拓展之基本不等式（解析版）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新高考專用）

第06講：拓展一：基本不等式

目錄

法

方

一直接法...........................................3

法

方

二湊配法...........................................4

法

方

三分離法...........................................7

法

方

四

換元法...........................................

法

方8

五

法常數(shù)代換的代換.............................

方

六“1”11

法

七

方消元法..........................................15

對(duì)鉤函數(shù)........................................16

1、基本不等式（一正，二定，三相等，特別注意“一正”，“三相等”這兩類陷阱）

①如果a>0,b>0,而W”也，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立.

2

②其中J拓叫做正數(shù)〃的幾何平均數(shù)；早叫做正數(shù)。，〃的算數(shù)平均數(shù).

2、兩個(gè)重要的不等式

①儲(chǔ)+Z7222azJ（a,beR）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.

②次74（與）2（a,beR）當(dāng)且僅當(dāng)a=6時(shí)，等號(hào)成立.

3、利用基本不等式求最值

①已知x,y是正數(shù)，如果積盯等于定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，和％+y有最小

值2#；

②已知x,y是正數(shù)，如果和x+y等于定值S,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，積取有最大

值、,2

4

4、對(duì)鉤函數(shù)：

b

對(duì)鉤函數(shù)是一種類似于反比例函數(shù)的一般雙曲函數(shù),是形如：/（x）=取+—（a>。力>。）

x

的函數(shù).由圖象得名，又被稱為：“雙勾函數(shù)”、“對(duì)號(hào)函數(shù)”、“雙飛燕函數(shù)”、“耐克函數(shù)”等.

b?？紝?duì)鉤函

/(X)=6ZX+—(tz>0,Z?>0)/(%)=%+—(a>0)

函數(shù)X數(shù)

定義域(一8,0)U(0,+8)定義域(-co,0)U(0,-H?)

值域(-oo,-2y[ab}U[2+oo)值域5,-2]U[2,5

奇偶性奇函數(shù)奇偶性奇函數(shù)

”、b.

/（X）=Q%+一在/（%）=%+4在（-00,一&）,

單調(diào)性X單調(diào)性

（一00,一、^）'（P'+8）上單（、份,+8）上單調(diào)遞增；在

VaVa（一0）,（0,JZ）單調(diào)遞減

調(diào)遞增；在（-、2,0）,

Va

（o,j2）單調(diào)遞減

Va

5、常用技巧

利用基本不等式求最值的變形技巧—湊、拆（分子次數(shù)高于分母次數(shù)）、除（分子次數(shù)低

于分母次數(shù)））、代（1的代入）、解（整體解）.

①湊：湊項(xiàng)，例：xH------—x—aH------l~a22+a=3(x>a)；

x-ax-a

湊系數(shù)，例：X(1-2X)=-2X(1-2X)<-'2X+1~2X0<x<—j；

22

r2Y2-4+444

②拆：例：----=---------=%+2H-------九一2H----

x—2x—2x-2x-3

2x

—<1(%>0)

③除：例：%2+1

XH----

X

④1的代入：例：已知。>03>0,。+匕=1,求工+工的最小值.

ab

解析：l+i=(1+-)(?+&)=2+-+->4.

ababab

⑤整體解：例：已知Q,Z?是正數(shù)，且QZ?=Q+/?+3,求Q+Z?的最小值.

解析：?a+b+3,即，a+4―(a+b)—320,解得

a+b>6[a+b<-2舍去).

基本不等式高頻考點(diǎn)方法

方法一：直接法

典型例題

例題L（2024上?山西長(zhǎng)治?高一校聯(lián)考期末）當(dāng)XW0時(shí)，尤2+士的最小值為（）

X

A.—B.1C.2D.25/2

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合基本不等式，即可求解.

【詳解】由XH0,可得/>0,貝q尤2+t?2jx2-2=2,

XVX

當(dāng)且僅當(dāng)尤2=3時(shí)，即》=±1時(shí)，等號(hào)成立，故V+3的最小值為2.

xx

故選：C.

例題2.（2024上?陜西商洛?高一統(tǒng)考期末）若正數(shù)x,y滿足孫=100,則x+y的最小值

是（）

A.10B.20C.100D.200

【答案】B

【分析】根據(jù)基本不等式求出最值.

【詳解】由題意得x+yN2而=20,當(dāng)且僅當(dāng)尤=>=1。時(shí)，等號(hào)成立，

故工+，的最小值是20.

