（寒假）人教A版高二數學寒假培優(yōu)講義+隨堂檢測+課后練習 第03講 數列求和方法（原卷版）

第第頁第03講數列求和方法一．公式法：直接利用等差數列、等比數列的前n項和公式求和．1.等差數列的前n項和公式Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d．2.等比數列的前n項和公式Sn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1（1－qn）,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))二．裂項相消法1.通項特征（1）分式：分為可拆成偶數個同類因式相乘（2）根式：利用平方差公式進行有理化2.解題思路三．錯位相減法1.通項特征或2.解題思路四．分組轉化求和法1.通項特征(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數列，可采用分組求和法求{an}的前n項和．(2)若an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(bn，n為奇數，,cn，n為偶數，))且數列{bn}，{cn}是等比數列或等差數列，可采用分組求和法求和．2.解題思路五．并項求和法：一個數列的前n項和中，可兩兩結合求解，則稱之為并項求和1.通項特征形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解．2.解題思路五．倒序相加法如果一個數列{an}的前n項中，與首末兩端等“距離”的兩項的和相等，那么求這個數列的前n項和即可用倒序相加法求解1．并項求和時不能準確分組；2．用錯位相減法求和時易出現符號錯誤，不能準確“錯項對齊”；3．在應用裂項相消法求和時，要注意消項的規(guī)律具有對稱性，即前面剩多少項，后面就剩多少項，且前后對應項的符號相反．考法一裂項相消求和【例1-1】已知等差數列的公差為正數，且，若分別是等比數列的前三項．(1)分別求數列、的通項公式；(2)求數列的前項之和．【例1-2】已知數列的前項和為，且.(1)求數列的通項公式;(2)若，求數列的前項和.【一隅三反】1．定義：對于任意一個有窮數列，第一次在其每相鄰的兩項間都插人這兩項的和，得到的新數列稱之為一階和數列，如果在一階和數列的基礎上再在其相鄰的兩項間插入這兩項的和稱之為二階和數列，以此類推可以得到n階和數列，如的一階和數列是，設它的n階和數列各項和為．(1)試求的二階和數列各項和與三階和數列各項和，并猜想的通項公式（無需證明）；(2)若，求的前n項和，并證明：．2．已知數列滿足．(1)證明為等差數列，并的通項公式；(2)設，求數列的前項和．3.設為數列的前項和，已知，且滿足．(1)求數列的通項公式；(2)設為數列的前項和，當時，．若對于任意，有，求取值范圍．考法二錯位相減求和【例2】已知數列滿足，（）.記(1)求證：是等比數列；(2)設，求數列的前項和.【一隅三反】1．已知數列的前項和為，且.(1)求數列的通項公式；(2)設，求數列的前項和.2.記正項數列的前項和為，已知點在函數的圖象上，且，數列滿足，．(1)求數列，的通項公式；(2)設，求數列的前項和．考法三分組轉化求和【例3-1】已知等差數列滿足，．(1)求；(2)數列滿足，為數列的前項和，求．【一隅三反】1．設為公差不為0的等差數列的前項和，若成等比數列，.(1)求數列的通項公式；(2)設，求數列的前項和.2．已知是等差數列，，，且，，成等比數列.(1)求數列的通項公式；(2)令，記，求.考法四并項求和【例4-1】在數列中，，當時，(1)求證：數列是等差數列；(2)設，數列的前n項和為，求【例4-2】已知數列是公差不為0的等差數列，，且成等比數列.(1)求數列的通項公式；(2)設，求數列的前2023項和.【一隅三反】1．已知數列的前項和，其中，且.(1)求的通項公式；(2)設，求數列的前2023項和.2．記為數列的前項和，已知，且滿足.(1)證明：數列為等差數列；(2)設，求數列的前項和.考法五倒序相加求和【例5】高斯（Gauss）被認為是歷史上最重要的數學家之一，并享有“數學王子”之稱．小學進行的求和運算時，他這樣算的：，，…，，共有50組，所以，這就是著名的高斯算法，課本上推導等差數列前n項和的方法正是借助了高斯算法．已知正數數列是公比不等于1的等比數列，且，試根據以上提示探求：若，則（

）A．2023 B．4046 C．2022 D．4044【一隅三反】1．已知函數為奇函數，且，若，則數列的前2022項和為（

）A．2023 B．2022 C．2021 D．20202．已知數列的前n項和為，且，設函數，則______．數列章節(jié)檢測一、單選題1．設等差數列的前n項和為，若，則（

）A．44 B．48 C．55 D．722．設是公差大于零的等差數列，為數列的前項和，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．在等比數列中，公比，且，則（

）A．3 B．12 C．18 D．244．已知數列各項為正數，滿足，，則（

）A．是等差數列 B．是等比數列C．是等差數列 D．是等比數列5．已知正項數列的前n項和為，且，，則（

）A．B．C．D．6．已知函數，數列滿足，，，則（

）A．0 B．1 C．675 D．2023二、多選題7．對于數列，若，，則下列說法正確的是（

）A． B．數列是等差數列C．數列是等差數列 D．8．已知數列滿足為的前項和．則下列說法正確的是（

）A．取最大值時， B．當取最小值時，C．當取最大值時， D．的最大值為三、填空題9.已知數列滿足，數列的前項和為，則.10．已知各項都不為0的數列的前項和滿足，其中，設數列的前項和為，若對一切，恒有成立，則能取到的最大整數是.四、解答題11．在①為等差數列，；②；③是等差數列，，，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并加以解答.已知數列的前項和為，__________.(1)求的通項公式；(2)設，求數列的前項和.12．已知為數列的前項和，．(1)求數列的通項公式；(2)設，記的前項和為，證明：．13．已知數列中，，，（），，，，成等差數列．(1)求k的值和的通項公式；(2)設，求數列的前n項和．數列求和隨堂檢測1.已知等差數列與等差數列的前項和分別為和，且，那么的值為（

）A． B． C． D．2.在數列中，，數列是公比為2的等比數列，設為的前n項和，則（

）A．B．C．數列為遞減數列D．3.已知數列滿足，，則數列的通項公式為．4.已知數列是等差數列，，．(1)求數列的通項公式；(2)若，求數列的前n項和．5.已知數列的前項和為，．(1)證明：是等差數列；(2)求數列的前項積．5.已知數列的前項和為，且，，．(1)