湖北省武漢市常青聯(lián)合體2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省武漢市常青聯(lián)合體2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若直線的斜率為，且，則直線的傾斜角為（）A.或 B.或 C.或 D.或【答案】B【解析】設(shè)直線的傾斜角為，則因為，所以，當(dāng)時，即，則；當(dāng)時，即，則，所以直線的傾斜角為或.故選：B.2.已知，分別是平面的法向量，若，則（）A. B. C.1 D.7【答案】B【解析】因為，分別是平面的法向量，且，所以，即，解得故選：B3.設(shè)等比數(shù)列的前項和為，若，且，，成等差數(shù)列，則（）A.7 B.12 C.15 D.31【答案】C【解析】設(shè)公比為，因為，，成等差數(shù)列，所以，則，解得：或0（舍去）.因為，所以，故.故選：C4.已知在空間四邊形中，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，故G為CD的中點，如圖，由平行四邊形法則可得，所以.故選：A.5.已知直線：被圓截得的弦長為，則點與圓上點的距離最大值為（）A. B. C.2 D.4【答案】A【解析】由題可得，圓的半徑，圓心到直線的距離為，直線被圓截得的弦長為，解得或（舍去），則點的坐標(biāo)為，該點到圓心的距離為，所以點到圓上點距離最大值為，故選:A.6.加斯帕爾蒙日是世紀(jì)法國著名的幾何學(xué)家，他在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱為“蒙日圓”（如圖所示）.當(dāng)橢圓方程為時,蒙日圓方程為.已知長方形的四邊均與橢圓相切，則下列說法錯誤的是（）A.橢圓的離心率為B.若為正方形，則的邊長為C.橢圓的蒙日圓方程為D.長方形的面積的最大值為【答案】B【解析】對于A，由橢圓方程知：，，則，橢圓的離心率，A正確；對于BC，由A知：橢圓對應(yīng)的蒙日圓方程為：，正方形是圓的內(nèi)接正方形，正方形對角線長為圓的直徑，正方形的邊長為，B錯誤，C正確；對于D，設(shè)長方形的長和寬分別為，長方形的對角線長為圓的直徑，，長方形的面積（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），即長方形的面積的最大值為，D正確.故選：B.7.數(shù)列的前n項和為，對一切正整數(shù)n，點在函數(shù)的圖象上，（且）．則數(shù)列的前項和為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意得，當(dāng)時，，又滿足上式，，.，.故選：C.8.雙曲線的左右焦點分別為，，過的直線與雙曲線C的左右兩支分布交于兩點M，N，若，，則雙曲線的離心率為（）A.2 B. C.3 D.【答案】D【解析】根據(jù)雙曲線的定義：，，設(shè)，則，，，因為，所以，得，.在△中，由余弦定理得，整理得，.故選：D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列說法正確的是（）A.若直線經(jīng)過第一?二?四象限，則點在第三象限B.直線過定點C.過點且斜率為的直線的點斜式方程為D.斜率為，在軸上的截距為的直線的方程為【答案】BC【解析】因為直線經(jīng)過第一?二?四象限，所以直線的斜率，截距.故點在第二象限，所以A中說法錯誤.由整理得.所以無論取何值，都滿足方程.所以B中說法正確.由點斜式方程可知，過點且斜率為的直線的方程為.所以C中說法正確.由斜截式方程可知，斜率為，在軸上的截距為的直線的方程為.所以D中說法錯誤.故選：BC10.如圖，在棱長為2的正方體中，點M在線段（不包含端點）上，則下列結(jié)論正確的有（）A.點在平面的射影為的中心B.直線平面C.三棱錐的體積不為定值D.異面直線與BM所成角為【答案】ABD【解析】對于選項A:連接,由正方體中可得面，因為面,所以,因為底面為正方形，所以,因為面,所以面.因為面，所以,由正方體中可得面，因為面,所以,因為側(cè)面為正方形，所以,因為面,所以面.因為面，所以,又因為面，所以面，正方體中易得,故三棱錐為正三棱錐，故點在平面的射影為的中心，故選項A正確；對于選項B:連接,正方體中易得所以四邊形為平行四邊形，所以因為平面，而平面，所以平面.正方體中易得所以四邊形為平行四邊形，所以因平面，而平面，所以平面.又因為面,所以面平面又因為面，所以直線平面，故選項B正確；對于選項C:設(shè)點到面的距離為,因為點M在線段，且平面，所以點到面的距離是定值.,所以三棱錐的體積為定值.故選項C錯誤；對于選項D:因為面,且面平面，所以面，面,所以.故異面直線與BM所成角為.故選項D正確.故選：ABD.11.如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳析九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”：“三角垛”最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，第四層有10個球…設(shè)第n層有個球，從上往下n層球的總數(shù)為，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.， D.【答案】BCD【解析】根據(jù)題意，，則有，當(dāng)時，，也滿足，所以.，A選項錯誤；，B選項正確；，，C選項正確；，，D選項正確.故選：BCD12.已知拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，拋物線的動弦過點，過點且垂直于弦的直線交拋物線的準(zhǔn)線與點，則下列結(jié)論正確的是（）A.