青海省西寧市某中學2024-2025學年度高二年級上冊期中考試數(shù)學試卷【含解析】

青海省西寧市第十四中學2024-2025學年度高二上學期期中考試數(shù)學試卷

【含解析】

一、單選題

1.已知直線/:、/Ix-3y+l=0,則直線/的傾斜角為（）

A.-B.-C.-

632

【答案】A

【分析】根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系即可求解.

【詳解】?.?直線/的斜率A=[=tana,由于ae[0,7r）,所以a=￡,的傾斜角為:故選：A.

2.已知Z=（2,3,1）,5=（1,-2,-2）,則￡在B上的投影向量為（）

--2-2-

A.2bB.-2bC.—bD.——

【答案】D

【分析】利用投影向量公式進行求解

(』＞(石=

a-br2,31,-2,-2)2-6-25=_2.52-

【詳解】-|2故日在B上的投影向量為-;6.故選：D.

b儼+(_2)2+(-2)293

3.已知直線4：izx+3v-6=0,直線公2x+(a-l)y-4=0,則“a=—2”是"4〃。的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】利用兩直線平行求解。的值，結(jié)合充要關(guān)系的定義判斷即可.

【詳解】由/]〃4可得6="(“一1),解得a=3或a=—2.當a=3時，4：3x+3y—6=0,/2：2x+2y—4=0,顯然人,

4重合，舍去，故時，。=-2.因此“a=-2”是乜〃夕的充要條件.故選：C

4.已知空間向量。=。,〃,2）,3=（-2,1,2）,若2人石與方垂直，則同等于（）

A,史B.史V21

22'~T

【答案】B

【分析】根據(jù)空間向量線性運算的坐標運算及向量垂直的坐標表示列方程，解方程可得向量苕與同.

【詳解】因為。=（1,〃,2）,5=（-2,1,2）,所以2萬-5=（4,2〃-1,2）,因為21-5與5垂直，所以

2日一外5=-8+2〃-1+4=0,解得〃所以萬=[1,|,21所以同=$2+仁1+22=孚，故選：B.

5.已知圓f+V=4與圓元2+y2-8x+4y+16=0關(guān)于直線/對稱，則直線/的方程為（）

A.2x+y-3=0B.x-2y-8=0C.2x-y-5=0D.x+2y=0

【答案】C

【分析】根據(jù)對稱可知/是圓G和圓a圓心連線的垂直平分線，利用垂直關(guān)系求解斜率，由點斜式方程即可.

2

【詳解】圓G：f+V=4,圓心C|（0,0）,半徑12,C2:x+/-8^+4y+16=0,圓心。式4,一2）,半徑馬=2,

由題意知，/是圓C1和圓C2圓心連線的垂直平分線，?.?G（0,0）,G（4,-2）,GG的中點（2,-1）,圓心GG連線的斜

率為kc@=_g,則直線/的斜率為2,故/的方程：y+l=2（x-2）,即y=2x-5,故C正確.故選：C.

6.已知點尸（1,如,-2）,。（4,0,叫。為坐標原點，且麗.迎=0,貝“圖=（）

A.36B.76C.6D.2r

【答案】C

【分析】根據(jù)而?麗=0,求出，"的值，再利用模長公式求解即可.

【詳解】因為p（l,而，一2）,。（4,0,回，所以赤=（1,而,一2）,而=（4,0,根）.又而?麗=4-2切=0,解得根=2,

所以Q（4,0,2）,則用=（3,-而,4）,所以網(wǎng)=49+11+16=6.故選：C.

7.已知直線/：尤+>—2=0與圓M：x2+/-4x-4y+a=0交于兩點，且|AB|=4近，貝（）

A.4B.-4C.2D.-2

【答案】D

【分析】運用垂徑定理結(jié)合勾股定理構(gòu)造方程計算即可.

【詳解】由題意可得圓〃的圓心為加（2,2）,半徑r=J4+4_a=^/n,則圓心M到直線/的距離

|2+2-2|s因為人[用2

d==戶，所以（加了+（2應(yīng)y=8-a,即8-“=10,解得°=一2.故選：D.

