人教版高中數(shù)學(xué)必修二同步學(xué)習(xí)講義：空間幾何體的三視圖和直視圖（含答案）

1.2.3空間幾何體的直觀圖

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握斜二測(cè)畫法的作圖規(guī)則2會(huì)用斜二測(cè)畫法畫出簡(jiǎn)單幾何體的直觀圖.

IT問題導(dǎo)學(xué)

知識(shí)點(diǎn)斜二測(cè)畫法

思考1邊長(zhǎng)2cm的正方形A8CD水平放置的直觀圖如下，在直觀圖中，A'B'與。D'

有何關(guān)系？A'D'與B'C'呢？在原圖與直觀圖中，4B與A'B'相等嗎？與4D'

呢？

答案A'B'//CD',A'D'//B'C,A.'B'=AB,A'D'=|AZ).

思考2正方體ABC。一AliChDi的直觀圖如圖所示，在此圖形中各個(gè)面都畫成正方形了嗎？

答案沒有都畫成正方形.

梳理(1)用斜二測(cè)畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的規(guī)則

(2)立體圖形直觀圖的畫法規(guī)則

畫立體圖形的直觀圖，在畫軸時(shí)，要多畫一條與平面/O'y'垂直的軸O'z'，且平行于

O'z'的線段長(zhǎng)度不變，其他同平面圖形的畫法.

2題型探究

類型一平面圖形的直觀圖

例1畫出如圖水平放置的直角梯形的直觀圖.

解(1)在已知的直角梯形08co中，以底邊08所在直線為x軸，垂直于08的腰。。所在

直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系.畫出相應(yīng)的『軸和y'軸，使O'y'=45。，如圖(1)(2)

所示.

(2)在一軸上截取O'B'=OB,在y'軸上截取D'=|oD,過點(diǎn)。'作『軸的平行

線/,在/上沿『軸正方向取點(diǎn)C'使得。'C=￡>C連接/C,如圖(2).

(3)所得四邊形O'B'CD'就是直角梯形OBCD的直觀圖，如圖(3).

例1中的直角梯形改為等腰梯形，其直觀圖如何？

解畫法：(1)如圖所示，取AB所在直線為x軸，中點(diǎn)。為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，畫

對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)系/O'y',使//O'y'=45°.

(2)以。'為中點(diǎn)在『軸上取A'B'=AB,在y軸上取。E'=^0E,以史為中點(diǎn)畫出

CD'//x'軸，并使C，D'=CD.

(3)連接3'C,D1A,,所得的四邊形A'B'CD'就是水平放置的等腰梯形A3CD的

直觀圖.

反思與感悟(1)本題利用直角梯形互相垂直的兩邊建系，使畫直觀圖非常簡(jiǎn)便.

(2)在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時(shí)，選取適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系是關(guān)鍵之一，一般要使平面

多邊形盡可能多的頂點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上，以便于畫點(diǎn).原圖中不平行于坐標(biāo)軸的線段可以通過

作平行于坐標(biāo)軸的線段來作出其對(duì)應(yīng)線段.關(guān)鍵之二是確定多邊形頂點(diǎn)的位置，借助于平面

直角坐標(biāo)系確定頂點(diǎn)后，只需把這些頂點(diǎn)順次連接即可.

跟蹤訓(xùn)練1用斜二測(cè)畫法畫邊長(zhǎng)為4cm的水平放置的正三角形（如圖）的直觀圖.

解（1）如圖①所示，以邊所在的直線為x軸，以邊上的高線所在的直線為y軸建

立平面直角坐標(biāo)系.

0cxB'/O'C

（2）畫出對(duì)應(yīng)的尤'軸、y'軸，使//O'y'=45°.

在x'軸上截取0,B'=0'C=2cm,在y'軸上截取0,A'=^0A,連接A'B',

A'C,則三角形A'B'C即為正三角形ABC的直觀圖，如圖②所示.

類型二直觀圖的還原與計(jì)算

命題角度1由直觀圖還原平面圖形

例2如圖所示，AA'B'C是水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖，將其還原成平面圖

形.

Ir

O'/D'A'""x'

解①畫出直角坐標(biāo)系xOy,在無軸的正方向上取。4=0,A',即CA=C'A'；

②過"作"D'//y'軸，交一軸于點(diǎn)，在。4上取00=0D',過Z）作。B〃y

軸，且使。8=2。'B'；

③連接A3,BC,得△ABC.

