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高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省泰州市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、考試號(hào)等填寫(xiě)在答題卡指定位置上.2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí),將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后,將答題卡交回.一、單項(xiàng)選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角的大小是()A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可知該直線的斜率為,所以其傾斜角為.故選:B2.圓不經(jīng)過(guò)()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】圓化為(,表示圓心為,半徑為5的圓,如圖所示:所以,圓不經(jīng)過(guò)第三象限.故選:C.3.雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)是,則()A.-1 B.1 C.-2 D.2【答案】D【解析】由雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)是,得,方程為,則,解得.故選:D4.直線與圓交于、兩點(diǎn),則的面積為()A.2 B. C. D.【答案】C【解析】圓的圓心,半徑,點(diǎn)到直線的距離,則,所以的面積為.故選:C5.已知為拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)在上,且,則點(diǎn)到軸的距離為()A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)Mx,y,,,得,所以點(diǎn)到軸的距離為.故選:B.6.點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng),,,則的最小值是()A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】點(diǎn),都在直線的下方,點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn),于是,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)是線段與直線的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào),所以的最小值是5.故選:C7.已知、分別為橢圓的左右頂點(diǎn),為橢圓上異于、的一點(diǎn),若直線、的斜率之積為,則橢圓的離心率為()A. B. C. D.【答案】A【解析】依題意,,設(shè)點(diǎn),則,即,依題意,,因此,所以橢圓的離心率.故選:A8.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯(約公元前262~公元前190年)的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果,著作中有這樣一個(gè)命題:平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)(且)的點(diǎn)的軌跡是圓,后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.已知,,圓:上有且僅有一個(gè)點(diǎn)滿足,則的取值可以為()A.1或3 B.2 C.5 D.1或5【答案】D【解析】設(shè),由,得,整理得,又點(diǎn)是圓上有且僅有的一點(diǎn),所以兩圓相切,圓的圓心坐標(biāo)為,半徑為2,圓的圓心坐標(biāo)為,半徑為,兩圓的圓心距為3,當(dāng)兩圓外切時(shí),,得,當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí),,得.故選:D.二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.9.下列說(shuō)法正確的是()A.過(guò)點(diǎn)并且傾斜角為的直線方程為B.直線與直線之間的距離為C.直線在軸上的截距為D.將直線繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),所得到的直線為【答案】ACD【解析】A.過(guò)點(diǎn)并且傾斜角為的直線方程為,故A正確;B.直線與直線之間的距離,故B錯(cuò)誤;C.直線,時(shí),,所以直線在軸上的截距為,故C正確;D.直線過(guò)原點(diǎn),且傾斜角為,直線繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)后直線的傾斜角為,也過(guò)原點(diǎn),得到直線方程為,故D正確.故選:ACD10.已知圓,直線.則以下幾個(gè)結(jié)論正確的有()A.直線恒過(guò)定點(diǎn)B.圓被軸截得的弦長(zhǎng)為C.點(diǎn)到直線的距離的最大值是D.直線被圓截得的弦長(zhǎng)最短時(shí),直線的方程為【答案】ABD【解析】A.直線,不管為何值,滿足方程,即可直線恒過(guò)定點(diǎn),故A正確;B.當(dāng)時(shí),,解得:,,所以圓被軸截得的弦長(zhǎng)為,故B正確;C.圓心到直線的距離的最大值是圓心與定點(diǎn)的距離,故C錯(cuò)誤;D.