A/12+12

8.如圖，在三棱錐尸-ABC中，ZAPS=90°,ZCPA=ZCPB=60°,PA=PB=PC=2,點、D,E,E滿足麗=麗,

麗=2麗，AF=FC>則直線CE與。尸所成的角為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】D

【分析】設(shè)序-，PB=b，PC=c，利用空間向量運算得上=干-己DF=-（a-b+c],利用數(shù)量積的運算

律求解數(shù)量積，即可解答.

【詳解】設(shè)PA=方，PB=b?PC=c，則〃力=0，a-c=b'c=2x2x—=2,

—?—??2—?2

CE=PE-PC=-PA-PC=-a-c,

33

DF=PF-PD=1（PA+PC）-1PB=1^-^+C）,

_一??1-21—?—?1—?—?1—?—?1-2

所以CE-O產(chǎn)=一?！猘-b——a-c+—b-cc=0,

33622

故直線CE與。F所成的角為90。.

故選：D

二、多選題

9.向量益=（2九,1,3）石二。,一2%9）,若2〃石，則（）

131-11

A.x=-B.y——C.a=—bD.a=—b

5232

【答案】BC

【分析】利用空間向量平行列出關(guān)于演y的方程組，解之即可求得乂丁的值和五出的關(guān)系.

2%=4

11Q1

【詳解】因為至〃5,所以±=2人由題意可得1=—24>，所以x==jy=—則M=故選：BC

八八八3623

〔3=94

10.已知圓G：f+V+2MX-10y+祖之二。，圓q:爐+/+4y-5=0,則下列說法正確的是（）

A.若點（1,1）在圓G的內(nèi)部，則-2<〃7<4

B.若租=2,則圓G（2的公共弦所在的直線方程是4x-14y+9=0

C.若圓G，G外切，則加=±岳

D.過點（3,2）作圓C2的切線/,貝心的方程是x=3或7x-24y+27=0

【答案】BCD

【分析】根據(jù)點在圓的內(nèi)部解不等式1+1+2加-10+加<0即可判斷A錯誤；將兩圓方程相減可得公共弦所在的直

線方程可知B正確；利用圓與圓外切，由圓心距和兩半徑之和相等即可知C正確；對直線/的斜率是否存在進行分

類討論，由點到直線距離公式即可得D正確.

【詳解】對于A,由點（1,1）在圓C1的內(nèi)部，得1+1+2"?-10+〃，<0,解得T<2,故A錯誤；

對于B,若?”=2,則圓G：x~+y~+4-X—10y+4=0,

將兩圓方程相減可得公共弦所在的直線方程是4x-14y+9=0,故B正確；

對于C,圓Cl的標準方程為（x+〃z）2+（y_5）2=25,圓心為G（-加,5）,半徑4=5,

圓G的標準方程為一+0+2）2=9,圓心為。2（。，-2）,半徑￡=3,

若圓G，。?外切，貝U1CGI=4+2，即J療+49=5+3，解得機=土故C正確；

對于D,當/的斜率不存在時，/的方程是x=3,圓心G至卜的距離1=3=4,滿足要求，

當/的斜率存在時，設(shè)/的方程為丁=左(％-3)+2,

圓心C2至1|/的距離^=4=3,解得％=

a+i24

所以/的方程是7尤-24y+27=0,故D正確.

故選：BCD.

11.設(shè)Z，B分別是直線/，機的方向向量，)，石分別是平面夕的一個法向量，則()

A.若《_!_￡,則4_!_%

B.若￡_1_加，b±K,且則a與夕的夾角為3

C.若依G=則直線/與平面a所成的角為g

D.若(a,%)=(石,")=(,且a〃4,則///機

【答案】AC

【分析】利用直線方向向量與平面法向量的位置關(guān)系，逐一分析各選項即可得解.

