人教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊 第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 單元練習(xí)（含解析）

第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)

一、單選題(本大題共10小題，共50.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng))

L設(shè)f(x)=康」二；：，若f⑷=/(?+1)，則是)=()

14(久一±J,X1u

A.2B.4C.6D.8

2,函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象如左圖，則函數(shù)y=f(x)?g(x)的圖象可能是()

3.已知函數(shù)〃2x-3)的定義域?yàn)椋?,3),則函數(shù)f(l一3久)的定義域?yàn)?)

A.(一另］B.C.(-8,-5］D.(-1,|］

4.已知定義在R上的函數(shù)八%)在(—8,2)內(nèi)為減函數(shù)，且/0+2)為偶函數(shù)，則/(一1),/(4),

裝)的大小關(guān)系為.()

A./(4)</(-I)</(y)B./(-1)</(4)</(當(dāng)

c./(y)<”4)</(-I)D./(—1)</"怎)<”4)

5.已知/(乃是定義域?yàn)?-8,+8)的奇函數(shù)，滿足/(1一乃=/(1+久)，若-1)=2,則/(1)+

f(2)+f(3)+…+/50)=()

A..50B.0C.2D.50

6.若函數(shù)/(%)=/++6在區(qū)間［0,1］上的最大值是M,最小值是相，則M-zn()

A.與a有關(guān)，且與b有關(guān)B.與a有關(guān)，但與b無關(guān)

C.與Q無關(guān)，且與b無關(guān)D.與Q無關(guān)，但與b有關(guān)

7.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,滿足f(x+1)=2f8,且當(dāng)久e(0,1］時,/(%)=x(x-1).若對

任意xe(-8,m］,都有f(x)2-《，則小的取值范圍是()

A.(一8,芻B.(一8,芻C.(一8,|］D.(一8,基

8.已知函數(shù)/'(x)=五五，則---/(1)+/(I)+/(2)H-----F/(2018)+

/(2019)=()

A竽B,等C.2019D.竽

244

9,定義在R上的函數(shù)/(久)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，且/(")滿足：對任意的看,%2G

(―8,2］(與豐巧)都有勺?出)<0,且f(4)=0,則關(guān)于x的不等式/<0的解集是()

A.(-00,0)U(4,+oo)B.(0,2)U(4,+oo)

C.(一8,0)U(0,4)D.(0,2)U(2,4)

10.已知函數(shù)人久)=恭，下列關(guān)于〃x)的性質(zhì)，推斷正確的有)

①函數(shù)的定義域?yàn)镽②函數(shù)是偶函數(shù)③函數(shù)f(x)與/'(X-2)的值域相同

④/(久)在(0,1)上遞增⑤f(x)在［1,2］上有最大值寺

A.2B.3C.4D.5

二、填空題(本大題共6小題，共30.0分)

11.函數(shù)f(x)=哼竽(|<x<4)的值域是.

12.已知/(石+2)=x+4a，則/'(久)的解析式為.

13.若函數(shù)/(*)=含在區(qū)間⑴i,2m+1)上是單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是.

14.已知偶函數(shù)f(x)和奇函數(shù)g(x)的定義域都是(-4,4),且在(-4,0］上的圖象如圖所示，則關(guān)

于工的不等式/(%)?g(%)<。的解集是.

15.已知a€R,函數(shù)/(久)=|x+g-a|+a在區(qū)間［1,4］上的最大值是5,貝！|a的取值范圍

是.

16.已知函數(shù)/(%)=\~f~2X，X\°則滿足f(2x-4)+/(2-%)>。的久的取值范圍是

lx—Zx,x<0

三、解答題(本大題共6小題，共72.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題12.0分)

已知/(久)滿足/(x)+f(y)=f(x+y)(x,yGR),且x>0時,f(x)<0.

(1)判斷/(x)的單調(diào)性并證明；

(2)證明/(T)=-/(x)；

(3)若/(I)=2解不等式/(2x-x2)+6>0.

18.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/⑺是定義在(-8,0)u(0,+8)上的偶函數(shù)，當(dāng)無>0時，f(x)=g±l,

(1)求/'(x)的解析式；

(2)討論函數(shù)“X)的單調(diào)性，并求f(x)的值域.

19.(本小題12.0分)

設(shè)函數(shù)f(x)=2x2+(x-2a)\x-a\.

(I)若函數(shù)”久)在［-2,1］上不單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(II)求函數(shù)/(%)在［—1,1］的最小值.

