人教版高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)-重難點(diǎn)題型精講

專題2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)-重難點(diǎn)題型精講

*”）訃啟君

1.兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的比較

如果a-b是正數(shù)，那么a>b；如果a-b等于零，那么a=b；如果a-b是負(fù)數(shù)，那么4VA.反過來也對(duì).這

個(gè)基本事實(shí)可以表示為：a>b^a-b>0,〃=/?04一/?=0,a<b^a-b<0.

從上述基本事實(shí)可知，要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，可以轉(zhuǎn)化為比較它們的差與0的大小.

2.等式的基本性質(zhì)

性質(zhì)1如果a=b,那么b=a；

性質(zhì)2如果a=b,b=c,那么a=c；

性質(zhì)3如果a=b,月口么a±c=b±c；

性質(zhì)4如果a=b,那么ac=bc；

性質(zhì)5如果a=b,存0,那么

3.不等式的性質(zhì)

(1)如果a>b,那么b<a：如果b<a,那么即a>b=b<a.

(2)如果a>b,b>c,那么即a>b,b>c=>a>c.

(3)如果a>b,那么a+c>b+c.

(4)如果a>b,c>0,那么ac>bc；如果a>b,c<0,那么ac<bc.

(5)如果a>b,c>d,那么a-\-c>b-\~d.

⑹如果c>d>0,那么

⑺如果。泌>0,那么n>2).

“b卡一五三

【題型1不等關(guān)系的建立】

【方法點(diǎn)撥】

在用不等式（組）表示實(shí)際問題中的不等關(guān)系時(shí)，先通過審題，設(shè)出未知量，找出其中的不等關(guān)系，再將不等

關(guān)系用不等式表示出來，即得不等式或不等式組.

［例1］（2021秋?石鼓區(qū)校級(jí)月考）鐵路乘車行李規(guī)定如下：乘動(dòng)車組列車攜帶品的外部尺寸長、寬、高

之和不超過Mem設(shè)攜帶品外部尺寸長、寬、高分別為。、氏c（單位：cm）,這個(gè)規(guī)定用數(shù)學(xué)關(guān)系式可

表示為（）

A.a+6+cWA/B.a+b+c>MC.a+b+c^MD.a+b+c<M

【變式1-1］（2021秋?龍巖期中）為安全燃放某種煙花，現(xiàn)收集到以下信息：

①此煙花導(dǎo)火索燃燒的速度是每秒0.6厘米；

②人跑開的速度為每秒4米；

③距離此煙花燃放點(diǎn)50米以外（含50米）為安全區(qū).

為了使導(dǎo)火索燃盡時(shí)人能夠跑到安全區(qū)，導(dǎo)火索的長度無（厘米）應(yīng)滿足的不等式為（）

A.4X<50B.4x^250C.4x^<50D.4X>50

【變式1-2］（2021秋?龍崗區(qū)期中）在開山工程爆破時(shí)，已知導(dǎo)火索燃燒的速度是每秒0.5c〃z,人跑開的速

度為每秒4%為了使點(diǎn)燃導(dǎo)火索的人能夠在爆破時(shí)跑到100機(jī)以外的安全區(qū)，導(dǎo)火索的長度x（c機(jī)）應(yīng)

滿足的不等式為（）

A.4x^2100B.4x^<100C.4x京>100D.4x<100

U?JU?J■KJU.J

【變式1-3］（2021秋?龍江縣校級(jí)月考）下列結(jié)論不正確的是（）

①用不等式表示某廠最低月生活費(fèi)a元不低于300元為。2300；

②完成-項(xiàng)裝修工程，請木工需付工資每人500元，請瓦工需付工資每人400元，現(xiàn)有工資預(yù)算20000

元，設(shè)木工x人，瓦工y人，則滿足的關(guān)系式是5尤+4y<200；

③設(shè)M=f+3,N=3無，則M與N的大小關(guān)系為M>N；

④若xW-2且yW1,則M=?+y2+4.r-2y的值與一5的大小關(guān)系是M>-5.

A.①B.②C.③D.@

【題型2利用不等式的性質(zhì)判斷正誤】

【方法點(diǎn)撥】

⑴直接法：對(duì)于說法正確的，要利用不等式的相關(guān)性質(zhì)證明；對(duì)于說法錯(cuò)誤的只需舉出一個(gè)反例即可.

