銳角三角函數(shù)壓軸訓練（解析版）

挑戰(zhàn)2023年中考數(shù)學解答題壓軸真題匯編

專題02銳角三角函數(shù)壓軸真題訓練

一.解直角三角形的應用-方向角問題

1.（2022?重慶）如圖，三角形花園48c緊鄰湖泊，四邊形48QE是沿湖泊修

建的人行步道.經測量，點。在點幺的正東方向，NC=200米.點E在點幺

的正北方向.點8,。在點C的正北方向，8。=100米.點8在點Z的北偏

東30°,點。在點E的北偏東45°.

（1）求步道的長度（精確到個位）；

（2）點。處有直飲水，小紅從Z出發(fā)沿人行步道去取水，可以經過點5到達

點。，也可以經過點E到達點。.請計算說明他走哪一條路較近？

（參考數(shù)據：圾<1.414,a<1.732）

由已知可得四邊形ACDF是矩形,

：.DF=AC=200米，

.點。在點E的北偏東45°,即NZ）M=45°,

???△OEF是等腰直角三角形，

：.DE=42DF=200y[2^283（米）；

（2）由（1）知△?跖是等腰直角三角形，DE=283米，

：.EF=DF^2Q0米，

?.?點8在點Z的北偏東30°,即NE4B=30°,

48c=30°,

'：AC=200米，

.,.ZB=2ZC=400米，5C=A/AB2_AC2=200V3^.

,.?80=100米，

...經過點B到達點D路程為23+80=400+100=500米，

CD=BC+BD=（20073+100）米，

：.AF=CD=（200百+100）米，

：.AE=AF-EF=（20073+100）-200=（20073-100）米，

.,?經過點E到達點D路程為AE+DE=200如-100+20072^529米，

V529>500,

???經過點8到達點。較近.

2.（2022?資陽）小明學了《解直角三角形》內容后，對一條東西走向的隧道

Z5進行實地測量.如圖所示，他在地面上點C處測得隧道一端點Z在他的北

偏東15°方向上，他沿西北方向前進100愿米后到達點。，此時測得點Z在

他的東北方向上，端點8在他的北偏西60°方向上，（點2、B、C、。在同

一平面內）

（1）求點。與點Z的距離；

（2）求隧道的長度.（結果保留根號）

【解答】解；（1）由題意可知：ZACD=15°+45°=60°,N/QC=180°

-45°-45°=90°,

在RtAADC中，

**-AD=DCXtanZACD=100/3Xtan60°=10Ch/3xV3=300（米），

答：點。與點Z的距離為300米.

（2）過點。作于點E,

?.ZB是東西走向，

AZADE=45°,ZBDE=60°,

在RtAADE中，

*'-DE=AE=ADXsinZADE=300Xsin450=300>^y-=150V2（米），

在RtABDE中，

???BE=DEXtanNBDE=150^Xtan60。=15（h/2xV3=150V6（米），

AB=AE+BE=（150V2+150V6）（米），

答：隧道48的長為（150>/+150%）米.

3.（2022?錦州）如圖，一艘貨輪在海面上航行，準備要?？康酱a頭C,貨輪航

行到Z處時，測得碼頭C在北偏東60°方向上.為了躲避4C之間的暗礁,

這艘貨輪調整航向，沿著北偏東30°方向繼續(xù)航行，當它航行到8處后，又

沿著南偏東70°方向航行20海里到達碼頭C.求貨輪從幺到8航行的距離

（結果精確到0。海里.參考數(shù)據:sin50°-0.766,cos50°=0.643,tan50°

^1.192）.

北

【解答】解：過5作于。,

北

由題意可知NNBE=30°,ZBAC=30°,則NC=180°-30°-30°-70°

=50°,

在RtZ\8CD中，NC=50°,8C=20（海里），

：.BD=BCsm50°^20X0.766=15.32（海里），

在RtaZAD中，ZBAD=30°,80=15.32（海里），

.?.28=280=30.64心30.6（海里）,

答：貨輪從Z到8航行的距離約為30.6海里.

二.解直角三角形的應用-仰角俯角問題

4.（2022?遂寧）數(shù)學興趣小組到一公園測量塔樓高度.如圖所示，塔樓剖面和

臺階的剖面在同一平面,在臺階底部點Z處測得塔樓頂端點E的仰角NGZE=

50.2°,臺階48長26米，臺階坡面48的坡度z.=5：12,然后在點5處測

得塔樓頂端點￡的仰角NE8/=63.4°,則塔頂?shù)降孛娴母叨人s為多少

米.

