球的切、接問題-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

重難點(diǎn)18球的切、接問題【十大題型】

【新高考專用】

?題型歸納

【題型1定義法求外接球問題】.................................................................4

【題型2補(bǔ)形法求外接球問題】.................................................................7

【題型3截面法求外接球問題】.................................................................9

【題型4棱切球模型問題】....................................................................13

【題型5內(nèi)切球模型問題】....................................................................15

【題型6多球相切問題】......................................................................19

【題型7外接球之二面角模型】................................................................23

【題型8與球的切、接有關(guān)的最值問題】.......................................................27

【題型9與球的切、接有關(guān)的截面問題】.......................................................31

【題型10多面體與球體內(nèi)切外接綜合問題】....................................................35

?命題規(guī)律

1、球的切、接問題

球的切、接問題是歷年高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)容，一般以客觀題的形式出現(xiàn)，考查空間想象能力、計(jì)算

能力.其關(guān)鍵點(diǎn)是利用轉(zhuǎn)化思想，把球的切、接問題轉(zhuǎn)化為平面問題或特殊幾何體來解決或轉(zhuǎn)化為特殊幾何

體的切、接問題來解決.

?方法技巧總結(jié)

【知識(shí)點(diǎn)1正方體與球、長(zhǎng)方體與球】

1.正方體與球的切、接問題

(1)內(nèi)切球：內(nèi)切球直徑2火=正方體棱長(zhǎng)。

(2)棱切球：棱切球直徑2尺=正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)，.

(3)外接球：外接球直徑2尺=正方體體對(duì)角線長(zhǎng)，.

2.長(zhǎng)方體與球

外接球：外接球直徑2R=體對(duì)角線長(zhǎng)十七+(的分別為長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高).

【知識(shí)點(diǎn)2正棱錐與球】

1.正棱體與球的切、接問題

⑴內(nèi)切球：睢棱錐=；S表底（等體積法），/?是內(nèi)切球半徑，/?為正棱錐的高.

（2）外接球：外接球球心在其高上，底面正多邊形的外接圓圓心為E,半徑為八相=（〃—火）2+/（正

棱錐外接球半徑為七高為初

【知識(shí)點(diǎn)3正四面體的外接球、內(nèi)切球】

1.正四面體的外接球、內(nèi)切球

若正四面體的棱長(zhǎng)為a,高為h,正四面體的外接球半徑為R,內(nèi)切球半徑為r,則〃=卓a,R=^-a,

r=~^~a，R：r=3:1.

【知識(shí)點(diǎn)4正三棱柱的外接球】

1.正三棱柱的外接球

球心到正三棱柱兩底面的距離相等，正三棱柱兩底面中心連線的中點(diǎn)為其外接球球心.

【知識(shí)點(diǎn)5圓柱、圓錐的外接球】

1.圓柱的外接球

R（尺是圓柱外接球的半徑，刀是圓柱的高，r是圓柱底面圓的半徑）.

—廠）2+一便是圓錐外接球的半徑，〃是圓錐的高，：.是圓錐底面圓的半徑）.

【知識(shí)點(diǎn)6幾何體與球的切、接問題的解題策略】

1.常見的幾何體與球的切、接問題的解決方案：

常見的與球有關(guān)的組合體問題有兩種：一種是內(nèi)切球，另一種是外接球.

常見的幾何體與球的切、接問題的解決方案：

幾何體與球的切、接問題

內(nèi)切球外接球

找過切點(diǎn)由球心和幾何找過球心

和球心的體頂點(diǎn)抽象得的截面

截面出新幾何體--------

2.空間幾何體外接球問題的求解方法：

空間幾何體外接球問題的處理關(guān)鍵是確定球心的位置，常見的求解方法有如下幾種：

（1）定義法：利用平面幾何體知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖,

確定球心的位置，弄清球的半徑（直徑）與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程（組）求解.

（2）補(bǔ)形法：若球面上四點(diǎn)尸/,民。構(gòu)成的三條線段兩兩垂直，且以=a,PB=b,PC=c,一般

把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長(zhǎng)方體，根據(jù)軌2=4+必+02求解.

（3）截面法：涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時(shí)，一般過球心及多面體的特殊點(diǎn)（一般為接、切點(diǎn)）或線

作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解.

3.內(nèi)切球問題的求解策略：

（1）找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過作過球心的截面來解決.

（2）體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用方法.

?舉一反三

【題型1定義法求外接球問題】

【例1】（2024?新疆烏魯木齊?三模）三棱錐A—BCD中，4D1平面力BC,NR4c=60。，4B=1,AC=2,

AD=4,則三棱錐A-BCD外接球的表面積為（）

A.10TTB.20TTC.25TTD.30TT

【解題思路】利用余弦定理先求出底面三角形ABC的外接圓半徑r,再利用朋=/+《）2（八為三棱錐的高,

R為外接球半徑），即可求解.

【解答過程】在△4BC中，^.BAC=60°,4B=l,AC=2,

由余弦定理可得=AB2+AC2-2AB-AC-cos^BAC,

BPBC2=l+4—2xlx2xcos60°=3,所以BC=V3,

設(shè)^ABC的外接圓半徑為r,

AD_L平面ABC,且力。=4,

設(shè)三棱錐A-BCD外接球半徑為R,

則#=r2+64。）2,即爐=1+4=5,

所以三棱錐力-BCD外接球的表面積為4TTR2=20n.

