浙江省臺州市2025屆高三年級上冊一模數(shù)學(xué)試題（含解析）

臺州市2025屆高三第一次教學(xué)質(zhì)量評估試題

數(shù)學(xué)

2024.11

本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.請考生按規(guī)定用筆將

所有試題的答案涂、寫在答題紙上.

選擇題部分（共58分）

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.已知tanc=2,則cos2i的值為（）

33

C.一D.--

55

【答案】D

【解析】

【分析】利用二倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切，再代入計算可得.

【詳解】因為tantz=2,

2222

-2.costt-sina1-tana1-23

所以cos2a=cosa-sm2a=——---------=——-----=———=——.

sina+cosatana+12+15

故選：D

2222

2.橢圓￡:二+乙=1與橢圓反：^—+”—=1（0（左＜4）的（）

19429-k4—k

A.長軸長相等B.短軸長相等

C.離心率相等D,焦距相等

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)橢圓的方程，得到a,b,c,即可判斷.

【詳解】對于橢圓4：如=9,牙=4方=5,

對于橢圓E2：=9—k,b：=4—k,c；=5,

所以它們的長軸不相等，短軸不相等，離心率不相等，焦距相等.

故選：D.

3.若復(fù)數(shù)z是方程尤2一2%+5=0的一個虛根，則z+N=()

A.-2B.2C.-4zD.4z

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)“方程的虛根成對出現(xiàn)，且互為共軌”，同時利用根與系數(shù)的關(guān)系，即可得到答案.

【詳解】因為方程的虛根成對出現(xiàn)，且互為共軌，所以一個根為z時，另一個根必然為三，

所以由根與系數(shù)的關(guān)系，z+z=2.

故選：B.

4.已知集合4=卜,2+2%<3},§={%忙+%<3卜則“xeA”是“xeB”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】求得集合A3,可得結(jié)論.

【詳解】由7+2%<3,可得—3<%<1,所以A={R—3<x<l},

因為/(%)=2工+》在R上單調(diào)遞增，又/(1)=3,

由2'+xv3，可得％<1,所以8={%|%vl},所以Au5,

所以“％￡A”是"%e3”的充分不必要條件.

故選：A.

v—bx+o+c

5.已知變量％與y的成對樣本數(shù)據(jù)具有線性相關(guān)關(guān)系，由一元線性回歸模型?、八一，：2根據(jù)最

E(e)=0,D(e)=c,

小二乘法，計算得經(jīng)驗回歸方程為9=L6x+d,若7=10，7=15,則6=()

A.6.6B.5C.-1D.-14

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)樣本中心在回歸直線上求解.

【詳解】因為經(jīng)驗回歸方程為9=L6x+。，且[=10，＞=15,

所以6=15—1.6x10=-1,

故選：C

6.已知/(幻是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)xe(0,+8)時，/(x)=log3x,則/(—9)=()

A.-3B.-2C.2D.3

【答案】B

【解析】

【分析】利用函數(shù)的奇偶性求解.

【詳解】根據(jù)題意，/CO是定義在R上的奇函數(shù)，

當(dāng)xe(0,+8)時，/(x)=log3x,

則/(-9)=-/(9)=-log39=-2.

故選：B

7.已知球。的半徑為3,P是球。表面上的定點，S是球。表面上的動點，且滿足

(2SO+SP》OP=0,則線段OS軌跡的面積為()

A.3立71B.3下itC.6&兀D.66兀

【答案】C

【解析】

【分析】以球。的球心為坐標(biāo)原點，OP所在的直線為了軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)S(x,y,z),根據(jù)

題設(shè)可得x=l,在線段OP取點“，使從而得線段QS軌跡為圓錐的側(cè)面，即可求解.

