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文檔簡介
第10講:拓展三:通過求二階導(dǎo)函數(shù)解決導(dǎo)數(shù)問題
目錄
1、函數(shù)極值的第二判定定理:..............................1
類型一:利用二階導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值.........................1
類型二:利用二階導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性.......................7
類型三:利用二階導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的范圍........................12
類型四:利用二階導(dǎo)數(shù)證明不等式...........................18
1、函數(shù)極值的第二判定定理:
若/(X)在x=x0附近有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)尸(x),且/'(x0)=O,r(xo)*O
⑴若/〃(/)<0,則/(x)在點/處取極大值;
(2)若/"(/)〉0,則f(x)在點無。處取極小值
2、二次求導(dǎo)使用背景
(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)/'(%),無法判斷導(dǎo)函數(shù)正負(fù);
(2)對函數(shù)/(X)一次求導(dǎo)得到了'(X)之后,解不等式r(x)>0和/''(x)<0難度較大甚至
根本解不出.
(3)一階導(dǎo)函數(shù)中往往含有靖或In尤
3、解題步驟:
設(shè)g(x)=f'(x),再求g'(x),求出g'(x)>0和g'(x)<0的解,即得到-函數(shù)g(x)的單調(diào)性,
得到函數(shù)g(x)的最值,即可得到((%)的正?負(fù)情況,即可得到函數(shù)/(x)的單調(diào)性.
高頻考點
類型一:利用二階導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值
典型例題
例題1.(2024?貴州貴陽?一模)英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式:
fV3x”
ex=l+x+—+—+-?-+—+---^43”!=1X2X3X4X…x”,e為自然對數(shù)的底數(shù),
2!3!n\
e=2.71828…….以上公式稱為泰勒公式.設(shè)“到=二二,g")=二二,根據(jù)以上信息,
并結(jié)合高中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識,解決如下問題.
⑴證明:ex>1+x;
⑵設(shè)xe(O,+w),證明:qi<g(x);
⑶設(shè)尸(x)=g(x)-a「+[;若x=0是尸(x)的極小值點,求實數(shù)。的取值范圍.
【答案】⑴證明見解析
⑵證明見解析
⑶(-8』
【分析】(1)首先設(shè)Mx)=e'-x-l,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值
問題;
(2)首先由泰勒公式,由/和右,再求得〃尤)和g(x)的解析式,即可證明;
(3)分和“>1兩種情況討論,求出E(x)在x=0附近的單調(diào)區(qū)間,即可求解.
【詳解】(1)設(shè)〃(x)=e,—x—1,貝i]〃(x)=e“—1.
當(dāng)x>0時,當(dāng)%<0時,/zr(x)<0,
所以MX)在(-8,。)上單調(diào)遞減,在(0,+8)上單調(diào)遞增.
因此,/z(x)>/z(O)=O,BPex>l+x.
(2)由泰勒公式知e'=l+x+工+《+工+二+…+上+…,①
2!3!4!5!n\
②
于是e+...+(-ir—+
2!3!4!5!n\
由①②得
ex-e-r%3X5
〃尤)==%+——+——+--?+
-2-3!5!
工2"-2
g(%)=£+£1+7-------;—F
2(2?-2)!
所以
X3!5!
242n2
1xxx~/\
<1+I?+7?+-+(i^+-=gW-
即產(chǎn)川).
(3)F(x)=g(x)-a\1+^-―a1+^j,則
p—e4-e
F'(x)=--------ax,設(shè)G(x)=——-----ax,G,(x)=--------a.
,-x1,-----
由基本不等式知,3±二P32荷--,=1,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時等號成立.
22
所以當(dāng)時,G(X)N1-。20,所以/'(x)在R上單調(diào)遞增.
又因為少(無)是奇函數(shù),且尸'(0)=0,
所以當(dāng)x>0時,〃(x)>0;當(dāng)x<0時,F(xiàn)(x)<0.
所以尸(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減,在(0,+向上單調(diào)遞增.
因此,x=0是尸(x)的極小值點.
下面證明:當(dāng)。>1時,無=0不是尸(x)的極小值點.
Ina.-Inai/i\\\、
當(dāng)a>]時,G,(]no)=----------a——IaH—I—d!=—I——tzl<0,
又因為G,(x)是R上的偶函數(shù),且G,(x)在(0,+e)上單調(diào)遞增,
所以當(dāng)xe(—Ina,Inn)時,G'(尤)<0.
因此,尸'(無)在(-Ina,Ina)上單調(diào)遞減.
又因為k(x)是奇函數(shù),且尸'(0)=0,
所以當(dāng)一Ina<x<。時,F(xiàn)'(x)>0;當(dāng)0cx<lna時,F(xiàn)f(x)<0.
所以在(-lna,0)上單調(diào)遞增,在(O,lna)上單調(diào)遞減.
因此,%=0是*無)的極大值點,不是歹(同的極小值點.
綜上,實數(shù)。的取值范圍是(-8』.
【點睛】關(guān)鍵點點睛:第三問是本題的難點,關(guān)鍵是分。VI和兩種情況,利用導(dǎo)數(shù)判
斷x=0附近的單調(diào)性.