20.(本小題12.0分)

某市居民自來水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：每戶每月用水不超過4噸時每噸為1.80元，當(dāng)用水超過4噸時,

超過部分每噸3.00元，某月甲、乙兩戶共交水費(fèi)y元，已知甲、乙兩用戶該月用水量分別為5乃

3x(噸).

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)；

(2)若甲、乙兩戶該月共交水費(fèi)26.4元，分別求出甲、乙兩戶該月的用水量和水費(fèi).

(精確到0.1)

21.(本小題12.0分)

已知函數(shù)f(x)定義在上的奇函數(shù)，且/(1)=1,對任意a,be［-1,1］,a+bKO時,

㈤

f(a)+f>0成.

a+b

(1)解不等式六)；

(2)若/(x)<m2-2am+1對任意ae［-1,1］恒成立，求實(shí)數(shù)ni的取值范圍.

22.(本小題12.0分)

［2021東北育才學(xué)校高一期中］已知函數(shù)/(?(*GD),若同時滿足以下條件：

①/(%)在。上單調(diào)遞減或單調(diào)遞增；

②存在區(qū)間［a,b］UO,使/(久)在［a,切上的值域是［a,0，那么稱/(久)(久eD)為閉函數(shù).

(1)求閉函數(shù)/(X)=-/符合條件②的區(qū)間口切.

(2)判斷函數(shù)/(x)=2x+lgx是不是閉函數(shù)，若是，請找出區(qū)間［a,句；若不是，請說明理由.

(3)若“X)=k+SE是閉函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】

【分析】

本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想分類討論以及計(jì)算能力.屬于基礎(chǔ)題.

利用已知條件，求出a的值，然后求解所求的表達(dá)式的值即可.

【解答】

解：當(dāng)0<a<l時，a+l>l,/(a)=Va>f(a+1)=2(a+1-1)=2a,

???/(a)=/(a+l),

yfa=2a,解得a=:或a=。(舍去).

4

二,(A，⑷=2x(4-1)=6.

當(dāng)a>1時，a+1>2,

??./(a)=2(a—1),/(a+1)=2(a+1-1)=2a,

???2(a-1)=2a,無解.

當(dāng)a=l時，a+1=2,/(I)=0,/(2)=2,不符合題意.

綜上，/(A6.

故選c.

2.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查了函數(shù)圖象的識別和判斷，考查了函數(shù)的奇偶性和定義域，屬于中檔題.

利用函數(shù)的奇偶性和定義域進(jìn)行排除即可.

【解答】

解：由圖象可知y=/0)為偶函數(shù)，y=g(x)為奇函數(shù)，

所以V=f(x),9(久)為奇函數(shù)，排除B,

因?yàn)楹瘮?shù)y=g(x)的定義域?yàn)閧用久豐0},

所以函數(shù)y=f(x)gO)的定義域?yàn)椋鹸|x豐0),排除C,D,

故選A.

3.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查了抽象函數(shù)的定義域.

先通過函數(shù)f(2X-3)的定義域求出函數(shù)/(久)的定義域?yàn)椋?1,3),再求函數(shù)/(I-3x)的定義域.

【解答】

解：因?yàn)楹瘮?shù)f(2x-3)的定義域?yàn)椋?,3),

所以1<x<3,—1<2.x—3<3,

所以函數(shù)/(久)的定義域?yàn)?/p>

所以—1<1—3x<3,

所以—|<x<1.

所以函數(shù)f(l-3x)的定義域?yàn)?―抬］.

故選：D

4.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，〃久+2)為偶函數(shù)，可得函數(shù)f(x+2)的圖象關(guān)于x=0對稱,

則函數(shù)〃久)的圖象關(guān)于x=2對稱，利用f(x)在(-8,2)內(nèi)為減函數(shù)，即可得出結(jié)論.

【解答】

解：函數(shù)y=f(久+2)為偶函數(shù)，則函數(shù)y=f(久+2)的圖象關(guān)于％=0對稱，

則函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于*=2對稱,/怎)=/(—|)，m=f(0),

V-|<?1<0,Z(-|)>/(-I)>/(0),即/(4)</(—1)</管).

故選A.

5.【答案】C

【解析】

【分析】

本題主要考查函數(shù)值的計(jì)算，根據(jù)函數(shù)奇偶性和對稱性的關(guān)系求出函數(shù)的周期性是解決本題的關(guān)

鍵.

