全等三角形（一）重難點-2024-2025學(xué)年初中數(shù)學(xué)八年級上冊期中重難點復(fù)習(xí)攻略

第12章全等三角形（1）——重難點

內(nèi)容范圍：12.1-12.2

◎重難點知識導(dǎo)航

鹿點才

知識點一：全等三角形的判定和性質(zhì)

1.一般三角形的判定定理及推論比較

2.一般三角形全等判定的方法選擇

［找夾角（SAS）

已知兩邊，找直角（HD

［找第三邊（SSS）

［若邊為角的對邊，則找任意角（A4S）

知一切一角［找已知角的另一邊（SAS）

',一口一角邊為角的鄰邊找已知邊的對角（44S）

找夾已知邊的另一角CASA）

II

口如打缶（找兩角的夾邊（ASA）

已知兩角［4找任意一邊（AAS）

3.如何選擇三角形證全等

（1）可以從求證出發(fā)，看求證的線段或角（用等量代換后的線段、角）在哪兩個可能全等

的三角形中，

可以證這兩個三角形全等；

（2）可以從已知出發(fā)，看已知條件確定證哪兩個三角形全等；

（3）由條件和結(jié)論一起出發(fā)，看它們一同確定哪兩個三角形全等，然后證它們?nèi)龋?/p>

（4）如果以上方法都行不通，就添加輔助線，構(gòu)造全等三角形.

4.全等三角形的性質(zhì)

全等三角形的對應(yīng)邊一，對應(yīng)角一，對應(yīng)邊上的高一，對應(yīng)邊上的中線一，對應(yīng)角的平分線」

周長面積一；

典例精講

例1.

1.如圖，點尸是平分線上的一點，AC=7,AB=3,尸3=2,則尸C的長不可

能是（）

例2.

2.如圖，在AABC中，AO_L3c于點D,E為AC上一點，連結(jié)BE交AD于點F,5.BF=AC,

DF=DC.求證:

WBD=AD.

(2)BEXAC.

o變式訓(xùn)練

變式1.

3.如圖,AD^^ABC的中線,E,尸分別是4。和4。延長線上的點,S.CE\\BF,連接BF,CE,

下列說法：

?DE=DF；

②AABD和△ACD面積相等；

③CE=BF；

④ABDF/KDE；

⑤/CEF=/F.

其中正確的有()

A.1個B.5個C.3個D.4個

變式2.

4.綜合與探究

【操作探索】

在生活中，我們常用實物體驗圖形變換的過程.小穎同學(xué)利用一塊風(fēng)箏紙片完成了如下的操

作：

如圖1,已知四邊形ABDC,AB^AC,BD=CD.

(1)操作一：沿AO所在的直線對折，如圖1.你認為左右兩側(cè)對折后能完全重合嗎？并說

明理由；

(2)操作二：對折后，將風(fēng)箏紙片剪成兩個三角形(△血￡＞和八4。。)，擺成如圖2所示

的圖形，8。與相交于點E,AD與CD相交于點尸.試說明3E=CF.

【應(yīng)用拓展】

(3)如圖3,在VA3C中，AB^AC,AB＞BC,點。在邊BC上，BD=3CD,點、E,F

在線段AD上，ZAEB=ZAFC=13Q°,ZBAC=50°,若VA3C的面積為24,求與

VC￡＞尸的面積之和.

翻折型全

等

旋轉(zhuǎn)型全

典例精講

例1.

=連接DC,BE.

⑵若ZG4D=135°,NO=20。,求4的度數(shù).

例2.

6.(1)如圖1,已知△OAB中，OA=OB,ZAOB=90°,直線/經(jīng)過點。，5C,直線/,

AD±直線/,垂足分別為點C,D.依題意補全圖/,并寫出線段BC,AD,8之間的數(shù)

量關(guān)系為;

(2)如圖2,將(1)中的條件改為：在△Q4B中，OA=OB,C,O,。三點都在直線/

上，并且有請問(1)中結(jié)論是否成立?若成立，請加以證明；若

不成立，請說明理由;

(3)如圖3,在VABC中，AB=AC,ZCAB=90°,點A的坐標(biāo)為(0,1),點C的坐標(biāo)為(3,2),

請直接寫出點B的坐標(biāo).