【詳解】如圖，以球。的球心為坐標(biāo)原點，0P所在的直線為了軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

因為球。的半徑為3,則P(3,0,0),設(shè)S(x,y,z),

貝USO=(—x,—y,—z),SP=(3—x,—%—z),所以2SO+SP=(3—3x,—3y,—3z),

又OP=(3,0,0),(2SO+SPyOP=Q,則3(3—3x)=0,得到尤=1,

如圖，在線段OP取點，，使所以線段QS軌跡為圓錐O”的側(cè)面，

又|OS|=3,則號叫=5萬=2式,所以圓錐OH的側(cè)面積為5=兀|邱|[05]=6及兀,

所以線段OS軌跡的面積為6缶，

z，

故選：C.

8.臺州某校為陽光體育設(shè)計了一種課間活動，四位同學(xué)（兩男兩女）隨機(jī)地站到4X4的方格場地中（每人

站一格，每格至多一人），則兩個男生既不同行也不同列，同時兩個女生也既不同行也不同列的概率是（）

24122133

A——B.—C.—D.

65356591

【答案】D

【解析】

【分析】利用排列法求得總的方法數(shù)為A%,利用間接法求得兩個男生既不同行也不同列，同時兩個女生也

既不同行也不同歹U的方法數(shù)為（4X4X3X3）2—4X4X3X3X（2+32）,從而可求概率.

【詳解】從16個格子中選4個排4個人有A%種排法，

兩個男生既不同行也不同列的排法有4x4x3x3種排法，

兩個女生也既不同行也不同列的排法有4x4x3x3種排法，

兩名女生與兩名男生排在一起的排法有4x4x3x3x2,

兩名女生中有一名與男生排在一起的排法有4x4x3x3x4x8,

所以兩個男生既不同行也不同列，同時兩個女生也既不同行也不同列（每人一格）有

（4x4x3x3）2—4x4x3x3x（2+32）種，

所以兩個男生既不同行也不同列，同時兩個女生也既不同行也不同列的概率是：

（4x4x3x3）2—4x4x3x3x3416x9x（16x9—34）33

=晨=91■

故選：D

【點睛】關(guān)鍵點點睛：重點在于求得4個各站一格且兩個男生既不同行也不同列，同時兩個女生也既不同

行也不同列的方法數(shù)，適用間接法.

二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.下列選項正確的是()

14

A.若隨機(jī)變量X~3(6,7,則。(X)=]

B.若隨機(jī)變量X~N(6,4),則E(X)=6

C,若隨機(jī)變量X服從01分布，且P(X=1)=；,則。(X)=；

2

D.若隨機(jī)變量X滿足P(X=左)=，4=0,1,2,則E(X)

建3

【答案】ABD

【解析】

【分析】A.由隨機(jī)變量服從二項分布求解；B.由隨機(jī)變量服從正態(tài)分布求解；C.由隨機(jī)變量X服從01分

布求解；D.由隨機(jī)變量X服從超幾何分布求解；

【詳解】A.若隨機(jī)變量X~3(6,；),則。(X)=6x；x［l—；)=；故正確;

B.若隨機(jī)變量X~N(6,4),則E(X)=6,故正確;

C.若隨機(jī)變量X服從01分布，且P(X=1)=L則。(X)=：x1—：=|,故錯誤;

3313J9

C。.中

D.由隨機(jī)變量X滿足P(X=k)=次=0,1,2,則

c】

P(X=0)=*P(X=l)=褒=1,p(x=2)=1,

AJAJAJ

所以E(X)=0x話+1x百+2x百=§,故正確；

故選：ABD

10.己知函數(shù)/(%)=|。一25^^一回11乂，0€口，且awO,則下列選項正確的是()

A./(%)的最小正周期為兀

B./(%)的圖象關(guān)于直線x對稱

C.eR,|/(x1)-/(x2)|<4

IT

D.mae(1,3),/(x)在［0,—］上有兩個不同的零點

2

【答案】BC

【解析】

JTJT

【分析】計算可得了(尤+兀)w/(%),可判斷A；計算可得/■(,+x)=/弓一x),可判斷B；分a22,a4—2,

7T

0<a<2,—2<a<0四種情況討論可判斷C；結(jié)合C選項可知2Wa<3時，/(幻在［0,一］上有一個不同

2

的零點，可判斷D.