例題2.(23-24高二下?云南玉溪?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=arTnxT,aeR.
⑴討論函數(shù)〃x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)a=l時,設(shè)g(x)=e"(x)+e*+mr(meR),若g(x)20恒成立,求加的取值范圍.
【答案】(1)答案見解析;
(2)[-e,+<?).
【分析】(1)根據(jù)題意,求導(dǎo)可得尸(x),然后分a<0與a>0討論,即可得到結(jié)果;
(2)根據(jù)題意,分離參數(shù),然后構(gòu)造函數(shù)//(X)=1(1:-x),求導(dǎo)可得“(X),轉(zhuǎn)化為最值
問題,即可得到結(jié)果.
【詳解】⑴/⑺定義域為(。,+8),f'(x)=a--=~,
XX
①當(dāng)aWO時,尸(x)W0恒成立,“X)在(0,+功上單調(diào)遞減
②當(dāng)a>0時,
㈢a1"
f'W—0+
f(x)單調(diào)遞減單調(diào)遞增
綜上所述,當(dāng)aWO時,f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(。,+e),
當(dāng)a>0時,的單調(diào)遞增區(qū)間為1,+■,””的單調(diào)遞減區(qū)間為1。,:
(2)g(x)=ex(^-lnx-l)+ex+5=叫了-111%)+儂:NO恒成立,
所以m240nx-X)恒成立,設(shè)〃⑺二^皿尤),
XX
eex|lnx-x+—-1|x-ex(lnr-x)八八八
則小x_I」?_ex("l)(lnx-l),
⑴一P一P
11_
設(shè)1(x)=lnx-jr-l,則/''(同=——1=----r,
xx
當(dāng)Ov%vl時,?x)>0,4x)遞增,當(dāng)工〉1時,,(力〈0/(%)遞減,
所以心)3=《1)=-2v0,所以當(dāng)%>。時,Inx—尤—IvO恒成立,
當(dāng)Ovxvl時,”(x)>O,/z(x)遞增,當(dāng)x>1時,〃(x)<O,/z(x)遞減,
所以必?zé)o)3=如)=-e,
由m2e,WT)恒成立得加上Y,
X
所以機(jī)的取值范圍為|-e,+oo).
練透核心考點
1.(2024?四川遂寧?二模)已知函數(shù)〃x)=e'-辦-2.
(1)若“X)在區(qū)間(。,1)存在極值,求。的取值范圍;
⑵若xe(0,+oo),/(x)>x-sinx-cos%,求。的取值范圍.
【答案】⑴。,e)
⑵(-8』
【分析】(1)對。分類討論研究單調(diào)性后,結(jié)合極值的定義計算即可得;
(2)設(shè)g(x)=e'+cosx+sinx-(a+l)x-2,原問題即為g(x)>0在xe(0,+e)時恒成立,
多次求導(dǎo)后,對時及。>1時分類討論,結(jié)合零點的存在性定理與函數(shù)的單調(diào)性即可得
解.
【詳解】(1)由/卜)=1一k2,得洋(x)=e-a,
當(dāng)aW0時,r(x)>0,則單調(diào)遞增,/⑺不存在極值,
當(dāng)a>0時,令/'(x)=0,貝!Jx=Ina,
若x<lna,則/'(“<0,f(x)單調(diào)遞減;
若尤>Ina,貝Ur(x)>0,/(x)單調(diào)遞增,
所以x=Ina是的極小值點,
因為/(元)在區(qū)間(0,1)存在極值,貝UO<lna<l,即l<a<e,
所以,〃x)在區(qū)間(0』)存在極值時,a的取值范圍是(Le);
(2)由/(%)>尤-sinx—cos尤在%€(0,+力)時恒成立,
即e*+cosx+sinx-(a+l)x-2>0在xe(0,+oo)時恒成立,
設(shè)g(x)=e*+cosx+sinx-(a+l)x-2,貝ij8(力>0在了£(0,+8)時恒成立,
貝!]g'(x)=e*-sinx+cosx-(a+l),
令m(x)=g,(x)=e*—sinx+cosx-(a+1),貝!|m'(x)=e1'-cosx-sinx,
令〃(無)==e*-cosx—sinx,貝ijzz,(x)=ex+sinx-cos尤,
xe(0,l)時,e*+sinx>l,則"(x)=e*+sinx—cosx>0,xe[l,+8)時,e*Ne,貝1J
所以xe(0,+8)時,nf(x)>0,則”(x)即加(x)單調(diào)遞增,
所以加(x)>加(0)=0,則m(x)即g")單調(diào)遞增,
所以g<x)>g〈0)=l-a,
①當(dāng)aVl時,g,(0)=130,故無e(0,+8),g'(x)>0,則g(x)單調(diào)遞增,
所以g(x)>g(0)=0,
所以/(x)>x-sinx-cosx在xe(0,+oo)時恒成立,
②當(dāng)a>l時,g'(0)=l-a<0,
g,[ln(a+3)]=a+3-sin[ln(a+3)]+cos[ln(a+3)]-(a+1)
=2-V2sinln(a+3)-^>0,
故在區(qū)間(0,In(a+3))上函數(shù)g'(x)存在零點%,即g,區(qū))=0,
,,
由于函數(shù)g'(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,則xe(O,%)時,g(^)<g(xo)=O,
故函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,%)上單調(diào)遞減,
所以,當(dāng)xe(O,x0)時,函數(shù)g(x)<g(O)=O,不合題意,
綜上所述,的取值范圍為
【點睛】關(guān)鍵點點睛:最后一問關(guān)鍵點在于多次求導(dǎo)后,得至i]g'(x)>g'(O)=l-。,從而通
過對a41及“>1進(jìn)行分類討論.