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為B.的最小值為2C.過兩點分別作，與準(zhǔn)線垂直，則為銳角三角形D.的面積不為定值【答案】ABD【解析】對于選項A：由橢圓的方程可知橢圓的右焦點坐標(biāo)為，即拋物線的右焦點為，可得，即，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故A正確；對于選項B：當(dāng)直線的斜率不存在時，易得，，此時;當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為,聯(lián)立，可得，則所以，易知直線的方程為，聯(lián)立，可得，所以所以，綜上所述：的最小值為，故B正確；對于選項C：由拋物線定義知：則，又因則，則,可知為直角三角形，故C錯誤；對于選項D：當(dāng)直線的斜率不存在時，易得，，此時;當(dāng)直線的斜率存在時，由選項B可得：,可得，顯然不為定值.故選項D正確；故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，16題第一空2分，第二空3分，共20分．13.以橢圓長軸的端點為焦點，以橢圓的焦點為頂點的雙曲線方程為______．【答案】【解析】由可得其長軸的端點坐標(biāo)分別為、，又，故其焦點坐標(biāo)分別為、，故該雙曲線的焦點坐標(biāo)為、，且、為其頂點坐標(biāo)，又，故雙曲線方程為.故答案為：.14.已知等差數(shù)列，記為數(shù)列的前n項和，若，，則數(shù)列的通項公式為______．【答案】【解析】，即，即，設(shè)數(shù)列的公差為，由，即有，可得，故.故答案為：.15.若兩條平行直線與之間的距離是，則______．【答案】10【解析】由題可得：，解的，此時方程為：；方程為：；則，即，解的或，又，所以；故.故答案為：.16.已知正四面體的棱長為3,底面所在平面上一動點P滿足，則點P運動軌跡的長度為_______________；直線與直線所成的角的取值范圍為______________.【答案】;【解析】設(shè)底面正的中心為，連接為正四面體，底面，又正四面體的棱長為3，在直角中，即點P運動軌跡為以為圓心，為半徑的圓上運動，因此運動軌跡長度為；以為原點，為x軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，且設(shè)直線與直線所成的角為，則，則又，，又，，即直線與直線所成的角的取值范圍為故答案為：，四、解答題：本題共6小題，共計70分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知直線和直線.（1）若，求實數(shù)的值；（2）若，求實數(shù)的值.解：（1）若，則，解得或2；（2）若，則，解得或1.時，，滿足，時，，此時與重合，所以.18.已知數(shù)列的前n項和．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的最大項是該數(shù)列的第幾項．解：（1）當(dāng)時，，不滿足上式，當(dāng)時，，故數(shù)列的通項公式為.（2）由已知得，當(dāng)時，，則，即，得，即，所以當(dāng)，的最大項為第7項，又，所以數(shù)列的最大項是該數(shù)列的第項.19.已知直線與拋物線恒有兩個交點A、B．（1）求p的取值范圍；（2）當(dāng)時，直線l過拋物線C的焦點F，求此時線段的長度．解：（1）（法一）由題：，知恒過頂點，又與拋物線恒有兩個交點，將定點代入拋物線方程，故，解得，即的取值范圍為；（法二）將直線與拋物線方程聯(lián)立，得，得，又因為直線與拋物線恒有兩個交點，所以其判別式對恒成立，故須使方程的判別式，又，所以解得，即的取值范圍為．（2）由題，當(dāng)時，：，即，令得，由過焦點得；，所以拋物線：．將直線與拋物線方程聯(lián)立，并令，，得，由韋達定理得，又因經(jīng)過拋物線焦點，故．20.已知等比數(shù)列的公比，若，且分別是等差數(shù)列的第1，3，5項．（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前n項和．解：（1）由題意得，即，則，化簡得：，解得（舍去）則，解得，所以．則，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以．（2）由（1）可得：所以，故，兩式相減得：，化簡可得：21.如圖，在四棱錐中，底平面為菱形且，為中點，．（1）求證：平面平面；（2）若平面平面，且，試問在線段上是否存在點，使二平面角的大小為，如存在，求的值，如不存在，說明理由．解：（1）連接，因為為菱形，且，所以為等邊三角形，又為中點，所以，又，故，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）由（1）知，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，即兩兩互相垂直，以為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，又，所以，則，所以，設(shè)，則，得到，易知平面的一個法向量為，設(shè)平面一個法向量為，又，，由，令，得，所以，又二平面角的大小為，所以，得到，整理得，又，解得，所以存在點使二平面角的大小為，且.22.已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別為，，點P為橢圓C上任意一點，面積最大值為．（1）求橢圓C的方程；（2）過x軸上一點的直線與橢圓交于A，B兩點，過A，B分別作直線的垂線，