故選：B

練透核心考點(diǎn)

1.（2024上?湖南長(zhǎng)沙?高一?？计谀┤?>0,則X+,的最小值為（）

3

A.-2B.-272C.D.2

2

【答案】D

【分析】直接根據(jù)基本不等式求解即可.

【詳解】若x>0,貝！=2,

xVx

當(dāng)且僅當(dāng)X=L,即X=1時(shí)取等號(hào)，

X

所以x+工的最小值為2.

X

故選：D.

2.（2024上?貴州六盤水?高一統(tǒng)考期末）已知a>0/>0,〃+b=3,則力?的最大值為

【答案】49

4

【分析】由基本不等式求積的最大值.

【詳解】a>0,b>Q,a+b=3f

由基本不等式可知ab<（等j=:，

39

當(dāng)且僅當(dāng)〃=b=］時(shí)等號(hào)成立，即而的最大值為

24

9

故答案為：—

4

方法二：湊配法

典型例題

4

例題1.（2024下?河南?高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知。>0*>0,則a+2b+—丁丁的最小

a+2b+l

值為（）

A.6B.5C.4D.3

【答案】D

【分析】根據(jù)基本不等式即可求解.

【詳解】由于〃>03>。，所以。+⑦+1>0,

44I4

由a+26+--------=（a+2b+l）+----------l>2j（a+2b+l）x----------1=3,

a+2b+1a+2b+lva+2b+l

4

（當(dāng)且僅當(dāng)a+?=1時(shí)取等號(hào)），可得。+26+—J的最小值為3,

a+2b+l

故選：D.

例題2.（2024上?黑龍江哈爾濱?高一統(tǒng)考期末）已知實(shí)數(shù)x＞l,則2-x-一二的（）

x-1

A.最小值為1B.最大值為1C.最小值為-1D.最大值為-1

【答案】D

【分析】由基本不等式得出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?-x--—=l+l-x--—=1-（A:-1）+—＜1-2J（x-l）--=1-2=-1,

X—1X—1X—1_\X-1

當(dāng)且僅當(dāng)工=X-1即無=2時(shí)取等號(hào)；

x-1

故最大值為-1,

故選：D.

o

例題3.（2024上?江蘇南通?高一統(tǒng)考期末）函數(shù)〃力=4無+的最小值為

（）

A.6B.8C.10D.12

【答案】B

9

【分析】將函數(shù)解析式變形為/口）=4（*+1）+椅-4,利用基本不等式可求得該函數(shù)的最

小值.

og

【詳解】因?yàn)閤e（—l,+co）,貝！|x+l＞。，貝1]/（尤）=4尤+——-=4（x+l）+---4

人I1JiI1

22/4（尤+1）.-^一4=12一4=8,

'9

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)冗=；時(shí)，等號(hào)成立，

x＞-l2

g

故函數(shù)/（力=4無+[三，％?-1,+00）的最小值為8.

故選：B.

練透核心考點(diǎn)

1.（2024上?湖北?高一校聯(lián)考期末）已知%＞工，則x+—^的最小值為

22尤-1

【答案】

【分析】利用基本不等式求得正確答案.

【詳解】由于尤＞彳，所以尤―彳＞0,2x—1＞。，

22

1111

所以X+=x——+-----1—

2x-l22x-l2

當(dāng)且僅當(dāng)x-』=—=1±1時(shí)等號(hào)成立,

22x-l2

所以X+」的最小值為1+應(yīng).

2x-l2

故答案為：—+V2

2

9

2.（2024上?福建莆田?圖一莆田一中?？计谀┮阎獂>2,貝l]x+—^的最小值為____.

x-2

【答案】8

【分析】利用基本不等式求最值可得答案.

【詳解】x>2時(shí)無-2>0,

99I0―

貝Ux+——=x-2+——+2>2.（x-2）x——+2=8，

X—2X—2yX—2

9

當(dāng)且僅當(dāng)尤-2='即x=5時(shí)等號(hào)成立.

x-2

故答案為：8.

3.（2024上?福建寧德■高一統(tǒng)考期末）Vxe（2,+co）,x+」一>必?+3加恒成立，則實(shí)數(shù)加

x-2

的取值范圍是.

【答案】（-4,1）

【分析】利用基本不等式求出x+—從而得到4>蘇+3機(jī)，求出答案.

