shù)相等，那么它們的絕對(duì)值相等 D．如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么這兩個(gè)角相等【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】寫出命題的逆命題、判斷命題真假【分析】本題主要考查了逆命題的真假性，正確掌握逆命題的真假性是解題的關(guān)鍵．寫出各個(gè)選項(xiàng)的逆命題，再判斷真假．【詳解】解：A、原命題的逆命題是：如果三角形的三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，則這兩個(gè)三角形是全等三角形，是假命題，不合題意；B、原命題的逆命題是：同位角相等，兩直線平行，是真命題，符合題意；C、原命題的逆命題是：如果兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等，那么這兩個(gè)數(shù)相等，是假命題，不合題意；D、原命題的逆命題是：如果兩個(gè)角相等，則這兩個(gè)角是對(duì)頂角，是假命題，不合題意．故選B．【變式2-1】（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期末）下列命題中為假命題的是（）A．同位角不相等，兩直線不平行 B．一個(gè)角的余角一定大于這個(gè)角C．一個(gè)鈍角的補(bǔ)角必是銳角 D．過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】?jī)芍本€平行同位角相等、判斷命題真假、兩點(diǎn)確定一條直線、與余角、補(bǔ)角有關(guān)的計(jì)算【分析】本題主要考查命題與定理，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．根據(jù)平行線的判定、余角和補(bǔ)角的概念、直線的性質(zhì)判斷即可．【詳解】解：、同位角不相等，兩直線不平行，是真命題，不符合題意；、一個(gè)角的余角不一定大于這個(gè)角，例如角的余角是，，故本選項(xiàng)命題是假命題，符合題意；、一個(gè)鈍角的補(bǔ)角必是銳角，是真命題，不符合題意；、過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線，是真命題，不符合題意；故選：．【變式2-2】（23-24七年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期末）下列命題中是真命題的是（

）A．直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段叫做點(diǎn)到直線的距離；B．兩條直線被第三條直線所截，同位角相等；C．無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)；D．過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】?jī)芍本€平行同位角相等、點(diǎn)到直線的距離、判斷命題真假、無(wú)理數(shù)【分析】本題主要考查了真假命題的判定，利用平行線的性質(zhì)、無(wú)理數(shù)的定義及點(diǎn)到直線的距離的定義分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．【詳解】解：．直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度叫做點(diǎn)到直線的距離，原命題為假命題，故該選項(xiàng)不符合題意；．兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等，原命題為假命題，故該選項(xiàng)不符合題意；．無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)，是真命題，故該選項(xiàng)符合題意；．過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行，原命題為假命題，故該選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【變式2-3】（23-24八年級(jí)上·四川達(dá)州·期末）下列四個(gè)命題中，是真命題的是（