2.(2024?四川廣安?二模)己知函數(shù)〃x)=e=ar—l.
(1)若/(尤)存在極值,求。的取值范圍;
(2)若“41,xe(0,+ao),證明:f(x)>x-sinx.
【答案】(1)(。,+e)
⑵證明見解析
【分析】(1)求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),分aWO、a>0兩種情況討論,即可得到函數(shù)的單調(diào)性,
從而得到函數(shù)的極值點,即可得解;
(2)依題意即證明6“+$111^-(4+1)》-1>。在%£(0,+00)時恒成立,設(shè)
g(x)=e,+sinx—(a+l)x—1,xe(0,y),利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性,即可得證.
【詳解】(1)由〃x)=e'-依—1,xeR,得=
當(dāng)aW0時,f\x)>0,則/(x)單調(diào)遞增,/(X)不存在極值;
當(dāng)a>0時,令/''(x)=0,則x=ln“,
當(dāng)x<lna,則/'(x)<0,即/(x)在(y,Ina)上單調(diào)遞減,
當(dāng)x>lna,則制或>0,即“X)在(In。,+e)上單調(diào)遞增.
所以x=Ina是/'(x)的極小值點,
所以當(dāng)a>0時,存在極值,
綜上所述,〃尤)存在極值時,。的取值范圍是(0,+8).
(2)欲證不等式〃x)>x-sinx在xe(0,+oo)時恒成立,
只需證明6"+$[1]%-(0+1)*-1>0在%€(0,+00)時恒成立.
設(shè)g(x)=e*+sinx-(a+l)x-l,xe(0,+oo),
貝!]g'(x)=eX+cosx-(a+l),
令7〃(x)=g'(x)=e*+cosx-(a+1),xe(0,+oo),
貝?。菁?x)=ev-sinx.
當(dāng)xw(0,4<o)時e*>1,—1(一sin尤41,所以質(zhì)(x)>0,
所以加(X)即g'(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增,
所以g'(x)>g'(o)=l-a,
因為041,所以g'(0)=l-a20,
故xe(0,+8),g,⑺>0,所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,
所以g(x)>g(O)=O,
即當(dāng)aVl,籬e(0,+oo)時,不等式〃x)>x-sinx恒成立.
【點睛】方法點睛:導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法:一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單
調(diào)性,?;癁椴坏仁胶愠闪栴}.注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用;二是函數(shù)的零點、
不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理.
類型二:利用二階導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性
典型例題
例題1.(2024?江西九江?二模)己知函數(shù)/(x)=(2x-a)ln(無一l)+/?(a,6eR)在x=2處的切
線方程為3-=0
(1)求a,b的值;
(2)判斷〃x)的單調(diào)性.
【答案】⑴。=1,6=4
⑵/(X)在(L+8)上單調(diào)遞增
【分析】(1)借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計算即可得;
(2)借助導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究導(dǎo)數(shù)的最值后即可得原函數(shù)的單調(diào)性.
【詳解】⑴/(x)=21n(x-l)+三予由題意可得/'(2)=3,〃2)=3x2—2=4,
貝lJ/'(2)=21n(2_l)+(2x2_a>,=0+4_a=3,可得a=l,
2—1
/(2)=(2x2-di)ln(2-l)+&=Z;=4,
即a=1,b=4;
(2)/(A:)=(2x-l)ln(x-l)+4,/z(x)=21n(x-l)+----(x>l),
x—1
令g(x)=/'(x)=21n(%_l)+——-(^>1),
x—1
22(x-1)-(2x-1)2x-3
則g'(x)-----------1------------------------o----------
%-1(x-1)二’
當(dāng)時,g'(x)<°,當(dāng)xe[,+co+寸,g'(x)〉0,
故g(x)在11,目上單調(diào)遞減,在仁,上單調(diào)遞增,
?3
即g⑺=2d=2In[一1]+42y
=4-21n2>0
2~
故在(l,y)上單調(diào)遞增.
例題2.(23-24高二下?廣東清遠(yuǎn)?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=lnx-ox+a,g(x)=xe*—2x.
(1)求函數(shù)y=/(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)己知a=l,當(dāng)xe(O,4w),試比較〃x)與g(x)的大小,并給予證明.
【答案】(1)答案見解析
(2)/(x)<g(x),證明見解析
【分析】
(1)先求出/(x)的導(dǎo)函數(shù),再對。分類討論,結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得解;
(2)構(gòu)造函數(shù)F(x)=g(x)-f(x),求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),再令h(x)=xe*-1,利用導(dǎo)數(shù)分析h(x)
的單調(diào)性,從而得到函數(shù)尸(x)的最值,從而得證.