故選：B.

【變式1-1］（2024?海南?模擬預(yù)測(cè)）已知正方體力BCD-A/iCiOi的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)N為側(cè)面四邊形CDDiCi

的中心，則四面體NC/Ci的外接球的表面積為（）

A.2nB.4TUC.6TID.8H

【解題思路】畫出圖分析出球心為兩個(gè)面斜邊中點(diǎn)的垂線的交點(diǎn)，然后利用勾股定理求球的半徑即可求解.

四面體NCBiQ的面CB1。是直角三角形，

。,。1為面CB/Ci與ADD14的中心，所以。01面C/C1，

因?yàn)樾边匔B］的中點(diǎn)。是三角形外心，所以球心在的直線。內(nèi)上，

面NCCi也為直角三角形，O,E分別為與CCi的中點(diǎn)，所以O(shè)EIIB?,

3心1面Neg,所以。E_L面N"i，

因?yàn)樾边匔C1的中點(diǎn)E是三角形外心，所以球心在的直線OE上，

故球心為直線。。1與直線OE的交點(diǎn)0,

正方體ABCD-41%的。1的棱長(zhǎng)為2,

所以球的半徑為。C==gxV22+22=V2,

所以四面體NCBiCi的外接球的表面積為：4n（V2）=8n.

故選：D.

【變式1-2］（2024?河南周口?模擬預(yù)測(cè)）已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為2,面積為g的扇形，則該圓

錐的外接球的面積為（）

A.—B.—C.—D.9n

842

【解題思路】先求出圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角a,再由此求出圓錐的底面圓半徑和高，然后可求外接球的

半徑，由此求得圓錐的外接球的面積.

【解答過程】設(shè)圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為a,由題意可知，!x22xa=y,解得a=弓，

設(shè)圓錐的底面圓半徑為r,則如r=2xg,所以r=|,

則該圓錐的高為J22-02;學(xué)，

設(shè)該圓錐的外接球的半徑為R,由球的性質(zhì)可知，（苧-R）+（|）=R2,

解得R=柒，所以該圓錐的外接球的面積為5=4H爐=：正

故選：C.

【變式1-3］（2024?青海?二模）如圖，已知在四棱錐P-4BCD中，底面四邊形ABCD為等腰梯形，BC//AD,

PD=2AD=4BC=4,底面積為迪，PD_L4D且PB=則四棱錐P—4BCD外接球的表面積為（）

4

A.9TTB.12V3TTC.39TTD.2On

【解題思路】取4。的中點(diǎn)為F,即可說明點(diǎn)F為梯形4BCD外接圓的圓心，再證明PD1平面4BCD,過2D的

中點(diǎn)F作FO〃P。交24于點(diǎn)。，貝IJF。，平面48CD,即可得到。為四棱錐P-4BCD外接球球心，外接球半徑

為從而求出表面積.

【解答過程】取4D的中點(diǎn)為F,因?yàn)?。=2BC=2,等腰梯形4BCC的面積為尊，

4

23V3

所以梯形的高為三小=*所以cosNB4D=宇則所以乙4DC=］連接BF、CF,

所以△力BF、△DCF為等邊三角形，點(diǎn)F為梯形4BCD外接圓的圓心，

連接BD,在△BCD中，根據(jù)余弦定理得cos與=些黑丁竺，即白—,解得點(diǎn)

JC*CLJNXJ.X1.Z

因?yàn)镻8=vn,PD=4,所以PZ）2+B￡>2=p^2,所以PD_LBD.

因?yàn)镻DJ.4D,ADCBD=D,4u平面4BCD,所以PD_L平面力BCD,

過力。的中點(diǎn)F作FO〃PD交P4于點(diǎn)。，則F。_L平面4BCD,且。為PA的中點(diǎn)，

所以點(diǎn)。為Rt△PAD外接圓圓心，所以。為四棱錐P-4BCD外接球球心，

所以外接球半徑為:P4=■|VP￡>2+=代,故表面積s=411x（同）=20TT.

故選：D.

P

【題型2補(bǔ)形法求外接球問題】

【例2】(2024?內(nèi)蒙古錫林郭勒盟?模擬預(yù)測(cè))在空間直角坐標(biāo)系中，已知

4(0,3,0),5(0,0,0),C(4,0,0),￡)(0,3,2),貝!I四面體48CD外接球的表面積為()

A.29nB.28TTC.32TTD.30TT

【解題思路】首先由四點(diǎn)的坐標(biāo)，確定幾何體的關(guān)系，利用補(bǔ)體法，求四面體外接球的半徑，即可求球的

表面積.

【解答過程】根據(jù)已知4個(gè)點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)可得，AD1平面ABC,4B1BC,AD=2,4B=3,BC=4,

所以四面體可以補(bǔ)成長(zhǎng)、寬、高分別為4,3,2的長(zhǎng)方體，

所以四面體48C。外接球的半徑R=笆亙=

所以四面體/8C。外接球的表面積為4TTR2=291T.