根據(jù)函數(shù)奇偶性和對稱性的關(guān)系求出函數(shù)/(久)是以4為周期的周期函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的周期性和奇偶

性進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.

【解答】

解：??,/(%)是定義域?yàn)?-8,+8)的奇函數(shù),且/(1-X)=/(I+%),

???/(0)=0,/(I-X)=/(I+X)=-/(X-1),

則/。+2)=則+4)=-fix+2)=f(x),

即函數(shù)〃久)是以4為周期的周期函數(shù)，

??"(1)=2,

”2)=-/(0)=0)/(3)=-/(I)=-2,

f(4)="0)=0,

則/(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0—2+0=0,

財(cái)⑴+f⑵+〃3)+…+f(50)

=12[/Q)+f(2)+f(3)+/(4)]+f(49)+/(50)

=〃1)+f(2)=2+0=2，

故選：C.

6.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵.

結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類討論不同情況下M-機(jī)的取值與a,b的關(guān)系，綜合可得答案.

【解答】

解：函數(shù)f(x)=/+ax+6的圖象是開口朝上且以直線x=—5為對稱軸的拋物線，

①當(dāng)—5>1或—2<0,即a<—2,或a>0時,

函數(shù)/■(%)在區(qū)間［0,1］上單調(diào)，

此時M—|/(1)-/(0)|=\a+l\,

故M-ni的值與a有關(guān)，與b無關(guān)；

1a

當(dāng)<<1

2---2--即一2<a<一1時,

函數(shù)/(久)在區(qū)間［0,-月上遞減，在［-熱1］上遞增,

且〃0)>/(1),

此時M—Tn=f(0)—f(——)=—>

L4

故M-m的值與a有關(guān)，與b無關(guān);

a1

<<

③當(dāng)0--2-2-即一1<aW0時,

函數(shù)f(%)在區(qū)間［0,一學(xué)上遞減，在［甘,1］上遞增，

且〃0)</(1),

此時M—m=f(1)—f(—^)=1+a+彳，

故M-ni的值與a有關(guān)，與b無關(guān)；

綜上可得："-爪的值與a有關(guān)，與b無關(guān).

故選：B.

7.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查了函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，屬于中檔題.

由/(久+1)=2/(久)，得/(x)=2/(x—1),分段求解析式，得值域，結(jié)合圖象可得結(jié)論.

【解答】

解:

因?yàn)閒(x+l)=2/Q),

；-f(x)=2/(x-1),

,比e(0,l]時，f(x)=x(x-1)G[-7,0])

xe(1,2]時,x—1G(0,1],f(%)=2,f(x—1)=2(%—1)(%—2)G[——,0]；

?*-xe(2,3]時，x—1G(172]?f(x)=2f(x—1)=4Q—2)(x—3)S[—1,0],

當(dāng)xE(2,3]時,由4(久—2)(%—3)=—《，解得x=(或x=!，

若對任意xG(-co,m],都有/(久)>-|,則m<1.

故選8.

8.【答案】B

【解析】

【分析】

此題考查函數(shù)求值.

1

-1+X1

X

根據(jù)/。）+片）---

12

-

X

【解答】

1

解：因?yàn)椤ň?+/匕)=/+系1=摧方，”1)=;，

X

所以f(嘉)+f(嘉)+…+型)+f⑴+f(2)+-+〃2。18)+/(2019)

="2018+,=竿.

故選艮

9.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的對稱性，屬于中檔題.

由已知可得函數(shù)〃久)在(-8,2］上為減函數(shù),且f(4)=0,結(jié)合函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱,

可得：〃久)在［2,+8)上為增函數(shù)，且f(0)=0,分類討論可得答案.

【解答】

解：???對任意的久1，叼e(-8,2］(久1H久2)都有駕三口<0，

%2

二函數(shù)fO)在(-8,2］上為減函數(shù)，且/■(4)=0,

又由函數(shù)/(%)的圖象關(guān)于直線％=2對稱，

.-?/0)在［2,+8)上為增函數(shù)，且/(0)=0,

當(dāng)久6(-8,0),/(x)>0,滿足華^<0,

當(dāng)工€(0,4),/(%)<0,滿足竽V0,

當(dāng)％E(4,+00),/(%)>0,不滿足^^<0,

綜上可得：x6(—00,0)U(0,4).

故答案選：C.

10.【答案】B

【解析】

【分析】

本題主要考查了函數(shù)的定義域與值域，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的奇偶性等知識點(diǎn).