（參考數(shù)據tan50.2°弋1.20,tan63.4°弋2.00,sin50.2°弋0.77,sin63.4°弋

0.89）

【解答】解：如圖，延長EE交NG于點笈，則作APLZG于點尸,

則四邊形瓦田P是矩形，

由i=5：12,可以假設5尸=5x,AP=12x,

\'PB2+PA2=AB2,

：.(5x)2+(⑵)2=262,

：.x=2或-2(舍去)，

：.PB=FH=1Q,AP=24,

設EF=a米，BF=b米,

tanNEB尸=^_,

BF

b

."-26①，

???tanZEAH=更=E?,

AHAP+PHAP+BF

-1.2②,

24+b

由①②得a=47,g23.5,

答：塔頂?shù)降孛娴母叨菶F約為47米.

5.（2022?內蒙古）在一次綜合實踐活動中，某小組對一建筑物進行測量.如圖，

在山坡坡腳C處測得該建筑物頂端B的仰角為60°,沿山坡向上走20m到達

D處,測得建筑物頂端5的仰角為30°.已知山坡坡度i=3：4,即tanB=

3,請你幫助該小組計算建筑物的高度/反

4

（結果精確到0」制，參考數(shù)據：73^1.732）

【解答】解：過點。作。垂足為E,過點。作。垂足為R

EC4

設。E=3x米，則CE=4x米，

■:DN+C^uDC1,

：.(3x)2+(4x)2=400,

，x=4或x=-4(舍去)，

：.DE=AF=n^t,CE=16米,

設8E=y米，

/.AB-BF+AF—(12+j)米，

在尸中，ZBDF=30°,

,??DF=—^_^=備=百y（米），

tan30V3

3

.".AE=DF=\[3y米，

：.AC=AE-CE=（V3v-16）米，

在RtZ\48C中，N4CB=60°,

tan60°_=我，

ACV3y-16

解得：y=6+8V^,

經檢驗：y=6+8正是原方程的根，

：.AB=BF+AF=18+8y[3^31.9（米），

二建筑物的高度4s約為31.9米.

6.（2022?阜新）如圖，小文在數(shù)學綜合實踐活動中，利用所學的數(shù)學知識測量

居民樓的高度Z8,在居民樓前方有一斜坡，坡長CD=15M,斜坡的傾斜角

為a,cosa=9.小文在C點處測得樓頂端Z的仰角為60°,在。點處測得

5

樓頂端Z的仰角為30°（點Z,B,C,。在同一平面內）.

（1）求C,。兩點的高度差；

（2）求居民樓的高度Z氏

（結果精確到1機，參考數(shù)據：

A

【解答】解：（1）過點。作交的延長線于點E,

BE

?.?在RtZkOCE中，cosa=A,CD=\5m,

5

?'?CE=CDcosa=15XA=12(m).

5

*'?DE=VCD2-CE2=V152-122=9-

答：C,。兩點的高度差為9切.

(2)過點。作。ZB于E,

由題意可得8F=Z)E,DF=BE,

設4F=x掰，

在RtZ\4D尸中，tanN4DK=tan30°="上=近，

DFDF3

解得。尸=向心

在RtZ\A8C中，AB=AF+FB=AF+DE=G+9)m,BC=BE-CE=DF-CE=

-12)m,

tan60°=ALX+9

BCV3X-12

解得x=6V3

經檢驗，*=函卷是原方程的解且符合題意，

'?AB=6^3+--+9^24(m).

2

答：居民樓的高度Z5約為24陰.

7.(2022?襄陽)位于睨山的革命烈士紀念塔是襄陽市的標志性建筑，是為紀念

“襄樊戰(zhàn)役”中犧牲的革命烈士及第一、第二次國內革命戰(zhàn)爭時期為襄陽的

解放事業(yè)獻身的革命烈士而興建的，某校數(shù)學興趣小組利用無人機測量烈士

塔的高度.無人機在點Z處測得烈士塔頂部點8的仰角為45°,烈士塔底部

點C的俯角為61°,無人機與烈士塔的水平距離為10以，求烈士塔的高

度.(結果保留整數(shù).參考數(shù)據：sin61°-0.87,cos61°^0.48,tan61°?

1.80)

B

☆

革

命

烈

士

紀

念

碑

【解答】解：由題意得，ZBAD=45°,ZDAC=61°,

在中，ZBAD=45°,AD=Wm,

.\BD=AD=10m,

在RtZXNCZ）中，ZDAC=61°,

tan61°=型0弋1.80,

AD10

解得8-18,

：.BC=BD+CD=10+18=28（m）.