故選：A.

【變式2-1](2024?江西?模擬預(yù)測(cè))現(xiàn)為一球形玩具設(shè)計(jì)一款球形的外包裝盒(盒子厚度忽略不計(jì)).已

知該球形玩具的直徑為2,每盒需放入4個(gè)玩具球，則該種外包裝盒的直徑的最小值為()

A.2—V3B.2+V3C.V6—2D.2+V6

【解題思路】根據(jù)外包裝盒的直徑最小得出四個(gè)球兩兩外切，結(jié)合外接球的知識(shí)可得答案.

【解答過程】當(dāng)外包裝盒的直徑最小時(shí)，四個(gè)球兩兩外切且內(nèi)切于包裝盒這個(gè)大球，

所以大球的半徑是棱長(zhǎng)為2的正四面體的外接球半徑與小球半徑的和，

把棱長(zhǎng)為2的正四面體補(bǔ)形為棱長(zhǎng)為迎的正方體，則正四面體的外接球就是正方體的外接球，

其半徑為運(yùn)『X

所以外包裝盒的直徑的最小值為2（曰+1）=n+2.

故選：D.

【變式2-2］（2024?重慶?模擬預(yù)測(cè)）已知四面體中，48=CD=AC=BD=2,4。=BC,若四面體

A8CD的外接球的表面積為7m則四面體48co的體積為（）

248

AC--

B.3D.3

【解題思路】將四面體4BCD放入長(zhǎng)方體中，如圖，設(shè)長(zhǎng)寬高分別為見瓦c,由題意列方程求出a,瓦c,再由

三棱錐的體積公式求解即可.

【解答過程】將四面體Z8CD放入長(zhǎng)方體中，如圖,

7=a2+&2+c2a=V3

次+=彳=，b=1

62+c2=4.c=V3

T,7411717v

???VA-RCD=abc—4x-x-xabc=-abc=1,

AbCU323

故選：A.

【變式2?3】（2024?四川雅安?模擬預(yù)測(cè)）如圖是以正方體的各條棱的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的多面體，這是一個(gè)有八

個(gè)面為正三角形，六個(gè)面為正方形的“阿基米德多面體”，若該多面體的棱長(zhǎng)為魚，則該多面體外接球的表

面積為（）

4

A.8TUB.4nC.2nD.-IT

3

【解題思路】根據(jù)給定條件，把多面體放在棱長(zhǎng)為2的正方體中，結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征確定球心，求出

球半徑作答.

【解答過程】把該多面體放入正方體中，如圖,

由于多面體的棱長(zhǎng)為魚，則正方體的棱長(zhǎng)為2,

因此該多面體是由棱長(zhǎng)為2的正方體連接各棱中點(diǎn)所得，于是得該多面體的外接球球心是正方體體對(duì)角線

中點(diǎn),

該多面體外接球半徑R等于球心到一個(gè)頂點(diǎn)的距離，即正方體面對(duì)角線的一半，則2/?=加2+22,解得R=

V2,

2

所以經(jīng)過該多面體的各個(gè)頂點(diǎn)的球的表面積S=4nx（V2）=8n.

故選：A.

【題型3截面法求外接球問題】

【例3】（2024?江蘇南通?三模）已知一個(gè)正四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為2,8,側(cè)棱長(zhǎng)為3強(qiáng)，則該正

四棱臺(tái)內(nèi)半徑最大的球的表面積為（）

C641r

A.12nB.27TTcvD.等

【解題思路】先求出正四棱臺(tái)的高，再分析出最大內(nèi)切球與四側(cè)面及下底面相切，再根據(jù)三角函數(shù)得到其

半徑大小，最后利用球的表面積公式即可.

【解答過程】作出如圖所示正四棱臺(tái)，其中。。1為正四棱臺(tái)的高，EE1為其斜高，

因?yàn)檎睦馀_(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為2,8,側(cè)棱長(zhǎng)為3代，

I22

則為。1=/，BO=4V2,001="（3遮）-（4V2-V2）=3遮，

因?yàn)椤！?=3次〉等=5,故半徑最大的球不與上下底面同時(shí)相切，

EELJ（3向2_（號(hào)2=6,貝1JsipOE%=箸=苧，則NOE2=會(huì)

過O,E,Ei，Oi作正四棱臺(tái)的截面，截球得大圓，則該圓與等腰梯形兩腰和下底相切，則4。25。=!

O

則。。2=親=竽＜等=苧，則更確定最大內(nèi)切球與四側(cè)面及下底面相切，

即該正四棱臺(tái)內(nèi)半徑最大的球半徑r=手，球的表面積為S=4m'2=

故選：D.

【變式3-1］（23-24高三下?河南?階段練習(xí)）已知圓臺(tái)。的上、下底面半徑分別為q,r2,且全=2q,若

半徑為次的球與。的上、下底面及側(cè)面均相切，則。的體積為（）

A.7V3TTB.8岳C.等D.等

【解題思路】根據(jù)圓臺(tái)的軸截面圖，利用切線長(zhǎng)定理結(jié)合圓臺(tái)和球的結(jié)構(gòu)特征求解勺，「2,然后代入圓臺(tái)體

積公式求解即可.