根據(jù)解析式求得定義域，利用基本不等式可求得八支)的最值.

【解答】

解：?.?函數(shù)/(%)=缶5.?.定義域是(一8,+8),故①正確；

/(-久)=(戛+2=一=-IO),故函數(shù)為奇函數(shù)，②不正確；

當(dāng)x=0時,/(%)=0,

1

當(dāng)％W0時，/(x)=~~2,

x+x

2

令。(久)=%+-，

由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知：gCr)=x+|的值域?yàn)?一8,—2/］u［2V2,+oo)

???/?⑺的值域是「匕外

令t=x—2,則〃1)=品，同上得值域?yàn)椋邸?,=］，故③正確；

1

g(x)=久+29在(0,1)上單調(diào)遞減，財(cái)^^Q在(0,1)上單調(diào)遞增，故④正確;

由基本不等式當(dāng)X=&時，f(X)max=W=%故⑤錯誤；

2+24

綜上，①③④正確.

故選B.

11.【答案】［8巧

【解析】

【分析】

本題主要考查對勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用基本不等式求最值，求函數(shù)值域，屬于拔高題.

將原函數(shù)化為f(x)=。-1)+言+4,由對勾函數(shù)的性質(zhì)可得/(%)在［|,3］單調(diào)遞減;/(x)在［3,4］

單調(diào)遞增，求出區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，可得值域.

【解答】

2

解：由/?(%)=*+?+1X—2x+l+4x—4+4

x—1

2

(%—l)+4(x—1)+4(…)+去4+4,

x—1

得：當(dāng)％>1時，/(%)>2J(x-1)(言)+4=8，當(dāng)且僅當(dāng)久-1=言，即(x-I)2=4,即x=3

時，等號成立.

根據(jù)“雙勾函數(shù)”模型，有/。)在(1,3)單調(diào)遞減；/(%)在(3,+8)單調(diào)遞增，

o〃/3、，3y、4.25

所以/(?在信,3］單調(diào)遞減；/⑸在［3,4］單調(diào)遞增，又〃2)=(2-1)^4二彳；"4)=(4—

N21

425

D+口+4設(shè)

所以當(dāng)|wxW4時，/(乃的值域?yàn)椋?,：］.

故答案為［8,弓］.

12.【答案】/(%)=/_4,(久》2)

【解析】

【分析】

本題考查函數(shù)解析式的求法，屬于中檔題.

依題意，利用換元法，令?+2=t"》2得4)=嚴(yán)—4(峰2),進(jìn)而求得函數(shù)f(x)的解析式.

【解答】

解：令?+2=t,t>2,貝！ia=t-2,

所以/(t)=(t—2尸+4(t—2)=/—4,t》2,

所以f(x)=x2-4,(%>2).

故答案為f(x)=4-4,(%》2).

13.【答案】(一1,0]

【解析】

【分析】

本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，屬于較難題.

易知f(x)為定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，研究函數(shù)gQ)=久+;的性質(zhì)可得到f(x)的單調(diào)性，即可求解.

【解答】

解：易知為定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，

當(dāng)萬豐0時，函數(shù)/(x)=券變形為"X)=用，

設(shè)g(x)=x+pg(久)在(0,1)單調(diào)遞減，在(1,+8)單調(diào)遞增，

所以〃久)在(0,1)單調(diào)遞增，在(1,+8)單調(diào)遞減，又/(X)為連續(xù)的奇函數(shù)，/(0)=0,

所以/(?在R上的單調(diào)增區(qū)間為[—1,1],

則由題意可得，

m<2m+1

m>—1

2m+1<1

解得一1<zn<0

故答案為(-1,0].

14.【答案】(—4,—2)U(0,2)

【解析】

【分析】

本題考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，函數(shù)圖象的意義.

令h(x)=”久)9(久)，根據(jù)h(x)的奇偶性和函數(shù)圖象得出不等式的解.

【解答】

解：設(shè)無(久)=f(x)g(x),定義域是(-4,4),關(guān)于原點(diǎn)對稱,

則h(-x)==-f(x)gO)=

h(x)是奇函數(shù),

由圖象可知：當(dāng)一4<%<—2時,/(%)>0,g(x)<0,即％(x)<0,

當(dāng)0<x<2時,/(x)<0,g(x)>0,即h(x)<0,

???h(x)<0的解為(-4,-2)U(0,2).

故答案為(一4,-2)U(0,2).

