銳角三角函數(shù)壓軸訓(xùn)練（解析版）

挑戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)解答題壓軸真題匯編

專題02銳角三角函數(shù)壓軸真題訓(xùn)練

一.解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題

1.（2022?重慶）如圖，三角形花園48c緊鄰湖泊，四邊形48QE是沿湖泊修

建的人行步道.經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)。在點(diǎn)幺的正東方向，NC=200米.點(diǎn)E在點(diǎn)幺

的正北方向.點(diǎn)8,。在點(diǎn)C的正北方向，8。=100米.點(diǎn)8在點(diǎn)Z的北偏

東30°,點(diǎn)。在點(diǎn)E的北偏東45°.

（1）求步道的長(zhǎng)度（精確到個(gè)位）；

（2）點(diǎn)。處有直飲水，小紅從Z出發(fā)沿人行步道去取水，可以經(jīng)過(guò)點(diǎn)5到達(dá)

點(diǎn)。，也可以經(jīng)過(guò)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)。.請(qǐng)計(jì)算說(shuō)明他走哪一條路較近？

（參考數(shù)據(jù)：圾<1.414,a<1.732）

由已知可得四邊形ACDF是矩形,

：.DF=AC=200米，

.點(diǎn)。在點(diǎn)E的北偏東45°,即NZ）M=45°,

???△OEF是等腰直角三角形，

：.DE=42DF=200y[2^283（米）；

（2）由（1）知△?跖是等腰直角三角形，DE=283米，

：.EF=DF^2Q0米，

?.?點(diǎn)8在點(diǎn)Z的北偏東30°,即NE4B=30°,

48c=30°,

'：AC=200米，

.,.ZB=2ZC=400米，5C=A/AB2_AC2=200V3^.

,.?80=100米，

...經(jīng)過(guò)點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)D路程為23+80=400+100=500米，

CD=BC+BD=（20073+100）米，

：.AF=CD=（200百+100）米，

：.AE=AF-EF=（20073+100）-200=（20073-100）米，

.,?經(jīng)過(guò)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)D路程為AE+DE=200如-100+20072^529米，

V529>500,

???經(jīng)過(guò)點(diǎn)8到達(dá)點(diǎn)。較近.

2.（2022?資陽(yáng)）小明學(xué)了《解直角三角形》內(nèi)容后，對(duì)一條東西走向的隧道

Z5進(jìn)行實(shí)地測(cè)量.如圖所示，他在地面上點(diǎn)C處測(cè)得隧道一端點(diǎn)Z在他的北

偏東15°方向上，他沿西北方向前進(jìn)100愿米后到達(dá)點(diǎn)。，此時(shí)測(cè)得點(diǎn)Z在

他的東北方向上，端點(diǎn)8在他的北偏西60°方向上，（點(diǎn)2、B、C、。在同

一平面內(nèi)）

（1）求點(diǎn)。與點(diǎn)Z的距離；

（2）求隧道的長(zhǎng)度.（結(jié)果保留根號(hào)）

【解答】解；（1）由題意可知：ZACD=15°+45°=60°,N/QC=180°

-45°-45°=90°,

在RtAADC中，

**-AD=DCXtanZACD=100/3Xtan60°=10Ch/3xV3=300（米），

答：點(diǎn)。與點(diǎn)Z的距離為300米.

（2）過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)E,

?.ZB是東西走向，

AZADE=45°,ZBDE=60°,

在RtAADE中，

*'-DE=AE=ADXsinZADE=300Xsin450=300>^y-=150V2（米），

在RtABDE中，

???BE=DEXtanNBDE=150^Xtan60。=15（h/2xV3=150V6（米），

AB=AE+BE=（150V2+150V6）（米），

答：隧道48的長(zhǎng)為（150>/+150%）米.