Q變式訓(xùn)練

變式1.

7.如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E,P分別是BC,CD上的點,

NEAF=；NBAD,線段BE,EF,FD之間的數(shù)量關(guān)系是.

變式2.

8.如圖，已知Rt^ABC中，N3AC=90o,A3=AC,點。為直線BC上的一動點(點。不

與點8、C重合)，以4D為邊作RtAA￡)E,NZME=90o,AD=AE,連接CE.

E

圖1圖2圖3

(1)發(fā)現(xiàn)問題：如圖①，當(dāng)點。在邊BC上時.

①請寫出8。和CE之間的數(shù)量關(guān)系為一，位置關(guān)系為二

②求證：CE+CD=BC；

(2)嘗試探究：如圖②，當(dāng)點。在邊3c的延長線上且其他條件不變時，(1)中3C、CE、CD

之間存在的數(shù)量關(guān)系是否成立?若成立，請證明；若不成立，請寫出新的數(shù)量關(guān)系，不證明.

(3)拓展延伸：如圖③，當(dāng)點。在CB的

延長線上且其他條件不變時，若BC=6,CE=2,求線段CO的長.并求ADEB的面積.

難點.

知識點三：全等三角形的常見輔助線

在典例精講

例1.

9.如圖，已知：AB^AC,BD=CD,ZA=60°,ZD=140°,則()

C.40°或70°D.30°

例2.

10.倍長中線法與作平行線是構(gòu)造全等三角形常見的輔助線.

圖2

(1)如圖1,在VABC中，AC=5,中線4。=7,求的取值范圍.方法一：延長AD到￡

使DE=AD，連接CE；方法二：過點C作的平行線交AD的延長線于E.請你從以上

兩種方法中選一種方法證明△ECD^AABD,并直接寫出AB的取值范圍；

⑵如圖2,在△AEC中，點夙。在EC上，NE=NC4￡),點。是BC的中點，若43平分ND4E,

求證：AC=BE.

Q變式訓(xùn)練

變式1.

11.如圖，在四邊形ABCD中，43//8,4￡是一區(qū)4。的平分線，且AE_LCE.若

AC=a,BD=b,則四邊形的周長為()

A.1.5(?+&)B.2a+bC.3a-bD.a+2b

變式2.

12.已知：如圖，在VABC中，ZB=60°,D、E分別為AB、3C上的點，且AE、CD交于

點、F.若AE、CD為VABC的角平分線.

⑴求ZABC的度數(shù)；

(2)若AD=6,CE=4,求AC的長.

建點

知識點四：全等三角形的綜合應(yīng)用

1.全等三角形與動點問題

（1）根據(jù)動點運動的路徑，恰當(dāng)分類，畫出圖形；

（2）把動點運動的路程轉(zhuǎn)化為線段的長度；

（3）根據(jù)全等三角形的判定或性質(zhì)，確定與動點相關(guān)線段與其對應(yīng)邊相等建立方程求解；

2.全等三角形新定義問題

（1）抓住新定義的圖形的特征；

（2）把新定義的圖形的特征轉(zhuǎn)化為全等的條件，或利用全等的性質(zhì)，把相等的邊角轉(zhuǎn)化為

識別新定義圖形的條件；

3.全等三角形的實際應(yīng)用

（1）指出在生產(chǎn)生活實際中，應(yīng)用全等三角形的依據(jù)；

（2）用全等三角形的知識解決生產(chǎn)生活中的實際問題；

在典例精講

例1.

13.如圖，AB=8cm,ZA=ZB=60°,AC=BD=6cm,點P在線段A3上以2cm/s的速度

由點A向點B運動，同時，點。在線段上以xcm/s的速度由點B向點￡）運動，它們運動

的時間為f（s）.當(dāng)△ACP與V8PQ全等時，x的值是（）

A.2B.1或1.5C.2或3D.1或2

例2.