則△ABC即為B'C對(duì)應(yīng)的平面圖形，如圖所示.

DAx

反思與感悟由直觀圖還原平面圖形的關(guān)鍵：（1）平行一軸的線段長(zhǎng)度不變，平行/軸的

線段擴(kuò)大為原來的2倍；（2）對(duì)于相鄰兩邊不與『、y'軸平行的頂點(diǎn)可通過作一軸，y'軸

平行線變換確定其在xOy中的位置.

跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，矩形O'A'B'C是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中

O'A'=6cm,CD'=2cm,則原圖形是.

答案菱形

解析如圖所示，在原圖形。48c中，應(yīng)有D'=2X2吸=4姬（cm）,CD=C'D'

=2(cm),OC^yjOD^Cb2=^/(4-\/2)2+22=6(cm),：.OA=OC,故四邊形O4BC是菱形.

命題角度2原圖形與直觀圖的面積的計(jì)算

例3如圖所示，梯形AiSGd是一平面圖形ABC。的直觀圖.若4?！ā?<,Ai3i〃GA，

2_

ALBI=§G￡）I=2,0=1.試畫出原四邊形的形狀，并求出原圖形的面積.

解如圖，建立直角坐標(biāo)系尤Oy,在x軸上截取

O'￡>i=l,OC=O'Ci=2.

在過點(diǎn)。的y軸的平行線上截取DA=2DiAi=2.

在過點(diǎn)A的x軸的平行線上截取AB=AiBi=2.

連接BC,即得到了原圖形.

由作法可知，原四邊形是直角梯形，上、下底長(zhǎng)度分別為AB=2,CD=3,直角腰的

長(zhǎng)度4。=2,

所以面積為S=”-X2=5.

反思與感悟（1）由原圖形求直觀圖的面積，關(guān)鍵是掌握斜二測(cè)畫法，明確原來實(shí)際圖形中的

高，在直觀圖中變?yōu)榕c水平直線成45。角且長(zhǎng)度為原來一半的線段，這樣可得出所求圖形相

應(yīng)的高.

（2）若一個(gè)平面多邊形的面積為S,它的直觀圖面積為S',則S'=坐5.

跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，一個(gè)水平放置的三角形的斜二測(cè)直觀圖是等腰直角三角形

A'B'O',若B'=1,那么原三角形A3。的面積是（）

B坐

C.^2D.2^2

答案C

解析直觀圖中等腰直角三角形直角邊長(zhǎng)為1,因此面積為3,又直觀圖與原平面圖形面積比

為也：4,所以原圖形的面積為也，故選C.

類型三空間幾何體的直觀圖

例4用斜二測(cè)畫法畫出正六棱柱（底面為正六邊形，側(cè)面為矩形的棱柱）的直觀圖.（尺寸自

定）

解如圖所示.

①畫軸,畫出x軸，y軸，z軸，使/xOy=45。，ZxOz—90°.

②畫底面.畫出正六邊形的直觀圖A2CDEE

③畫側(cè)棱.過A,B,C,D,E,F各點(diǎn)分別作z軸的平行線，并在這些平行線上分別截取長(zhǎng)

度相等的線段A4',BB',CC',DD',EE',FF'.

④連線成圖.順次連接A',正，C',O',E',『，并加以整理，就得到底面為正六

邊形，側(cè)面為矩形的正六棱柱.

反思與感悟簡(jiǎn)單幾何體直觀圖的畫法

（1）畫軸：通常以高所在直線為z軸建系.

(2)畫底面：根據(jù)平面圖形直觀圖的畫法確定底面.

(3)確定頂點(diǎn)：利用與z軸平行或在z軸上的線段確定有關(guān)頂點(diǎn).

(4)連線成圖.

跟蹤訓(xùn)練4用斜二測(cè)畫法畫出六棱錐尸一尸的直觀圖，其中底面為正六邊

形，點(diǎn)尸在底面上的投影是正六邊形的中心。(尺寸自定)

解畫法：

(1)畫出六棱錐尸一ABCOEF的底面.①在正六邊形ABCDEF中，取所在的直線為無軸，

對(duì)稱軸所在的直線為y軸，兩軸相交于點(diǎn)。，如圖(1),畫出相應(yīng)的『軸、y'軸、z'

軸，三軸相交于。'，使O'y'=45°,O'z'=90°,如圖(2)；②在圖⑵中，以

O'為中點(diǎn)，在/軸上取A'D'=AD,在<軸上取N'=1w,以點(diǎn)N'為中點(diǎn)，

畫出BC平行于『軸，并且等于BC,再以為中點(diǎn)，畫出E'F'平行于『軸，并

且等于EF；③連接A'B',CD',D'E',F'A'得到正六邊形ABCOEF水平放置的

直觀圖A'B'CD'E'F'.