【解答過程】如圖，設(shè)Q的上、下底面圓心分別為01，。2,則Q的內(nèi)切球的球心。一定在。1。2的中點(diǎn)處.

設(shè)球。與Q的母線切于M點(diǎn)，貝1J0M14B,0M=001=002=V3,

Q+q=J.2，

AM=r1；BM=r2,所以AB=3r「過/作4G3。垂足為G,

則BG=*—71=「1，由AG?=4爐—BG2,得12=（37I）2—r：=8rj,所以若=|,遙=6,

所以Q的體積為1（|TT+6TT+&.6TT）X2V3=7V3ir.

故選：A.

【變式3-2］（2024?湖北?二模）已知圓錐P。的頂點(diǎn)為P,其三條母線以，PB,PC兩兩垂直，且母線長(zhǎng)

為6,則圓錐尸O的內(nèi)切球表面職與圓錐側(cè)面積之和為（）

A.12（10-3V6）TTB.24（20-7V6）TTC.60（8-3V6）TTD.3（40-7V6）TT

【解題思路】由已知和正弦定理，勾股定理求出圓錐底面圓的半徑和高，再由三角形面積相等求出圓錐內(nèi)

切球半徑T,然后由球的表面積公式和圓錐的側(cè)面積公式求出結(jié)果即可.

【解答過程】因?yàn)槿龡l母線B4,PB,PC兩兩垂直，且母線長(zhǎng)為6,

所以△力BC為圓錐底面圓的內(nèi)接正三角形，且邊長(zhǎng)AB=BC=C4=V62+62=6vL

由正弦定理可得底面圓的半徑R=；x幅=2四，

2sm60

所以圓錐的高PO=』62一（2V6）2=2V3,

如圖，圓錐軸截面三角形的內(nèi)切圓半徑即為圓錐內(nèi)切球半徑r,

軸截面三角形面積為,x4V6x2V3=gx（6+6+4遙）r,

所以內(nèi)切球半徑7=6A/2—4V3,

2

內(nèi)切球的表面積為4Tt（6&-4舊）=4TT（120-48V6）,

圓錐的側(cè)面積為:x6x2irX2V6=12V61T,

所以其和為60（8-3遙）TT,

故選：C.

【變式3-3］（2024?四川成都?三模）已知正四棱臺(tái)ABCD-EFG”的上底面積為16,下底面積為64,且其

各個(gè)頂點(diǎn)均在半徑R=歷的球。的表面上，則該四棱臺(tái)的高為（）

A.2B.8C.8或12D.2或12

【解題思路】做出截面DBF”,根據(jù)圓心。是否位于截面內(nèi)部分兩種情況，根據(jù)線段關(guān)系即可求解.

【解答過程】

如圖，做出截面D8FH,

當(dāng)圓心。位于截面內(nèi)部時(shí),

取DB中點(diǎn)E,HF中點(diǎn)Fi，連接D。、E%和。H,

易得點(diǎn)。在E%上，由題意得DB=4魚，HF=8V2,OD=OH=V57,

22

因?yàn)榻?JR2_HF2=757-32=5,OE=V7?-DE=V57-8=7,

所以EFi=12,

當(dāng)。不在截面內(nèi)時(shí)，

DEB

同第一種情況理可得OE=7,OF1=5,

所以EFi=2,綜上所述：該四棱臺(tái)的高為2或12.

故選：D.

【題型4棱切球模型問題】

【例4】（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）正四面體/BCD的棱長(zhǎng)為2,其棱切球的體積為（）

A.2nB.V6TTC.—TTD.—IT

327

【解題思路】將正四面體48CD補(bǔ)形為正方體，此時(shí)正方體的內(nèi)切球即為正四面體的棱切球，利用球的體積

公式求解即可.

【解答過程】如圖，將棱長(zhǎng)為2的正四面體補(bǔ)形為棱長(zhǎng)為近的正方體，則正方體的內(nèi)切球即為正四面體48CD

的棱切球，所以正四面體A8CD的棱切球的半徑為日，

所以棱切球的體積為展卜Tlx?=/n.

故選：C.

【變式4-1］（2024?山東日照?二模）已知棱長(zhǎng)為1的正方體4BCD—4把1的￡?1，以正方體中心為球心的球。

與正方體的各條棱相切，若點(diǎn)P在球。的正方體外部（含正方體表面）運(yùn)動(dòng)，則方?麗的最大值為（）

731

A.2B.-C.-D.-

444

【解題思路】取中點(diǎn)E,根據(jù)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算得兩?麗=方2_3判斷|而|的最大值即可求解.

【解答過程】取4B中點(diǎn)E,可知E在球面上，可得麗=-畫=-1瓦?,

所以而-VB=（PE+EA）■（PE+EB）=（PE）2-（說/=PE2-^,

點(diǎn)P在球。的正方體外部（含正方體表面）運(yùn)動(dòng)，當(dāng)PE為直徑時(shí)，|麗|=VL

1'max

所以福?麗的最大值為］

4

故選：B.

【變式4-2］（2024?廣東佛山?模擬預(yù)測(cè)）已知正三棱柱的所有棱長(zhǎng)均相等，其外接球與棱切球（該球與其

所有棱都相切）的表面積分別為S1，S2,則言=_1_.