）A．三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)內(nèi)角 B．有理數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的C．兩條直線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等 D．平面內(nèi)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形變化——軸對(duì)稱、判斷命題真假、三角形的外角的定義及性質(zhì)、實(shí)數(shù)與數(shù)軸【分析】此題考查命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的定義、性質(zhì)定理及判定定理．直接根據(jù)數(shù)學(xué)常識(shí)分別判斷即可．【詳解】A．三角形的一個(gè)外角大于任何與它不相鄰的內(nèi)角，故原命題缺少與它不相鄰的條件，為假命題；B．實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，故原命題中有理數(shù)是實(shí)數(shù)的一部分，為假命題；C．兩條平行直線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等，故原命題缺少平行條件，為假命題；D．平面內(nèi)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，故原命題為真命題；故選D．【考點(diǎn)題型三】寫出某命題的逆命題【例3】（23-24八年級(jí)下·福建廈門·期末）命題“如果一個(gè)四邊形是菱形，那么它的對(duì)角線互相垂直”的逆命題是，該逆命題是．（填“真命題”或“假命題”）【答案】如果一個(gè)四邊形的對(duì)角線互相垂直，那么這個(gè)四邊形是菱形假命題【知識(shí)點(diǎn)】寫出命題的逆命題、判斷命題真假【分析】本題考查了逆命題，以及命題的真假，將原命題的結(jié)論變?yōu)闂l件，原命題的條件變?yōu)榻Y(jié)論可得逆命題，然后再判斷真假即可．【詳解】解：命題“如果一個(gè)四邊形是菱形，那么它的對(duì)角線互相垂直”的逆命題是：如果一個(gè)四邊形的對(duì)角線互相垂直，那么這個(gè)四邊形是菱形；這個(gè)命題是假命題，如：箏形的對(duì)角線互相垂直，但不一定是菱形．故答案為：如果一個(gè)四邊形的對(duì)角線互相垂直，那么這個(gè)四邊形是菱形；假命題．【變式3-1】（23-24七年級(jí)下·山東煙臺(tái)·期末）命題“等邊三角形的各個(gè)內(nèi)角都等于”，其逆命題是．【答案】三個(gè)內(nèi)角都是的三角形是等邊三角形【知識(shí)點(diǎn)】寫出命題的逆命題【分析】本題主要考查了寫出一個(gè)命題的逆命題，把原命題的結(jié)論和條件互換作為新命題的條件和結(jié)論并寫出對(duì)應(yīng)的命題即可．【詳解】解：命題“等邊三角形的各個(gè)內(nèi)角都等于”，其逆命題是：三個(gè)內(nèi)角都是的三角形是等邊三角形故答案為：三個(gè)內(nèi)角都是的三角形是等邊三角形．【變式3-2】（23-24七年級(jí)下·江蘇泰州·期末）命題“如果，那么”的逆命題是命題．（選填“真”或“假”）【答案】假【知識(shí)點(diǎn)】寫出命題的逆命題、判斷命題真假【分析】本題主要考查命題與定理，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題．注意，判定一個(gè)命題是假命題舉反例．先根據(jù)逆命題的概念寫出原命題的逆命題，再根據(jù)有理數(shù)的平方、有理數(shù)的大小比較法則判斷即可．【詳解】解：命題“如果，那么”的逆命題是如果，那么，是假命題，例如：當(dāng)時(shí)，，而，故答案為：假．【變式3-3】（23-24八年級(jí)上·河南洛陽(yáng)·期末）命題：“如果兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，那么這兩個(gè)圖形全等”的逆命題是，這個(gè)逆命題是（填“真”或“假”）命題．【答案】“如果兩個(gè)圖形全等，那么這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱”“假”【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題真假、寫出命題的逆命題【分析】本題主要考查了命題與定理，準(zhǔn)確分析判斷是解題的關(guān)鍵．逆命題即將原命題的結(jié)論變?yōu)橐阎?，原命題的已知變?yōu)榻Y(jié)論．【詳解】解：逆命題是“如果兩個(gè)圖形全等，那么這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱”，該命題是假命題．故答案為：“如果兩個(gè)圖形全等，那么這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱”，“假”【考點(diǎn)題型四】三角形的穩(wěn)定性及應(yīng)用【例4】（23-24七年級(jí)下·河南周口·期末）如圖所示的斜拉橋是將主梁用許多拉索直接拉在橋塔上的一種橋梁，這樣做的依據(jù)是．【答案】三角形的穩(wěn)定性【知識(shí)點(diǎn)】三角形的穩(wěn)定性及應(yīng)用【分析】本題考查三角形穩(wěn)定性的實(shí)際應(yīng)用，三角形的穩(wěn)定性在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，如鋼架橋、房屋架梁等，因此要使一些圖形具有穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)，往往通過(guò)連接輔助線轉(zhuǎn)化為三角形而獲得．橋梁的斜拉鋼索是三角形的結(jié)構(gòu)，故可用三角形的穩(wěn)定性解釋．【詳解】解∶斜拉橋是將主梁用許多拉索直接拉在橋塔上的一種橋梁，這樣做的依據(jù)是三角形的穩(wěn)定性，故答案為∶三角形的穩(wěn)定性．【變式4-1】（23-24七年級(jí)下·陜西渭南·期末）如圖，王師傅在院子的門板上釘了一個(gè)加固板（陰影），這樣做的數(shù)學(xué)依據(jù)是三角形的．【答案】穩(wěn)定性【知識(shí)點(diǎn)】三角形的穩(wěn)定性及應(yīng)用【分析】此題根據(jù)題目的意思，釘了一個(gè)加固板，即分割成了三角形，故利用了三角形的穩(wěn)定性．【詳解】解：這樣做的原因是：利用三角形的穩(wěn)定性使門板不變形，故答案為：穩(wěn)定性．【變式4-2】（23-24七年級(jí)下·河南鄭州·期末）下面是跪姿射擊的情形，要使射擊者在射擊過(guò)程中保持槍的穩(wěn)定性，可以選擇①右腳尖，②右膝，③左腳，④左手，⑤左肘，⑥左肩，⑦右肩哪三個(gè)支點(diǎn)（填序號(hào)）．【答案】①②③或④⑤⑥或④⑥⑦【知識(shí)點(diǎn)】三角形的穩(wěn)定性及應(yīng)用【分析】本題考查了三角形的穩(wěn)定性質(zhì)；只要是構(gòu)成三角形的三個(gè)支點(diǎn)均可使射擊者在射擊過(guò)程中保持槍的穩(wěn)定性．【詳解】解：可以是①②③或④⑤⑥或④⑥⑦．故答案為：①②③或④⑤⑥或④⑥⑦．【變式4-3】（23-24八年級(jí)上·河南駐馬店·期末）如圖，五根木條釘成一個(gè)五邊形框架，要使框架穩(wěn)固且不活動(dòng)，至少還需要添根木條．【答案】2【知識(shí)點(diǎn)】三角形的穩(wěn)定性及應(yīng)用【分析】本題考查了三角形的穩(wěn)定性的應(yīng)用．根據(jù)三角形的穩(wěn)定性，只要使六邊形框架變成三角形的組合體即可．【詳解】解：從圖中可以看出，要使框架穩(wěn)固且不活動(dòng)，至少還需要添2根木條．故答案為：2．【考點(diǎn)題型五】判定三條線段能否構(gòu)成三角形【例5】（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·期末）下列長(zhǎng)度的各組線段，能構(gòu)成三角形的是（