3.（2022?錦州）如圖，一艘貨輪在海面上航行，準(zhǔn)備要?？康酱a頭C,貨輪航

行到Z處時(shí)，測(cè)得碼頭C在北偏東60°方向上.為了躲避4C之間的暗礁,

這艘貨輪調(diào)整航向，沿著北偏東30°方向繼續(xù)航行，當(dāng)它航行到8處后，又

沿著南偏東70°方向航行20海里到達(dá)碼頭C.求貨輪從幺到8航行的距離

（結(jié)果精確到0。海里.參考數(shù)據(jù):sin50°-0.766,cos50°=0.643,tan50°

^1.192）.

北

【解答】解：過(guò)5作于。,

北

由題意可知NNBE=30°,ZBAC=30°,則NC=180°-30°-30°-70°

=50°,

在RtZ\8CD中，NC=50°,8C=20（海里），

：.BD=BCsm50°^20X0.766=15.32（海里），

在RtaZAD中，ZBAD=30°,80=15.32（海里），

.?.28=280=30.64心30.6（海里）,

答：貨輪從Z到8航行的距離約為30.6海里.

二.解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題

4.（2022?遂寧）數(shù)學(xué)興趣小組到一公園測(cè)量塔樓高度.如圖所示，塔樓剖面和

臺(tái)階的剖面在同一平面,在臺(tái)階底部點(diǎn)Z處測(cè)得塔樓頂端點(diǎn)E的仰角NGZE=

50.2°,臺(tái)階48長(zhǎng)26米，臺(tái)階坡面48的坡度z.=5：12,然后在點(diǎn)5處測(cè)

得塔樓頂端點(diǎn)￡的仰角NE8/=63.4°,則塔頂?shù)降孛娴母叨人s為多少

米.

（參考數(shù)據(jù)tan50.2°弋1.20,tan63.4°弋2.00,sin50.2°弋0.77,sin63.4°弋

0.89）

【解答】解：如圖，延長(zhǎng)EE交NG于點(diǎn)笈，則作APLZG于點(diǎn)尸,

則四邊形瓦田P是矩形，

由i=5：12,可以假設(shè)5尸=5x,AP=12x,

\'PB2+PA2=AB2,

：.(5x)2+(⑵)2=262,

：.x=2或-2(舍去)，

：.PB=FH=1Q,AP=24,

設(shè)EF=a米，BF=b米,

tanNEB尸=^_,

BF

b

."-26①，

???tanZEAH=更=E?,

AHAP+PHAP+BF

-1.2②,

24+b

由①②得a=47,g23.5,

答：塔頂?shù)降孛娴母叨菶F約為47米.

5.（2022?內(nèi)蒙古）在一次綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組對(duì)一建筑物進(jìn)行測(cè)量.如圖，

在山坡坡腳C處測(cè)得該建筑物頂端B的仰角為60°,沿山坡向上走20m到達(dá)

D處,測(cè)得建筑物頂端5的仰角為30°.已知山坡坡度i=3：4,即tanB=

3,請(qǐng)你幫助該小組計(jì)算建筑物的高度/反

4

（結(jié)果精確到0」制，參考數(shù)據(jù)：73^1.732）

【解答】解：過(guò)點(diǎn)。作。垂足為E,過(guò)點(diǎn)。作。垂足為R

EC4

設(shè)。E=3x米，則CE=4x米，

■:DN+C^uDC1,

：.(3x)2+(4x)2=400,

，x=4或x=-4(舍去)，

：.DE=AF=n^t,CE=16米,

設(shè)8E=y米，

/.AB-BF+AF—(12+j)米，

在尸中，ZBDF=30°,

,??DF=—^_^=備=百y（米），

tan30V3

3

.".AE=DF=\[3y米，

：.AC=AE-CE=（V3v-16）米，

在RtZ\48C中，N4CB=60°,

tan60°_=我，

ACV3y-16

解得：y=6+8V^,

經(jīng)檢驗(yàn)：y=6+8正是原方程的根，

：.AB=BF+AF=18+8y[3^31.9（米），

二建筑物的高度4s約為31.9米.