無一2

【詳角軍】Vxe（2,+co）,x+—L=（無一2）+—1—+2N2j（x—2）-一1一+2=4,

x-2'7x-2V7x-2

當(dāng)且僅當(dāng)尤-2=-^,即x=3時(shí)，等號(hào)成立，

x-2

故4>m2+3m,解得-4<<1,

故實(shí)數(shù)加的取值范圍是（-4』）.

故答案為：（-4/）

方法三：分離法

典型例題

例題1.（2024?全國(guó),高三專題練習(xí)）函數(shù)外小=亞回但剋的最大值是（）

,⑴一4X2+1

753

A.2B.—C.—D.一

444

【答案】C

【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)〃x）=J+16x4：；f+l=1+“2：丁,結(jié)合基本不等式，即可求

NWA+OX1-1116r+8+—

解.

+1+1/16.r4+17x2+7

【詳解】由題意，函數(shù)/（x）=

V16X4+8X2+1

=9x29

V16X4+8X2+1.16/+8+士

又由—>8,當(dāng)且僅當(dāng)16x?=—y,即％=±7時(shí)等號(hào)成立，

x2%22

9<2595

所以+旅不飛，所以「商不」

X\X

即函數(shù)“X）的最大值是:

故選：C.

例題2.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）函數(shù)y=坦@>2）的最小值為.

【答案】11

【分析】將函數(shù)化為y=x-2+—9+5,利用基本不等式求其最小值，注意取值條件即可.

x-2

『用冷刀1i+t（%—2）2+5（x—2）+99upc八

［詳角牛］由丁=-----------------=x—2H------F5,Xx-2>0>

x—2x-2

所以>22］（尤-2）?旦+5=11,當(dāng)且僅當(dāng)尤-2=三，即x=5時(shí)等號(hào)成立，

Yx-2x-2

所以原函數(shù)的最小值為11.

故答案為：11

練透核心考點(diǎn)

1.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）函數(shù)/（x）=%2~^+3（x.0）的最小值是（）

A.-1B.3C.6D.12

【答案】A

【分析】由基本不等式求解，

%2+3

【詳解】f（x）=-^=（x+l）+-1-i-7（x.O）.

因?yàn)閄..0,所以^+1+—..2>/9=6,（當(dāng)且僅當(dāng)x+l=3,即尤=2時(shí)，等號(hào)成立）.

X+1

故了（%）最小值為-1,

故選：A

2.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）函數(shù)〃尤）=2x2：x+3（x<0）的最大值為.

【答案】1-2扃-2"+1

【分析】首先化簡(jiǎn)可得〃x）="土9=2X+3+1=-（-2X+/-）+1,由-x>0則可以利用

XX-X

基本不等式求最值即可.

【詳解】因?yàn)閤<0,貝U-x>0,

所以〃x）=Ht￡±2=2x+』+l=-（-2x+3）+l

XX-x

當(dāng)且僅當(dāng)-2x=3，即彳=-逅時(shí)等號(hào)成立,

-X2

所以〃尤）的最大值為1-2指.

故答案為：1-2".

方法四：換元法

典型例題

例題1.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）函數(shù)>=匚土0。>2）的最小值為_____

尤一2

【答案】7

【分析】換元轉(zhuǎn)化成基本不等式的形式，利用積為定值即可求和的最小值.

【詳解】令k2=f,f>0；則

尤2+x—5（1+2）2+￡+2—5/+5才+11_

--------=-——----------=--------=Z+-+5>7

x-2ttt

（當(dāng)且僅當(dāng)，=1,即x=3時(shí)，等號(hào)成立），

故函數(shù)J（x>=3；；5,xe（2,+⑹的最小值為7

故答案為：7

例題2.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）求下列函數(shù)的最小值

（1）y=*+x+%>0）；

X

x2+2x+6

(2)y二(x>1).

x—1

【答案】（1）3；（2）10.

【分析】（1）化簡(jiǎn)整理可得十=上+》+1=*+工+1

利用基本不等式，即可求得最小值.

XX

9

（2）令/=%-1?>0）,整理可得y=/+2+4,利用基本不等式，即可求得最小值.

t

【詳解】（1）y=/+x+l]

XX

x>0,.\x+—>2.X--=2（當(dāng)且僅當(dāng)x=,，即時(shí)取等號(hào)）

xVxx

...y=*+'+1（X>0）的最小值為3；

x

(2)令，=%-1(，>。)，貝|x=/+l,

x2+2x+6_(/+1尸+2(，+1)+6f2+4？+999

y二=/+—+4"k—+4=10

x-1tt

Q

當(dāng)且僅當(dāng)，=—即U3時(shí)取等號(hào)

t

??.y的最小值為10

練透核心考點(diǎn)

1.（2023上?江西南昌?高一南昌二中?？茧A段練習(xí)）求函數(shù)y的最小

值.

