湖南省常德市沅澧共同體2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省常德市沅澧共同體2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】集合，所以.故選：B.2.函數(shù)為冪函數(shù)，則該函數(shù)為（）A.增函數(shù) B.減函數(shù) C.奇函數(shù) D.偶函數(shù)【答案】D【解析】由題意知，即，則該函數(shù)，此時(shí)函數(shù)定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)集，該函數(shù)在定義域內(nèi)有增有減，不是單調(diào)函數(shù)；函數(shù)滿(mǎn)足，為偶函數(shù).故選：D.3.下列各組的兩個(gè)函數(shù)中，表示同一個(gè)函數(shù)的是（）A.，B.，C.，D.，【答案】A【解析】對(duì)于A(yíng)，的定義域?yàn)?，，定義域?yàn)?，定義域和解析式都同，是同一個(gè)函數(shù)，故A正確；對(duì)于B，，定義域?yàn)?，的定義域?yàn)椋x域和解析式都不同，不是同一個(gè)函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，解析式不同，不是同一個(gè)函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由解得，故的定義域?yàn)?，由解得或，故的定義域?yàn)?，定義域不同，不是同一個(gè)函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：A.4.已知，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，且，所?故選：A.5.設(shè)集合，那么下面的個(gè)圖形中，能表示集合到集合的函數(shù)關(guān)系的有（）A.①②③④ B.②③ C.①②③ D.②【答案】B【解析】對(duì)于①，從圖中可看出，函數(shù)的定義域是，不符合集合到集合的函數(shù)關(guān)系；對(duì)于②，函數(shù)的定義域、對(duì)應(yīng)法則和值域都符合集合到集合的函數(shù)關(guān)系；對(duì)于③，函數(shù)的定義域、對(duì)應(yīng)法則和值域都符合集合到集合的函數(shù)關(guān)系；對(duì)于④，任取，在圖中可看到有兩個(gè)的值與之對(duì)應(yīng)，不符合函數(shù)定義的要求.故②，③可表示集合到集合的函數(shù)關(guān)系.故選：B.6.已知的定義域?yàn)閯t的定義域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，所以，所以，所以，所以的定義域?yàn)?故選：C.7.已知偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由于函數(shù)為偶函數(shù)，故，且在上單調(diào)遞減，所以，即.故選：D．8.已知定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足，對(duì)任意的，且恒成立，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，且，不妨設(shè)，即，得，即，則，即，令，即，因此在上單調(diào)遞減，不等式中，，則有，又，于是，則，解得，所以不等式的解集為.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．若全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)或不選得0分．9.關(guān)于x不等式的解集為或x>2，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】因?yàn)殛P(guān)于x不等式的解集為或x>2，則且的兩根為和，由韋達(dá)定理得到，得到，故易知選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)?，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，，所以選項(xiàng)D正確.故選：AD.10.下列說(shuō)法正確的是（）A.已知，則的最小值為B.當(dāng)時(shí)，的最小值為C.設(shè)，則“”是“”成立的充分不必要條件D.命題：，是真命題，則實(shí)數(shù)【答案】ABC【解析】對(duì)于A(yíng)，當(dāng)時(shí)，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；所以當(dāng)時(shí)，的最小值為，A正確；對(duì)于B，因?yàn)閤∈0，2，所以，當(dāng)且僅當(dāng)所以當(dāng)x∈0，2時(shí)，的最小值為，B對(duì)于C，不等式，等價(jià)于或，所以由可推出，由不能推出，所以“”是“”成立的充分不必要條件，C正確；對(duì)于D，由命題為真命題可得有兩個(gè)不等實(shí)根，所以，所以，D錯(cuò)誤.故選：ABC.11.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，對(duì)任意實(shí)數(shù)滿(mǎn)足．且，當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.為增函數(shù) D.為奇函數(shù)【答案】ACD【解析】函數(shù)的定義域?yàn)镽，對(duì)任意實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，令，可得，即有，故A正確；由，可得，，即，可得，故B錯(cuò)誤；令，則，即，則函數(shù)為奇函數(shù)，故D正確；令，可得，即，當(dāng)時(shí)，，即，設(shè)，即，即有，則在R上遞增，故C正確．故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____．【答案】【解析】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，則其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以，解得.13.已知是二次函數(shù)，且，若，則的解析式為_(kāi)_____.【答案】【解析】由已知設(shè)，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所以，解得，所?14.若函數(shù)的定義域和值域均為，則b的值為_(kāi)_______．【答案】3【解析】由函數(shù)，可得對(duì)稱(chēng)軸為，故函數(shù)在上增函數(shù).函數(shù)的定義域和值域均為，，即.解得，或.，.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知奇函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)的值；并作出y=fx的圖象；（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求a的取值范圍．解：（1）設(shè)，則，，函數(shù)fx是奇函數(shù)，，；如下圖：（2）由圖象可知，，，故a的取值范圍為：．16.記全集，集合，或．（1）若，求；（2）若，求的取值范圍；（3）若，求的取值范圍．解：（1）當(dāng)時(shí)，，則或，因此或或或.（2）若，則，解得，故的取值范圍為.（3）若，則，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，或，解得，或，綜上知，的取值范圍為.17.中共中央政治局會(huì)議中明確提出支持新能源汽車(chē)加快發(fā)展．發(fā)展新能源汽車(chē)是我國(guó)從汽車(chē)大國(guó)邁向汽車(chē)強(qiáng)國(guó)的必由之路，是推動(dòng)綠色發(fā)展的戰(zhàn)略舉措．2024年某企業(yè)計(jì)劃引進(jìn)新能源汽車(chē)生產(chǎn)設(shè)備，通過(guò)市場(chǎng)分析，全年需投入固定成本2500萬(wàn)元，每生產(chǎn)（百輛），需另投入成本（萬(wàn)元），且，由市場(chǎng)調(diào)研知，若每輛車(chē)售價(jià)萬(wàn)元，則當(dāng)年內(nèi)生產(chǎn)的車(chē)輛能在當(dāng)年全部銷(xiāo)售完．（1）求出2024年的利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（百輛）的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)2024年的年產(chǎn)量為多少百輛時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn)．解：（1）由題意知利潤(rùn)收入總成本，所以利潤(rùn)，故2023年的利潤(rùn)萬(wàn)元關(guān)于年產(chǎn)量百輛的函數(shù)關(guān)系式為.（2）當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào);綜上所述，當(dāng)產(chǎn)量為百輛時(shí)，取得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為萬(wàn)元.18.已知.（1）當(dāng)，解關(guān)于的不等式；（2）若存在，使得不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）若即，原不等式為，解得，即原不等式的解集為；若即，方程的解為和，當(dāng)時(shí)，，原不等式的解集為或；當(dāng)時(shí)，，原不等式的解集為R；當(dāng)即時(shí)，，原不等式的解集為.綜上，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為或；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為R.（2）由，得，對(duì)于方程，，所以在R上恒成立，故，令，則，得可變形為，即，對(duì)于對(duì)勾函數(shù)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得最小值，為，所以在上的最大值為，得.綜上，a的取值范圍為.19.已知函數(shù).（1）若，判斷在上的單調(diào)性，并用定義法證明；（2）若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若對(duì)任意的，任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1