【詳解】對于A,/(x)=|a-2sinx|-|sinx|,aeR,

/(x+7i)=|a-2sin(x+7i)|-|sin(x+7i)|=|a+2sinx|-|sin^^|a-2sinx|-|sinx|,

所以/(幻最小正周期不為兀，故A錯誤；

對于B,/(^-+x)=a-2sin(］+x)-sin(^+x)=|a-2cosx|-|cosx\,

7-x)=tz-2sin(-|--x)-sin('-x)=|tz-2cosx|-|cosx|,

所以7?(g+x)=/(m—x),所以/(%)的圖象關(guān)于直線x=g對稱，故B正確；

對于C,當(dāng)a22時，若OWsinxWl,/(x)=a—3sinx,所以a—3W/(x)Wa,

若一LWsinxWO,/(%)=a—sin%,所以a</(x)Va+1,

/(x)min=a-3,/(x)1mx=a+l，所以V%,%R，|/(七)一/(%>W。+1一。+3=4，

同理可得aW-2時，Vxpx2GR,|/(^)-/(X2)|<4,

當(dāng)0Wa<2時，^—<sinx<1,/(%)=-a+2sinx-sinx=-a+sinx,

2

所以—y(x)Kl—a,

若OWsinxcg,/(x)=a-2sinx-sinx=a-3sinx,貝ij-1'(x)<a,

若一iWsinxWO,/(x)=a-2sin%+sin%=a-sinx,貝！］a</(%)<a+1

所以Vxi，%eR,|y(x1)-/(^2)|<a+-|+l<4,

同理可得一2<a<0時，VA^,X2eR,|/(X,)-/(X2)|<4,故C正確；

TT

對于D,當(dāng)2?av3時，又^^［。，萬］,所以0<sinx<l,

止匕時/(%)=Q—3sinx,/(x)=^-3sinx=0,只有一個解，

TT

所以/(幻在［0,二］上有一個不同的零點，故D錯誤；

2

故選：BC.

_.___.__.1

11.已知棱長為3的正四面體A—5。。,4石=九">,3尸=〃5。,應(yīng)以=5所,力則下列選項

正確的是()

A.當(dāng)〃=；時，EFBC=O

B.當(dāng)〃<!■時，歸,<孚

C.當(dāng)怛網(wǎng)=追時，九+〃的最大值為：

D.當(dāng)叵卜逐時，則,時的最大值為14+;應(yīng)

【答案】ACD

【解析】

【分析】選AB,AC,為空間內(nèi)的基底向量，可計算得EF.BC=O,可判斷A；當(dāng)2=〃=0,

EF=3,可判斷B；由已知可得529(2+M)2—9U+〃)+9—18X('；"),計算可判斷C；

|AM|2=1［922+9//2+91-9//+9］,^^922+9^2+9=9(2+//)+5,可求『的最大值，可判斷

D.

【詳解】由正四面體A—BCD,可知NB4C=ZBA￡),NC4￡)=60°,

選A3,AC,為空間內(nèi)的基底向量，

1-1-11―

當(dāng)〃=5,EF=EA+AB+BF=-AAD+AB+-(AC-AB)=-AAD+-AB+-AC,

BC=AC-AB^所以EF.BC={-AAD+-AB+-AC).(AC-AB)

11.2121

=-AAD-AC+-AB-AC+-AC+AAD-AB——AB——AC-AB

2222

——4x3x3x—i—x3x3x—i—x3?+Xx3x3x-----x3^—x3x3x—=0,故A正確；

22222222

因為EF=EA+AB+BF=-AAD+AB+//(AC-AB)=-2AD+(l-//)AB+4AC,

當(dāng)X="=。，EF=AB=3>3y,故B錯誤；

2

.2o

EF=[-AAD+(1-//)AB+//AC]