【詳解】(1)因為/(x)=lnx-ox+a,定義域為(0,+s),
所以廣。)=,一。=4(%>0),
XX
當(dāng)。40時,尸(無)>0,所以“X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+功,沒有單調(diào)遞減區(qū)間;
當(dāng)a>0時,令r(x)>0,得0(尤<,;令r(x)<0,解得x>!,
aa
所以/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為]:,+8);
綜上,當(dāng)時,”X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8),沒有單調(diào)遞減區(qū)間;
當(dāng)a>0時,“X)的單調(diào)遞增區(qū)間為/J,單調(diào)遞減區(qū)間為.
(2)f(x)<g(x),證明如下:
當(dāng)a=l時,f(x)=lnx-x+l,Xg(x)=xex-2x,
令F(x)=g(x)—f(x)=xex-Inx-x-l(x>0),
貝F'(x)=xex+ex---l=四(打工一1),
XXv7
令/z(x)=xe'—l,則〃(%)=(%+1)1>0,又/z(O)<O,/z⑴>0,
所以函數(shù)以無)在(。,+8)上單調(diào)遞增,且存在唯一零點c?0,l),使得Mc)=。,
且xe(O,c)時,h(x)<0;X£(c,+oo)時,h(x)>0,
f
即%?0,c)時,F(xiàn)(x)<0;x£(c,+oo)時,F(xiàn)\x)>0,
所以函數(shù)網(wǎng)%)在(0,。)上單調(diào)遞減,在(G+8)上單調(diào)遞增,
貝(]尸(無)之尸(。)=比°一1口。一。一1,而/1(0)=四'-1=0,即ce'=l,
兩邊取對數(shù)得lnc+c=0,
所以F(x)>F(c)=0,故/(x)<g(x)在(0,+8)上恒成立.
練透核心考點
1.(23-24高二下?重慶銅梁?階段練習(xí))拐點,又稱反曲點,指改變曲線向上或向下的點(即
曲線的凹凸分界點).設(shè)廣⑺是函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)函數(shù),⑺是函數(shù)廣⑺的導(dǎo)函數(shù),若
方程/"(元)=0有實數(shù)解x=x。,并且在點(%,/(%))左右兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)符號相反,則稱
(%,/(%))為函數(shù)y=/⑺的"拐點
(1)經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)/■。)=G3+桁2+5+或0力0)都有"拐點",且該"拐點"也是函
數(shù)y="X)的圖象的對稱中心.已知函數(shù)/(X)=尤3+加_9x+。的圖象的對稱中心為(-1,10),
討論函數(shù)了。)的單調(diào)性并求極值.
(2)已知函數(shù)g(x)=2:nx3+[61n(mx)-15]x2+—x--^-+1,其中〃z>0.求g(x)的拐點.
mm
【答案】(1)〃X)在(3,-3),(1,W)上單調(diào)遞增,在(-3,1)上單調(diào)遞減,極大值為26,極小
值為-6;
(1)根據(jù)題意,由條件結(jié)合二階導(dǎo)數(shù)的定義可得/(X)=V+3X2-9X-1,然后求導(dǎo)即可得
到單調(diào)區(qū)間以及極值;
(2)根據(jù)題意,求函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)可得g〃(x)=12M+l21n(點)-12,然后構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為零
點問題,即可求解.
【詳解】(1)
/,(x)=3x2+2to-9,/"(x)=6x+2人,
由題意得了"(一1)=。,即-6+2》=0,解得6=3,
且/'(-1)=10,BP(-l)3+3x(-l)2+9+a=10,解得a=—l,
故/(%)=%3+3%2-9%-1,
所以,3=3x2+6x-9,
令尸(x)>0得x>l或x<-3,令小)<0得一3<%<1,
故/(X)在(-*-3),(1,+8)上單調(diào)遞增,在(-3,1)上單調(diào)遞減,
故/(X)在x=-3處取得極大值,在X=1處取得極小值,
故極大值為/(—3)=—27+27+27—1=26,極小值為/⑴=1+3-9-1=-6;
(2)
185
g(x)=2mx+[61n(mx)-15]x2H----x----^-+1,
mm
由于機(jī)>0,mx>0,故丁>0,即g(x)的定義域為(。,+8),
gr(x)=6mx2+6x+2[61n(mx)-15]xd----,
g\x)=12mx+6+12+2[61n(mx)-15]=12mx+121n(mx)-12,
令g"(x)=。得,mx-l+ln(mx)=0,
令Mx)=x+lnx-l,x>0,
則〃'(x)=I+:>0在(0,+8)上恒成立,
故/z(x)=x+lnx-l在(0,+8)上單調(diào)遞增,
又無(1)=。,由零點存在性定理知,"(%)=%+山%—1有唯一的零點x=l,
故儂:=1,即%=,時,滿足儂:-1+ln(儂:)=0,
m
當(dāng)了=’時,g215185…
版一版+版一版+1=1'
mm
故g(x)的拐點為[\,1]
2.(23-24高二下?寧夏?階段練習(xí))已知函數(shù)/(力=(十-1產(chǎn)—加.
