材料力學(xué)（第2版）課件：桿件的變形分析B

桿件的變形分析(B)DeformationPARTB桿件的變形分析（B）Deformation（PARTB）4.3撓曲線近似微分方程4.4用積分法計(jì)算梁的變形4.5用疊加法計(jì)算梁的變形

梁必須有足夠的剛度，即在受載后不至于發(fā)生過大的彎曲變形，否則構(gòu)件將無法正常工作。例如軋鋼機(jī)的軋輥，若彎曲變形過大，軋出的鋼板將薄厚不均勻，產(chǎn)品不合格；如果是機(jī)床的主軸，則將嚴(yán)重影響機(jī)床的加工精度。4.3撓曲線近似微分方程4.3撓曲線近似微分方程取變形前的梁軸線為軸x，垂直向上的軸為軸y平面xy為梁的縱向?qū)ΨQ面

對(duì)稱彎曲的情況下，變形后梁的軸線將成為平面xy內(nèi)的一條曲線，稱為撓曲線。橫截面形心在y方向的位移撓度(deflection)

w橫截面對(duì)其原來位置轉(zhuǎn)過的角度

轉(zhuǎn)角(slope)q4.3撓曲線近似微分方程規(guī)定撓度w向上為正，轉(zhuǎn)角q逆時(shí)針為正。撓曲線方程截面轉(zhuǎn)角

q

就是軸

y

與撓曲線法線的夾角，小變形條件下轉(zhuǎn)角方程4.3撓曲線近似微分方程彎矩與曲率的關(guān)系：平面曲線的曲率數(shù)學(xué)計(jì)算：4.3撓曲線近似微分方程小變形條件下，撓曲線近似微分方程4.4用積分法計(jì)算梁的變形4.4用積分法計(jì)算梁的變形梁的撓曲線近似微分方程對(duì)上式進(jìn)行一次積分,可得到轉(zhuǎn)角方程再進(jìn)行一次積分,可得到撓曲線方程C和D是積分常數(shù)，需要通過邊界條件或者連續(xù)條件來確定其值。4.4用積分法計(jì)算梁的變形邊界條件

根據(jù)約束的性質(zhì)，確定約束處的撓度，轉(zhuǎn)角4.4用積分法計(jì)算梁的變形連續(xù)條件

在梁的彎矩方程分段處，截面轉(zhuǎn)角相等，撓度相等(撓曲線是光滑連續(xù)曲線)。若梁分為n段積分，則要出現(xiàn)2n個(gè)待定常數(shù)，總可找到2n個(gè)相應(yīng)的邊界條件或連續(xù)條件將其確定。4.4用積分法計(jì)算梁的變形

彎曲剛度為EI的簡(jiǎn)支梁如圖所示，在截面C處受一集中力F作用。求梁的撓度方程和轉(zhuǎn)角方程，并確定其最大撓度。4.4用積分法計(jì)算梁的變形（1）求約束反力FAFB（2）列出彎矩方程AC段CB段（3）建立撓曲線微分方程并積分；由于彎矩方程在C點(diǎn)處分段，故應(yīng)對(duì)AC和CB分別計(jì)算4.4用積分法計(jì)算梁的變形（3）建立撓曲線微分方程并積分；由于彎矩方程在C點(diǎn)處分段，故應(yīng)對(duì)AC和CB分別計(jì)算AC段CB段FAFB4.4用積分法計(jì)算梁的變形FAFB利用邊界條件和連續(xù)條件確定四個(gè)積分常數(shù)AC段CB段邊界條件:連續(xù)條件:代入以上各式

求得積分常數(shù)4.4用積分法計(jì)算梁的變形FAFBAC段CB段求最大撓度最大撓度位于此時(shí)代入得4.4用積分法計(jì)算梁的變形討論FAFB(1)在CB段內(nèi)積分時(shí)，對(duì)含有(x2－a)的項(xiàng)不展開，以(x2－a)為自變量進(jìn)行積分，可使確定積分常數(shù)的工作得到簡(jiǎn)化。(2)結(jié)果為負(fù)，表示撓度方向向下。4.4用積分法計(jì)算梁的變形FAFB(3)跨中撓度若若集中力作用于跨中，則若取極端情形，力