6.（2022?阜新）如圖，小文在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)中，利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量

居民樓的高度Z8,在居民樓前方有一斜坡，坡長(zhǎng)CD=15M,斜坡的傾斜角

為a,cosa=9.小文在C點(diǎn)處測(cè)得樓頂端Z的仰角為60°,在。點(diǎn)處測(cè)得

5

樓頂端Z的仰角為30°（點(diǎn)Z,B,C,。在同一平面內(nèi)）.

（1）求C,。兩點(diǎn)的高度差；

（2）求居民樓的高度Z氏

（結(jié)果精確到1機(jī)，參考數(shù)據(jù)：

A

【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)。作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,

BE

?.?在RtZkOCE中，cosa=A,CD=\5m,

5

?'?CE=CDcosa=15XA=12(m).

5

*'?DE=VCD2-CE2=V152-122=9-

答：C,。兩點(diǎn)的高度差為9切.

(2)過(guò)點(diǎn)。作。ZB于E,

由題意可得8F=Z)E,DF=BE,

設(shè)4F=x掰，

在RtZ\4D尸中，tanN4DK=tan30°="上=近，

DFDF3

解得。尸=向心

在RtZ\A8C中，AB=AF+FB=AF+DE=G+9)m,BC=BE-CE=DF-CE=

-12)m,

tan60°=ALX+9

BCV3X-12

解得x=6V3

經(jīng)檢驗(yàn)，*=函卷是原方程的解且符合題意，

'?AB=6^3+--+9^24(m).

2

答：居民樓的高度Z5約為24陰.

7.(2022?襄陽(yáng))位于睨山的革命烈士紀(jì)念塔是襄陽(yáng)市的標(biāo)志性建筑，是為紀(jì)念

“襄樊戰(zhàn)役”中犧牲的革命烈士及第一、第二次國(guó)內(nèi)革命戰(zhàn)爭(zhēng)時(shí)期為襄陽(yáng)的

解放事業(yè)獻(xiàn)身的革命烈士而興建的，某校數(shù)學(xué)興趣小組利用無(wú)人機(jī)測(cè)量烈士

塔的高度.無(wú)人機(jī)在點(diǎn)Z處測(cè)得烈士塔頂部點(diǎn)8的仰角為45°,烈士塔底部

點(diǎn)C的俯角為61°,無(wú)人機(jī)與烈士塔的水平距離為10以，求烈士塔的高

度.(結(jié)果保留整數(shù).參考數(shù)據(jù)：sin61°-0.87,cos61°^0.48,tan61°?

1.80)

B

☆

革

命

烈

士

紀(jì)

念

碑

【解答】解：由題意得，ZBAD=45°,ZDAC=61°,

在中，ZBAD=45°,AD=Wm,

.\BD=AD=10m,

在RtZXNCZ）中，ZDAC=61°,

tan61°=型0弋1.80,

AD10

解得8-18,

：.BC=BD+CD=10+18=28（m）.

烈士塔的高度約為28加.

8.（2022?鞍山）北京時(shí)間2022年4月16日9時(shí)56分，神舟十三號(hào)載人飛船

返回艙成功著陸.為弘揚(yáng)航天精神，某校在教學(xué)樓上懸掛了一幅長(zhǎng)為8機(jī)的勵(lì)