(1)當(dāng)aWO時,求證:/(^)>-2x2-l;
⑵當(dāng)a=-L時,函數(shù)g(x)=〃x)-xe"+x在(0,+動上的最大值為加,求不超過加的最大整
數(shù).
【答案】⑴證明見解析;
⑵-1.
【分析】(1)令網(wǎng)力=/。)+2犬+1,利用導(dǎo)數(shù)證明網(wǎng)力向了0即可;
(2)利用導(dǎo)數(shù)求g(x)的最大值,得不超過機(jī)的最大整數(shù).
【詳解】(1)令P(x)=/(x)+2x2+l=(x—l)e,-加+2犬+1,
則尸,(x)=x(e*—2a+4),
當(dāng)aWO時,XW(F,0)時,F(xiàn)(x)<0,尸(x)單調(diào)遞減,
xe(O,+8)時,F(xiàn)(x)>0,尸(x)單調(diào)遞增,
則尸(力皿=/(°)=°,
所以F(x)20,HP/(X)>-2^2-1.
(2)當(dāng)<7=—1時,g(x)=/(-X)-xex+X=~&x+Xi+x,
g,(x)=-ev+2x+l,
令7z(x)=-e*+2x+l,貝I]=-e*+2,
當(dāng)xe(O,ln2)時,〃(x)>0,則函數(shù)g'(x)單調(diào)遞增,
xe(ln2,-H?)0t,〃(x)<0,則函數(shù)g'(x)單調(diào)遞減,
又g'(0)=0,g'⑴=3—e>0,8'(|]=4-”=而-府<0,
所以存在唯一的使55)=0,即e'o=2x0+l,
所以當(dāng)5e(O,x0)時,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,
xe(%o,+co)時,g<x)<0,g(x)單調(diào)遞減,
?二8(力2=4%),
x
/.m=g(x0)=-e°++x0=一(2/+l)+x;+x0=%o-%0-l=^x0----
又/所以機(jī)£〔一1,一^)'
所以不超過加的最大整數(shù)為-1.
類型三:利用二階導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的范圍
典型例題
例題1.(23-24高二下?江蘇蘇州?階段練習(xí))己知="為自然對數(shù)的底數(shù))
(1)求曲線y=/(x)在點(。,〃。))處的切線方程;
⑵求證:當(dāng)x>0時,恒成立;
x+2
kx
(3)已知左>0,如果當(dāng)x>0時,/(%)>£恒成立,求上的最大值.
【答案】⑴y=
(2)證明見解析
(3)1
【分析】(1)求導(dǎo),然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程;
(2)將不等式轉(zhuǎn)化為e,>x+l恒成立,構(gòu)造函數(shù)g(x)=e=x-1,x>0,然后求其最小值
即可;
(3)將不等式轉(zhuǎn)化為e'-l-丘>0恒成立,構(gòu)造函數(shù)/<x)=e,-l-尿,然后求導(dǎo)研究其最
值即可.
x
e"e'+l)-e“e'-l)2e
【詳解】(1)由已知1(尤)=\JT——-=7——口,
則:(。)=島4/(o)=^=o,
所以曲線y=/⑺在點(0,/(0))處的切線方程為y=;
(2)——------>1——oe">%+l,
v7x+2ex+lx+2e%+lx+2
設(shè)g(x)=e*-x-l,x>0,
則g,(x)=e#-l>0,所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,
所以g(x)>g(O)=O,BPex-x-l>0,
所以當(dāng)x>0時,/(無)恒成立;
kxp"-1kx
(3)當(dāng)x>0,左>0時,f(x]>-------0------->--------oe,一1〉"=e"—1一日>0,
')e%+lex+lex+l
令/z(x)=e*—1-Ax,x>0,貝(x)=e*-左,
令v(x)=e*—3則v'(£)=e,>。,所以“(x)在(0,+巧上單調(diào)遞增,
令〃(x)>0,得x>lnk,令〃(x)<0,得x<ln左,
當(dāng)In左V0,即0<發(fā)41時,/z(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,
所以/?)>刈。)=0,即e,1一履>0恒成立,
當(dāng)In左>0,即%>1時,可可在(0,19)上單調(diào)遞減,在(In左,轉(zhuǎn))上單調(diào)遞增,
所以“(In左)<人(0)=0,不符合e,-l-履>0恒成立,
所以0<左41,
所以當(dāng)x>0時,/(司>£恒成立,上的最大值為1.
e+1
【點睛】關(guān)鍵點點睛:本題第三問的關(guān)鍵是等價轉(zhuǎn)化為證明e*-1-履>0在(。,+8)上恒成立,
然后再設(shè)新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)得到范圍.
例題2.(23-24高三下?江西?階段練習(xí))記函數(shù)y=/(x)(xe。)在。上的導(dǎo)函數(shù)為y=/'(x),
若/'"(xA。(其中尸(x)=[(⑺]')恒成立,則稱y=〃x)在。上具有性質(zhì)
(1)判斷函數(shù)y=log〃x(a>0且awl)在區(qū)間(0,+巧上是否具有性質(zhì)M?并說明理由;
(2)設(shè)a,b均為實常數(shù),若奇函數(shù)8(切=2/+公2+三在》=1處取得極值,是否存在實數(shù)0,
使得y=g(x)在區(qū)間[c,+8)上具有性質(zhì)”?若存在,求出。的取值范圍;若不存在,請說
明理由;
⑶設(shè)ZeZ且左>0,對于任意的x?0,—),不等式1+E/+1>_L成立,求%的最大值.