⑵特殊值法：注意取值一定要遵循三個(gè)原則：一是滿足題設(shè)條件；二是取值要簡單，便于驗(yàn)證計(jì)算；三是

所取的值要有代表性.

【例2】（2022春?大名縣校級(jí)期末）如果b,c,dER,則正確的是（）

11

A.若a>b,則一V—B.若貝c2

ab7

C.若a>b9c>d9貝I］a+c>b+dD.若a>b,c>d,貝!Jac>bd

11

【變式2-1］（2022?孝義市開學(xué)）已知一〈工<0,則下列結(jié)論正確的是（）

ab

A.a<bB.a+b<abC.］〃|>|。|D.ab>b2

【變式2-2］（2022春?包頭期末）a,b￡R,下列命題正確的是（）

A.若a>b,則〃2>廿

B.cER,若〃>/?,貝！Jad〉力，

C.若-3〃>-3b,則a<b

11

D.“WO,/?W0,右a>b,則一V一

ab

【變式2-3］（2021秋?賀州期末）如果〃<匕V0,那么下列不等式成立的是（）

1111

A.-<-B.ab<?9C.ab>a29D.--

aba匕

【題型3利用作差法比較大小】

【方法點(diǎn)撥】

（1）作差法比較的步驟：作差一->變形-->定號(hào)一->結(jié)論.

⑵變形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化；⑤分類討論.

【例3】（2022春?九江期末）已知a=VL/?=V7-V3,c=V6-V2,則a,b,c的大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a

【變式3-1］（2022春?安徽期中）已知〃</?,x=cr,-b,y=a2b-a,則％,y的大小關(guān)系為（）

A.x>yB.x<yC.x=yD.無法確定

【變式3-2］（2021秋?靖遠(yuǎn)縣期末）已知P=x2+沖+9，Q=3xy-1,則（）

A.P>QB.P=Q

C.P<QD.P,。的大小關(guān)系不確定

【變式3-3］（2021秋?灤南縣校級(jí)月考）設(shè)機(jī)>1,尸=冽+島，0=5，則P，Q的大小關(guān)系為（）

A.P<QB.P=QC.P>QD.PWQ

【題型4利用作差法比較大小的應(yīng)用】

［例4］（2022春?蕪湖期末）甲、乙兩人同時(shí)從寢室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半時(shí)

間步行，一半時(shí)間跑步，如果兩人步行速度、跑步速度均相同，則（）

A.甲先到教室B.乙先到教室

C.兩人同時(shí)到教室D.誰先到教室不確定

【變式4-1］（2021秋?金華期末）某次全程馬拉松比賽中，選手甲前半程以速度a勻速跑，后半程以速度b

速跑；選手乙前一半時(shí)間以速度a勻速跑，后半時(shí)間以速度b勻速跑（注：速度單位，Ms）,若aWb,則

（）

A.甲先到達(dá)終點(diǎn)B.乙先到達(dá)終點(diǎn)

C.甲乙同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)D.無法確定誰先到達(dá)終點(diǎn)

【變式4-2］（2021秋?楊浦區(qū)校級(jí)期中）現(xiàn)有A,B,C,。四個(gè)長方體容器，A,2的底面積均為7,高分

別為x,y；C,。的底面積均為丁，高分別為x,>（其中xWy）.現(xiàn)規(guī)定一種兩人的游戲規(guī)則：每人從四

種容器中取兩個(gè)盛水，盛水多者為勝.問先取者在未能確定尤與y大小的情況下有沒有必勝的方案？若

有的話，有幾種？

【變式4-3］（2021秋?懷仁市校級(jí)月考）某單位組織職工去某地參觀學(xué)習(xí)需包車前往.甲車隊(duì)說：“如領(lǐng)隊(duì)

買全票一張，其余人可享受7.5折優(yōu)惠”.乙車隊(duì)說：“你們屬團(tuán)體票，按原價(jià)的8折優(yōu)惠”.這兩車隊(duì)的

原價(jià)、車型都是一樣的，試根據(jù)單位去的人數(shù)，比較兩車隊(duì)的收費(fèi)哪家更優(yōu)惠.