【詳解】G，B分別是直線/,機的方向向量，I，足分別是平面a,4的一個法向量，

對于A,易知若a_L￡,則A，％,故A正確；

對于B,由7A可知，直線///a,ml113,

顯然當a與「平行時，直線/，機可以滿足百出=；,故B錯誤；

對于C,當流或=￡時，直線/與平面a所成的角為［一1=9故C正確；

3236

對于D,右。=/7,%，

則直線/與平面a所成的角為直線機與平面夕所成的角為5，

66

又C//6,則直線/，機所成角可以為m+F=即直線/與機不平行，故D錯誤.

663

故選：AC.

三、填空題

12.已知a=(-2,1,3)-B=(-1,2,1),貝|萬與B夾角的余弦值為.

【答案】叵J屈

66

【分析】由空間向量的數(shù)量積公式求解即可.

【詳解】?"=(-2,1,3),8=(-1,2,1),

,cos<扇5>=呼=筆綽=叵故發(fā)案為.歷

\a\\b\714x766?故口菜為?丁

13.已知圓C：x2+y2=l,過圓C外一點P作C的兩條切線，切點分別為A,B,若NAP3=120。，則|明=

【答案】1

【分析】結(jié)合切線長定理可得VABC為等邊三角形，即可得MB|.

由圓C：Y+y=1可得圓心坐標為0(0,0),半徑廠=1,由上4、尸3為圓C切線，故NQ4P=NO3P=90。,

XZAPB=120°ZAOB=360°-90°-90°-120°=60°,又AO=3O=r=l,故為等邊三角形，故|AS|=L

故答案為：1.

14.已知平面a的一個法向量為3=(2,3,5),點A。,2,4)是平面1上的一點，則點尸(-1,1,5)到平面c的距離

為.

【答案】嚕

lAP.nl

【分析】利用空間向量法可得出點P到平面。的距離為〃=一^,即為所求.

H

|AP-H|原=曾故答案為:f

【詳解】由己知可得麗=(-2,-1,1),所以點尸到平面a的距離為d=

加

四、解答題

15.(1)已知空間向量萬=(2,-1,一2)石=。,1,-4),求忸一3年

(2)已知萬=(一2,1,3)出=(一1,2,1),若求實數(shù)2的值

【答案】(1)3師(2)2.

【分析】(1)求出向量的坐標，由坐標計算模長.

(2)分別用坐標表示出兩個向量，由向量垂直則數(shù)量積為。建立等量關(guān)系，從而求出參數(shù)的值.

【詳解】⑴2a-3^=(1,-5,8),所以[2]—3'=#+(-5)2+82=3加

(2)Va=(-2,1,3),^=(-1,2,1),/.=(-2+2,1-22,3-2),：0_L,一幾5),：.a-(a-Ab^=0,

即一2(—2+4)+(1—22)+3(3—2)=0,解得2=2.

16.已知以點4(—1,2)為圓心的圓與直線4：x+2y+7=0相切，過點3(-2,0)的動直線/與圓A相交于M,N

⑴求圓A的方程；

⑵當|九網(wǎng)=2炳時，求直線/的方程.

【答案】⑴(x+l)2+(y—2)2=20

(2)3x-4y+6=?；?=一2

【分析】(1)由題意知點到直線距離公式可確定圓A半徑廠，帶入到圓的標準方程可求得圓的方程；

(2)過A做由垂徑定理可知圓心到直線/,設(shè)出直線/,可分為斜率存在和斜率不存在兩種情況，解之

可得直線方程

【詳解】(1)易知4(—1,2)到直線x+2y+7=0的距離為圓A半徑廠，

|-lxl+2x2+7|c七

所以g=26

則圓A方程為(無+l)2+(y-2『=20

(2)過A做AQ，腦V,由垂徑定理可知NMQA=90。，且

在Rt^AMQ中由勾股定理易知|A@=^\AMf-\MQf=小20一(如了=1

當動直線/斜率不存在時，設(shè)直線/的方程為x=-2,

經(jīng)檢驗圓心到直線I的距離為1,且根據(jù)勾股定理可知\MN\=2M,

顯然尤=-2合題意，

當動直線/斜率存在時，/過點川-2,0),設(shè)/方程為：y=k(x+2),

\-k+2k-2\3

由2(—1,2)至心距離為1知=1得y

sll+k2

代入解之可得3尤-4y+6=0,

所以3元-4y+6=0或%=一2為所求/方程.

