湖北省武漢市武昌區(qū)2024屆高三上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省武漢市武昌區(qū)2024屆高三上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.命題“有些三角形是直角三角形”的否定為（）A.所有三角形都是直角三角形B.所有三角形都不是直角三角形C.有些三角形不是直角三角形D.有些三角形不是銳角三角形【答案】B【解析】由命題否定的概念可知，命題“有些三角形是直角三角形”的否定為“所有三角形都不是直角三角形”.故選：B2.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意，，則，所以.故選：C.3.已知正數(shù)，滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意得，，則，，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故選：C4.已知，則（）A.2 B. C. D.1【答案】D【解析】函數(shù)，所以.故選：D.5.已知集合，若，則集合可以為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】若，則，，A不合題意；若，則，，B不合題意；若，則，，C不合題意；若，則，，D符合題意；故選：D.6.為了解決化圓為方問(wèn)題，古希臘數(shù)學(xué)家希皮亞斯發(fā)明了“割圓曲線”，若割圓曲線的方程為，，則（）A.有最大值 B.有最小值C.隨的增大而增大 D.隨的增大而減小【答案】D【解析】由，，則，因?yàn)?，所以，則，令，則，所以在單調(diào)遞減，所以，則，所以在單調(diào)遞減，即隨的增大而減小，且無(wú)最值.故選：D7.已知函數(shù)，，若函數(shù)在上存在最大值，但不存在最小值，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】若，則，又因?yàn)椋瘮?shù)在上存在最大值，但不存在最小值，所以當(dāng)，即時(shí)，只需滿足，此時(shí)，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)一定存在最大值，要讓函數(shù)無(wú)最小值，則，此時(shí)，綜上，，即的取值范圍是.故選：D8.已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)拋物線上異于的點(diǎn)作拋物線的切線交軸于點(diǎn)，則的外接圓方程為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】設(shè)過(guò)拋物線上異于的點(diǎn)的切線為，又交軸于點(diǎn)，則，則，整理得，則，即則有，可化為解之得，則，則設(shè)的外接圓方程為，則，解之得的外接圓方程為，即.故選：A二、選擇題9.對(duì)于隨機(jī)變量，下列說(shuō)法正確的有（）A.若，則B.若，則C.若，則D若，則【答案】ABD【解析】對(duì)于A，若，則，故A正確；對(duì)于B，若，則，故B正確；對(duì)于C，若，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則，故D正確.故選：ABD10.已知不重合的直線，，和平面，，則（）A.若，，則B.若，，則C.若，，，，則D.若，，則【答案】AD【解析】對(duì)于A，根據(jù)平行傳遞性可知，若，，則，故A正確；對(duì)于B，若，，則可能出現(xiàn)，或，或相交但不垂直，或異面但不垂直，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，，，，則或相交，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，根據(jù)面面垂直判定定理可知，若，，則，故D正確.故選：AD11.已知數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，則（）A.B.C.存在，使得D.數(shù)列單調(diào)遞增，且對(duì)任意，都有【答案】ABD【解析】對(duì)于A中，由，滿足，因?yàn)?，可得，?dāng)時(shí)，可得，解得，；當(dāng)時(shí)，可得，解得，；可得，所以A正確；對(duì)于B中，由數(shù)列滿足，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，整理得，又因?yàn)?，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，又由，則，，所以，所以B正確；對(duì)于C中，因?yàn)閿?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，所以，所以C不正確；對(duì)于D中，由數(shù)列滿足，則，所以數(shù)列為遞增等比數(shù)列，且，所以D正確.故選：ABD.12.