XX+1
【答案】⑴不具有,理由見解析
(2)存在,(0,+巧
(3)3
【分析】(1)根據(jù)題意,求得了'(X)=:1""(#=/—1,結(jié)合新定義,即可求解;
xmaxIna
(2)根據(jù)題意,求得g(無)=2d+_|,得至i」g'(x)=6x2-5,進(jìn)而得到g"(x)=12x+葭,進(jìn)
而新定義,即可求解;
(3)根據(jù)題意,轉(zhuǎn)化為左<(x+l)1l+ln(x+l)]令/⑴=(x+l)[l+ln(x+l”,求得
XX
F,(x)「7n(;+1)T,令G(x)=x-ln(x+l)-1,利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)G(x)的單調(diào)性,結(jié)合
G(2)<0,G⑶>0,得到存在毛e(2,3),使G(%)=0,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性,求得尸(力的最
小值為尸小),由G(尤°)=。,得至貝nd+l)=x0—1,求得“x°)e(3,4),即可求解.
【詳解】(1)解:4y=/(^)=logfl^,xe(0,-H?),貝Ijr(x)=-^—(尤)=-^-,
xinaxma
-i_i
當(dāng)0<a<l時,f"(x)=——>0;當(dāng)<7>1時,/"(x)=——<0,
所以當(dāng)0<。<1時,函數(shù)y=log“x在區(qū)間(0,+8)上具有性質(zhì)M;
當(dāng)。>1時,函數(shù)y=logax在區(qū)間(0,+8)上不具有性質(zhì)M.
AA
(2)解:因為@(%)=2%3+加+_,所以/(%)=6%2+2以---,
因為g(x)在1=1處取得極值,且g(x)為奇函數(shù),
所以g(x)在尸一1處也取得極值,貝二)=6_2a_6=0,解得°=0,6=6,
所以8(%)=2_?+9,可得短(x)=6f-■與,
XX
當(dāng)x>0時,令g'(x)>0,解得x>l;令g'(x)<0,解得0<彳<1,
故g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,抬)上單調(diào)遞增,滿足g(x)在x=l處取得極值,
12
所以g"(x)=12%+12%-=12x+—,
當(dāng)x?0,E)時,g〃(x)=12x+了>0恒成立,
所以,存在實數(shù)C,使得y=g(x)在區(qū)間[G+°0)上具有性質(zhì)以,且C的取值范圍是(0,+8).
(3)解:因為xe(O,+s),所以l+ln(x+l)>上,即左<仁見土處必,
Xx+1X
令%)=(x+l)['n(x+l)],則/x)=i『)]
令G(x)=x-ln(x+l)-1,貝|G(x)=l--匚=上,
當(dāng)xe(0,y)時,G(x)>0,G(x)在區(qū)間(0,+巧上單調(diào)遞增,
又因為G(2)=l-ln3<0,G(3)=2-ln4>0,
所以存在與e(2,3),使G(/)=/_]n(Xo+l)_l=O,
因為當(dāng)xe(0,1)時,G(x)<0,F'⑺<0,網(wǎng)力在區(qū)間(0,X。)上單調(diào)遞減,
當(dāng)XW(M,+OO)時,G(尤)>0,廠'(尤)>0,*x)在區(qū)間上單調(diào)遞增,
所以當(dāng)x£(0,出)時,F(xiàn)(x)的最小值為尸(%)=(%+叩+皿/+川,
%
由G(^)=xo-ln(xo+l)-l=O,有l(wèi)n(xo+l)=%—l,
所以萬小)=(x°+l)["(x°T)Lx0+l,
%0
因為%e(2,3),所以網(wǎng)飛)?3,4),
又因為1<("+1)口:11@+1)]=/0)恒成立,所以左〈尸(%),
因為ZeZ且左>0,所以上的最大值為3.
【點睛】方法技巧:對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略:
1、通常要構(gòu)造新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求出最值,從而求出參數(shù)的取值范圍;
2、利用可分離變量,構(gòu)造新函數(shù),直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.
3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時,一般涉及分離參數(shù)法,但壓軸試題中很少碰到分
離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況,進(jìn)行求解,若參變分離不易求解問題,就
要考慮利用分類討論法和放縮法,注意恒成立與存在性問題的區(qū)別.
練透核心考點
1.(23-24高三下?山東濰坊?階段練習(xí))己知函數(shù)/⑺二"-:必一天.
(1)若Ax)在R上單調(diào)遞增,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)當(dāng)。=1時,證明:Vxe(-2,+co),/(%)>sinx.
【答案】(1)[1,+8)
(2)證明見解析
【分析】
(1)求得/■'(x)=ae「x-l,轉(zhuǎn)化為尸(元)20在R上恒成立,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為。上?在R上恒
成立,令〃(x)=*,得出函數(shù)以無)的單調(diào)性和最大值,即可求解.