.2.2.2

=22AD+(1-JU)2AB~+JU2AC-22(1-//)AD.AB+2//(l-//)AB.AC-2^AD.AC

2

=92+9(1-〃>+9/_"(I_〃)+9〃Q_9必=9分+9〃2_9(2+〃)+9

=9(2+"-9(力+〃)+9-18澳29(彳+〃)2-9U+M+9-18x誓

又歸q=追，所以5?9(2+〃)2_9(2+M)+9_]8X(-；〃)，

整理得9(2+"尸一9(彳+*)+4—18義('+〃)-V0,當(dāng)且僅當(dāng)幾=〃時取等號，

4

24

化簡得9(4+〃)2—18(%+〃)+8K0,解得耳+故C正確；

AM=AE+EM=AE+^EF=AAD+^(-AAD+(1-JU)AB+JLIAC)

=1[2AD+(1-JLI)AB+//AC],

所以|=工[2AD+(1-ju)AB+//AC]2=-[922+9(1-嚀+9//2+92(1-//)+9〃(1—〃)+

1144

=-[9A2+9A/2+92-9z/+9],

4

由9幾2+9〃2+9=9(幾+〃)+5,所以=1[182+5],

因為丸2,+〃,2_(2+〃)=_4所以1>,+(〃_1>,=141

92229lo

11.1111

所以"49所以'一廣電'所以n加運十]'

所以=-[182+5]<-[18(^+-)+5]=14+3^,故D正確.

1443V224

故選：ACD.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：考查空間向量的數(shù)量積的計算，運算量大，關(guān)鍵是用基底表示AM,

再利用模的計算公式運算求得最值.

非選擇題部分(共92分)

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.如圖的形狀出現(xiàn)存南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”的最

一上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球……，設(shè)從上至下各層球數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列{4},則

40=.(填數(shù)字)

【答案】55

【解析】

【分析】根據(jù)題中給出的圖形，結(jié)合題意找到各層球的數(shù)列與層數(shù)的關(guān)系，得到

=1+2+3+...+n=，?(/7+1),即可得解.

2

【詳解】解：由題意可知，q=1,4=4+2=1+2,〃3=%+3=1+2+3,…，

%=42T=1+2+3+—+〃，

-+1)

c1rl=1+2+3+...+〃=———,

U…10x(10+1)-

所以a1。二----------二55,

故答案為：55

13.若=—^+改在R上單調(diào)遞減，則實數(shù)。的最大值為.

e'+l

【答案】—##—0.5

2

【解析】

2QX

【分析】由題意可知/'(x)<0在R上恒成立，分離參數(shù)，令g(x)=-?+,，由基本不等式求出g(x)

的最小值，即可得出答案.

【詳解】因為/(x)=^1_-1+在R上單調(diào)遞減，

e'+1

2eY

所以/'(x)＜0在R上恒成立，所以廣(勸=+。4°在區(qū)上恒成立,

ev+l

所以0*一二一0在R上恒成立，令武、

(e+1)

2e*_2e*221

則g(x)

(ex+l)2(ex)2+l+2ev5,

eA+—+22+2

ex

當(dāng)且僅當(dāng)e*=」，即％=0時等號成立，所以aW—工,

e*2

故實數(shù)。的最大值為-工.

2

故答案為：—.

2

14.已知圓C:x2+y2+Dx+Ey=o,其中。＜0,若圓C上僅有一個點到直線x+百y—2=0距離為

P

1,則一的值為;圓。的半徑取值可能為(請寫出一個可能的半徑取值).

D

【答案】①.退②.g(滿足0(廠＜1即可，答案不唯一)

【解析】

【分析】根據(jù)題意，圓C過原點且原點到直線x+gy-2=0的距離為1,則《一￡,一￡)在直線y=

上，且與x+百y=0相切，與x+ey—4=0無交點，可解問題.

