湖南省衡陽市2024屆高三上學期期末考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖南省衡陽市2024屆高三上學期期末數(shù)學試題一?選擇題1.設集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，所以，所以.故選：A.2.下列函數(shù)的最小正周期為，且在上單調遞減的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意，A項，在中，，，最小正周期為，當單調遞增時，，解得：，∴在上不單調遞減，A錯誤；B項，在中，，最小正周期為，當單調遞增時，，解得：∴在上不單調遞減，B錯誤；C項，在中，，周期,∴函數(shù)在，即上單調遞減，∴函數(shù)在上單調遞減，C正確；D項，在中，，故D錯誤.故選：C.3.某旅游團計劃去湖南旅游，該旅游團從長沙?衡陽?郴州?株洲?益陽這5個城市中選擇4個（選擇的4個城市按照到達的先后順序分別記為第一站?第二站?第三站?第四站），且第一站不去株洲，則該旅游團四站的城市安排共有（）A.96種 B.84種 C.72種 D.60種【答案】A【解析】因為第一站不去株洲，所以第一站可以從長沙?衡陽?郴州?益陽這4個城市中選擇1個，共有4種選擇，余下的三站可以從剩下的4個城市中選擇3個，所以該旅游團四站的城市安排共有種.故選：A.4.在復數(shù)范圍內，是方程的兩個不同的復數(shù)根，則的值為（）A.1 B. C.2 D.或2【答案】D【解析】由，得.因為，所以或，當或，；當或，.故選：D.5.星等是衡量天體光度的量.為了衡量星星的明暗程度，古希臘天文學家喜帕佮斯在公元前二世紀首先提出了星等這個概念，例如：2等星的星等值為2.已知兩個天體的星等值和它們對應的亮度滿足關系式，則（）A.3等星的亮度是0.5等星亮度的倍B.0.5等星的亮度是3等星亮度的倍C.3等星的亮度是0.5等星亮度的10倍D.0.5等星的亮度是3等星亮度的10倍【答案】D【解析】本題考查對數(shù)運算的實際應用，考查應用意識與邏輯推理的核心素養(yǎng).當時，，則，則，所以0.5等星的亮度是3等星亮度的10倍，故D正確.故選：D.6.已知是拋物線上的兩點，為的焦點，，點到軸的距離為，則的最小值為（）A.9 B.10 C. D.【答案】A【解析】因為拋物線的準線方程為，所以，因為，所以，當且僅當在線段上時，等號成立，所以的最小值為9，故選：A7.若函數(shù)與圖象的交點為，則曲線在點處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為（）A.4 B.6 C. D.【答案】B【解析】由，得，設，則，所以為R上的增函數(shù)，因為，所以.又，則，所以曲線在點A處的切線方程為，令，得，令，得，則所求三角形的面積為.故選：B.8.在正三棱臺中，，二面角為，則該三棱臺的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】在正三棱臺中，令的中點分別為，連接，則，于是二面角的平面角為，即，設上底面與下底面的中心分別為，連接，則，過點作，垂足為，則，則，則，所以該三棱臺的體積為.故選：B.二?多選題9.已知半徑為的圓的圓心在直線上，且圓與直線相切，則圓的圓心坐標可能為（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】依題意可設圓的圓心坐標為，則，解得或，所以圓的圓心坐標為或.故選：AC.10.若三個不同的平面兩兩相交，且，則交線的位置關系可能是（）A.重合 B.相交于一點 C.兩兩平行 D.恰有兩條交線平行【答案】ABC【解析】如圖，作出一個長方體.對于A項，可把平面依次取為平面，它們兩兩相交于共同的交線,故A項正確；對于B項，可把平面依次取為平面，此時，,,,而易得三條交線交于同一點D，故B項正確；對于C項，可把平面依次取為平面,此時，,,,而易得三條交線兩兩平行，故C項正確；對于D項，可把平面依次取為平面,此時，,,,若只有因平面，而平面，則平面,又平面,而平面平面=，則有,即交線的位置關系不可能是恰有兩條交線平行，故D項錯誤.故選：ABC.11.已知平行四邊形的面積為，且，則（）A.的最小值為2B.當在上的投影向量為時，C.的最小值為D.當在上的投影向量為時，【答案】ACD【解析】因為，所以.設，則，解得，則，當且僅當時，等號成立，A正確.因為，所以，所以,,,，當且僅當時，等號成立，所以的最小值為,C正確.如圖，過點作，垂足為，則在上的投影向量為，當在上的投影向量為時，.因為，所以，得，則,故B錯誤，D正確.