(2)當(dāng)。=1時,得到當(dāng)尤>o時,只需使得/(x)>l,利用
導(dǎo)數(shù)求得Ax)單調(diào)遞增,得到/。)>/(0);當(dāng)x=0時,顯然滿足當(dāng)-2<x<0時,
由sinxvO和/(%)>。得至!J/(%)>sinx,即可得證.
【詳解】⑴
x
由函數(shù)/(x)=ae”-g%2一%,可得f(^x)=ae-x-lf
因為在R上單調(diào)遞增,可得廣(%)2。在R上恒成立,
即ae,-x-l±O在R上恒成立,即。士一^在口上恒成立,
e
令Mx)=*,可得〃(同=匕"=/,
當(dāng)x>0時,〃(x)<0,4(無)在(0,+s)單調(diào)遞減;
當(dāng)x<0時,h'(x)>0,4(x)在(-℃,0)單調(diào)遞增,
所以當(dāng)x=0時,函數(shù)力⑺取得極大值,最大值〃9)=1,所以421,
即實數(shù)。的取值范圍為工").
(2)
當(dāng)。=1時,〃x)=e-gx2-無,可得/(0)=1
可得/'(x)=e*—x—l,要使得f(x)>sinx,只需使得/(x)>l,
當(dāng)x>0時,令g(x)=r(x)=e*-x-l,可得g[x)=e,-l?0,
所以g(無)在?+◎上單調(diào)遞增,
又由g(0)=0,所以g(x)>g(x)=o,所以〃x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,
所以/。)>/(0)=1;
當(dāng)x=0時,可得/(。)=1且sin0=0,所以/(0)>sin0,滿足/(x)>l;
11111
當(dāng)一2<%<0時,可得sinx<0,因為e">0且—x2—x=—(x+1)9-\—>—(—2+1)9H—=0,
所以/(x)>。,所以/(x)>sinx,
綜上可得,對于八€(-2,+8),都有f(x)>sinx.
【點睛】
關(guān)鍵點睛:本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解參數(shù)范圍以及利用導(dǎo)數(shù)證明不
等式,解答的關(guān)鍵是將證明Vxe(-2,+”)時,不等式/(x)>sinx成立,轉(zhuǎn)化為證明
然后分類討論x的取值范圍,結(jié)合函數(shù)單調(diào)性,即可證明結(jié)論.
2.(2023?河南?三模)已知函數(shù)/(x)=lnx-x+2,e為自然對數(shù)的底數(shù).
⑴若此函數(shù)的圖象與直線x=」交于點P,求該曲線在點P處的切線方程;
e
⑵判斷不等式“X)>0的整數(shù)解的個數(shù);
⑶當(dāng)J<e2時,a)/0)《屁2---1,求實數(shù)。的取值范圍.
X
【答案】⑴y=(e—D%
(2)3
⑶QW1---
e-1
【分析】
(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得直線的斜率,繼而可解;
(2)利用導(dǎo)數(shù)考查函數(shù)/(x)的單調(diào)性,確定零點所在區(qū)間即可求解;
(3)變形不等式,參變分離后,利用換元法變形不等式,利用導(dǎo)數(shù)考查函數(shù)的單調(diào)性即可
求解.
【詳解】(1)=所以「囚=e-l,又/口=1/」+2=1」
x<eJeee
所以該曲線在點尸處的切線方程為:y-1l-5=(e-l)[x-5,即y=(e-l)x
(2)的定義域為(0,+s),r(x)=:-l=T,
當(dāng)無?o,i)時,r(x)>o,/(X)單調(diào)遞增;
當(dāng)xe(l,+8),r(x)<0,/(x)單調(diào)遞減.
又(£|=-|<0,/(1)=1>0,
/(3)=ln3-l>0,/(4)=ln4-2<0,
所以,不等式/(力>0的整數(shù)解的個數(shù)為3.
(3)不等式(1+/(尤)-尤e~*—1
可整理為11+4$-"、三--1y+l<0,
卜eyee
令p(x)=-y,0'(x)=L^,
ee
所以當(dāng)xe(OQ,/(%)>0,p(x)單調(diào)遞增,
當(dāng)xe(l,+oo),p,(x)<0,p(x)單調(diào)遞減,
所以p(龍)Wp(l)=e,又x>ef
x
所以令/=告€(1,田,貝-1-----1--
eInfr-1
令版尤)=」....-(xe(l,e]),
Inxx-1
rI、1111x
貝!]h(X)=-------z-H------z-=-------z-H------z-
x(lnx)2(x-1)2x(Inx)2(x—I)2
2
rr-n
令s(x)=(Inx)2--------(xG(1,e]),
x
21nx-x+—
則,/、21nx1
s(x)=------1+==X
xxx
令4(x)=21nx-x+L(XG(l,e]),
x
則.(尤)="]一/("I/<0,(xe(l,e]),
XXX
所以q(x)單調(diào)遞減,夕⑺<則=0,
所以丁(九)〈0,s(x)單調(diào)遞減,5(%)<5(1)=0,
所以(Inx)2<0°(xG(l,e]),
x
LLI1X1X
所以正h\x)=~-------------7<0
X(Inx)2(1)2
所以"(%)單調(diào)遞減,/z(x)>/i(e)=l--^-
所以4<1-----.
e-1
【點睛】
方法點睛:導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法:一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性,常
化為不等式恒成立問題.注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用;二是函數(shù)的零點、不等式證
明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理.