【解題思路】由幾何關(guān)系求出外接球和棱切球半徑，再由球的表面積公式求出表面積，最后求出比值.

【解答過程】

設(shè)正三棱柱的棱長(zhǎng)為a,因?yàn)檎庵舷碌酌嬷行倪B線的中點(diǎn)。為外接球的球心，

22

則外接球的半徑。1=OD+BD,8D=|x?=?a,

所$+律）、?，

因?yàn)镺E==］加2+惇J=OF,所以0為棱切球的球心，則棱切球半徑遙=（第二

所以3=咨=聿=￡

S24T［眩貯4

故答案為：2,

【變式4-3］（2024?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測(cè)）若將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，

八個(gè)頂點(diǎn)共截去八個(gè)三棱錐，可得到一個(gè)有十四個(gè)面的多面體.它的各棱長(zhǎng)都相等，其中八個(gè)面為正三角形,

六個(gè)面為正方形，如圖所示，已知該多面體過/,B,C三點(diǎn)的截面面積為6舊，則其棱切球（球與各棱相

切）的表面積為一12TT.

【解題思路】設(shè)48=小，外接球的半徑為R,根據(jù)該幾何體的對(duì)稱性可知該幾何體的棱切球即為底面棱長(zhǎng)

為2,側(cè)棱長(zhǎng)為2a的正四棱柱的棱切球，利用勾股定理求解半徑，即可由球的表面積公式即可求解.

【解答過程】設(shè)4B=小，外接球的半徑為R,

該多面體是由棱長(zhǎng)為近小的正方體沿正方體各棱的中點(diǎn)截去8個(gè)三棱錐所得，

如圖，過4B,C三點(diǎn)的截面為正六邊形4BCFED,其面積S=6x立x爪2=6百，即巾=2,

4

E

根據(jù)該幾何體的對(duì)稱性可知該幾何體的棱切球即為底面棱長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為2a的正四棱柱的棱切球，

故R2=（言J+（|）2=3,即/?=百，

故該多面體的棱切球的表面積為4TTR2=12TT.

故答案為：12TT.

【題型5內(nèi)切球模型問題】

【例5】（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知四棱錐P-力BCD的底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，。為AC,80的交點(diǎn),

PO_L平面力BCD,^PBA=AABC=60°,則四棱錐P—力BCD的內(nèi)切球的體積為（）

1

AV6K倔

A.——RBcT

2--D?粵

【解題思路】求出四棱錐的高和側(cè)棱長(zhǎng)，再利用四棱錐的體積與其內(nèi)切球半徑之間的關(guān)系求四棱錐的內(nèi)切

球半徑即可得解.

【解答過程】因?yàn)樗倪呅?8CD為菱形，乙4BC=6。。，所以△力是正三角形,

則。4=1,OB=V3.

因?yàn)镻。L^^ABCD,AC,BDu平面4BCD,所以P。1AC,PO1BD.

設(shè)P。=a,貝IJPZ=，乙2+1,PB=Va2+3.

在aP4B中，由「即=PB2+AB2-2PB-ABcos^LPBA,

可得a?+1=(a2+3)+4—2x2Va2+3-cos60°,解得a=V6,

所以P。=y[6,PA=?PB=3.

因?yàn)?。為BD的中點(diǎn)，PO1BD,所以PB=PD.又BC=CD,PC=PC,

所以△PC8三△PCD,同理可證△「(?￡)三△PAD,APAD=APAB,

所以SaPCB=S^PCD=S^PAD—^APAB-

+

設(shè)四棱錐P—ABC。的內(nèi)切球的半徑為r,則UpTBCD=（s四邊形4BCD?PO=1（s四邊形4BCDSAPCB+SAPCD+

^APAD+^APAB)r'

四邊形BCD2x2sin60°xV6V6

所以丁=S/.P。

S四邊形ABCD+4sAPAB2x2sin60o+4xQx2x3sin600)4

所以四棱錐P—4BCD的內(nèi)切球的體積U=：nr3=等

38

故選：c.

【變式5-1］（2024?陜西西安?一模）六氟化硫，化學(xué)式為SF6,在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的

穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途.六氟化硫結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)，如圖所示,

硫原子位于正八面體的中心，6個(gè)氟原子分別位于正八面體的6個(gè)頂點(diǎn)，若相鄰兩個(gè)氟原子之間的距離為m,

則該正八面體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球表面積為（）

p

Q

A.mn2B.2irm2C.-D.

33

【解題思路】根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)結(jié)合線面垂直的判定定理、性質(zhì)定理找出內(nèi)切球的半徑，利用等面積法

求出半徑的大小，即可求解.

【解答過程】如圖，連接4G8D交于點(diǎn)。，連接。P,

取BC的中點(diǎn)E,連接。E,PE,

因?yàn)榱=m,所以。4=OB=0C=0D=ym,

OP=7Ap2-。42=在小，

由BE=CE,可得BC1OE,BC1PE,OE,PEu平面POE,

且。EflPE=E,所以BC_L平面POE,

過。作。H1PE,

因?yàn)锽C1平面POE,OHu平面POE,所以BC1OH,

且BCCtPE=E,BC,PEu平面PBC,所以。H1平面PBC,

所以。H為該正八面體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球的半徑，

在直角三角形POE中，OP=1m,OE=：m,PE=^m,

由等面積法可得，^xOPxOE^-xPExOH,解得OH=—m,

226

2

所以內(nèi)切球的表面積為4nx口嗎）=與巾2,

Q

故選:D.