故選：ACD.12.已知函數(shù)的定義域為，函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，函數(shù)），則必有（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】對A、B、D：由條件可知，因為，所以，且，可得，所以，所以A、B、D均正確.對C：取，則，此時滿足是定義在上的奇函數(shù)，，所以未必成立，故C錯誤.故選：ABD.三?填空題13.若，則__________.【答案】【解析】因為，所以，因為，所以，即.故答案為：.14.已知橢圓的周長，其中分別為橢圓的長半軸長與短半軸長.現(xiàn)有如圖所示的橢圓形鏡子，其外輪廓是橢圓，且該橢圓的離心率為，長軸長為，則這面鏡子的外輪廓的周長約為__________cm.（取3.14，結果精確到整數(shù)）【答案】211【解析】因為，所以,因為長軸長為，所以，故.故答案為：211.15.某中學高一?高二?高三學生人數(shù)比例為，假設該中學高一?高二?高三的學生閱讀完《紅樓夢》的概率分別為，若從該中學三個年級的學生中隨機選取1名學生，則這名學生閱讀完《紅樓夢》的概率不大于0.233，已知該中學高三的學生閱讀完《紅樓夢》的概率不低于高一的學生閱讀完《紅樓夢》的概率，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】若從該中學三個年級的學生中隨機選取1名學生，則這名學生閱讀完《紅樓夢》的概率為，解得.因為該中學高三的學生閱讀完《紅樓夢》的概率不低于高一的學生閱讀完《紅樓夢》的概率，所以.故的取值范圍是.故答案為：.16.若為正整數(shù)，記集合中的整數(shù)元素個數(shù)為，則數(shù)列的前62項和為__________.【答案】3841【解析】因為，當時，；當時，；當時，，因為，所以，又，所以，則；故數(shù)列的前62項和為.四?解答題17.已知某超市銷售的袋裝食用鹽的質量（單位：）服從正態(tài)分布，且0.15.某次該超市稱量了120袋食用鹽，其總質量為的值恰好等于這120袋食用鹽每袋的平均質量（單位：）.（1）若從該超市銷售的袋裝食用鹽中隨機選取2袋，設這2袋中質量不小于的袋數(shù)為，求的分布列；（2）若從該超市銷售的袋裝食用鹽中隨機選?。檎麛?shù)）袋，記質量在的袋數(shù)為，求滿足的的最大值.解：（1）依題意可得，則，的可能取值為，，，所以的分布列為0120.250.50.25（2）因為，所以.依題意可得，所以.因為，所以，又為正整數(shù)，所以的最大值為199.18.在平面四邊形中，平分.（1）證明：與相等或互補.（2）若，求內切圓的半徑.（1）證明：在中，，在中，.因為平分，所以.又，所以，為三角形的內角，所以與相等或互補.（2）解：假設與相等，又平分，則，，，故與全等，則，這與已知矛盾.所以假設錯誤，與不相等，故與互補.在中，，在中，，所以.又，所以，則.所以的面積，設內切圓的半徑的，則，故.19.在數(shù)列中，且.（1）證明：是等差數(shù)列；（2）設的前項和為，證明：.證明：（1）因為，所以，所以，所以是公差為1的等差數(shù)列.（2）因為，所以，由（1）知，則.設數(shù)列的前項和為，則，則，所以，則，所以.20.在棱長為2的正方體中，分別是棱的中點，直線與平面交于點.（1）求的長；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，所以.設，則.設平面的法向量為，則令，得.依題意可得，解得.所以.（2）因為，所以，所以.設直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.21.在平面直角坐標系中，，動點滿足，點的軌跡記為曲線.（1）求的方程.（2）已知，過點直線（斜率存在且斜率不為0）與交于兩點，直線與交于點，若為圓上的動點，試問是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由.解：（1）因為，所以根據(jù)雙曲線的定義可知點的軌跡為以為焦點，實軸長為6的雙曲線的左支.由，得，所以的方程為.（2）由題意可設的方程為，設，聯(lián)立，得，滿足，則.直線，直線，聯(lián)立與，得，解得，故點在定直線上.因為圓的圓心到直線的距離為，所以的最小值為.22.已知函數(shù).（1）證明：當時，對恒成立.（2）若存在，使得，比較與大小，并說明理由.（1）證明：設函數(shù)，則，當時，，所以為增函數(shù)，所以，所以，因為，所以，當時，，所以，所以在上