【題型5利用不等式的性質(zhì)證明不等式】

【方法點(diǎn)撥】

（1）利用不等式的性質(zhì)及其推論可以證明一些不等式.解決此類問題一定要在理解的基礎(chǔ)上，記準(zhǔn)、記熟不

等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用.

⑵應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時(shí)，應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不可省略條件或跳步推導(dǎo)，更

不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則.

ab

【例5】（2021春?迎澤區(qū)校級(jí)月考）證明:赤+而Ny[a+yTb.

【變式5-1]（2022春?庫爾勒市校級(jí)期末）已知〃>1,求證：Va+1+y/a—1<2y[a.

【變式5-2](2021秋?故城縣校級(jí)月考)求證:

(1)a2-^-b1+cP'^ab+bc+ac

(2)(ac+bd)2.(次+廬)(c2+J2)

【變式5-3】用比較法證明以下各題:

,112

(1)已知〃>0,b>0.求證：一+一

ab―y[ab

(2)已知。>0,b>0.求證：7+赤>y[a+

【題型6利用不等式的性質(zhì)求取值范圍】

【方法點(diǎn)撥】

同向不等式具有可加性與可乘性，但是不能相減或相除，應(yīng)用時(shí)，要充分利用所給條件進(jìn)行適當(dāng)變形來求

范圍，注意變形的等價(jià)性.

【例6】（2021秋?武昌區(qū)校級(jí)月考）已知l（a+6W4,-iWa-bW2,求4a-2b的取值范圍.

【變式6-1］（2022春?雞冠區(qū)校級(jí)期末）已知一5<。<昨皆求a-20的取值范圍.

a

【變式6-2］（2022春?寧江區(qū)校級(jí)期中）已知12ca<60,15<6<36,求a-b及一的取值范圍.

b

【變式6-3］（2021秋?普寧市校級(jí)月考）已知-2<a<3,試求下列各式的取值范圍.

（1）⑷；

（2）a+b；

（3）a-b；

(4)2a-3b.

專題2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)-重難點(diǎn)題型精講

?3力內(nèi)￡1

i「兩不罷菽示西藤i

如果〃一/?是正數(shù)，那么〃>。；如果〃一人等于零，那么。=/?;如果〃一匕是負(fù)數(shù)，那么

〃</?.反過來也對(duì).這個(gè)基本事實(shí)可以表示為：a>b<*a—。>0,a=boa—6=0,a〈b=a—b<0.

從上述基本事實(shí)可知，要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，可以轉(zhuǎn)化為比較它們的差與0的大小.

2.等式的基本性質(zhì)

性質(zhì)1如果a=b,那么b=a；

性質(zhì)2如果a=b,b=c,那么a=c；

性質(zhì)3如果a=b,那么a±c=b±c；

性質(zhì)4如果a=b,那么ac=bc；

存0,那么?=￡

性質(zhì)5如果a=b,

3.不等式的性質(zhì)

(1)如果a>b,那么b<a；如果b<a,那么a>b.&?a>bob<a.

(2)如果a>b,b>c,那么a>c.BPa>b,b>c=>a>c.

(3)如果a>b,那么a+c>b+c.

(4)如果〃>/?,c>0,那么〃c>Z?c；如果〃>/?,c<0,那么4c〈Z?c.

(5)如果a>b,c>d,那么a-\-c>b-\-d.

(6)如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.

(7)如果a>b>0,那么〃n>2).

【施威丁木辱靈索山港名】

【方法點(diǎn)撥】

在用不等式（組）表示實(shí)際問題中的不等關(guān)系時(shí)，先通過審題，設(shè)出未知量，找出其中的不等

關(guān)系，再將不等關(guān)系用不等式表示出來，即得不等式或不等式組.

【例1】（2021秋?石鼓區(qū)校級(jí)月考）鐵路乘車行李規(guī)定如下：乘動(dòng)車組列車攜帶品的外部尺

寸長、寬、高之和不超過Mem.設(shè)攜帶品外部尺寸長、寬、高分別為a、b、c（單位：

cm\這個(gè)規(guī)定用數(shù)學(xué)關(guān)系式可表示為（）

A.a+b+c^MB.a+b+c>MC.a+b+c^MD.a+b+c<M

【解題思路】根據(jù)題意列出不等式即可.