【變式5-2］（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知圓臺(tái)0。2存在內(nèi)切球。（與圓臺(tái)的上、下底面及側(cè)面都相切的球）,

若圓臺(tái)。1。2的上、下底面面積之和與它的側(cè)面積之比為5:8,設(shè)圓臺(tái)002與球。的體積分別為6,七,則臺(tái)=

（）

A.-3B.-4C.-11D.-13

【解題思路】根據(jù)給定條件，結(jié)合圓臺(tái)軸截面等腰梯形的內(nèi)切圓是球的截面大圓，探討圓臺(tái)兩底半徑與母

線的關(guān)系，再利用圓臺(tái)側(cè)面積公式及圓臺(tái)、球的體積公式求解即得.

【解答過程】設(shè)圓臺(tái)。1。2的上、下底面半徑分別為勺"2&2＞廠1＞。），母線長(zhǎng)為1，高為九，內(nèi)切球。的半徑

為R,

顯然圓臺(tái)軸截面等腰梯形的內(nèi)切圓是球的截面大圓，貝〃=廠1+丁2，2R=h,

由=p整理得3廠：一10rr+3遙=0,而技＞T「解得/2=3q,I=4口

，匕12

因此圓臺(tái)的高九=J/一（72—71）2=247\,R=W丫1，

則圓臺(tái)。1。2的體積％=|n［r2+q?3Tl+（3丁1冶.2y/3r1=變學(xué)

內(nèi)切球。的體積=：互（8廠1）3=4VSirr^,所以白=白

3V113

故選：D.

【變式5-3］（2024?江蘇宿遷?三模）若一個(gè)多面體的各面都與一個(gè)球的球面相切，則稱這個(gè)球是這個(gè)多面

體的內(nèi)切球.在四棱錐P-4BCD中，側(cè)面PAB是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，底面ABCD為矩形，且平面P4B1

平面力BCD.若四棱錐P-HBCD存在一個(gè)內(nèi)切球，設(shè)球的體積為匕，該四棱錐的體積為匕，則富的值為（）

AV3nnV3TT八V3TTCV3TT

A.——B.——C.——D.--

6121854

【解題思路】過點(diǎn)P作出四棱錐P-ABC。的內(nèi)切球截面大圓，確定球半徑表達(dá)式，再借助四棱錐體積求出

球半徑計(jì)算作答.

【解答過程】如圖，取力B中點(diǎn)M,CD中點(diǎn)N,連接PM,PN,MN,

因aPAB是正三角形，貝IJPM14B,又力BCD是矩形，有MNJ.4B,

而平面PAB_L平面力BCD,平面P4BCI平面4BCD=4B,PMu平面P4B,MNu平面力BCD,

因此PM1?平面力BCD,MN_L平面P4B,

y.AD//MN//BC,貝！1平面P4B,BCJ■平面/MB,貝!_LPA,BC1PB,

PMCtMN=M,PMMNu平面PMN,則45_L平面PMN,又PNu平面PMN,

所以力B1PN,而AB〃CD,貝l|CD1PN,顯然△PADPBC,

由球的對(duì)稱性和正四棱錐P-4BCD的特征知，平面PMN截四棱錐P-4BCD的內(nèi)切球。得截面大圓,

此圓是Rt^PMN的內(nèi)切圓，切MN,PM分別于E,F,有四邊形OEMF為正方形，

設(shè)力D=x,又PM=亨，PN=+久2,則球的半徑r=■!（%+日一J：+/）

又四棱錐的表面積為

P-4BCDS=SAPAB+2SAPAD+SABCD+SAPCD=y+x+x+1

由“-4BCD=3Sr=j^ABCD-PM,解得X=當(dāng),

故選：C.

【題型6多球相切問題】

【例6】（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）在一個(gè)半徑為2的半球形封閉容器內(nèi)放入兩個(gè)半徑相同的小球，則這

兩個(gè)小球的表面積之和最大為（）

A.（96-64V2）TTB.（24-16近）TTC.8TTD.16TT

【解題思路】由題意確定兩個(gè)小球的表面積之和最大的情況，如圖，根據(jù)勾股定理可得0O=V^r,則應(yīng)r+

r=2,解出r,結(jié)合球的表面積公式計(jì)算即可求解.

【解答過程】當(dāng)兩個(gè)小球的表面積之和最大時(shí)兩小球相切，且兩小球均與半球形封閉容器相切，

此時(shí)設(shè)兩小球的球心分別為01，。2,半球形封閉容器的底面圓心為。，

作出過。1，02,。的截面如圖所示，連接。。1并延長(zhǎng)，交半圓于點(diǎn)/,

則/為圓。1與半圓的切點(diǎn)，設(shè)兩個(gè)小球的半徑為r,

得01。=Vr2+r2=V2r,所以應(yīng)丁+r=2,解得丁=2（V2—1）,

2

所以這兩個(gè)小球的表面積之和的最大值為2X4X4（72-1）IT=（96-64V2）TT.