已知，是曲線上不同的兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A.的最小值為1B.C.若直線與曲線有公共點(diǎn)，則D.對(duì)任意位于軸左側(cè)且不在軸上的點(diǎn)，都存在點(diǎn)，使得曲線在，兩點(diǎn)處的切線垂直【答案】AD【解析】當(dāng)時(shí)，原方程即，化簡(jiǎn)為，軌跡為橢圓.將代入，則，則此時(shí)，即此部分為橢圓的一半.同理當(dāng)時(shí)，原方程即，化簡(jiǎn)為.將代入，則或，則此時(shí)，即此部分為圓的一部分.作出曲線的圖形如下：對(duì)于A，最小值表示曲線上一點(diǎn)到原點(diǎn)的最小距離的平方，當(dāng)時(shí)，最小值為，當(dāng)時(shí)取得，當(dāng)時(shí)，最小值為，當(dāng)時(shí)取得，則最小值為，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，顯然B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C，直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線經(jīng)過(guò)橢圓下頂點(diǎn)，如圖，顯然，存在，使得直線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，如圖，對(duì)任意位于軸左側(cè)且不在軸上的點(diǎn)，則曲線在點(diǎn)處的切線斜率可以取任何非零實(shí)數(shù)，曲線在橢圓部分切線斜率也可以取到任何非零實(shí)數(shù)，使得兩切線斜率為負(fù)倒數(shù)，所以對(duì)任意位于軸左側(cè)且不在軸上的點(diǎn)，都存在點(diǎn)，使得曲線在，兩點(diǎn)處的切線垂直，故D正確.故選：AD三、填空題13.設(shè)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足，則______.【答案】0【解析】由，得，則，由，得，則，于是，所以.故答案為：014.若點(diǎn)在圓上，則過(guò)的圓的切線方程為_(kāi)_____.【答案】【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以過(guò)的圓的切線方程和垂直，因?yàn)?，，所以，所以切線方程斜率為，所以切線方程為，即.故答案為：15.楷書(shū)也叫正楷、真書(shū)、正書(shū)，是從隸書(shū)逐漸演變而來(lái)的一種漢字字體，其書(shū)寫(xiě)特點(diǎn)是筆畫(huà)嚴(yán)整規(guī)范、線條平直自然、結(jié)構(gòu)勻稱方正、運(yùn)筆流暢有度，《辭海》解釋楷書(shū)“形體方正，筆畫(huà)平直，可作楷?！?，故名楷書(shū).楷書(shū)中豎的寫(xiě)法有垂露豎、懸針豎和短豎三種，小君同學(xué)在練習(xí)用楷書(shū)書(shū)寫(xiě)“十”字時(shí)，豎的寫(xiě)法可能隨機(jī)選用其中任意一種，現(xiàn)在小君一行寫(xiě)了5個(gè)“十”字，若只比較5處豎的寫(xiě)法，不比較其它筆畫(huà)，且短豎不超過(guò)3處，則不同的寫(xiě)法共有______種.（用數(shù)字作答）【答案】232【解析】當(dāng)短豎為3處時(shí)，不同寫(xiě)法有，當(dāng)短豎為2處時(shí)，不同寫(xiě)法有，當(dāng)短豎為1處時(shí)，不同寫(xiě)法有，當(dāng)短豎為0處時(shí)，不同寫(xiě)法有，一共有種不同寫(xiě)法.故答案為：23216.棱長(zhǎng)為10cm的密閉正四面體容器內(nèi)裝有體積為的水，翻轉(zhuǎn)容器，使得水面至少與2條棱平行，且水面是三角形，不考慮容器厚度及其它因素影響，則水面面積的最小值為_(kāi)_____.【答案】【解析】若水面至少與2條棱平行，且這兩條棱不共面，即兩條棱為對(duì)棱時(shí)，如圖所示，若水面平行與，不妨取特殊情況討論，記中點(diǎn)分別為，則，，則四邊形為平行四邊形，即水面形狀平行四邊形，不符合題意；則水面至少平行的2條棱相交共面，不妨設(shè)水面為，下求正四面體體積，如圖所示，即中點(diǎn)為，連接，設(shè)平面，則是三等分點(diǎn)，因?yàn)檎拿骟w棱長(zhǎng)為10，所以，，則，所以，如下圖所示，正四面體容器倒放時(shí)，棱錐部分為水體部分，設(shè)，則，則，則，所以水面面積；如下圖所示，正四面體容器正放時(shí)，棱臺(tái)部分為水體部分，設(shè)，則，則，水面面積更大，不符合.綜上，水面面積的最小值為.故答案為：四、解答題17.已知分別為的內(nèi)角的對(duì)邊，且.（1）求；（2）若，的面積為2，求.解：（1）在中，由余弦定理得，，代入，則，即，即，因?yàn)?，且時(shí)上式不成立，所以，所以，則（2）因?yàn)榈拿娣e為2，所以，即，又因?yàn)?，，，所以，則，則18.