(2)畫出正六棱錐P—A8CDEF的頂點(diǎn)，在z'軸正半軸上截取點(diǎn)P',點(diǎn)P'異于點(diǎn)。'.

(3)成圖.連接PA',P'B',P'C,P'D',P'E',P'F',并擦去一軸、y'

軸和z'軸，便可得到六棱錐P-ABCDEF的直觀圖P'一A，B'CD'E'F

3

1.利用斜二測(cè)畫法畫出邊長(zhǎng)為3cm的正方形的直觀圖，正確的是圖中的()

4?L5LIL5//

3333

ABCD

答案c

解析正方形的直觀圖應(yīng)是平行四邊形，且相鄰兩邊的邊長(zhǎng)之比為2：1.

2.如圖所示為一平面圖形的直觀圖，則此平面圖形可能是下圖中的()

/o'

ABCD

答案c

解析在X軸上或與X軸平行的線段在新坐標(biāo)系中的長(zhǎng)度不變，在y軸上或平行于y軸的線

段在新坐標(biāo)系中的長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉淼?并注意到/。=90。，O'y'=45°,因此由直

觀圖還原成原圖形為選項(xiàng)C.

3.若一個(gè)三角形采用斜二測(cè)畫法，得到的直觀圖的面積是原三角形面積的（）

A坐倍B.2倍C.坐倍DS倍

答案A

4.如圖，水平放置的△ABC的斜二測(cè)直觀圖是圖中的△?!'B'C',已知A'C=6,B'C

=4,則AB邊的實(shí)際長(zhǎng)度是.

答案10

解析在原圖中，AC=6,BC=4X2=8,90°,

.*.AB=^/62+82=10.

5.畫出一個(gè)正三棱臺(tái)的直觀圖.（尺寸：上、下底面邊長(zhǎng)分別為1cm,2cm,高為2cm）

解（1）作水平放置的下底面等邊三角形的直觀圖△ABC,其中。為△ABC的重心,BC=2cm,

線段4。與x軸的夾角為45。，49=2。。

（2）過。作z軸，使/xOz=90。，在z軸上截取。O'=2cm,作上底面等邊三角形的直觀圖

△A'B'C,其中夕C=1cm,連接44',BB',CC',得正三棱臺(tái)的直觀圖.

L規(guī)律與方法--------------------------------1

1.畫水平放置的平面圖形的直觀圖，關(guān)鍵是確定直觀圖的頂點(diǎn).確定點(diǎn)的位置，可采用直角

坐標(biāo)系.建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是迅速作出直觀圖的關(guān)鍵，常利用圖形的對(duì)稱性，并讓頂點(diǎn)盡量

多地落在坐標(biāo)軸上或與坐標(biāo)軸平行的直線上.

2.用斜二測(cè)畫法畫圖時(shí)要緊緊把握?。骸耙恍薄?、“二測(cè)”兩點(diǎn)：

（1）一斜：平面圖形中互相垂直的。尤、Oy軸，在直觀圖中畫成O'x'、O'y'軸，使

//O'y'=45?；?35°.

（2）二測(cè)：在直觀圖中平行于x軸的長(zhǎng)度不變，平行于y軸的長(zhǎng)度取一半，記為“橫不變，縱

折半”.

課時(shí)作業(yè)

一、選擇題

1.在用斜二測(cè)畫法畫水平放置的△ABC時(shí)，若NA的兩邊分別平行于無軸、y軸，則在直觀

圖中NA'等于（）

A.45°B.135°

C.90°D.45°或135°

答案D

解析因?yàn)?A的兩邊分別平行于x軸、y軸，故/A=90。，在直觀圖中，按斜二測(cè)畫法規(guī)

則知Nx'O'y'=45。或135。，即/A'=45?；?35。，故選D.

