雙變量問題-2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

雙變量問題

題型分析雙變量問題運算量大，綜合性強，解決起來需要很強的技巧性，解題

總的思想方法是化雙變量為單變量，然后利用函數(shù)的單調(diào)性、最值等解決.

題型一利用雙變量的關(guān)系化為單變量

例1已知函數(shù)_/(x)=,一x+alnx,a>2.設(shè)xi,X2是的兩個極值點，且X2>xi,

若g(x)=?xi)—X%2)一(Q—2)(X1—X2),證明：g(x)>o.

1,ax2—tzx+l

證明r(x)=-?-i+-=--『一.

,,,‘口a—yja2—4.〃+*\/次一4

若。>2,令/(x)=0,得%i=9或％2=n

由于兀V)的兩個極值點%1,X2滿足——Qx+lu。,

所以X1X2=L

又因為所以X2>1.

又g(%)=/(%i)一(Q-2)(xi-%2)=[—(xi—42)+o(lnxi-InX2)―(tz—2)(xi

—X2)=+%2J=一a—+21nX2—%2

X2)

設(shè)9(1)=」一九+21n%,x>l,

(x-l)2

9'(%)=一Z2V0，

人

夕(%)在(1,+8)單調(diào)遞減,且9(1)=0,

從而當(dāng)無￡(1,+8)時，9(%)<0.

所以工+21nX2~X2<O,故g(%)>0.

X2,

感悟提升當(dāng)XI,X2是函數(shù)人X)的兩個不等的極值點時，XI,X2是方程了(%)=0的

兩個不等實根，由根與系數(shù)的關(guān)系可得XI,X2之間的關(guān)系，由此可利用替換法將

雙變量化為單變量.

訓(xùn)練1(2023?長春質(zhì)檢改編)已知?x)=；x2—'2x+2alnx有兩個極值點xi,X2,證明:

Xxi)+/x2)>—3.

2ax2-2x~\~2a

證明

f(x)=x-2+—A=------A-------(x>0)

?.?函數(shù)/(X)有兩個極值點XI,X2,

二.方程x2—2X+26Z=0有兩個正根xi,X2.

X1+X2=2,

且』=4一8。>0,

xi*X2=2。>0,

解得0<4Z<1.

由題意得於1)+火X2)=品一2xi+2〃lnxi—2x2+2tzlnX2=+x^)—2(xi+%2)

+2〃ln(%i?％2)=^(xi+x2)2-xi-X2-2(x1+%2)+2〃ln(xi?42)=2aln(2a)—2a—2,

令/Z(Q)=2〃ln(2。)一2a—2^0<6z<2^.

則"(a)=21n(2〃)V0,

???丁=/2(〃)在(0,3J上單調(diào)遞減，

/z(6i)>/z^j=-3,

?\/(%l)+?X2)>—3.

題型二作比整體代換法

例2(2023?德州質(zhì)檢)已知函數(shù)火%)=加1%一米工2一%,加￡區(qū)若於)有兩個極值點％1,

%2,求證：Inxi+ln%2>2.

證明若?￥)有兩個極值點XI,X2,

即函數(shù)/(X)有兩個變號零點，

又/(x)=lnx—mx,

所以的,42是方程/(X)=O的兩個不同的實根，

Inxi—mxi=0,Inxi+lnx2

即《解得m—

[InX2—mx2=0,Xl+%2

另一方面，得InX2—Inxi=m(%2—xi),

ln%2—InxiInxi+ln%2

從H而可得--------------------

X2~X1X1+X2

-1+7In-

日(lnx2Inxi)(%2+xi)x”無i

于xiInxi+lnX2—

X2~X1

--1

XI

不妨設(shè)0<Xl<X2,

設(shè)片色則》L

.,,,1(1+，)Int

因此Inxi+InX2=---------:，t>1.

t—1

要證lnxi+lnx2>2,

曰(1+l)Int

即證---------->2,t>l,

t—1

曰L,2(t—1)

即當(dāng)時，有l(wèi)n%>—

、H十山12(t—1)

設(shè)函數(shù)/z?)=ln1———,t>l,

則"(/)=:2G+1)—2(7—1)(?—1)2

->0,

(r+1)2777+T)

所以/?⑺在(1,+8)上單調(diào)遞增.

又以1)=0,因此以。>/2(1)=0.

.,2(t—1)

于是當(dāng)時，有In?——:—.

所以Inxi+ln%2>2成立.

感悟提升對含參數(shù)的雙變量不等式的證明，一般要利用條件消去參數(shù)，把所證

明的不等式化為僅含XI,改的式子，通過運算，構(gòu)造/=?,/=X1X2,/=X1—X2等

X2,

為變量的新函數(shù)，利用這個新函數(shù)的性質(zhì)解決.

訓(xùn)練2(2023?南通模擬改編)已知函數(shù)段)=ae-x,a?R.若外)有兩個不同的零點

XI,X2,證明：X1+X2>2.