【解答過程】解：:.長、寬、高之和不超過Mem,長、寬、高分別為a、b、c,

a+b+c^M,

故選：A.

【變式1-1]（2021秋?龍巖期中）為安全燃放某種煙花，現(xiàn)收集到以下信息：

①此煙花導(dǎo)火索燃燒的速度是每秒0.6厘米；

②人跑開的速度為每秒4米；

③距離此煙花燃放點(diǎn)50米以外（含50米）為安全區(qū).

為了使導(dǎo)火索燃盡時(shí)人能夠跑到安全區(qū)，導(dǎo)火索的長度尤（厘米）應(yīng)滿足的不等式為（）

YVyY

A.4XR<50B.4x晨250C.4x^<50D.4x晨>50

0.60.6U.o0.6

【解題思路】直接由題意可列出不等關(guān)系式即可.

【解答過程】解：由題意可得4x^250.

故選：B.

【變式1-2X2021秋?龍崗區(qū)期中）在開山工程爆破時(shí)，已知導(dǎo)火索燃燒的速度是每秒0.5cm

人跑開的速度為每秒4m,為了使點(diǎn)燃導(dǎo)火索的人能夠在爆破時(shí)跑到100機(jī)以外的安全區(qū)，

導(dǎo)火索的長度x（cm）應(yīng)滿足的不等式為（）

VVVV

A.4x^>100B.4x^<100C.4x言>100D.4x<100

【解題思路】為了安全，則人跑開的距離應(yīng)大于100米，路程=速度X時(shí)間，其中時(shí)間

V

即導(dǎo)火索燃燒的時(shí)間，是丁

【解答過程】解：根據(jù)題意得4x自>100,

故選：C.

【變式1-3]（2021秋?龍江縣校級(jí)月考）下列結(jié)論不正確的是（）

①用不等式表示某廠最低月生活費(fèi)。元不低于300元為。2300；

②完成-項(xiàng)裝修工程，請木工需付工資每人500元，請瓦工需付工資每人400元，現(xiàn)有

工資預(yù)算20000元，設(shè)木工x人，瓦工y人，則滿足的關(guān)系式是5x+4y<200；

③設(shè)M=/+3,N=3x,則M與N的大小關(guān)系為M>N；

④若無W-2且yW1,則M=x1+y2+4x-2y的值與一5的大小關(guān)系是M>-5.

A.①B.②C.③D.④

【解題思路】由題意列出不等式，可判斷①②；由作差比較和不等式的性質(zhì)，可判斷③

④.

【解答過程】解：對(duì)于①，可得?！?00,故①正確；

對(duì)于②，可得500x+400y<20000,化為5x+4yW200,故②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，M-N=W+3-3x=(x-1)2+1>0,可得故③正確；

L4

對(duì)于④，因?yàn)榍襶力1,

所以(-5)=x2+y2+4x-2^+5=(x+2)2+(y-1)2>0,即-5,故④正確.

故選：B.

【題型2利用不等式的性質(zhì)判斷正誤】

【方法點(diǎn)撥】

⑴直接法：對(duì)于說法正確的，要利用不等式的相關(guān)性質(zhì)證明；對(duì)于說法錯(cuò)誤的只需舉出一

個(gè)反例即可.

⑵特殊值法：注意取值一定要遵循三個(gè)原則：一是滿足題設(shè)條件；二是取值要簡單，便于

驗(yàn)證計(jì)算；三是所取的值要有代表性.

【例2】(2022春?大名縣校級(jí)期末)如果〃，b,c,dER,則正確的是()

11

A.若a>b,則一V-B.若a>b,貝!Jc2

ab7

C.若a>b,c>d,貝!J〃+c>b+dD.若a>b,c>d,貝!j

【解題思路】根據(jù)已知條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)，以及特殊值法，即可求解.

11

【解答過程】解：對(duì)于A,令〃=1,b=-1,滿足〃>兒但一>三故A錯(cuò)誤，

ab

對(duì)于8,當(dāng)c=0時(shí)，ac2=bc2,故5錯(cuò)誤，

對(duì)于C,a>b,c>d9

由不等式的可加性可得，a+c>b+df故C正確，

對(duì)于。，令〃=1,b=-1,c=\,d=-1,滿足〃>。，c>d,但ac=bd,故。錯(cuò)誤.