F

接近于右端支座b0w0此時(shí)而跨中撓度若用跨度中點(diǎn)撓度代替最大撓度，引起的誤差僅為2.6%

4.5用疊加法計(jì)算梁的變形4.5用疊加法計(jì)算梁的變形

在桿件符合線彈性、小變形的前提下，變形與載荷成線性關(guān)系，即任一載荷使桿件產(chǎn)生的變形均與其他載荷無關(guān)。這樣只要分別求出桿件上每個(gè)載荷單獨(dú)作用產(chǎn)生的變形，將其相加，就可以得到這些載荷共同作用時(shí)桿件的變形。這就是求桿件變形的疊加法。

在很多的工程計(jì)算手冊(cè)中，已將各種支承條件下的靜定梁在各種典型的簡(jiǎn)單載荷作用下的撓度和轉(zhuǎn)角表達(dá)式一一列出，稱為撓度表。實(shí)際工程計(jì)算中，往往只需要計(jì)算梁在幾個(gè)載荷作用下的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角，或某些特殊截面的撓度和轉(zhuǎn)角，此時(shí)用疊加法較為簡(jiǎn)便。4.5用疊加法計(jì)算梁的變形

如圖所示起重機(jī)大梁的自重為均布載荷，集度為q，集中力F=ql

作用于梁的跨度中點(diǎn)C。已知彎曲剛度EI，求跨度中點(diǎn)C的撓度。4.5用疊加法計(jì)算梁的變形=+=+4.5用疊加法計(jì)算梁的變形

類似于外伸梁和其它一些較為復(fù)雜結(jié)構(gòu)的梁的問題中，有些梁是不能直接查表進(jìn)行位移的疊加計(jì)算，需要經(jīng)過分析和處理才能查表計(jì)算。

一般的處理方式是把梁分段，并把每段按照受力與變形等效的原則變成表中形式的梁，然后查表按照疊加法求解梁的變形。也可將復(fù)雜梁的各段逐段剛化求解位移，最后進(jìn)行疊加來處理（逐段剛化法）。4.5用疊加法計(jì)算梁的變形例題4.5

如圖所示外伸梁，其外伸端受集中力F的作用，已知梁彎曲剛度EI，求外伸端C的撓度和轉(zhuǎn)角。4.5用疊加法計(jì)算梁的變形分析

在載荷F作用下，全梁均產(chǎn)生彎曲變形。變形在截面C引起的轉(zhuǎn)角和撓度，不僅與BC段的變形有關(guān)，而且與AB段的變形也有關(guān)。因此，可先將AB段“剛化”（假設(shè)其不變形），求出截面C相對(duì)截面B的撓度和轉(zhuǎn)角；再求AB段變形引起的截面C的牽連位移（此時(shí)，BC段被“剛化”）。4.5用疊加法計(jì)算梁的變形(1)只考慮BC段變形剛化ABBC段視為懸臂梁(2)只考慮AB段變形剛化BC段將力F向點(diǎn)B簡(jiǎn)化為一個(gè)力和一個(gè)力偶只需討論力偶M對(duì)梁AB的作用4.5用疊加法計(jì)算梁的變形(3)疊加法計(jì)算截面C

轉(zhuǎn)角和撓度4.5用疊加法計(jì)算梁的變形討論(1)局部剛化的思想就是分段研究梁的變形（以便直接利用撓度表結(jié)果），將其余部分暫時(shí)看成剛體，最后再疊加，這種方法可以解決比較復(fù)雜的變形問題。(2)在小變形的條件下因此才有4.5用疊加法計(jì)算梁的變形

變截面梁如圖所示，已知AE段和DB段的彎曲剛度為EI，ED段的彎曲剛度為2EI，求跨度中點(diǎn)C

的撓度。例題4.6載荷對(duì)稱，結(jié)構(gòu)對(duì)稱?？缰蠧轉(zhuǎn)角為0，將CB段看作懸臂梁處理(1)剛化CD段(2)剛化DB段(2)剛化DB段(3)B端撓度(4)跨中撓度例題4.7

水平面內(nèi)的折桿ABC如圖