設(shè)直線的定點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)為弦的中點(diǎn)時(shí),此時(shí)弦長(zhǎng)最短,即,,所以直線的斜率為2,所以直線的方程為,即,故D正確.故選:ABD11.《文心雕龍》中說(shuō)“造化賦形,支體必雙,神理為用,事不孤立”,意思是自然界的事物都是成雙成對(duì)的.已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離和它到直線的距離的比是常數(shù).若某條直線上存在這樣的點(diǎn),則稱該直線為“成雙直線”,下列說(shuō)法正確的是()A.動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為:B.的最大值為16C.點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)的軌跡上的任意一點(diǎn),,,則的面積為D.直線與動(dòng)點(diǎn)的軌跡交于兩點(diǎn),則的最小值為【答案】AD【解析】設(shè),則,化簡(jiǎn)為,故A正確;B.由A可知,,的最大值為,故B錯(cuò)誤;C.由橢圓方程可知,點(diǎn)是橢圓的左焦點(diǎn),則,即,,,所以,則,故C錯(cuò)誤;D.四邊形是平行四邊形,即,,當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立,所以則的最小值為,故D正確.故選:AD三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.已知直線,若,則______.【答案】【解析】由題意可知,,解得:.故答案為:13.已知圓和圓,則兩圓公共弦的弦長(zhǎng)為_(kāi)______.【答案】【解析】圓的圓心,半徑,圓的圓心,半徑,而,即圓與圓相交,其公共弦所在直線的方程為,點(diǎn)到直線的距離,所以公共弦長(zhǎng)為.故答案為:14.已知拋物線的焦點(diǎn)為,則拋物線的準(zhǔn)線方程是_____,點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),設(shè)點(diǎn),當(dāng)取得最小值時(shí),_______.【答案】①②2【解析】拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線方程為;設(shè),則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),此時(shí).故答案為:;2四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知的兩頂點(diǎn)坐標(biāo)為,,是邊的中點(diǎn),是邊上的高.(1)求所在直線的方程;(2)求高所在直線的方程.解:(1)由,邊中點(diǎn),得點(diǎn),又點(diǎn),則直線的斜率,直線的方程為,即,所以所在直線的方程為.(2)由(1)知,直線的斜率,所以高所在直線方程為,即.16.已知圓的圓心在直線上,且與軸相切于點(diǎn).(1)求圓的方程;(2)若圓與直線交于、兩點(diǎn),_____,求的值.從下列三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面問(wèn)題中并作答:條件①:圓被直線分成兩段圓弧,其弧長(zhǎng)比為;條件②:;條件③:.解:(1)設(shè)圓心,半徑為,則,解得:,所以圓的方程為;(2)若選條件①,則劣弧所對(duì)的圓心角為,所以圓心到直線的距離為,即,解得:或;若選條件②,,,所以圓心到的距離為,即,所以或;若選條件③,,則圓心到的距離為,即,所以或.17.已知雙曲線的中心在原點(diǎn),過(guò)點(diǎn),且與雙曲線有相同的漸近線.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)已知、是雙曲線上的兩點(diǎn),且線段的中點(diǎn)為,求直線的方程.解:(1)由雙曲線與雙曲線有相同的漸近線,設(shè)雙曲線的方程為,而點(diǎn)在雙曲線上,因此,方程為,所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)顯然直線不垂直于軸,設(shè)直線的方程為,由消去得,由線段的中點(diǎn)為M1,1,得,解得,此時(shí)方程為,,因此,所以直線的方程為,即.18.已知表示圓的方程.(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)當(dāng)圓的面積最大時(shí),求過(guò)點(diǎn)的圓的切線方程;(3)為圓上任意一點(diǎn),已知點(diǎn),在(2)的條件下,求的最小值.解:(1)圓的方程,可化為,∵該方程表示圓,∴,解得,∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為.(2)圓的半徑,∴當(dāng)時(shí),圓C的半徑最大,即圓C的面積取得最大值,此時(shí)圓的方程為,圓心,半徑,當(dāng)切線斜率不存在時(shí),其方程為,符合題意;當(dāng)切線斜率存在時(shí),設(shè)其方程為y=kx-1,即,∵圓心到切線的距離等于半徑,∴,解得,∴切線方程,即,綜上,切線的方程為或.(3)設(shè)Px,y,又,,,則,設(shè),則表示圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的距離的平方,∵,則點(diǎn)在圓外,所以,則∴的最小值為.19.如圖,已知橢圓過(guò)點(diǎn),焦距為,斜率為的直線與
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