15.【答案】(—8,|]

【解析】

【分析】

通過轉(zhuǎn)化可知|x+±-a|+aW5且aW5,進(jìn)而解絕對值不等式可知2a-5Wx+&W5,進(jìn)而計(jì)

1XX

算可得結(jié)論.

本題考查函數(shù)的最值，考查絕對值函數(shù)，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，注意解題方法的積累，屬于中檔

題.

【解答】

解：由題可知|汽+：—a|+a<5,即|%+：—a|<5—a,所以。45,

又因?yàn)閨%+:-a]<5—a,

所以+-外

所以2a—54%+'<5,

X

又因?yàn)?<%+-<5,

x

所以2a-5W4,解得aW,

故答案為:（-oo,|],

16.【答案】（一8,2）

【解析】

【分析】

本題主要考查了分段函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性和不等式求解，考查學(xué)生的計(jì)算能力和推理能

力，難度適中.

根據(jù)題意可得函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性即可解得x的取值.

【解答】

解「?函數(shù)中）力黑黃

可得函數(shù)圖象如下:

可知函數(shù)/(X)為奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞減，

由/(2x-4)+/(2-x)>0,貝!]/(2x-4)>—f(2-x),

y(2x—4)〉f(x—2),即2x—4<x—2,

解得比<2,即“2久-4)+/(2-%)>0的x的取值范圍為(一8,2),

故答案為(-8,2).

17.【答案】解：(1)設(shè)的<右則冷一/>0,

???f(x2-X1)<0,

又f(X[)+/(x2-%1)=/(%2)，

即/■(久2)—fg=/(X2-%1)<0,

???r(%2)</(/)，

/(x)是定義在R上的減函數(shù).

(2)由/(久)+f(y)=f(x+y)得:f(x)+/(-%)=((0).

又/(0)+/(0)=/(0)n/(0)=0,

???/(-x)+/(久)=0,

即f(T)=-/(X).

(3)/(l)=2nf(2)=f(l)+f(l)=4,

f⑶=〃2)+f⑴=6,

???f(2x—x2)+6>0.

BP/(2x-x2)>—"3)=/(—3),

又/(久)是定義在R上的減函數(shù)，

???2x-x2<—3,

...不等式的解為{x|x<—1或x>3}.

【解析】本題考查抽象函數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，以及單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用，屬于中

檔題.

(1)設(shè)％1<小，則乂2-打>。，/(X2-Xx)<0,又/'(小)一/(刀1)=-％1)<0，可得/(X)是定

義在R上的減函數(shù).

(2)由題意得：/(x)+/(-x)=/(0),又f(0)+f(0)=f(0)nf(0)=0,即/(—x)=—/(>).

(3)原不等式即/(2x-*2)>一/?)=/(-3),貝!]2%-*2<一3,求解即可.

18.【答案】解:(1)當(dāng)％<0時，-x>0,

22

所以/'（一久）=(―%)+(—x)+4_x—%+4

由于/（%）是偶函數(shù)，貝行（一%）=/（%）,

即當(dāng)尤＜0時，/Q）=—七出

綜上所述，函數(shù)/（?的解析式為f。）=

X

44

(2)任取0<Xi<叼，貝!1/Q1)-〃久2)=x+--x--

1人12人2

=(%—冷)(《-1)=(/—%2)(1—六)=(%1—冷)(^^)，

當(dāng)0<乂1<久2<2時，%1—x2<0,xrx2-4<0,xrx2>0,

所以即fOi)-y(x2)>o>即/'(久i)>/(x2))

所以/(久)在(0,2)上為單調(diào)減函數(shù)，

當(dāng)2<乂1<%2時，%1—x2<0,%1%2-4>0,%1%2>0>

所以即/O1)—/(%2)<0,即/'(Xi)</(X2)'

所以f(x)在(2,+8)上為增函數(shù).

又因?yàn)楹瘮?shù)/(%)是定義在(-8,0)U(0,+8)上的偶函數(shù)，

所以當(dāng)x<0時，函數(shù)f(x)在(-8,-2)上為減函數(shù)，在(-2,0)上為增函數(shù)，

綜上.函數(shù)/(%)在(-8,-2)和(0,2)上為單調(diào)減函數(shù)，在(-2,0),(2,+8)上為單調(diào)增函數(shù).

當(dāng)x>0時，/(%)=*+工+4=%+-+1>2lx--+1=5，

八，XXyX

當(dāng)且僅當(dāng)x=3,即x=2時，取等號，

X

又函數(shù)/(X)是定義在(一8,0)U(0,+8)上的偶函數(shù)，

所以值域?yàn)閒(x)G[5,+8).