【答案】9.

【分析】令t=x+l,則（I）-+7（I）+W=f+35,利用基本不等式計(jì)算可得;

tt

【詳解】因?yàn)闊o>一1,所以光+1>0,令，=尤+1,所以"0,

_(r-l)2+7(r-l)+10_?+5r+444

所以y===1+—+5"—+5=9,

當(dāng)且僅當(dāng)1=2,即x=l時(shí)等號(hào)成立;

所以函數(shù)y=的最小值為9.

2.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）求下列函數(shù)的最小值

x2+X+1

⑴y=-------(x>0)；

X

_x2+5

(2)

x2+2x+6i、

(3)z

【答案】（1）3；（2）I；（3）10.

【分析】對(duì)分式函數(shù)利用分離常數(shù)法構(gòu)造基本不等式（對(duì)勾函數(shù)）的結(jié)構(gòu)，或利用基本不等

式（1,、2）或利用函數(shù)單調(diào)性求最值.

x2+x+11

【詳解】⑴y=-^=X+x+11-o3

x>Q,,,.x+->2.xx-=2（當(dāng)且僅當(dāng)戶L即x=l時(shí)取"="）

xVxx

即y=1+X+%>0）的最小值為3;

X

（2）令/=J尤?+4（02）,貝1］丁=/+；（/22）在［2,+8）是單增，

.,.當(dāng)t=2時(shí)，y取最小值/n=2+g=g；

即y的最小值為g

（3）令f=則y「+2x+6（x>i）可化為:

x-1

9I~9

_y=f+-+4>2J/x-+4=10

當(dāng)且僅當(dāng)t=3時(shí)取"="

即y的最小值為10

【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：

⑴“一正二定三相等""一正"就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；

（2廣二定"就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則

必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；

（3廣三相等"是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定

值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.

方法五：常數(shù)代換“1”的代換

典型例題

31

例題1.（2024上?浙江杭州?高一浙江省杭州第二中學(xué)?？计谀┮阎獂>0,y>0,且—+—=1,

尤y

則2x+y+—的最小值為（）

y

A.9B.10C.12D.13

【答案】D

【分析】借助基本不等式中“1〃的妙用即可得.

【詳解】2%+^+-=[-+-^（2%+｝；）+-=6+1+^+—+-

-3y3x_l3y3x.

=7+上+—>7+2———=113,

xyyxy

當(dāng)且僅當(dāng)苴=①，即x=y=4時(shí)，等號(hào)成立.

%y

故選：D.

例題2.（多選）（2024下?吉林通化?高三梅河口市第五中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知。>0,〃>0,

若a+2b=l,則（）

A.a+b>—B.a+b<\

2

C.必的最大值為;1D.47+；1的最小值為8

4ab

【答案】ABD

【分析】對(duì)于AB：根據(jù)題意消去。，結(jié)合b的取值范圍分析求解；對(duì)于C：根據(jù)基本不等式

運(yùn)算求解；對(duì)于D：根據(jù)〃1〃的靈活應(yīng)用結(jié)合基本不等式分析求解.

【詳角軍】因?yàn)閍+2b=l,則4=1—2b>0,可得，

對(duì)于選項(xiàng)AB：因?yàn)閍+Z?=l—2Z?+〃=1—〃，

所以〃+/?>!，a+b<\,故AB正確；

2

對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?=［心）Jx（"+2S=L

2v7248

當(dāng)且僅當(dāng)。=26=1時(shí)，等號(hào)成立，

所以油的最大值為:，故C錯(cuò)誤；

8

對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)楣?L=（“+26）［2+口=4+生+@"+2世—8,

ab\ab）ab\ab

4Z?a1

當(dāng)且僅當(dāng)竺==,即a=26=：時(shí)，等號(hào)成立，

ab2

21

所以—的最小值為8,故D正確；

ab

故選：ABD.

例題3.（2024下?全國(guó)?高一專題練習(xí)）如圖所示，在AABC中，點(diǎn)。為BC邊上一點(diǎn)，且

BD=2DC，過點(diǎn)。的直線E尸與直線48相交于E點(diǎn)，與直線AC相交于尸點(diǎn)（E,P交兩

點(diǎn)不重合）.若而="?荏+則加〃=,若荏=2通，AF=juAC,則2+〃的

最小值為.