類型四:利用二階導(dǎo)數(shù)證明不等式
典型例題
例題L(23-24高二下?江蘇蘇州?階段練習(xí))已知=(e為自然對數(shù)的底數(shù))
(1)求曲線y=〃x)在點(0,〃0))處的切線方程;
⑵求證:當(dāng)x>0時,/(%)>工;恒成立;
kx
⑶己知人>0,如果當(dāng)x>0時,〃x)>丁二恒成立,求上的最大值.
e+1
【答案】(i)y=;x
(2)證明見解析
(3)1
【分析】(1)求導(dǎo),然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程;
(2)將不等式轉(zhuǎn)化為e*>x+l恒成立,構(gòu)造函數(shù)g(x)=e'-x-1,尤>0,然后求其最小值
即可;
(3)將不等式轉(zhuǎn)化為e,-l-船>0恒成立,構(gòu)造函數(shù)/<x)=e「l-履,然后求導(dǎo)研究其最
值即可.
rxx
e(e'+l)-e(e'-l)2e
【詳解】(1)由已知廣⑺='J、”——-=-——J,
H+1)…
貝”'⑼=舟!〃。)=皋=。,
所以曲線y=/(x)在點(。"(。))處的切線方程為y=
(2)/(x)——->—->1———<^>ex>x+l
')x+2ex+lx+2ex+lx+2
設(shè)g(x)=e*-x-l,x>0,
貝iJg,(x)=e,-l>0,所以g(x)在(0,+⑹上單調(diào)遞增,
所以g(x)>g(O)=O,即e*-x-l>0,
所以當(dāng)x>0時,恒成立;
x+2
(3)當(dāng)x>0,左>0時,/⑴〉"o'——1〉"oe*-l〉fcxoe--1-fcr>0,
J')ex+lex+lex+l
令/z(x)=e"-1-Ax,x>0,則”(x)=e"-左,
令v(x)=e"-左,貝iJM(x)=e'>。,所以〃⑺在(。,+“)上單調(diào)遞增,
令”(x)>0,得x>ln左,令”(尤)<0,得%vln左,
當(dāng)Ink40,即0v左<1時,九⑺在(。,+8)上單調(diào)遞增,
所以"尤)>網(wǎng)0)=0,即e-l—履>0恒成立,
當(dāng)111左>0,即左>1時,,⑺在(0,In左)上單調(diào)遞減,在(In玄位)上單調(diào)遞增,
所以/z(lnZ:)v/i(O)=O,不符合e-1—區(qū)>0恒成立,
所以0v左41,
所以當(dāng)x>0時,/(力>壬恒成立,左的最大值為1.
e+1
[點睛】關(guān)鍵點點睛:本題第三問的關(guān)鍵是等價轉(zhuǎn)化為證明e*-1-履>0在(。,+8)上恒成立,
然后再設(shè)新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)得到范圍.
例題2.(2024,黑龍江齊齊哈爾,_■模)已知函數(shù)/'(x)=alnrH----,aGR.
x
(1)當(dāng)4=2時,求曲線y=〃x)在點(1,“功處的切線方程;
(2)當(dāng)x20時,證明:e'ln(x+l)+e-x-cosx>0.
【答案】(1)尤7-1=。
(2)證明見解析
【分析】(1)求導(dǎo)可得斜率,結(jié)合點斜式方程求解即可.
(2)求g'(x),運用Inx+^Nl放縮可得g'(x)之e*-eT+sinx,Tg/z(x)=eY-e-'r+sinx,求
導(dǎo)可得“⑺,結(jié)合基本不等式可得"(x)20,從而可得g(x)單調(diào)性,進(jìn)而可證得結(jié)果.
【詳解】(1)解:當(dāng)。=2時,〃尤)=21nx+T,貝廳⑴=21nl+¥=0,
又尸(x)=2-4=號,所以-⑴:筆匚=1,即左=/■'⑴=1,
XXXL
所以在點(1,0)處的切線方程為y=x-1,即尤-y-1=0;
(2)證明:設(shè)g(x)=e*ln(x+l)+er-cos%(x>0),則g(0)=0,
g[x)=eXln(x+l)H——彳-e~x+sinx,
設(shè)“。)=lnx+L則二二二,
XXXX
當(dāng)無€(。,1)時,〃(X)<O,"(X)單調(diào)遞減,
當(dāng)xe(l,+o))時,4(尤)>0,H(x)單調(diào)遞增,
.-.H(x)>H(l)=lnl+l=l,
lux4—21恒成立,
由lnx+工之1可知ln(%+l)+」■^之1,
所以g'(%)NeX-er+sinx(x>0),
設(shè)〃(x)=e"-er+sinx(x>0),則%(0)=0,
"(x)=ex+e-x+cosx>27ex-e-x-1=l>0,
所以當(dāng)時,h\x)>0,M%)單調(diào)遞增,^(x)>7z(x)>/i(o)=o,
所
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