O

故選：A.

【變式6-1]（2024?河北滄州?模擬預(yù)測(cè)）某包裝設(shè)計(jì)部門為一球形塑料玩具設(shè)計(jì)一種正四面體形狀的外包

裝盒（盒子厚度忽略不計(jì)），已知該球形玩具的直徑為2,每盒需放入10個(gè)塑料球，則該種外包裝盒的棱

長(zhǎng)的最小值為（）

A.2+2V6B.2+4V6C..4+2V6D.4+4V6

【解題思路】先確定正四面體的棱長(zhǎng)與高還有內(nèi)切球半徑的關(guān)系，然后根據(jù)當(dāng)。取得最小值時(shí)，從上到下

每層中放在邊緣的小球都與正四面體的面都相切，從而計(jì)算出棱長(zhǎng)的最小值.

【解答過程】設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a,高為h,內(nèi)切球半徑為r

2

則a?=公+（/ax§,可得h=ya,

即正四面體的高等于其棱長(zhǎng)的半，正四面體的內(nèi)切球的半徑等于其棱長(zhǎng)的噂.

如圖，10個(gè)直徑為2的小球放進(jìn)棱長(zhǎng)為。的正四面體ABCD中，構(gòu)成三棱錐的形狀，有3層，從上到下每層

的小球個(gè)數(shù)依次為1,3,6.

A

當(dāng)a取得最小值時(shí)，從上到下每層中放在邊緣的小球都與正四面體的側(cè)面相切，底層的每個(gè)球都與正四面

體的底面相切，任意相鄰的兩個(gè)小球都外切，位于底層正三角狀頂點(diǎn)的所有相鄰小球的球心連線為一個(gè)正

四面體EFGH,底面BCD的中心為。，4。與面FGH的交點(diǎn)為P,

則該正四面體EFGH的棱長(zhǎng)為1+2+1=4,

可求得其高為EP=4x^=竽，4E=lx磊x當(dāng)一1=3,

所以正四面體4BCD的高為力。=4E+EP+PO=3+T+1=4+苧，

進(jìn)而可求得其棱長(zhǎng)a的最小值為(4+竽)x3=4+2限

故選：C.

【變式6-2](2024?湖南益陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè))如圖所示，4個(gè)球兩兩外切形成的幾何體，稱為一個(gè)“最密堆壘”.顯

然，即使是“最密堆壘”，4個(gè)球之間依然存在著空隙.材料學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，某種金屬晶體中4個(gè)原子的“最密

堆壘”的空隙中如果再嵌入一個(gè)另一種金屬原子并和原來的4個(gè)原子均外切，則材料的性能會(huì)有顯著性變

化.記原金屬晶體的原子半徑為小，另一種金屬晶體的原子半徑為則以和％的關(guān)系是()

A.2rB=B.2TB='^>rA

C.2rB—(V3—l)rAD.2rB=(V6—2)以

【解題思路】依題意畫出直觀圖，則四個(gè)金屬原子的球心的連線所圍成的圖形為正四面體P-ABC,設(shè)正四

面體的棱長(zhǎng)為a(a>0),高為h(h>0),外接球球心為0,D為正三角形2BC的中心，求出外接球的半徑R,

-a—2rl4

即可得到傷,，從而得解.

7a=rA+rB

【解答過程】由題意知，四個(gè)金屬原子的球心的連線所圍成的圖形為如圖所示的正四面體P-HBC,

設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a（a>0）,高為八（h>0）,外接球球心為。，。為正三角形力BC的中心，

則必有PD，平面ABC且P,0,。三點(diǎn)共線，

在正三角形力BC中，易求得DB=苧ax|=^a,

在△PDB中，由「爐=PA+詡，可得h=PD=Ja2-住a?=*,

在△OBD中，由0爐=o02+*,得R2=①一R）2+笆丁，

解得R=^a,

4

a=2以病

由題意得（6，所以二x2以=以+「B，

4

（^a=rA+rB

所以2TB—（V6—2）乙?

故選：D.

【變式6-3］（2024?浙江溫州?二模）如今中國(guó)被譽(yù)為基建狂魔，可謂是逢山開路，遇水架橋.公路里程、高鐵

里程雙雙都是世界第一.建設(shè)過程中研制出用于基建的大型龍門吊、平衡盾構(gòu)機(jī)等國(guó)之重器更是世界領(lǐng)先.如

圖是某重器上一零件結(jié)構(gòu)模型，中間最大球?yàn)檎拿骟w力BCD的內(nèi)切球，中等球與最大球和正四面體三個(gè)面

均相切，最小球與中等球和正四面體三個(gè)面均相切，已知正四面體4BCD棱長(zhǎng)為2逐，則模型中九個(gè)球的表

面積和為（）

A.6nB.9nD.2In

【解題思路】作出輔助線，先求出正四面體的內(nèi)切球半徑，再利用三個(gè)球的半徑之間的關(guān)系得到另外兩個(gè)

球的半徑，得到答案.