）A．，， B．，，10 C．，， D．，，【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】構(gòu)成三角形的條件【分析】本題考查的是三角形三邊關(guān)系定理，掌握三角形兩邊之和大于第三邊是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A．，則，，不能組成三角形，不符合題意；B．，則，，能組成三角形，符合題意；C．，則，，不能組成三角形，符合題意；D．，則，，不能組成三角形，不符合題意，故選：B．【變式5-1】（23-24八年級(jí)下·云南紅河·期末）下列長(zhǎng)度的三條線段能組成三角形的是（

）A．3，3，6 B．2，4，6 C．5，6，12 D．6，8，10【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】構(gòu)成三角形的條件【分析】本題考查了能夠組成三角形三邊的條件：兩邊和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊．解題的關(guān)鍵是理解組成三角形三邊的關(guān)系．根據(jù)三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行分析判斷．【詳解】解：根據(jù)三角形任意兩邊的和大于第三邊，得：A、，故3，3，6不能組成三角形，本選項(xiàng)不符合題意；B、，故2，4，6不能組成三角形，本選項(xiàng)不符合題意；C、，故5，6，12不能夠組成三角形，本選項(xiàng)不符合題意；D、，故6，8，10能組成三角形，本選項(xiàng)符合題意．故選：D．【變式5-2】（23-24七年級(jí)下·四川宜賓·期末）下列每組數(shù)分別是三根小木棒的長(zhǎng)度，用它們能擺成三角形的是（

）A．15，12，20 B．4，7，11 C．6，7，15 D．5，5，10【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】構(gòu)成三角形的條件【分析】本題考查了構(gòu)成三角形的條件：任兩邊之和大于第三邊；根據(jù)此條件，逐項(xiàng)判斷，若兩根較短木棒的長(zhǎng)度和大于長(zhǎng)木棒長(zhǎng)度，則可構(gòu)成三角形，否則不能．【詳解】解：A、，能擺成三角形；B、，不能擺成三角形；C、，不能擺成三角形；D、，不能擺成三角形；故選：A．【變式5-3】（23-24七年級(jí)下·河北邯鄲·期末）把一根長(zhǎng)12厘米的鐵絲按下面所標(biāo)長(zhǎng)度剪開，剪成的三段首尾順次相接可以圍成三角形的是（