故選：C.

11

【變式2-1](2022?孝義市開學(xué))已知一V工V0,則下列結(jié)論正確的是()

ab

A.a<bB.a+b〈abC.|tz|>|/?|D.ab>b2

11

【解題思路】由一〈工VO得。Va<0,從而對(duì)四個(gè)選項(xiàng)依次判斷即可.

ab

11

【解答過程】解：,?,一<-<0,

ab

:?b〈a,a+b<ab9ab<b，

故選項(xiàng)B正確，

故選：B.

【變式2-2］（2022春?包頭期末）〃，Z?GR,下列命題正確的是（）

A.若a>b,則。2〉廿

B.cGR,若a>b,則ad〉/7c2

C.若-3Q>-3b,貝（Ja<b

11

D.〃W0,b乎0,若d>b,則-V—

ab

【解題思路】根據(jù)不等式的性質(zhì)直接判斷.

【解答過程】解：選項(xiàng)4如〃=（）,b=-1,不等式不成立，選項(xiàng)A錯(cuò)誤，

選項(xiàng)3,如c=0,不等式不成立，選項(xiàng)3錯(cuò)誤，

選項(xiàng)C,根據(jù)不等式兩邊同除以-3,不等號(hào)改變，，選項(xiàng)C正確，

選項(xiàng)￡）,如〃=1,b=-1,不等式不成立，選項(xiàng)。錯(cuò)誤，

故選：C.

【變式2-3］（2021秋?賀州期末）如果。<人<0,那么下列不等式成立的是（）

1111

A.-V—B.ab<b29C.ab>cr9D.----<T--r

abab

【解題思路】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，結(jié)合題意，判斷選項(xiàng)中的命題是否正確即可.

1111

【解答過程】解：因?yàn)椤?lt;6<0,所以">0,所以工V-V0,即一〉口選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

baab

因?yàn)閍<6<0,所以浦>房>0,選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

因?yàn)閍<6<0,所以/>乃>0,BPab<a1,選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

111111

因?yàn)閍<6<0,所以:<1<0,所以一石>一7?即—選項(xiàng)_D正確.

babaab

故選：D.

【題型3利用作差法比較大小】

【方法點(diǎn)撥】

（1）作差法比較的步驟：作差一->變形-->定號(hào)一->結(jié)論.

⑵變形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化；⑤分類討論.

【例3】（2022春?九江期末）已知a=VL6=77-g，c=V6-V2,則a,b,c的大小

關(guān)系為（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a

【解題思路】運(yùn)用不等式的基本性質(zhì)直接比較兩數(shù)的大小.

【解答過程】解：：a=/,b=y/7—V3,c=y/6—V2,

???由Q-b=魚+遮一夕，且（魚+k）2=5+2遙>7,故〃〉4

由a—c=2V2—遍且（2或）2=8>6,故a>c,

由b-c=（夕+夜）一（6+次）且（遙+V3）2=9+2V18>9+2V14=（V7+V2）2,

故c>b,?\a>c>b,

故選：B,

【變式3-1］（2022春?安徽期中）已知〃</?,x=cr,-b,y=a2b-a,則x,y的大小關(guān)系為

（）

A.%>yB.x<yC.x=yD.無法確定

【解題思路】利用作差法直接化簡判斷即可.

【解答過程】解：x-y=ai-b-a1b+a=a1（a-b）+（a-b）=（a-b）（?2+1）,

又a〈b,則x-b<0,

又〃2+1>0,貝［j%-丁=（a-b）（?2+l）<0,故xVy.

故選：B.

【變式3-2］（2021秋?靖遠(yuǎn)縣期末）已知尸=~+盯+/，Q=3xy-1,則（）

A.P>QB.P=Q

C.P<QD.P,。的大小關(guān)系不確定

【解題思路】直接利用作差法和關(guān)系式的變換的應(yīng)用求出結(jié)果.

【解答過程】解：P-Q=^xy+y2-3xy+l=（x-y）2+l>0.

故尸

故選：A.