志條幅（即GP=8機(jī)）.小亮同學(xué)想知道條幅的底端尸到地面的距離，他的

測(cè)量過(guò)程如下：如圖，首先他站在樓前點(diǎn)8處，在點(diǎn)5正上方點(diǎn)Z處測(cè)得條

幅頂端G的仰角為37°,然后向教學(xué)樓條幅方向前行12機(jī)到達(dá)點(diǎn)。處（樓

底部點(diǎn)E與點(diǎn)8,。在一條直線上），在點(diǎn)。正上方點(diǎn)C處測(cè)得條幅底端廠

的仰角為45°,若Z-CO均為1.65切（即四邊形。為矩形），請(qǐng)你幫

助小亮計(jì)算條幅底端F到地面的距離FE的長(zhǎng)度.（結(jié)果精確到0.1m.參考

數(shù)據(jù)：sin37°^0.60,cos37°^0.80,tan37°^0.75）

G

由題意得：

4B=CD=HE=1.65米,4C=BD=12米,ZAHG=90°,

設(shè)CH=x米，

：.AH=AC+CH=(12+x)米，

在Rt4CHF中，NFCH=45°,

：.FH=CH'tan45°=x(米)，

VGF=8米，

:.GH=GF+FH=(8+x)米，

在RtZ\ZHG中，/GAH=37°,

.,.tan37°x+8_..^0.75,

AH12+x

解得：x=4,

經(jīng)檢驗(yàn)：x=4是原方程的根，

:.FE=FH+HE=5.65~5.7(米)，

???條幅底端F到地面的距離FE的長(zhǎng)度約為5.7米.

三.解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題

9.（2022?郴州）如圖是某水庫(kù)大壩的橫截面，壩高CD=20機(jī)，背水坡8c的

坡度為九=1：1.為了對(duì)水庫(kù)大壩進(jìn)行升級(jí)加固，降低背水坡的傾斜程度，

設(shè)計(jì)人員準(zhǔn)備把背水坡的坡度改為72=1：愿,求背水坡新起點(diǎn)A與原起點(diǎn)B

之間的距離.

（參考數(shù)據(jù):加=1.41,V3^1.73.結(jié)果精確至U0.1機(jī)）

【解答】解：在RtzXBCQ中，

???8C的坡度為九=1：1,

???CD-i1,

BD

：.CD=BD=20米，

在RtZXZCQ中，

,.IC的坡度為〃=1：V3-

?-?-C-D--__1-9

AD圾

:.AD=?CD=20M（米）,

：.AB=AD-BD=20M-20^14.6（米），

???背水坡新起點(diǎn)A與原起點(diǎn)B之間的距離約為14.6米.

10.（2022?徐州）如圖，公園內(nèi)有一個(gè)垂直于地面的立柱4B,其旁邊有一個(gè)坡

面C。，坡角N0CN=30°.在陽(yáng)光下，小明觀察到48在地面上的影長(zhǎng)為

120cm,在坡面上的影長(zhǎng)為180c加.同一時(shí)刻，小明測(cè)得直立于地面長(zhǎng)60c加

的木桿的影長(zhǎng)為90c加（其影子完全落在地面上）.求立柱45的高度.

A

【解答】解：延長(zhǎng)/。交BN于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)。作QEL8N于點(diǎn)H

在RtZ\C￡＞尸中，/CFD=90°,ZDCF=3O°,

則。尸=_1CD=9O(cm),CF=CD?cosZDCF=180X9073(cm)，

22

由題意得：叫=也，即效=也，

EF90EF90

解得：EF=135,

：.BE=BC+CF+EF=(255+90%)cm,

則___蛆___=60,

255+90近90

解得：28=170+60禽，

答：立柱48的高度為（170+60e）cm.

四.解直角三角形的應(yīng)用（共2小題）

11.（2022?東營(yíng)）勝利黃河大橋猶如一架巨大的豎琴，凌駕于滔滔黃河之上，

使黃河南北“天塹變通途”.已知主塔Z5垂直于橋面3c于點(diǎn)5,其中兩條

斜拉索Z。、NC與橋面8c的夾角分別為60°和45°,兩固定點(diǎn)。、C之間

的距離約為33優(yōu)，求主塔Z8的高度（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：&-1.41,

V3^1.73）

A

【解答】解：在中，ZADB=6Q°,tanN4DB=膽，

BD

BD=______=福,

tan600V3

在RtZXZBC中，NC=45。，tanZC=J^-,

BC

：.BC=__=AB,

tan450

■:BC-BD=CD=33m,

.?.Z5-摯_=33，

V3_

.,.25=99+33正心78（m）.

2

答：主塔45的高約為78%

12.（2022?六盤(pán)水）“五一”節(jié)期間，許多露營(yíng)愛(ài)好者在我市郊區(qū)露營(yíng)，為遮

陽(yáng)和防雨會(huì)搭建一種“天