數(shù)列通項公式求法講義-2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

數(shù)列通項公式求法

類型一公式法：對于給出明與S“關(guān)系式，求數(shù)列通項公式明

【典例1】(1)設(shè)S,是數(shù)列｛4｝的前/項和，且S,=2a“+〃，則｛為｝的通項公式為4=

n=

⑵已知數(shù)列｛q｝滿足%+2%+3%++nan=(2n—1)-3,zzGN,貝！|%=,

⑶在數(shù)列｛%｝中，已知%=1,2Sn=anH---,(an>0),求S“和明.

an

【變式1】數(shù)歹U｛a,｝的前n項和為Sn=/_2〃+3,貝ijan=.

【變式2]若數(shù)列｛4｝是正項數(shù)列，且也+依+…+如=/+3n(neN*),貝Uan=.

_______________________________________________________________________________________

敷網(wǎng)的通電也與麗”項和S.的關(guān)系是a.*、，-?時?1時，/《堵白，-，「則”=1

的情祝可并入it22”的?4h>.;=1時.若o,不適合S,-S.T???用分段■■第七式愛示.

類型二累加法：形如a.=4+/(“)型的遞推式

【典例2】已知12+2?+…+〃2=，〃(〃+1)(2〃+1),數(shù)列｛q｝滿足="+2〃+1,fl1=1.

6

求｛4｝的通項公式.

【變式1】已知在數(shù)列｛q,｝的前〃項之和為s”，若q=2,a.M=an+2"T+1,則4=.

2

【變式2】已知數(shù)列｛4｝滿足％=1,%+1=凡+，則%=

當(dāng)數(shù)列的通項a“滿足形如?！?1=4+/(〃)型的遞推式時，可采用“累加法(疊加法)”的方法求解通

項公式a“=(a?-a?_|)+(a?-1-a?-2)+--+(a2-al)+a1

類型三累乘法：形如%+]=4?/(〃)型的遞推式

【典例3】設(shè)數(shù)列｛斯｝中，QI=2,an+i=----an,則斯=.

n+1

【變式】已知q=l,=〃(%+1%),則數(shù)列｛%｝的通項公式是.

當(dāng)數(shù)列的通項％滿足形如4M=4?/(〃)型的遞推式時，可采用“累乘法(疊乘法)”的方法求解通項|

4%%a,

公式4,=一.%

的%%

類型四數(shù)列的周期性

【典例4](1)已知數(shù)列｛斯｝中,。1=2,。2=4,?！??！?1+?！?2=2,則。2023=()

A.4B.2C.-2D.-4

(2)設(shè)數(shù)列｛斯｝滿足=匕%\且Q1二;則02023=()

1—an2

A.3B.--C.-D.-2

32

【變式】在數(shù)列｛〃〃｝中,。1=1,?！?1+(-1)%"=2,〃￡>1*,則｛〃〃｝的前2023項和為.

類型五轉(zhuǎn)化為｛工｝、｛向卜｛。：｝……等形式的等差、等比數(shù)列再求明

*

【典例5】在數(shù)列｛%｝中，已知q=l.

(1)若瓦―北二=2("22),則%=.

1

⑵若an+1+an=--(%>0),則a?=.

aa

n+l-?

2a

(3)若4+i=^7^，貝'

類型六構(gòu)造法：形如4+i=pa?+f(n)的遞推式

1、形如4+i=pa“+q(p*20)型的遞推構(gòu)造等比數(shù)列｛%+k｝

【典例6】已知數(shù)列｛七｝中，q=3,an+l=2an+1,求明.

2、形如an=pan_1+qn+r(nN2,pq手0)型遞推構(gòu)造等比數(shù)列｛%+如+可

［典例7］已知數(shù)列｛%｝中，％=1,a“+i=2?！?2”+1,求4.

3、形如an+l=%+""型遞推相除法構(gòu)造等差數(shù)列之＞

［PJ

［典例8］已知在數(shù)列｛4｝中，有an+l=3an+3日,q=3,求通項公式an.

4、形如an+i=pa.+r?4”型遞推

［典例9］已知數(shù)列但〃｝中，q=1,an+1=2an+3",求凡.

5、形如an+l=pan+Aq"+B型遞推構(gòu)造等比數(shù)列［an+xq"+y｝

【典例10】已知在數(shù)列｛4｝中，有4+i=24+23+1,%=3,求通項公式.

類型六構(gòu)造法：利用取倒數(shù)、同除、取對數(shù)、因式分解等方式變形

6、形如an+l=P%與形如pan=qan+x-an+ran+l型遞推式

qa”+r

【典例已知數(shù)列｛a〃｝中，％=1,且當(dāng)時，an=,求通項公式a“.

3a“_1+2

(2)已知在數(shù)列｛a〃｝中，％=1,且*/0,an+1-an^2an+ian,求

【變式】已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為S,，且滿足q=l,a?+25?S?_1=0(?>2).

(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求｛”,｝的通項處.

7、形如xa“+2+yan+l+za“=0型遞推式

［典例12］已知數(shù)列｛a“｝滿足a“+i=3%,-2an_x,〃》2,%=1,4=2,求｛a“｝的通項an.

8、形如pa：型遞推式兩邊取對數(shù)后構(gòu)造等比數(shù)列

【典例13】已知在數(shù)列｛a“｝中，％=3,a“+i=a『，求

9、因式分解

【典例14］

設(shè)數(shù)列｛%｝是首項為1的正項數(shù)列，且〃“3-(〃+1)“；-????+1=o

(〃QN*),求數(shù)列的通項公式.

課后作業(yè)

[1]lg(S.一1)=〃(”eN,n>\).

⑵而1F，〃eN*.

n

卬=1.

〃+2

[4]。]=4,。同=4%-6.

[5]ax+2a2+3a3+......+〃q,=〃+l(〃eN*

⑹％=1,S.-，+]=O(〃eN*).

+

【7】???+1-(?+1)??=l(neN),%=4.

【8】ax=1,a2=2,an+2-2an+l+??=1.

[9]4S?=(2n+lX+l(nGN-).

[10]q=l,4+1=