14.在兩個不全等的三角形中，有兩組邊對應(yīng)相等，其中一組是公共邊，另一組等邊所對的

角對應(yīng)相等，就稱這兩個三角形為“共邊黃金三角形”，相等的邊（非公共邊）所對的相等的

角稱為“黃金角

D

⑴如圖1,BC=BD,則VABC與△"￡>"共邊黃金三角形”.（填“是”或“不是”）

⑵如圖2,AAC8與AACD是洪邊黃金三角形"，BC=CD,NBAD=62。,則ZkACB與

AACD的“黃金角”的度數(shù)為.

（3）如圖3,已知AC平分—BAD,AB=AE,ZkACB與AACD是“共邊黃金三角形”，試說明

CD=CE.

Q變式訓(xùn)練

變式1.

15.為了捍衛(wèi)國家主權(quán)，2022年中國人民海軍多次在東海進行軍事演習(xí).在某次軍事演習(xí)

中，艦艇甲在指揮中心（。處）北偏西30。的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70。的8處，并

且04=03.接到指令后，艦艇甲向正東方向迅速前進，同時艦艇乙沿北偏東50。的方向迅

速前進.指揮中心觀測到3小時后甲、乙兩艦艇分別到達E、F處,NEOF=70°,￡F=180

海里，且甲與乙的速度比為2:3,則甲艦艇的速度為海里/小時.

變式2.

16.已知四邊形ABCD中，ABLAD,BCLCD,AB=BC,ZABC=120°,ZMBN=（O°,

NMBN繞B點、旋轉(zhuǎn),它的兩邊分別交AD,DC（或它們的延長線）于E,F.

（1）當(dāng)NMBN繞8點旋轉(zhuǎn)到/場=CF時（如圖1）,求證：AE+CF=EF.

（2）當(dāng)/MBN繞8點旋轉(zhuǎn)到他wCF尸時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成

立？若成立，給出證明；若不成立，線段AE,CF,所又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的

猜想，并給予證明.

小明第（1）問的證明步驟是這樣的：

延長DC到。使CQ=AE,連接BQ,

證出ABAE/ABCQ得到BE=8Q,ZABE=ZCBQ.

再證ABE尸也ABQF,得至IJE尸=EQ,證出E/^Cr+C。，即AE+CF=_EF.

請你仿照小明的證題步驟完成第（2）問的證明.

參考答案:

1.A

【分析】在AC上取短=他=3,然后證明△用三根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等得

到尸E=PB=2,再根據(jù)三角形的任意兩邊之差小于第三邊即可求解.

【詳解】在AC上截取AE=A8=3,連接性，

AC=7,

:.CE=AC-AE=l-3=4,

:點尸是/BAC平分線上的一點，

ACAD=ABAD,

在、4/史和AAPB中，

'AE=AB

<NCAP=NBAD,

AP=AP

:.^APE=^APB(SAS),

：.PE=PB=2,

?.-4-2<PC<4+2,

解得2<PC<6,

故選A.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系；通過作輔助線構(gòu)

造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

2.(1)見解析

(2)見解析

【分析】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法.

(1)根據(jù)AD1BC,得出NBDA=ZADC=90°,再根據(jù)SAS證明ABFD沿AACD,即可推

出結(jié)論；

(2)因為/Ba4=/AZ)C=90。，貝!!/DAC+/C=90。，根據(jù)△BFD^^ACD,NBFD=NC,

得出/ZMC+/BFD=90。.又因為=則/ZMC+/AFE=90。，得出

^AEF=90°.

【詳解】(1)VAD1BC,

：.ZBDA^ZADC=9G0,

VBF=AC,DF=DC,

：.△BFD之△ACD(HL),

:.BD=AD.

(2)V^BDA=^ADC=90°,

???/ZMC+/C=90。，

VABFD^AACD,NBFD=NC,

：.ZDAC+ZBFD=9G°.

?；NBFD=NAFE,

：.ZDAC+ZAFE=9G0,

；?NAEF=90。,

：.BE±AC.

3.B

【分析】根據(jù)三角形中線的定義可得BD=CD,然后利用“邊角邊”證明△友小和△CDE全等,

根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得CE=B廠，全等三角形對應(yīng)角相等可得/=/CED,再根

據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行可得3尸||?！?最后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等判斷出②

正確.