X

證明由兀r)=ae*—x=0,得工一。=0,

,XI11—x

令g(x)=￡—a,則8'(%)=一廠，

由g'(x)=F->0,得X<1；

1—X

由g'(x)=T<0,得x>L

所以g(x)在(一8,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，

由于XI,X2是方程g(x)=o的實根，

不妨設(shè)X1<1〈X2.

設(shè)O<X1V1VX2,

由g(xi)=g(x2),得xie-xi=x2e—X2,

等式兩邊取對數(shù)得Inxi—xi=lnX2~X2.

令t=~>l則X2=txi,代入上式得Inxi—xi=Int+ln

Xl9

/曰Inttint

XI=；—-,X2=~~

t—1t—1

北)([+1)Int2(t—1)

所以為+期=「^—>2QlnL幣〉0,

、2(t—1)

設(shè)/z(O=lnt—~—?>1),

2

所以"(/)=:2(?+1)—2(/—1)(?—1)

->0,

(r+1)2777+T)

所以當(dāng)t>l時，力⑺單調(diào)遞增，

所以人⑺>%(1)=0,

所以In>0,故XI+%2>2.

題型三極值點的偏移

例3已知函數(shù)/0)=泥-"，如果X1WX2,且應(yīng)￥1)=/(%2),求證：Xl+X2>2.

證明法一(對稱化構(gòu)造法)

H工)=泥=，f(x)=e^x(l-x),

令/(x)=0,解得x=l.

當(dāng)x變化時，/(%),人功的變化情況如下表:

X(一8，1)1(1,+°0)

f(x)+0一

7c

由X1WX2,不妨設(shè)X1>X2,

V>1)=>2),

結(jié)合圖象可知X1>1,X2<1,

.".2—xi<l,xi+x2>2=X2>2—xi<=>/(X2)>y(2—^i)<=>/(xi)>y(2—

xi)>0.

令尺x)=Ax)一火2—x),%e(l,+8),

則F'(x)=(x—l)(e2%-2—l)e-JC.

Vx>l,2x—2>0,

：.e2x-2-l>0,則歹(x)>0,

，尸(九)在(1,+8)上單調(diào)遞增,

當(dāng)x>l時，F(xiàn)(x)>F(l)=O,

即當(dāng)％>1時,j(x)>fi2-x),

則?n)〉/(2—xi).

法二(比值代換法)

設(shè)0<尤1<1<左2,y(xi)=y(x2),

即》11口=工21*2,

取對數(shù)得Inxi—xi=InX2~X2.

令/=起>1,則％2=比1,代入上式得

Inxi—xi=Int+lnxi-txi9

,曰Inttint

侍~7，X2=-_7.

t—1t—1

.(，+l)Int2(t—1)

/.xi+x2=：一;〉2=lnt—rv;>0,

t—1t~r1

、2(t—1)

設(shè)g?)=lnt--干一(r>l),

.12(，+l)—2(t—1)(t—1)2

???g")=7—(r+D2=t(r+i)2>0,

??.當(dāng)/>1時，g⑺單調(diào)遞增,

??.g?)>g(l)=O,

.2(t—1),,

/.Int~>0,故XI+12>2.

感悟提升極值點偏移問題的常見解法

1.(對稱化構(gòu)造法)構(gòu)造輔助函數(shù)：對結(jié)論XI+X2>(V)2XO型，構(gòu)造函數(shù)F(x)=/(x)

-filxo—x)；對結(jié)論X1X2>(<)看型，構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x')—^~j,通過研究R(x)的

單調(diào)性獲得不等式.

2.(比值代換法)通過代數(shù)變形將所證的雙變量不等式通過代換化為單變量的

函數(shù)不等式，利用函數(shù)單調(diào)性證明.

訓(xùn)練3已知函數(shù)火x)=(x—2)卜+。。-1)2有兩個零點，a>Q,設(shè).，及是八工)的

兩個零點，證明：X1+X2<2.

證明/(x)=(x—l)(e%+2a),

??優(yōu)X)的極小值點為x=l.

***/^l)=X^2)=0,不妨設(shè)X1<1<X2,

要證》+尤2<2,

即證X2<2—XI.

若2—XI和X2屬于某一個單調(diào)區(qū)間，那么只需要比較五2—XI)和?X2)的大小，

即探求人2—X)一次外的正負性.

于是構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)=j\2—x)—j{x},X<1,

代入整理得F(x)=—xex+2—(%—2)-e\

求導(dǎo)得〃(x)=(l—x)(e*—「*+2).

當(dāng)x<l時，F(xiàn)(x)<0,

則尸(x)在(一8,1)上的單調(diào)遞減.

于是網(wǎng)力>網(wǎng)1)=0,

則人2—力一火x)>0,

即火2—

將XI代入上述不等式中，

則五X2)=AXI)<_/Q—XI),

即人X2)<y(2—xi).