【解析】本題主要考查了利用函數(shù)的奇偶性求解函數(shù)解析式及利用定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，屬于

拔高題.

(1)先設(shè)久<0時，-刀>0,然后根據(jù)/'(X)是偶函數(shù)及x>0時/(X)的解析式即可求解；

(2)先取0<%2,然后根據(jù)作差法比較/(久1)與f(久2)的大小，判斷函數(shù)在區(qū)間(0,+8)上的單調(diào)

性，即可討論函數(shù)〃久)的單調(diào)性，利用基本不等式求值域.

19.【答案】解:/(x)=笆;3ax+2a2,x>a,

1%+3ax—2a,x<a

222

設(shè)/i(%)=3/—3ax+2al/2(x)=%+3ax—2a,

(I)當(dāng)a20時，/(%)在(一8,-|砂上遞減，在(-竽,上遞增，函數(shù)/(X)在［—2,1］上不單調(diào),

3

-2<--a<l)0<a<4

(a>0§

當(dāng)a<0時，/(%)在(一8,；。)上遞減，在(3,+8)上遞增，函數(shù)/(汽)在［_21］上不單調(diào)，則

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍(一4片)

(II)當(dāng)a20時，—苧WOWa此時，

①—當(dāng)WT時,a>l，/(久)在［—1,1］上單調(diào)遞增，

f(.x)min=/2(-1)=1_3a_2a2,

②一當(dāng)>—1,0Sa<|時,/(x)在［―1,—上遞減,在［—稱,1］上遞增,

yWmin=/2(-|a)=-ya2'

當(dāng)a<0時，a<微<0,止匕時，

1

好a

2-faW—2時,f(%)在［-1,1］上遞增,

f(x)min=71(-1)=3+3a+2a2，

②*—1,—2<a<0時，/(%)在［―1,芻上遞減，在岑1］上遞增，

/Wmin=A(5=|a2-

綜上，函數(shù)/(久)在的最小值為，

a?+3a+3.a4—2

5次

咚,一2<a<0

4

={17a2?2,

一丁，04a<-

4o

2

-2az7—3a+。§

【解析】本題考查函數(shù)的單調(diào)性和最值的求法，考查了分類討論的思想方法，屬于拔高題.

(I)分a2。和a<0兩種情況討論即可求解.

2222

(II)設(shè)九(久)=3x—3ax+2a,f2(x')=x+3ax-2a,

當(dāng)a>0時，分a>|和0<a<|兩種情況討論，

當(dāng)a<0時，分a<一2和—2<a<0兩種討論即可求解.

20.【答案】解：⑴由題意知：x>0,令5尤=4,得久=也令3x=4,得x=g.

貝1J當(dāng)0<%<1時，

y=(5%+3%)x1.8=14.4%

當(dāng)(<xW軻,

4

y=4x1.8+(%—耳)X5X3+3x,1.8=20.4x—4.8

當(dāng)%>Q時'y=(4+4)X1.8+(———)x5x3+3x5(%——)+3x3(x—=24%—9.6

14.4%；(0<x<^)

^0.4%-4.8；(^<%<1)

(24%-9.6；(久>§

(2)由于y=/(X)在各段區(qū)間上均單增，

當(dāng)xeM芻時，y</(^)<26.4

當(dāng)守時，y<f(^)<26.4

當(dāng)xe《，+8)時，令24%—9.6=26.4,得久=1.5

所以甲戶用水量為5x=7.5噸，付費(fèi)S］=4x1.8+3.5x3=17.70元

乙戶用水量為3x=4.5噸，

付費(fèi)52=8.7元

【解析】⑴由題意知：x>0,令5x=4,得x=也令3x=4,得x=g,將x取值范圍分三段，求

對應(yīng)函數(shù)解析式可得答案.

(2)在分段函數(shù)各定義域上討論函數(shù)值對應(yīng)的x的值.

本題是分段函數(shù)的簡單應(yīng)用題，關(guān)鍵是列出函數(shù)解析式，找對自變量的分段區(qū)間.

21.【答案】解：⑴???函數(shù)定義在［—1,1］上的奇函數(shù),

任取向<x2e［-1,1］,

,:對任意a,be[—1,1],a+bKO時，有〉0成立.

L」a+b

/(%1)+f(-%2)

?-/(%1)-/(汽2)=/。1)+2)