）A． B．C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】構(gòu)成三角形的條件【分析】根據(jù)三角形的特性：任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任意兩邊的差一定小于第三邊；進(jìn)行依次分析即可．【詳解】解：A.，兩邊之和沒(méi)有大于第三邊，所以不能圍成三角形；B.，兩邊之和沒(méi)有大于第三邊，所以不能圍成三角形；C.，兩邊之和沒(méi)有大于第三邊；所以不能圍成三角形；D.，任意兩邊之和大于第三邊,所以能圍成三角形；故選：D．【考點(diǎn)題型六】確定第三邊的取值范圍【例6】（23-24七年級(jí)下·陜西榆林·期末）在中，，，則的長(zhǎng)可能為．（只寫一個(gè)）【答案】8（答案不唯一，大于6且小于10的數(shù)均正確）【知識(shí)點(diǎn)】確定第三邊的取值范圍【分析】本題主要考查了三角形三邊之間的關(guān)系：三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．熟練掌握三角形三邊之間關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形三邊之間關(guān)系求出的范圍，再在此范圍內(nèi)任意取一個(gè)值即可．【詳解】根據(jù)三角形三邊之間關(guān)系可得，即，∴，的長(zhǎng)可能為8．故答案為：8（答案不唯一，大于6且小于10的數(shù)均正確）【變式6-1】（23-24八年級(jí)上·寧夏固原·期末）在中，，，第三邊的取值范圍是．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】確定第三邊的取值范圍【分析】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，掌握三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊是解題關(guān)鍵．根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知，，即可得到答案．【詳解】解：在中，，，，，即，第三邊的取值范圍是，故答案為：．【變式6-2】（23-24七年級(jí)下·江蘇徐州·期末）一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別是2和5，若第三邊的長(zhǎng)為奇數(shù)，則第三邊的長(zhǎng)是．【答案】5【知識(shí)點(diǎn)】確定第三邊的取值范圍【分析】本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系．設(shè)第三邊長(zhǎng)為x，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，可得，即可求解．【詳解】解：設(shè)第三邊長(zhǎng)為x，根據(jù)題意得：，即，∵第三邊的長(zhǎng)為奇數(shù)，∴x的值為5，即第三邊的長(zhǎng)是5．故答案為：5【變式6-3】（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·期末）已知的邊長(zhǎng)a，b，c滿足，若c為偶數(shù)，則的形狀為三角形．（按邊分類）【答案】等腰【知識(shí)點(diǎn)】確定第三邊的取值范圍、絕對(duì)值非負(fù)性、三角形的分類、有理數(shù)的乘方運(yùn)算【分析】本題考查平方以及絕對(duì)值的非負(fù)性，三角形的三邊關(guān)系及其分類．由可得，，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系以及c為偶數(shù)可確定c的值，最后即可確定三角形的形狀．【詳解】解：，，，，，，，，，，由c為偶數(shù)，可得，，的形狀為等腰三角形．故答案為：等腰．【變式6-4】（23-24七年級(jí)下·四川資陽(yáng)·期末）已知關(guān)于x的不等式組至少有兩個(gè)整數(shù)解，且存在以3，a，6為邊的三角形，則整數(shù)a的值有個(gè)【答案】【知識(shí)點(diǎn)】確定第三邊的取值范圍、由不等式組解集的情況求參數(shù)【分析】此題考查的是一元一次不等式組的解法和三角形的三邊關(guān)系的運(yùn)用，求不等式組的解集應(yīng)遵循以下原則：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了．依據(jù)不等式組至少有兩個(gè)整數(shù)解，即可得到，再根據(jù)存在以3，a，6為邊的三角形，可得，進(jìn)而得出的取值范圍是，即可得到a的整數(shù)解有個(gè)．【詳解】解：解不等式組得：，∵至少有兩個(gè)整數(shù)解，則整數(shù)解至少為和，∴，又∵存在以3，a，6為邊的三角形，∴，∴a的取值范圍為，∴整數(shù)a的值為：，，，有個(gè)故答案為：．【考點(diǎn)題型七】畫三角形的高【例7】（23-24七年級(jí)下·河南鄭州·期末）數(shù)學(xué)課上同學(xué)們用三角板作三角形的高，有四位同學(xué)的作法如下，其中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】畫三角形的高【分析】本題考查了三角形的高的定義，三角形的高的定義是從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)到它的對(duì)邊作一條垂線，頂點(diǎn)到垂足之間的線段，由此逐項(xiàng)判斷即可得出答案，熟練掌握三角形的高的定義是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、不滿足三角形的高的定義，故不符合題意；B、不滿足三角形的高的定義，故不符合題意；C、不滿足三角形的高的定義，故不符合題意；D、滿足三角形的高的定義，故符合題意；故選：D．【變式7-1】（23-24七年級(jí)下·廣東佛山·期末）如圖，在中，邊上的高是（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】畫三角形的高【分析】本題考查了三角形的高，根據(jù)三角形高的定義即可解答．三角形的高：垂直于底邊且經(jīng)過(guò)底邊相對(duì)的頂點(diǎn)的垂線段是三角形的高．【詳解】解：由圖可知，在中，邊上的高是，故選：A．【變式7-2】（23-24七年級(jí)下·山西臨汾·期末）小林求的面積時(shí)、作了邊上的高，下列作圖正確的是（）A．