【詳解】根據(jù)題意，與直線x+Gy-2=0的距離為1的點都在直線x+岔y=0和x+百y-4=0上,

又圓C:/+V+或=0過原點且原點到直線直線x+石y-2=0的距離為1,

則一~5］在直線'=1%上‘且與月'=°相切，

所以5=A/3,

又因為圓C與x+百y—4=0無交點，所以re(0,l),如圖.

故答案為：6-（滿足。＜度＜1即可，答案不唯一）

2

【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)題意，發(fā)現(xiàn)圓C過原點且原點到直線x+百y-2=0的距離為1是解題關(guān)鍵.

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知VA3C的內(nèi)角A,3,C所對的邊分別為名b,c,n.2c-b=2acosB.

（1）求角A；

（2）若VA3C的面積為46，。為AC的中點，求長度的最小值.

【答案】（1）A=j;

⑵2叵.

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理邊化角，再利用和角的正弦化簡求解.

（2）由（1）的結(jié)論，利用余弦定理及基本不等式求解即得.

【小問1詳解】

在VABC中，由2。一/?=2〃855及正弦定理得，2sinC-sini?=2sinAcos5

則sin5=2sin（A+B）-2sinAcosB=2（sinAcosB+cosAsinB）-2sinAcosB

=2cosAsinB,而sin5＞0,貝IJCOSA=L,又人￡（0,兀），

2

所以

【小問2詳解】

依題意，SaABC='尻sinA=4，^,由（1）知4=工，得Z?c=16,

23

在△ABD中，由余弦定理得Bl?=（2）2+02一2?2?c?cosA=2-+c2—工6c

2242

be——be=8,當(dāng)b=2c=時取到等號，

所以5。的最小值為20.

16.如圖，在四棱錐P-ABCO中，底面ABCD是正方形，側(cè)面是正三角形，PC=AC.

(1)求證：平面平面ABCZ)；

(2)求直線P3與平面PCD所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵如

4

【解析】

【分析】(1)由已知條件，結(jié)合勾股定理，可以判定CDLPD,根據(jù)面面垂直的判定定理，即可證明結(jié)論；

(2)以4。中點為原點，AF所在直線為V軸，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量，即可求得線面所成

角的正弦值.

【小問1詳解】

不妨設(shè)正方形ABCD邊長為2,則=CD=2,AC=PC=20,

由PC?=,得

再由CDLAD,PD^AD=D,PD,ADu平面PAD,得CD,平面？AD,

因為CDu平面ABC。，所以平面？AD_L平面ABC。.

【小問2詳解】

取AD中點。，連結(jié)尸0,則POJ_A￡),由(1)可知，平面？平面ABC。，

平面/VLD平面cA5CD=A￡),所以PO_L平面ABC。，

以。為原點，8,OP所在直線分別為％z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示,

則P(0,0,百),B(2,-l,0),C(2,1,0),D(0J,0),PB=(2,-1,-百),

n-DC=0,(2x=0,

設(shè)平面PCD的法向量為n=(x,y,z),

nPD=0,1y-底=0,

\PB-n\_273_V6

取〃=(0,Jil)，記PB與平面PCD所成角為e，貝|sine=

\PB[\ri\4724

17.已知函數(shù)/(>)"+4爐—5x.

(i)求函數(shù)y=/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)若不等式上㈣—61nx<a(x—l)2對任意xe[l,+s)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

X

……(-4-后-4+731^1

【答案】⑴

(2)a"

【解析】

【分析】(1)求導(dǎo)/'。)=3爐+8%—5,由分(x)<0求解;

(2)設(shè)7z(x)=f+4x-5—61nx-a(x-l)2,xe[l,+co),由〃(2)<0得到,再分a24和

l<a<4求解.