【變式3-3］（2021秋?灤南縣校級(jí)月考）設(shè)機(jī)>1,尸=相+島，Q=5,則P,。的大小關(guān)

系為（）

A.P<QB.P=QC.P^QD.PWQ

【解題思路】利用作差法即可判斷大小.

4m2—m+4—5(m—1)_m2—6m+9_(m—3)2

【解答過程】解:人…+口-5=

m—1-m—1-m—1

因?yàn)閙>1,所以(m-3)220,m-l>0,

（）

所以T772—3?2。,所以p2

故選：c.

【題型4利用作差法比較大小的應(yīng)用】

【例4】（2022春?蕪湖期末）甲、乙兩人同時(shí)從寢室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑

步，乙一半時(shí)間步行，一半時(shí)間跑步，如果兩人步行速度、跑步速度均相同，則（）

A.甲先到教室B.乙先到教室

C.兩人同時(shí)到教室D.誰先到教室不確定

【解題思路】比較走完路程所用時(shí)間大小來確定誰先到教室，故應(yīng)把兩人到教室的時(shí)間

用所給的量表示出來，作差比較

【解答過程】解：設(shè)步行速度與跑步速度分別為力，V2,

顯然V1<V2,總路程為2s,

ss4s

則甲用時(shí)間為一+一,乙用時(shí)間為-----,

V1V2V1+V2

ss4sS（V+V）2-4SVV

而—+------------1----2;-------1--2

V1V2V1+V2式“1+。2）

=S（%—"2）2

v1v2（v1+v2）'

ss4s

故一+—?>-----,故乙先到教室，

V1v2v1+v2

故選：B.

【變式4-1]（2021秋?金華期末）某次全程馬拉松比賽中，選手甲前半程以速度a勻速跑，

后半程以速度b速跑；選手乙前一半時(shí)間以速度a勻速跑，后半時(shí)間以速度b勻速跑（注:

速度單位優(yōu)/s）,若aWb,貝ij（）

A.甲先到達(dá)終點(diǎn)B.乙先到達(dá)終點(diǎn)

C.甲乙同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)D.無法確定誰先到達(dá)終點(diǎn)

【解題思路】根據(jù)題意，設(shè)全程的距離為2s,用s、a、b表示甲、乙的時(shí)間，用作差法

分析可得答案.

【解答過程】解：根據(jù)題意，設(shè)全程的距離為2s,

對(duì)于甲，前半程s的時(shí)間為工后半程的時(shí)間為：，則甲的時(shí)間〃=：+點(diǎn)=空抖，

abaDan

對(duì)于乙，前一半時(shí)間以速度a勻速跑，后半時(shí)間以速度。勻速跑，則有ax今+bx今=2s,

變形可得t2=急,

則有ti-Z2=5叫，-名=J[（%）2"4"]=J（_.2

aba+baD（a+b）LJa力（a+b）

又由aWb,則ti-t2>0,

故乙先到達(dá)終點(diǎn)，

故選：B.

【變式4-2]（2021秋?楊浦區(qū)校級(jí)期中）現(xiàn)有A,B,C,。四個(gè)長方體容器，48的底面

積均為？，高分別為x,y；C,。的底面積均為高分別為尤，y（其中xWy）.現(xiàn)規(guī)定

一種兩人的游戲規(guī)則：每人從四種容器中取兩個(gè)盛水，盛水多者為勝.問先取者在未能

確定尤與y大小的情況下有沒有必勝的方案？若有的話，有幾種？

【解題思路】當(dāng)時(shí)，利用不等式的性質(zhì)可得：/>/,>盯2>R即A>8>C>。；

當(dāng)無<y時(shí)，同理可得：y3>y2x>yx1>xi,BPD>C>B>A；又f+y3-(孫?+/))>0.即

可得出.

【解答過程】解：①當(dāng)x>y時(shí)，則孫2>^，即A>B>C>O；在此種條件下取

A,B能夠穩(wěn)操勝券.

②當(dāng)尤時(shí)，則/>/龍>*>工3,即￡>>C>B>A；在此種條件下取。，C能夠穩(wěn)操勝

券.

③又x'+y3-(孫2+fy)=(/-/y)+-孫2)=(x-y)2(無十卜)>0.