烈士塔的高度約為28加.

8.（2022?鞍山）北京時間2022年4月16日9時56分，神舟十三號載人飛船

返回艙成功著陸.為弘揚航天精神，某校在教學樓上懸掛了一幅長為8機的勵

志條幅（即GP=8機）.小亮同學想知道條幅的底端尸到地面的距離，他的

測量過程如下：如圖，首先他站在樓前點8處，在點5正上方點Z處測得條

幅頂端G的仰角為37°,然后向教學樓條幅方向前行12機到達點。處（樓

底部點E與點8,。在一條直線上），在點。正上方點C處測得條幅底端廠

的仰角為45°,若Z-CO均為1.65切（即四邊形。為矩形），請你幫

助小亮計算條幅底端F到地面的距離FE的長度.（結果精確到0.1m.參考

數(shù)據：sin37°^0.60,cos37°^0.80,tan37°^0.75）

G

由題意得：

4B=CD=HE=1.65米,4C=BD=12米,ZAHG=90°,

設CH=x米，

：.AH=AC+CH=(12+x)米，

在Rt4CHF中，NFCH=45°,

：.FH=CH'tan45°=x(米)，

VGF=8米，

:.GH=GF+FH=(8+x)米，

在RtZ\ZHG中，/GAH=37°,

.,.tan37°x+8_..^0.75,

AH12+x

解得：x=4,

經檢驗：x=4是原方程的根，

:.FE=FH+HE=5.65~5.7(米)，

???條幅底端F到地面的距離FE的長度約為5.7米.

三.解直角三角形的應用-坡度坡角問題

9.（2022?郴州）如圖是某水庫大壩的橫截面，壩高CD=20機，背水坡8c的

坡度為九=1：1.為了對水庫大壩進行升級加固，降低背水坡的傾斜程度，

設計人員準備把背水坡的坡度改為72=1：愿,求背水坡新起點A與原起點B

之間的距離.

（參考數(shù)據:加=1.41,V3^1.73.結果精確至U0.1機）

【解答】解：在RtzXBCQ中，

???8C的坡度為九=1：1,

???CD-i1,

BD

：.CD=BD=20米，

在RtZXZCQ中，

,.IC的坡度為〃=1：V3-

?-?-C-D--__1-9

AD圾

:.AD=?CD=20M（米）,

：.AB=AD-BD=20M-20^14.6（米），

???背水坡新起點A與原起點B之間的距離約為14.6米.

10.（2022?徐州）如圖，公園內有一個垂直于地面的立柱4B,其旁邊有一個坡

面C。，坡角N0CN=30°.在陽光下，小明觀察到48在地面上的影長為

120cm,在坡面上的影長為180c加.同一時刻，小明測得直立于地面長60c加

的木桿的影長為90c加（其影子完全落在地面上）.求立柱45的高度.

A

【解答】解：延長/。交BN于點E,過點。作QEL8N于點H

在RtZ\C￡＞尸中，/CFD=90°,ZDCF=3O°,

則。尸=_1CD=9O(cm),CF=CD?cosZDCF=180X9073(cm)，

22

由題意得：叫=也，即效=也，

EF90EF90

解得：EF=135,

：.BE=BC+CF+EF=(255+90%)cm,

則___蛆___=60,

255+90近90

解得：28=170+60禽，

答：立柱48的高度為（170+60e）cm.

四.解直角三角形的應用（共2小題）

11.（2022?東營）勝利黃河大橋猶如一架巨大的豎琴，凌駕于滔滔黃河之上，

使黃河南北“天塹變通途”.已知主塔Z5垂直于橋面3c于點5,其中兩條

斜拉索Z。、NC與橋面8c的夾角分別為60°和45°,兩固定點。、C之間

的距離約為33優(yōu)，求主塔Z8的高度（結果保留整數(shù)，參考數(shù)據：&-1.41,

V3^1.73）

A

【解答】解：在中，ZADB=6Q°,tanN4DB=膽，

BD

BD=______=福,

tan600V3

在RtZXZBC中，NC=45。，tanZC=J^-,

BC

：.BC=__=AB,

tan450

■:BC-BD=CD=33m,

.?.Z5-摯_=33，

V3_

.,.25=99+33正心78（m）.

2

答：主塔45的高約為78%

12.（2022?六盤水）“五一”節(jié)期間，許多露營愛好者在我市郊區(qū)露營，為遮

陽和防雨會搭建一種“天