如圖，在三棱柱中，平面，，，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別在棱，上，，.（1）求證；；（2）求平面與平面所成二面角的余弦值.（1）證明：在三棱柱中，平面，則平面，而平面，則，顯然，則，即直線兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由，，，，得，，顯然，因此，所以.（2）解：由（1）知，，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，顯然平面的一個(gè)法向量，于是，顯然平面與平面所成二面角為銳角，所以平面與平面所成二面角的余弦值為.19.數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)之一，具備較好的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)一般體現(xiàn)為在運(yùn)算中算法合理、計(jì)算準(zhǔn)確、過(guò)程規(guī)范、細(xì)節(jié)到位，為了診斷學(xué)情、培養(yǎng)習(xí)慣、發(fā)展素養(yǎng)，某老師計(jì)劃調(diào)研準(zhǔn)確率與運(yùn)算速度之間是否有關(guān)，他記錄了一段時(shí)間的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表：項(xiàng)目速度快速度慢合計(jì)準(zhǔn)確率高102232準(zhǔn)確率低111728合計(jì)213960（1）依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為數(shù)學(xué)考試中準(zhǔn)確率與運(yùn)算速度相關(guān)？（2）為鼓勵(lì)學(xué)生全面發(fā)展，現(xiàn)隨機(jī)將準(zhǔn)確率高且速度快的10名同學(xué)分成人數(shù)分別為3，3，4的三個(gè)小組進(jìn)行小組才藝展示，若甲、乙兩人在這10人中，求甲在3人一組的前提下乙在4人一組的概率.附：0.1000.0500.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828其中.解：（1）零假設(shè)數(shù)學(xué)考試中準(zhǔn)確率與運(yùn)算速度無(wú)關(guān)，，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認(rèn)為成立，即數(shù)學(xué)考試中準(zhǔn)確率與運(yùn)算速度無(wú)關(guān)（2）記“甲在3人一組”為事件，則需從除甲以外的9人中任選2人與甲形成一組，再?gòu)氖Ｏ?人中任選3人形成一組，最后4人形成一組，所以，記“甲在3人一組，且乙在4人一組”為事件，則需從除甲、乙以外的8人中任選2人與甲形成一組，再?gòu)氖Ｏ?人中任選3人與乙形成一組，最后3人形成一組，所以，由條件概率公式，則，即甲在3人一組的前提下乙在4人一組的概率為20.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）若表示不超過(guò)的最大整數(shù)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由，則，當(dāng)時(shí)，可得，兩式相減可得，，，，，，所以數(shù)列是等差數(shù)列.（2）當(dāng)時(shí)，，則等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，所以，由，則，即，解得.21.已知雙曲線（，），點(diǎn)是的右焦點(diǎn)，的一條漸近線方程為.（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與的右支交于兩點(diǎn)，以為直徑的圓記為，是否存在定圓與圓內(nèi)切？若存在，求出定圓的方程；若不存在，說(shuō)明理由.解：（1）設(shè)雙曲線的焦距為，因?yàn)辄c(diǎn)是的右焦點(diǎn)，的一條漸近線方程為所以，解得，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）存在定圓滿足題意，方程，理由如下：因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)的直線與的右支交于兩點(diǎn)，所以直線斜率不為0，設(shè)直線方程為，，由，得，，，，所以，，由直線與的右支交于兩點(diǎn)可知，解得，又因?yàn)椋詧A的方程為，由對(duì)稱性可知，若存在定圓與圓相內(nèi)切，則定圓圓心一定在軸上，不妨設(shè)定圓方程為，則由圓與圓相內(nèi)切可知，，即，整理得，，因?yàn)樯鲜脚c無(wú)關(guān)，所以，解得，所以存在定圓滿足題意22.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；（2）若有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.解：（