【分析】根據(jù)向量的加減運(yùn)算，以荏，衣為基底，表示出而，和已知等式比較，即可得相，"

12

的值，求得儂的值;結(jié)合已知用理，而表示而，結(jié)合三點(diǎn)共線可得77+丁=1（%〃＞。），

JZJJLI

將;1+〃化為(X+〃),展開后利用基本不等式，即可求得4+〃的最小值.

__,2__.

【詳解】在中，AD=AB+BD，BD=2DC，則麗=§交,

Or\

故標(biāo)=而+而=而+4瑟=而+4(/-詞

33、)

?2-.2__?1—.2--

=AB——AB+-AC=-AB+-AC,

3333

故根22

=1,n=—,:.mn=—

339

__.]__.2__.______.__.

XAD=-AB+-AC,AE=AAB，AF=juAC,

i____i____,i__k2__?

所以4§=一通,數(shù)=—而，則而=一AE+一AF,

力4343〃

12

又方三點(diǎn)共線，所以7T+丁=1,結(jié)合已知可知％4>0,

1212u2丸、1c1U22,25/2

故％+4=(%+//)一十一=-+—+—+——>1+2---------=1H,

323〃33323//3234---------3

-1+6

Q1r\4_

當(dāng)且僅當(dāng)蕓=丁，結(jié)合0+「=：!*,〃〉。)，即3時(shí)，取等號(hào);

343〃343〃2+V2

即幾+〃的最小值為1+述,

3

故答案為：?…竽

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：若次=x^+y玄，則A,B,C三點(diǎn)共線ox+y=l.

練透核心考點(diǎn)

1.（多選）（2024下?湖北?高一湖北省漢川市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知正實(shí)數(shù)x,

>滿足x+2y=l,貝！|()

A.xy<-B.V2C.y+2x>9xyD.x2+y2<1

8

【答案】ACD

【分析】根據(jù)基本不等式判斷選項(xiàng)ABC,消元利用二次函數(shù)求最值判斷D.

【詳解】對(duì)A：由x+2y=1及基本不等式得了+2y,BP2^2xy<1,

所以孫V）,當(dāng)且僅當(dāng)x=2y=:時(shí)等號(hào)成立，故A正確;

o2

__21

對(duì)B：+=x+2y+2yj2xy<1+1=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=2y=5時(shí)等號(hào)成立，

所以yfx+J2y?A/2,故B錯(cuò)誤；

對(duì)C：因?yàn)?x+2y)R+2]=5+M+&25+26=9,當(dāng)且僅當(dāng)?shù)?生，即x=y=,時(shí)等

y)xyxy3

號(hào)成立，

12

所以一+_29即y+2xN9孫，故C正確；

尤y

對(duì)D：x2+y2=（l-2y）2+y2=5y2-4y+l,其中ye［。,。］,所以/+故D正確.

故選：ACD

2.（多選）（2024上,云南昭通?高一昭通市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）若用〉0,撲>0,且機(jī)+2幾=1,

則（）

1

A.mn<-B.y/m+y/2n>v2

8

12八

C.-+->9D.m2+4/<—

mn2

【答案】AC

【分析】A、D選項(xiàng)由基本不等式直接求解即可；B選項(xiàng)將原式平方，結(jié)合A的結(jié)論即可判

斷；C選項(xiàng)利用乘〃1〃法進(jìn)行求解.

【詳解】對(duì)于A,若相，n>0,且機(jī)+2〃=1,則有機(jī)〃='x機(jī)竺土女］=—,

2212J8

當(dāng)且僅當(dāng)"2=（，”=!時(shí)等號(hào)成立，A正確；

24

21

對(duì)于B,+=1+lyflrnn,由A可得根"Vg,故1+2,2加〃42,

所以+夜，故B不正確；

小丁-12/12Y\廠2幾2m、__［2n2mC

對(duì)于C,——F—=——F—（m+2n）=5H----1--->5+2./——x—=9，

mn\mn）mnymn

當(dāng)且僅當(dāng)加=時(shí)等號(hào)成立，故C正確；

對(duì)于D,士色］/竺±殳丫=工，g|1m2+4n2>-（當(dāng)且僅當(dāng)加=L〃=工時(shí)等號(hào)成立），

22J4224

故D不正確，

故選：AC.

41

3.（2024上?江西,高一校聯(lián)考期末）若存在正實(shí)數(shù)工/滿足一+—=1,且使不等式

yx

尤+與<蘇一3%有解，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是.