【詳解】解：??ND是△ABC的中線，

???BD=CD,

在廠和△CDE中，

BD=CD

<ZBDF=ZCDE,

DF=DE

：.ABDF^ACDE(SAS),故④正確

:.CE=BF,NF=NCED,故①正確，

:NCEF=NCED,

:.NCEF=/F,故⑤正確，

：.BF\\CE,故③正確，

'：BD=CD,點A到應(yīng)>、CD的距離相等，

和AACD面積相等，故②正確，

綜上所述，正確的有5個，

故選：B.

【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法并準(zhǔn)確識圖是

解題的關(guān)鍵.

4.(1)能完全重合，理由見解析；(2)證明見解析；(3)6

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，折疊性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的

關(guān)鍵.

(1)通過三邊分別相等得出△A5D/△ACD(SSS),即可作答.

(2)同理得出AABD絲AAC。，得出/B=NC,NBAD=NCAD',再結(jié)合/BAE=NC4產(chǎn)，

證明AABE且△AC"ASA),即可作答.

(3)因為NA￡B=NAFC=130。以及角的運算得出=再證明

△ABE=△CAF(AAS),則+^ACDF=%CA尸+^ACDF=^ACAD，因為BD—3CD，得出

即可作答.

SACAD:5AABC=CD-.BC=\A,

【詳解】解：(1)能完全重合.

理由：在與AACD中，

AB=AC

<BD=CD,

AD=AD

：.AABD經(jīng)AAC￡)(SSS),

對折后能完全重合.

(2)同理得出AAB。絲AACD',

:.ZB=NC,ZBAD=ZCAD',

：./BAD+ZZ7AD=ACAD+NUAD,

???ZBAE=ZCAF.

在△ABE和△ACT中，

ZB=ZC

<AB=AC,

ZBAE=ZCAF

：.AABE且AACF(ASA),

:.BE=CF.

(3)VZ/4EB=130°,

???ZEAB^-ZABE=180o-ZAEB=50o.

,/ABAC=ZEAB+ZCAF=50°9

：.ZABE=ZCAF.

在石和VC4b中，

ZAEB=ZAFC

<ZABE=ZCAF,

AB=AC

??./\ABE咨ACAF(AAS),

?q-v

,,一°ACAF，

?*+SMDF=^/\CAF+S4CDF=*^AC4D?

?.*BD=3CD,

:.CD:BC=1:4,

??SRCAD-SAABC=CD:BC=1:4.

*,Swe=24,

**,SAABE+S^CDF=24+4=6.

5.⑴見解析

⑵ZE=25。

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)；

(1)根據(jù)題意由ZZXB+NB4C=NC4E+NB4C,可得ZZMC=4>4E,即可求證;

(2)由AA4E/AZMC(SAS),可得/E=NC,再由內(nèi)角和為180。即可求解.

【詳解】(1)證明：=叱，

ZDAB+ABAC=Z.CAE+ABAC,

：.ZDAC=NBAE,

又：AD=AB,AC=AE,

：.△BAE^AZMC(SAS)；

(2)ABAE^AZMC(SAS),

ZE=ZC,

VZC4D=135°,ZZ)=20°,

NC=180°-ACAD-ZD=180°-135°-20°=25°,

Z￡=ZC=25°.

6.(1)補全如圖所示見解析；CD=BC+AD；(2)成立，證明見解析；(3)點8的坐標(biāo)

為。,-2).

【分析】(1)依題意補全圖，易證貝1|有AO=C。，OD=BC,從而可得

CD=BC+AD；

(2)利用三角形內(nèi)角和易證/2=N3,再證明A3CO絲同(1)即可證明結(jié)論；

(3)過8、C兩點作y軸垂線，構(gòu)造如(1)圖形，即可得三角形全等，再將線段關(guān)系即可

求出點B坐標(biāo).

【詳解】(1)補全圖1如圖所示，CD=BC+AD；

圖1

證明：VZAOB=90°,3CL直線/,AD±直線/,

：.ZBCO=ZODA=90°,

：.ZBOC+ZOBC=90°,

又：NAW=90°,

???ZBOC+ZAOD=90°,

：.ZOBC=ZAOD,

在△人0。和408。中

ZBCO=/ODA

<ZOBC=ZAOD,

BO=AO

：.AAOD^AOBC(AAS)

：.AD=CO,OD=BC,

?；CD=OD+CO,

：.CD=BC+AD.