...在不知道X,y的大小的情況下，取A,。能夠穩(wěn)操勝券，其他的都沒有必勝的把握.

故可能有1種，就是取A,D.

【變式4-3](2021秋?懷仁市校級(jí)月考)某單位組織職工去某地參觀學(xué)習(xí)需包車前往.甲車

隊(duì)說：“如領(lǐng)隊(duì)買全票一張，其余人可享受7.5折優(yōu)惠”.乙車隊(duì)說：“你們屬團(tuán)體票，按

原價(jià)的8折優(yōu)惠”.這兩車隊(duì)的原價(jià)、車型都是一樣的，試根據(jù)單位去的人數(shù)，比較兩車

隊(duì)的收費(fèi)哪家更優(yōu)惠.

【解題思路】根據(jù)兩家的政策，求出坐甲車需花yi元，坐乙車需花”元，作差，即可得

出結(jié)論.

【解答過程】解：設(shè)該單位有職工”人(“CN*),全票價(jià)為尤元，坐甲車需花刀元，坐

乙車需花》2元，

則yi=x+%(n-1)=^x+^xn,yi=^nx.

所以yi-yi

134

=^x+^xn--^wc

11

=4x~20nx

一L(1」)

~4XU5人

當(dāng)n=5時(shí)，yi="；

當(dāng)n>5時(shí),yi<y2；

當(dāng)0<w<5時(shí)，yi>y2.

因此當(dāng)單位去的人數(shù)為5時(shí)，兩車隊(duì)收費(fèi)相同；多于5人時(shí)，選甲車隊(duì)更優(yōu)惠；少于5

人時(shí)，選乙車隊(duì)更優(yōu)惠.

【題型5利用不等式的性質(zhì)證明不等式】

【方法點(diǎn)撥】

(1)利用不等式的性質(zhì)及其推論可以證明一些不等式.解決此類問題一定要在理解的基礎(chǔ)上,

記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用.

(2)應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時(shí)，應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不可省略條件

或跳步推導(dǎo)，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則.

ab

【例5】(2021春?迎澤區(qū)校級(jí)月考)證明:y!~a+y[b.

赤+赤2

【解題思路】利用分析法，先證明(迎-傷)2之0,即可證得原式.

【解答過程】證明：要證W+4=、?+“，

7b7a

只需證aG+bVb>Vab(y/a+VF)

即證(a+b—yfab)(V^+Vfe)>VabQyfa+4b}

即證a+b—Vab>y[ab

即證a+b>2^ab,即—Vb)2>0

該式顯然成立，所以*+7=2y[a+y[b.

\b7a

【變式5-1】(2022春?庫爾勒市校級(jí)期末)已知。>1,求證：+1+Va—1<14a.

【解題思路】利用分析法即可證明結(jié)論

【解答過程】解：要證后TT+V^=T<2VH,

2

只要證。+1+。-l+2Va—1<4af

只要證年出一1〈風(fēng)

只要證a2-Ka2,

只要證明-1V0,顯然成立，

故求證：Va+1+Va—1<2y/a.

【變式5-2](2021秋?故城縣校級(jí)月考)求證:

(1)di2+/?2+c2ab+bc+ac

(2)(〃c+2d)2.(6Z2+/?2)(C2+J2)

【解題思路】(1)利用做差法證明不等式的大小即可;

(2)利用做差法和平方差公式即可證明不等式成立.

【解答過程】證明：(1)*.*a2+/?2+c2-(ab+bc+ac)

=(a-/?)2+(。-c)2+(a-c)2]20,

4Z2+Z?2+C2ab+bc-^-ac；

(2)???(aW)(?+/)-(ac+bd)2

=4Z2C2+672J2+/?2c2+/?2J2-01cl-lacbd-廬/

=Cad-be)220,

:.(ac+bd)2](6Z2+/?2)(C2+J2).

【變式5-3]用比較法證明以下各題：

,“112

(1)已知〃>0,b>0.求證：一十一.’---

ab\ab

(2)已知〃>0,b>0.求證：+赤>y[a+y[b.

【解題思路】(1)作差可得:+[-=(七-京)2,由完全平方的性質(zhì)可得;

bCL/-/-Vb—

(2)作差變形可得7=+~?=—ya—yb=(b-a)——,可證不等式.