17.如圖，在四棱錐尸—ABCD中，PD_L平面AeC。，AD1DC,AB//DC,AB=AD=^CD=2,PD=2,M

為棱尸C的中點

⑴證明：3A///平面尸AD；

(2)求平面PDM和平面DMB夾角的余弦值;

【答案】（1）證明見解析

⑵噲

6

【分析】（1）取PD中點N,證明3河〃AN,根據(jù)線面平行的判定定理，即可證明結(jié)論;

（2）建立空間直角坐標系，利用平面夾角的向量求法，即可求得答案.

【詳解】（1）取PD中點N,連接AN,MN.

在中，M,N分別為PC,尸￡）的中點，則肱V〃OC,MN=-DC,

2

因為筋〃。C,AB=-DC,則AB=MN,

2

可知四邊形ABMN為平行四邊形，則9W〃4V,

且3Me平面PAD,4Vu平面PA。，所以3M〃平面PAD.

（2）因為PD_L平面ABCD,A。,DCu平面ABCD,

則尸D_LAD,PDVDC,且A￡）_LZ）C,

以。為坐標原點，DA,DC,DP所在直線分別為了,z軸，

建立空間直角坐標系。-孫z,如圖所示，

因為AB//OC,AB^-DC,則AB=DE.

2

又因為AD_L￡>C,所以四邊形ABED為矩形，

且AB=AD=2,可知四邊形ABED是以邊長為2的正方形，

則￡>（0,0,0）,4（2,0,0）,3（2,2,0）,C（0,4,0）,尸（0,0,2）,M（0,2,1）,

可得（2,0,0），W=（0,2,1）,麗=（2,2,0）,

設(shè)平面以加的法向量為元=（久,y,z）,所以｛—.',

hDB=2x+2y=0

令y=T,貝壯=1,z=2.所以平面的一個法向量為萬=（1,-1,2）,

易知力3為平面的一個法向量,

一fi-DA2V6

所以c°s=麗=旃3=不

所以平面PDM和平面DMB夾角的余弦值為—.

6

18.已知一組動直線方程為(左+l)x+(Z-l)y-5左-3=0.

(1)求證：直線恒過定點，并求出定點尸的坐標；

(2)若直線與x軸正半軸，、軸正半分別交于點A,8兩點，求A4O8面積的最小值.

【答案】定點為(4,1),最小值為8.

【分析】(1)直線方程按k分解變形，方程恒成立，得到方程組，求出點的坐標，即可證：直線恒過定點.

(2)根據(jù)點斜式寫出直線方程，求出AAO8面積的表達式，根據(jù)均值定理得出面積的最小值.

【詳解】(1)直線方程優(yōu)+l)x+伙一1)》一5左一3=0,整理可得：k(x—y—5)+(x-y—3)=0恒成立，由止匕

x-y-5=0,x-y-3=0,解得x=4,y=l,由此直線恒過定點(4,1).

(2)直線分別交X軸的正半軸，y軸正半分別交于點4,2兩點，設(shè)直線方程為y-l=k(x-4)其中k<0.令x=0,

y=1-4k=OB；令y=0,x=4--=OA,所以

k

當一J時取等號,y

S=-xOAxOB=-|l-4k|x4--==8

2211k

【點睛】本題較難，考查直線恒過定點的知識，三角形的面積的最小值的求法，基本不等式的應(yīng)用，考查計算能力,

轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.

19.在四棱錐P-ABCD中，ARIB是等邊三角形，四邊形A8CO是矩形，AB=2,AD=2百，PB±AD,E是棱

尸。的中點.

⑴求證：PA±BE；

⑵求二面角P-AE-B的正切值.

【答案