(2)成立.

證明：如圖，

圖2

VZ1+Z2=180°-ZBOA,Zl+Z3=180°-ZB(M,ZBOA=ZBCO

：.N?=N3

在△5CO和M0D4中

Z3=Z2

<ZBCO=ZODA

BO=OA

:?ABCO"QDA(AAS)

:?BC=OD,CO=AD

：.CD=CO+OD=AD+BC

(3)點B的坐標(biāo)為(L-2).

過程如下：過3、C兩點作y軸垂線，垂足分別為M、N,

圖3

同理(1)可得，CN=AM,AN=MB,

:點A的坐標(biāo)為(0,1),點C的坐標(biāo)為(3,2),

：.CN=AM=3,ON=2,OA=1,

：.MB=AN=ON-OA=1,OM=AM-OA=2,

???點8在第四象限，

...點8坐標(biāo)為：(1,-2).

【點睛】主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)、圖形與坐標(biāo)變換,

構(gòu)造出全等三角形是解本題的關(guān)鍵.

7.EF=BE+DF

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，延長FD至點H,使得DH=BE,連接AH,

可證"fiE絲AAD”(SAS)得到/=ZBAE=ZDAH,進而由NE4r=；NBAZ>可得

ZHAF=AEAF,即可證得△AEF0Z\AHF(SAS),得到HF=EF,即可由=

得至“EF=BE+DF,正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，延長ED至點H,使得DH=BE,連接AH,

VZB+ZADF=180°,ZADF+ZADH=180°,

ZB=ZADH,

在和AADH中，

BE=DH

<ZB=ZADH,

AB=AD

：.AABE^ADH（SAS）,

AE=AH,ZBAE=ZDAH,

ZEAF=-ZBAD,

2

：.ZBAE+ZFAD=/BAD-ZEAF=-ZBAD,

2

即/HAD+ZDAF=ZHAF=-ABAD,

2

ZHAF=ZEAF,

在AAEF和AAHF中，

'AE=AH

<ZEAF=ZHAF,

AF=AF

：.AAEF絲AAHF(SAS),

，HF=EF=HD+DF,

HF=HD+DF,

，EF=HD+DF

又?:DH=BE,

，EF=BE+DF.

H

8.⑴①BD=CE,BD1CE；②見解析

(2)不成立，存在的數(shù)量關(guān)系為CE=3C+CD,理由見解析

(3)8=8,S?DEB=2

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的運用，等腰直角三角形的性質(zhì)：

(1)①根據(jù)條件AB=AC,ZABC=ZACB=45°,AD=AE,ZADE=ZAED=45°,判定

AABD^AACE(SAS),即可得出3D和CE之間的關(guān)系；②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可得

至2+8=3。；

(2)根據(jù)已知條件，判定絲AACE(SAS),得出BD=CE,再根據(jù)孔>=3C+CD,即

可得到CE=3C+CD；

(3)根據(jù)條件判定AABZ^AACE(SAS)，得出3。=CE,進而得到CD=BC+BD=BC+CE,

最后根據(jù)3C=6,CE=2,即可求得線段CD的長，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及等腰直角三

角形的性質(zhì)得出EC_LCD,進而根據(jù)三角形的面積公式，即可求解.

【詳解】(1)①如圖1，由題意，AB=AC,ZABC=ZACB=45°,AD=AE,

ZADE=ZAED=45°,ZBAC=ZDAE^90°,

:.ZBAD=ZCAE,

在A/幽和AACE中，

AB=AC

<ZBAD=NCAE,

AD=AE

.-.△ABD^AACE(SAS),

:.BD=CE,ZB=ZACE=45°,

:.NBCE=90。,即BD_LCE；

故答案為：BD=CE,BDLCE；

②由①得AABD^AACE(SAS),

BD=CE,

BC=BD+CD=CE+CD；

(2)不成立，存在的數(shù)量關(guān)系為CE=3C+C3.