B．

C．

D．

【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】畫三角形的高【分析】本題主要考查了作三角形的高線，從點(diǎn)B作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，確定圖形即可．【詳解】過(guò)點(diǎn)B作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，如圖所示．

故選：D．【變式7-3】（23-24八年級(jí)下·陜西西安·期末）（回憶童年，認(rèn)識(shí)三角形高）下列四個(gè)圖形中，線段是的高的是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】畫三角形的高【分析】本題主要考查了三角形的高，三角形的高是指從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向?qū)呑鞔咕€，連接頂點(diǎn)與垂足之間的線段．根據(jù)三角形高的畫法知，過(guò)點(diǎn)作邊上的高，垂足為，其中線段是的高，再結(jié)合圖形進(jìn)行判斷．【詳解】解：線段是的高的圖是選項(xiàng)D．故選：D．【考點(diǎn)題型八】與三角形的高有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題【例8】（23-24七年級(jí)下·吉林長(zhǎng)春·期末）如圖，在中，，，，，，則的長(zhǎng)為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】與三角形的高有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題【分析】本題考查了三角形的面積，直接根據(jù)等面積法求解即可．【詳解】解：∵，∴都是的高，∴，∴，故答案為：．【變式8-1】（23-24七年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期末）在中，是邊上的高，交直線于點(diǎn)E，，，則°【答案】或40【知識(shí)點(diǎn)】與三角形的高有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題、根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)【分析】本題考查的是平行線的性質(zhì)，三角形的高的含義，分兩種情況畫圖，再進(jìn)一步利用數(shù)形結(jié)合的方法解題即可；【詳解】解：如圖，∵，，∴，∵，∴，∵，，∴，∵，∴，綜上：或；故答案為：或40【變式8-2】（23-24七年級(jí)下·江蘇南京·期末）如圖，中，，分別是，邊上的高線．若，，則的度數(shù)是．【答案】134【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、與三角形的高有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是在中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，在中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，在中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)即可．【詳解】解：，分別是，邊上的高線，，，在中，，，，，在中，，，，，在中，，，故答案為：134．【變式8-3】（23-24七年級(jí)下·遼寧盤錦·期末）在直角坐標(biāo)系中，，在y軸上找一點(diǎn)C，使面積為9，則C點(diǎn)坐標(biāo)為．【答案】或【知識(shí)點(diǎn)】與三角形的高有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題、坐標(biāo)與圖形【分析】本題考查了三角形的面積公式，平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)特征，兩點(diǎn)間的距離表示，利用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，高為2，根據(jù)面積為9，利用三角形面積公式列方程求解即可．【詳解】解：點(diǎn)在軸上，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，如圖所示，，，，點(diǎn)到的距離為2，面積為9，，解得或，點(diǎn)的坐標(biāo)為或，故答案為：或.【考點(diǎn)題型九】與三角形的中線有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題【例9】（23-24七年級(jí)下·陜西西安·期末）如圖，是的中線，，若的周長(zhǎng)比的周長(zhǎng)大，則的長(zhǎng)為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)三角形中線求長(zhǎng)度【分析】本題主要考查了三角形的中線的定義，根據(jù)中線的定義得出，由的周長(zhǎng)比的周長(zhǎng)大，得，代入即可求解，熟練掌握三角形中線的有關(guān)計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵是的中線，∴，由的周長(zhǎng)為，的周長(zhǎng)，∵的周長(zhǎng)比的周長(zhǎng)大，∴，∵，∴，故答案為：．【變式9-1】（23-24七年級(jí)上·江蘇鹽城·期末）如圖，在中，，為邊的中線，的周長(zhǎng)比的周長(zhǎng)大，，則．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)三角形中線求長(zhǎng)度【分析】本題考查三角形的中線（三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對(duì)頂點(diǎn)的連線叫做三角形的中線），根據(jù)三角形的中線的概念得到，再根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算，得到答案．解題的關(guān)鍵是掌握三角形中線的定義．【詳解】解：∵為邊的中線，∴，∵的周長(zhǎng)比的周長(zhǎng)大，∴，∴，∵，∴，故答案為：．【變式9-2】（23-24七年級(jí)下·重慶萬(wàn)州·期末）如圖，的面積為18，為的中線，E、F為的兩個(gè)三等分點(diǎn)，連接，則圖中陰影部分的面積和為．【答案】6【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)三角形中線求面積【分析】本題考查三角形的面積等知識(shí)．根據(jù)三角形的中線的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．【詳解】解：是的中線，，，、為的兩個(gè)三等分點(diǎn)，，，故答案為：6．【變式9-3】（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·期末）如圖，已知中，，，，點(diǎn)G是的中點(diǎn)，若的面積是27，則的面積為．【答案】128【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)三角形中線求面積【分析】本題考查了三角形的面積，關(guān)鍵是熟悉等高的三角形面積比與底邊比的關(guān)系．根據(jù)等高的三角形面積比等于底邊比依次求解可得的面積．【詳解】解：在中，點(diǎn)G是的中點(diǎn)，的面積是27，∴的面積是，∵，∴的面積是，∵，∴的面積是，，∴的面積是．故答案為：128．【考點(diǎn)題型十】與三角形的角平分線有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題【例10】（23-24八年級(jí)上·安徽宣城·期末）如圖，在中，與的平分線交于點(diǎn)P，設(shè)的度數(shù)為x度，的度數(shù)為y度，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】三角形角平分線的定義、三角形的外角的定義及性質(zhì)、函數(shù)解析式【分析】本題考查的是列函數(shù)關(guān)系式，三角形的外角的性質(zhì)，先利用三角形的外角的性質(zhì)與角平分線的性質(zhì)可得，，從而可得答案．【詳解】解：∵與的平分線交于點(diǎn)P，設(shè)的度數(shù)為x度，的度數(shù)為y度，∴，即，∴，∴，故答案為：．【變式10-1】（22-23七年級(jí)下·廣東深圳·期末）如圖，在中，和的角平分線交于點(diǎn)，延長(zhǎng)BO與的外角平分線交于點(diǎn)，若，則．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】三角形的外角的定義及性質(zhì)、三角形角平分線的定義【分析】由是的平分線，為的外角平分線，可得，，則，根據(jù)，可得，然后計(jì)算求解即可．【詳解】解：∵是的平分線，為的外角平分線，∴，，∴，∵，∴，解得，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線，三角形外角的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．【變式10-2】（23-24七年級(jí)下·吉林長(zhǎng)春·期末）如圖，在中，，、、分別平分的外角、內(nèi)角和外角．下列結(jié)論正確的是：．（只填序號(hào)）①；②；③．【答案】①②【知識(shí)點(diǎn)】三角形角平分線的定義、三角形的外角的定義及性質(zhì)、與平行線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問(wèn)題【分析】本題考查了與平行線有關(guān)的角平分線的計(jì)算，涉及了三角形的外角定理，根據(jù)，即可判斷①；根據(jù)即可判斷②；根據(jù)，、，即可判斷③；【詳解】解：∵，