【解答過程】如圖，取BC的中點(diǎn)E,連接DE,AE,則CE=BE=V^,AE=DE=V24-6=3V2,

過點(diǎn)力作底面BCD,垂足在DE上，S.DF=2EF,

所以DF=2V2,EF=V2,故4F=ylAD2-DF2=V24-8=4,

點(diǎn)。為最大球的球心，連接。。并延長(zhǎng)，交2E于點(diǎn)M,則DM,4E,

設(shè)最大球的半徑為R,則OF=OM=R,

因?yàn)镽t△力。MsRtWEF,所以華=祭即覆=*解得R=1,

即。M=OF=1,則4。=4-1=3,故sin/E4F=翳=（

設(shè)最小球的球心為/,中間球的球心為K,則兩球均與直線4E相切，設(shè)切點(diǎn)分別為H,G,

連接H/,KG,則H/,KG分別為最小球和中間球的半徑，長(zhǎng)度分別設(shè)為a,b,

則句=3HJ=3a,AK=3GK=3b,貝“K=4K一句=3b—3a,

又JK=a+b,所以36-3a=a+b,解得b=2a,

又OK=R+b=4。-4K=3-3b,故4b=3—R=2,解得6=g,

所以a=I，

4

模型中九個(gè)球的表面積和為4n/?2+4nZ?2x4+4ira2X4=4TT+4II+TI=9Tl.

故選：B.

【題型7外接球之二面角模型】

【例7】（2024?陜西寶雞?三模）△力BC與△48。都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，沿公共邊折疊成60。的二面

角，若點(diǎn)/,B,C,D在同一球。的球面上，則球。的表面積為（）

A13c20811c52C112TT

A.—TiB.------C.—nD.------

9993

【解題思路】根據(jù)外接球球心的性質(zhì)確定球心。的位置為過正△力BC與△ABD的中心的垂線上，再構(gòu)造直角

三角形求解球。的半徑，即可求解.

【解答過程】解：由題，設(shè)正△A8C與△4BD的中心分別為N,M,

根據(jù)外接球的性質(zhì)有。M，平面ABD,0N1平面4BC,

又二面角。一力B—C的大小為60。，故乙DEC=60。，

又正△AB3AABD的邊長(zhǎng)均為2,

故DE=CE=V3,

故EM=EN=^ED=—,

OE=OE/OME=乙ONE,

???RtAMEO=RtA

故4ME。=乙NEO=30°,

故。E==又EB=1,

cos303

故球。的半徑。8=J12+（,=鋁,

故球。的表面積為S=4nX（?）2=等.

故選：C.

【變式7-1］（2024?山東?模擬預(yù)測(cè)）如圖①，將兩個(gè)直角三角形拼在一起得到四邊形4BCD,且AC=BC=

g力。=1,ACLAD,現(xiàn)將△ACD沿AC折起，使得點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)P處，且二面角P-4C一B的大小為60。，連接

BP,如圖②，若三棱錐P-ABC的所有頂點(diǎn)均在同一球面上，則該球的表面積為（）

D

P

B-

①②

A.4nB.5TTC.6TTD.7TT

【解題思路】過點(diǎn)C作CE〃P力且CE=P4連接PE、BE,即可得到NBCE是二面角P-AC-B的平面角，從

而求出BE,即可得到BC1BE,則平面PBE,則PC為三棱錐P-ABC的外接球的直徑，即可求出外接

球的表面積.

【解答過程】過點(diǎn)C作CE〃P4且CE=P4連接PE、BE,則四邊形4CEP為平行四邊形，

所以4C//PE,因?yàn)榱14P,所以ZC1CE,又4C1BC,

所以NBCE是二面角P-力C—B的平面角，即Z_BCE=60。，

在△BCE中，由余弦定理可得8產(chǎn)=BC2+CE2-2BC-CFcos60°=1+4-2xlx2xg=3,

即=所以BE?+BU=Cf2,所以BCJ.BE,

又BC14C,AC//PE,所以BC1PE,PECBE=E,PE,BEcnPBE,

所以BC1平面PBE,PBu平面PBE,所以8clpB,

所以PC為三棱錐P-ABC的外接球的直徑，

所以外接球的半徑R=三PC=^AP2+AC2=苧，

2

所以外接球的表面積S=4TTR2=4TTX（曰）=5n.

【變式7-2]（2024?陜西榆林?模擬預(yù)測(cè)）如圖，△力BC是邊長(zhǎng)為4的正三角形，。是BC的中點(diǎn)，沿4D將△ABC

折疊，形成三棱錐4-BCD.當(dāng)二面角B-4D-C為直二面角時(shí)，三棱錐力-BCD外接球的表面積為（）

B

D20碣

A.5ITB.20n

6.3

【解題思路】先證明平面BDC,利用二面角的定義可得NBDC=90°,利用勾股定理可得△BCD的外接

圓直徑為BC,將三棱錐”-BCD補(bǔ)形成長(zhǎng)方體來求其外接球的半徑R,再利用球體表面積公式可得出答案.

【解答過程】如圖所示,

折疊前，由于△4BC是邊長(zhǎng)為4的正三角形，。是的中點(diǎn)，貝

折疊后，則有AD1BD,因?yàn)?/p>