理由：如圖2,由⑴同理可得，

在△"￡)和/XACE中，

AB=AC

<ZBAD=ZCAE,

AD=AE

.?.△ABD^AACE(SAS),

BD=CE,

/.BD=BC+CD,

..CE=BC+CD；

(3)如圖3,由(1)同理可得，

在△45。和/XACE1中，

'AB=AC

<NBAD=NCAE,

AD=AE

「.△ABD之△AC￡(SAS),

:.BD=CE,ZABD=ZACE

CD=BC+BD—BC+CE,

?;BC=6,CE=2,

CD=6+2=8.

vZABD=ZACE=1800-ZABC=135°fZACB=45°

ZDCE=ZACE—ZACB=9伊,即CE_LOC

??△SutLnDFR=2—DBxCE=2—x2x2=2.

圖3

9.B

【分析】連接AD,可證△ABDGAACD,根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可以得到

ZBAD=ZCAD=^ZBAC,ZADB^ZADC,代入角度即可求出/A4D和ZAD3的度數(shù),

最后利用三角形內(nèi)角和定理即可求解.

【詳解】連接4。，如圖，

在與AACD中

AB=AC

<BD=CD,

AD=AD

AAB￡)絲AACD(SSS),

Z.BAD=ACAD=-ABAC,ZADB=ZADC,

2

-.?NA=60°,

ZB4O=NGW=30。，

ND=140°,

ZADB=ZADC=1(360°-140°)=110°,

V/BAD+ZADB+NB=180°,

???ZB=40°.

故選：B.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，添加正確的輔助線是解

題的關(guān)鍵.

10.(1)9<AB<19

(2)證明見解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握

全等三角形的判定方法以及能正確作出輔助線；

(1)方法一中利用SAS證明△ECD/△ABD,則AB=EC,再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系來確

定取值范圍即可；

(2)先用SAS證明△ABD/△尸CD,得出N&4￡)=/CFD,AB=FC,再用AAS證明

^FCA^^ABE,即可解答.

【詳解】(1)解：選方法一來證明/

?.?AD是VABC的中線，

:.BD=DC

在AECD和中

BD=DC

ZADB=ZEDC

AD=DE

AECD，ABD(SAS),

AB=EC,

在△AEC中，

,/AE-AC<EC<AE+AC,

:.2AD-AC<AB<2AD+AC,

即：14-5<AB<14+5,

/.9<AB<19,

(2)解：延長AD到尸使。尸=AD,連接CF,如圖所示;

BD=DC9

在和△廠CD中，

BD=DC

<NADB=ZFDC,

AD=DF

\AABD、FCD(SAS),

:.NBAD=NCFD,AB=FC,

vAB平分/ZME,

.\ZBAD=ZEAB,

,\ZCFD=ZEAB,

在△/C4和△ABE中，

ZCFD=/EAB

ACAD=ZE,

CF=AB

/.△FC4^AABE(AAS),

AC=BE.

11.B

【分析】在線段AC上作AF=AB,證明△AEF之Z^AEB可得NAFE=NB,ZAEF=ZAEB,

再證明△CEF之ZiCED可得CD=CF,即可求得四邊形ABDC的周長.

【詳解】解：在線段AC上作AF二AB,

???NCAE=NBAE,

又TAE=AE,

AAAEF^AAEB(SAS),

AZAFE=ZB,NAEF二NAEB,

VAB/7CD,

.'.ZD+ZB=180°,

VZAFE+ZCFE=180°,

AZD=ZCFE,

9：AEICE,

：.ZAEF+ZCEF=90°,ZAEB+ZCED=90°,

.'.ZCEF=ZCED,

在^CEF和^CED中

ZD=ZCFE

■:\/CEF=NCED,

CE=CE

.?.△CEF^ACED(AAS)

ACD=CF,

四邊形ABDC的周長=AC+AB+BD+CD=AC+AF+CF+BD=2AC+BD=2a+b,

故選：B.

【點睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)和判斷.能正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵.

12.⑴120度

(2)10

【分析】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的定義等

知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線構(gòu)造全等三角形解決問題.