【答案】（f,-1）54,”）

【分析】利用基本不等式"甘的妙用求得x+4的最小值，再利用能成立問題得到關(guān)于俄的不

等式，解之即可得解.

41

【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)工，n滿足一+一=1,

所以嗚{+2|%力=2+士+:22+2口號(hào)=4,

當(dāng)且僅當(dāng)一4%=廣y，即x=2,y=8時(shí)，等號(hào)成立，

y4x

若不等式無+=<加一3根有解，則布-3加>4,解得加<-1或帆>4,

4

則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（-<?,-1）34,田）.

故答案為：（YO,T）D（4,+OO）.

方法六：消元法

典型例題

例題1.（2024上?安徽亳州,高一亳州二中?？计谀┮阎獂>0,y>0,2x+y^xy,貝l]2x+y

的最小值為（）

A.8B.4C.8日D.40

【答案】A

9Y

【分析】首先由條件可得y=V>0,再變形2x+y,最后利用基本不等式，即可求解.

x-l

2x

【詳解】由]>o,y>。，2%+〉=孫，可得y=-->0,則％>1

x-l

貝I2x+y=2x+二=生=2（1）2+4（7+2

X—1X—1X—1

=2（1）+告+422,2（x-l）.告+4=8,

當(dāng)za-Dui，得尤=2時(shí)，等號(hào)成立，

x-l

所以2x+y的最小值為8.

故選：A

-41

例題2.（2024上?四川眉山?IWJ一統(tǒng)考期末）已知?！?,b>0,且〃+4=〃人，則一+;~7的

ab-\

最小值為.

【答案】2

【分析】將已知式子適當(dāng)變形替換，結(jié)合基本不等式即可求解.

【詳解】由題意a僅-1）=4>0,。>0,所以人>1,￡=：,

所以a+_L=3+@22j±q=2,等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)4=4,6=2,

ab-1a4\a4

所以^4+廠1、的最小值為2.

ab-\

故答案為：2.

練透核心考點(diǎn)

1.（2024上,安徽蕪湖?高一統(tǒng)考期末）若實(shí)數(shù)羽丫滿足孫=1,則X2+2/的最小值為（）

A.1B.72C.2D.2及

【答案】D

【分析】通過-=i求出y,代入所求式消元，運(yùn)用基本不等式求解即得.

【詳解】由冷=1可知無H0,貝仃=L代入龍？+2y2得：尤2+2丫2=尤2+二，22&,

XX

當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即當(dāng)x=±次時(shí)，V+2y2取得最小值2&.

故選：D.

2.（2023上?廣東東莞?高一統(tǒng)考期末）若無>0、y>0,M-+J=l,則上的最大值

XX

為.

【答案】y/0.25

【分析】由題意轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)的最值來做即可.

【詳解】由題意工=l-y>0,x>0,所以。<y<l,

所以2=丫（17）=一心」［+乜［等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)>=［即）的最大值為9.

x（2）442x4

故答案為：7-

4

方法七：對(duì)鉤函數(shù)

典型例題

例題L（2022上?全國(guó)?高一校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)y=x+Lx22）的最小值為（）

X

57

A.2B.—C.3D.一

22

【答案】B

【分析】結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)x22時(shí)，函數(shù)y=x+工為增函數(shù)，故當(dāng)x=2時(shí)，有最小

X

值I

故選：B.

例題2.（2023上?江蘇蘇州?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）若不等式6+440對(duì)任意xe[l,司恒成

立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

13

A.a>5B.a>4C.a>4D.a>——

3

【答案】A

【分析】參變分離為x+對(duì)任意xe[l同恒成立，求出,+=5,故心5.

X\Jmax

【詳解】*一方+4V0對(duì)任意xe[l,3卜恒成立,

變形為x+aV。對(duì)任意xw[l,3卜恒成立,

X

其中\(zhòng)<?,

max

又y=x+1在xe[l,2]上單調(diào)遞減，在xe（2,3]上單調(diào)遞增,

413

其中當(dāng)％=1時(shí)，y=1+4=5,當(dāng)%=3時(shí)，y=3+—=—,

5>,故a之5.

故選：A

例題5.（2023上?山東?高一校聯(lián)考期中）若現(xiàn)3）,使得不等式f+辦+2>。成立,

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

9

【答案】。，一萬

【分析】參變分離，設(shè)g（x）={+■4,3）