2.下面每個(gè)選項(xiàng)的2個(gè)邊長(zhǎng)為1的正△ABC的直觀圖不是全等三角形的一組是（）

XU4k

AO\Bxo\ABXAB\OxO\AB~x

AB

k1kL

%

O\ABxCy/C__xBx

CD

答案c

解析可分別畫出各組圖形的直觀圖，觀察可得結(jié)論.

3.如圖所示，△&'B'C是水平放置的△ABC的斜二測(cè)直觀圖,其中O'C=O'A'=

20'B',則以下說法正確的是（）

c/o'

A.△ABC是鈍角三角形

B.△ABC是等腰三角形，但不是直角三角形

C.△ABC是等腰直角三角形

D.△ABC是等邊三角形

答案c

4.關(guān)于斜二測(cè)畫法所得直觀圖，以下說法正確的是（）

A.等腰三角形的直觀圖仍是等腰三角形

B.正方形的直觀圖為平行四邊形

C.梯形的直觀圖不是梯形

D,正三角形的直觀圖一定為等腰三角形

答案B

解析由直觀圖的性質(zhì)知B正確.

5.下列直觀圖是將正方體模型放置在你的水平視線的左下角而繪制的是（）

答案A

解析由題意應(yīng)看到正方體的上面、前面和右面，由幾何體直觀圖的畫法及直觀圖中虛線的

使用，可知A正確.

6.已知一個(gè)正方形的直觀圖是一個(gè)平行四邊形，其中有一邊長(zhǎng)為4,則此正方形的面積為

（）

A.16B.64

C.16或64D.無法確定

答案C

解析等于4的一邊在原圖形中可能等于4,也可能等于8,所以正方形的面積為16或64.

7.如圖，用斜二測(cè)畫法畫一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖為一個(gè)正方形，則原來圖形的形

狀是（）

答案A

解析直觀圖中正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為啦，故在平面圖形中平行四邊形的高為2吸，只有A項(xiàng)

滿足條件，故A正確.

8.已知兩個(gè)底面半徑相等的圓錐，底面重合在一起（底面平行于水平面），其中一個(gè)圓錐頂點(diǎn)

到底面的距離為2cm,另一個(gè)圓錐頂點(diǎn)到底面的距離為3cm,則其直觀圖中這兩個(gè)頂點(diǎn)之間

的距離為()

A.2cmB.3cmC.2.5cmD.5cm

答案D

解析圓錐頂點(diǎn)到底面的距離即圓錐的高，故兩頂點(diǎn)間距離為2+3=5(cm),在直觀圖中與z

軸平行的線段長(zhǎng)度不變，仍為5cm.故選D.

二、填空題

9.在斜二測(cè)畫法中，位于平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)"(4,4)在直觀圖中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是M',則點(diǎn)

M'的坐標(biāo)為.

答案(4,2)

解析由直觀圖畫法“橫不變，縱折半"可得點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,2).

10.在如圖所示的直觀圖中，四邊形O'A'B'C為菱形且邊長(zhǎng)為2cm,則在坐標(biāo)系xOy

中原四邊形。為(填形狀)，面積為cm2.

答案矩形8

解析由題意結(jié)合斜二測(cè)畫法，可得四邊形0A8C為矩形，其中OA=2cm,OC=4cm,

四邊形0A8C的面積為S=2X4=8(cm2).

11.如圖所示，四邊形0A8C是上底為2,下底為6,底角為45。的等腰梯形，用斜二測(cè)畫法

畫出這個(gè)梯形的直觀圖?！瓵'B'C,則在直觀圖中，梯形的高為.

答案1

解析作C。、于點(diǎn)。、區(qū)

OA-BC

則OD=EA=―=2(cm),

OD=CD=2cm,

???在直觀圖中梯形的高為Tx2=l(cm).

三、解答題

12.如圖所示，畫出水平放置的四邊形OBCD的直觀圖.

解(1)過點(diǎn)C作CE_Lx軸，垂足為E,如圖(1)所示.畫出對(duì)應(yīng)的尤'軸,/軸，使/尤'O'y'

=45°,如圖(2)所示.

(2)如圖(2)所示，在一軸正半軸上取點(diǎn)"，E',使得。B'=0B,O'E'=0E；在/

正半軸上取一點(diǎn)。'，使得D'=10D；過E'作E'C//y'軸，使C=|EC.

(3)連接"C,CD',并擦去/軸與/軸及其他一些輔助線，如圖(3)所示，四邊形

O'B'CD'就是所求作的直觀圖.

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