(1)由題意/B4C+/3G4=120。，根據(jù)

ZAFC=180°-ZFAC-ZFC4=180°-1(ZBAC+ZBCA),即可解決問題；

(2)在AC上截取AG=AD=6,連接尸G.只要證明△ADb/△AGP,推出

ZAFD=ZAFG=60°,ZGFC=ZCFE=60°,再證明ACG尸思ZkCEF,推出CG=CE=4,

由此即可解決問題.

【詳解】(1)解：CD為VABC的角平分線，

ZFAC=|ABAC,ZFCA=gNBCA

?；ZB=60°,

ZBAC+ZBC4=120°,

ZAFC=180°-ZFAC-ZFC4=180°-1(ZBAC+ZBC4)=120°

(2)解：在AC上截取AG=AD=6,連接/G.

:AE、CD為VABC的角平分線.

AZFAC=ZFAD,NFCA=NFCE,

'：ZAFC=120°,

ZAFD=NCFE=6O。,

■：AD=AG,AF=AF

：./\ADF^/\AGF,

ZAFD=ZAFG=60°,

NGFC=NCFE=6Q°,

又：CF=CF,

：.ACGF^ACEF

/.CG=CE=4,

：.AC=AG+GC=10.

13.C

【分析】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法是解決問題的

關(guān)鍵；選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件.

根據(jù)題意得AP=2fcm,BQ=txcm,則3尸=(8-2r)cm,由于NA=/3=60。，根據(jù)全等三角

形的判定方法，當(dāng)AC=3尸，&/^^。時可判斷/^箕:尸/4出5。，即8-2t=6,2t=tx；當(dāng)

AC^BQ,針=3月時可判斷加。尸^48。2，即H=6,2t=8-2t,然后分別求出對應(yīng)的

x的值即可.

【詳解】解：根據(jù)題意得AC=6cm,AP=2fcm,BQ=txcm,則BP=AB-AP=(8-2r)cm,

vZA=ZB=60°,

...當(dāng)AC=BP,A尸=BQ時，AACP絲ABPQ(SAS),

BP8-2/=6,2t=tx,

解得：t-\,尤=2；

當(dāng)AC=BQ,AP=g尸時，"IC尸/ABQP(SAS),

即xf=6,2t=8-2t,

解得：t—2,x—3,

綜上所述，當(dāng)AAC尸與V3PQ全等時，x的值是2或3.

故選：C.

14.⑴是

(2)31°

(3)理由見解析

【分析】本題考查了新定義、全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，正確掌握相關(guān)性

質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)共邊黃金三角形的定義找到公共邊AB，NA=NA,即可得出.

(2)根據(jù)共邊黃金三角形的定義得出/C鉆=NZ)AC,再結(jié)合/&田=62。，貝U

ZCAB=ZDAC=31°,即可作答.

(3)先由角的平分線的定義得出44C=/E4C,然后證明AABC/AAECeAS),得

BC=EC,再運用共邊黃金三角形的定義，得出3C=CD,即可作答.

【詳解】(1)解：與具有公共邊A3,

5L-.-BC=BD,且ZA=ZA,

.?.△ABC與△ABD是共邊黃金三角形，

???故答案為：是.

(2)解：：AACB與AACD是“共邊黃金三角形"，BC=CD,

ZCAB=ADAC,

'：ZBAD=62°,

：.ZCAB=ZDAC=-ZBAD=-x62°=31°；

22

則"CB與AACE)的“黃金角”的度數(shù)為31。.

(3)解：：AC平分/BAD,

NBAC=NEAC.

AB=AE

在7ABe和△AEC中，＜/BAC=ZEAC,

AC^AC

：.△ABC^AAE'C(SAS),

BC=EC.

,/則AACB與AACD是共邊黃金三角形，

BC=CD,

：.CD=CE.

15.24

【分析】本題考查了全等三角形的應(yīng)用，如圖，連接所，延長AE、B尸相交于點C,延長

CB到G,使=根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】如圖，連接環(huán)，延長AE、8尸相交于點C,延長CB到G,使3G=AE,

?/ZOBC=700+50°=120°,

NOBG=60。，

:.ZA=ZOBG,

?.?OA=OB,

：.△AOE^ABOG(SAS),

:.OE=OG,ZAOE=ZBOG,

?.-ZAOB=30°+90°+