【小問1詳解】

解：/(%)的定義域為A,f'(x)^3x2+8x-5,

令3/+8x-5=0,解得％=—4一用，々=-4+4,

1323

由/'(x)<0,解得一4一用<》<一4+庖,

33

所以函數(shù)/(%)的單調(diào)遞減區(qū)間是[土與，上星].

【小問2詳解】

t己h(x)=x2+4x-5-61nx-a(x-1)2,xG[1,+oo),

x^7,62(X-1)[(1-6Z)X+3]

h(x)=20x+4----2?(x-l)=------------------,

xx

因為/z(2)V。，所以7—61n2—Q<0,得QN7—61n2>7—6=l,

3

令〃(%)=0,解得％=1或1=——,

ci—1

3

當(dāng)a>4時，----<1,“(X)<0在[1,+8)上恒成立，

a-1

因此，人。)在工+8)上單調(diào)遞減，

得h(x)<h(I)=0,即-61nx<a(x-l)2對任意XG[1,+8)恒成立.

X

當(dāng)l<a<4時，對任意/i'(x)>0,

因此，//(%)在上單調(diào)遞增，

當(dāng)/e[廣丁]時，A(xo)>A(l)=O,

不滿足題意.綜上，a>4.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問關(guān)鍵是由力(2)<。得到。21降低了難度，然后根據(jù)兩根x=l或

3

%=----的大小，分〃之4和<4而得解.

〃一1

18.已知拋物線「9=4》的焦點為尸，準(zhǔn)線為/,雙曲線口：土-工=1的左焦點為工

236

(1)求/的方程和雙曲線匕的漸近線方程;

(2)設(shè)。為拋物線匚和雙曲線「2的一個公共點，求證：直線。T與拋物線相切;

(3)設(shè)P為/上的動點，且直線PT與雙曲線匕的左、右兩支分別交于A,5兩點，直線PE與拋物線J

1J3

交于不同的兩點C,。，判斷內(nèi)+潟是否為定值，若是，請求出該定值；若不是，請說明理由.

\AB\\CD\

【答案】(1)準(zhǔn)線/的方程為x=—1,雙曲線的漸近線方程為y=

(2)證明見解析(3)是,B.

6

【解析】

【分析】(1)根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線方程及雙曲線的漸近線方程即可求解；

2x2—y2=6[x—y/3y+3=0

(2)結(jié)合題意聯(lián)立方程組2和，，化簡即可求解；

y=4x[y=4x

y———1)

(3)由題意得k——k,設(shè)ly—k(x+3),l:y——k(x—1),聯(lián)立方程組<和

PTPFPTPF[y2=4x

y=k(x+3)?,

r2,，利用韋達(dá)定理表示CD和MBI，化簡即可證明.

2x2-y"=6

【小問1詳解】

準(zhǔn)線/的方程為x=—1,雙曲線的漸近線方程為y=±"c.

【小問2詳解】

2x2-y2=6

聯(lián)立方程組2，

消去y得d—2%—3=0,解得x=3(舍負(fù))，由對稱性，不妨取Q(3,2百)，

又由1(-3,0),求得直線QT的方程為x—+3=0,

聯(lián)立方程組,3—0,消去x得V一4百y+i2=0,

y=4x

因為A=-48=0,所以直線QT與拋物線「1相切.

【小問3詳解】

因為7(—3,0),F(l,0),得準(zhǔn)線I為線段7F的中垂線，

則直線PT與直線PF的傾斜角互補,即kpT=—kpF,

設(shè)L:y^k(x+3),lPP:y=—k(x—1),由條件知0＜閥〈拒,

y=-k(x-l)

聯(lián)立方程組《消去y得左2好一（242+4）x+左2=0,

/=4%

則13=%+X。+2=4)+D，

y=k(x+3)

聯(lián)立方程組，2，,消去y得(2—左2)三一2/x—42—6=0,

2%-y~=6

1

貝J|AB\=J1+/|xA-xB|="：D，

z—/c

1A/3_2-lc