又函數(shù)人X)在(1,+8)上的單調(diào)遞增，

且X2,21%1G(1,+°°),

所以.故X1+X2<2得證.

分層精練?鞏固提升

【A級基礎(chǔ)鞏固】

1.已知函數(shù)7(x)=alnx+Tx2,在其圖象上任取兩個不同的點尸(xi,刀)，。(&，p)(xi

>X2),總能使洋a』―/(松)〉2,求實數(shù)。的取值范圍.

X[-X2

./(XI)—f(X2)

解由>2,xi>X2>0,

X\~X2

二?火工1)―/(%2)>2x1—2x2,

—2x1>y(X2)—2x2,

構(gòu)造函數(shù)g(x)=於)-2x=aln%—2x,則g(xi)>g(x2),

?,.g(x)在(0,+8)上為增函數(shù)，

由于g<x)=W+x—2,

則gXx)20對任意的%￡(0,+8)恒成立，

由g'(%)=一+%—220,可得〃2—X2~I~2X

x9

當(dāng)x>0時，則y=—f+21=—(x—1)2+1忘1,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時，等號成立，

因此實數(shù)。的取值范圍為[1,+8).

Y2

2.(2023?蘇州模擬改編)已知函數(shù)八%)=了一21n%.若函數(shù)作)有兩個零點九i,%2al

<X2),證明：Xl+X2>4.

證明J(x)=-^—21nx,x>0,

x2—4

/(x)=WJ，知五x)在(0,2)上單調(diào)遞減，

在(2,+8)上單調(diào)遞增，》=2是極值點，

又XI,X2為函數(shù)“X)的零點，

.*.0<Xl<2<X2,

要證X1+X2>4,只需證X2>4—XI.

(4—Xi)2v-2

一xi)=4-21n(4一xi)—一2xi+4-21n(4一xi),

%?

火的)=w-21nxi=O,

/./(4—xi)=21nxi—2xi+4—21n(4—xi),

令/z(x)=21nx—21+4—21n(4—x)(0V%V2),

2,22(x—2)2

則旗x)=12+==x(4f)>0,

在(0,2)上單調(diào)遞增，

：.h(x)<h(2)=0,

.?優(yōu)4-xi)V0=/S),

又汽x)在(2,+8)上單調(diào)遞增，4-XI>2,X2>2,

.".4—X1<X2,即Xl+x2>4得證.

3.(2023?湖南名校聯(lián)考)已知函數(shù)八x)=xlnx—ax2,aGR.

(1)若人x)存在單調(diào)遞增區(qū)間，求a的取值范圍；

(2)若xi,X2為_/(x)的兩個不同的極值點，證明：3Inxi+lnx2>~1.

(1)解=%lnx—ay?,aGR,x>0,

=Inx+1—lax,

?.7a)存在單調(diào)遞增區(qū)間，

：.f(x)=l+lnx-2ax>0有解，

即人7—>2a有解.

.1+lnxi—Inx

令g(x)=-A-一，則g'(x)=A2，

當(dāng)x?(0,1)時,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x?(l,+8)時,g，a)V0,g(x)單調(diào)遞減.

??.當(dāng)x=l時，g(x)取得最大值，最大值為g(l)=l,

故2aVg(l)=l,解得aV,

故a的取值范圍是(一8,

(2)證明V/(x)=lnx+1-lax,

/.xi,%2是方程ln%=2ox—1的兩個不同的根,

即Inxi=2^xi—1,①

InX2=2ax2~1,②

要證31nxi+In%2>—1,

即證2Q(3XI+42)>3.

mInxi—lnx2

①一②，得2Q=-----------，

__lnxi—lnx2,

即證(3xi+X2)>3,

X1~X2

VI

顯然XI,X2>0,不妨設(shè)Xl>X2>0,t=~,

XI

則t>l,

即證筆(3f+D>3,

t—1

tm、3Ct—1)

即證Int——3d]—>0.

3(f-1)

設(shè)/?(r)=Int——彳口一，

…,八112(3D2

人|]h(0=y-(3r+1)2=t(3r+i)2?

當(dāng)/e(l,+8)時，〃⑺>o,

，人⑺在(1,+8)上單調(diào)遞增,

當(dāng)時，h(t)>h(l)=0,

故31nxi+lnx2>—1得證.

【B級能力提升】

4.(2022?全國甲卷節(jié)選)已知函數(shù)五x)=8—Inx+x—a,證明：若人s有兩個零點

XI,X2,則XIX2Vl.

證明火幻的定義域為(0,+8).

(ex+x)(%—1)

由/(%)=

x2-X+1=

可得函數(shù)人功在（0,1）上單調(diào)遞減，在（1,+8）上單調(diào)遞增.

法一不妨設(shè)X1<X2,

則0<Xl<l<X2,工>1.

XI

令F（x）=?-^,

7

4

(ex+x)(x—1),1(x—1)1

則F\x)=-------不-------??齊=9(e%+x-xe-1).

41x