，平分∴∴，故①正確；∵∴∵平分，平分∴∴∵∴，故②正確；∵，∴，∵，∴，∵∴，故③錯(cuò)誤；故答案為：①②【變式10-3】（22-23七年級(jí)下·山東煙臺(tái)·期末）如圖，和分別是的內(nèi)角平分線和外角平分線，是的角平分線，是的角平分線，是的角平分線，是的角平分線，若，則．

【答案】/【知識(shí)點(diǎn)】三角形的外角的定義及性質(zhì)、三角形角平分線的定義、圖形類規(guī)律探索【分析】根據(jù)角平分線的定義可得，，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得，化簡(jiǎn)可得，進(jìn)一步找出其中的規(guī)律，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：∵和分別是的內(nèi)角平分線和外角平分線，，，又，，，，∵，∴，同理可得：，，則，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，角平分線的定義等，找出，，與的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)題型十一】利用三角形內(nèi)角和求角問(wèn)題【例11】（24-25八年級(jí)上·甘肅定西·期末）已知中，，那么中最大角的度數(shù)為．【答案】/75度【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、解一元一次方程（一）——合并同類項(xiàng)與移項(xiàng)【分析】此題考查三角形內(nèi)角和定理、一元一次方程的應(yīng)用．由題意可設(shè)由三角形內(nèi)角和定理得到一元一次方程，解方程即可得到答案．【詳解】解：由題意可設(shè)則，解得，∴∴中最大角的度數(shù)為故答案為：【變式11-1】（23-24七年級(jí)下·安徽黃山·期末）將一把直尺和一塊含和的三角板按如圖所示的位置放置，若，那么的度數(shù)為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】三角板中角度計(jì)算問(wèn)題、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，含角的三角板中的角度計(jì)算，三角形內(nèi)角和定理．由題意可