八年級數(shù)學(xué)下冊單元速記·巧練（人教版）-第十八章 平行四邊形（壓軸題專練）（解析版）

第十八章平行四邊形（壓軸題專練）目錄TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)一矩形中的折疊問題】 1【考點(diǎn)二菱形中的折疊問題】 5【考點(diǎn)三正方形中的折疊問題】 11【考點(diǎn)四矩形、菱形、正方形中旋轉(zhuǎn)問題】 15【考點(diǎn)五矩形、菱形、正方形中求定值問題】 22【考點(diǎn)六矩形、菱形、正方形中求最小值問題】 27【考點(diǎn)七矩形、菱形、正方形中求最大值問題】 31【考點(diǎn)八矩形、菱形、正方形中點(diǎn)四邊形問題】 36【考點(diǎn)一矩形中的折疊問題】例題：（2023秋·湖南衡陽·八年級?？计谀┤鐖D，將矩形沿著對角線折疊，使點(diǎn)落在處，交于，若，，______．【答案】3【分析】由折疊可知，，再由，得到，即可得到，于是得到，設(shè)，則，，在中，由勾股定理求出的值，即可求解；【詳解】解：由折疊可知，，，，，，，．設(shè)，則，，在中，由勾股定理得：即，解得：，．，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查翻折變換的知識點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形的判定與勾股定理的知識，此題難度不大．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·福建福州·八年級福建省福州第一中學(xué)校考期末）如圖，長方形中，E為的中點(diǎn)，將沿直線折疊時(shí)點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，連接，若，則___________度．【答案】37【分析】由折疊的性質(zhì)得：，求出，可得到，求出，求出，由等腰三角形的性質(zhì)求出，即可得出的度數(shù)．【詳解】解：四邊形是長方形，，由折疊的性質(zhì)得：，，，，，為的中點(diǎn)，，，，；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊變換的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理；求出的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·八年級課時(shí)練習(xí)）長方形紙片中，，，點(diǎn)E是邊上一動點(diǎn)，連接，把∠B沿折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，連接，當(dāng)為直角三角形時(shí)，的長為______．【答案】或3【分析】當(dāng)為直角三角形時(shí)，有兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)F落在矩形內(nèi)部時(shí)，如答圖1所示．連接，先利用勾股定理計(jì)算出，根據(jù)折疊的性質(zhì)得，而當(dāng)為直角三角形時(shí)，只能得到，所以點(diǎn)A、F、C共線，即沿折疊，使點(diǎn)B落在對角線上的點(diǎn)F處，則，，可計(jì)算出，設(shè)，則，然后在中運(yùn)用勾股定理可計(jì)算出x．②當(dāng)點(diǎn)F落在邊上時(shí)，如答圖2所示．此時(shí)為正方形．【詳解】解：當(dāng)為直角三角形時(shí)，有兩種情況：當(dāng)點(diǎn)F落在矩形內(nèi)部時(shí)，如答圖1所示．連接，在中，，∴，∵∠B沿折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，∴，當(dāng)為直角三角形時(shí)，只能得到，∴點(diǎn)A、F、C共線，即沿折疊，使點(diǎn)B落在對角線上的點(diǎn)F處，∴，∴，設(shè)，則，在中，∵，∴解得：；②當(dāng)點(diǎn)F落在邊上時(shí)，如答圖2所示．此時(shí)為正方形，∴．故答案為：或3；【點(diǎn)睛】本題考查了折疊問題：折疊前后兩圖形全等，即對應(yīng)線段相等；對應(yīng)角相等．也考查了矩形的性質(zhì)以及勾股定理．注意本題有兩種情況，需要分類討論，避免漏解．3．（2022秋·江蘇蘇州·八年級校考階段練習(xí)）如圖，長方形紙片中，，，點(diǎn)、分別在邊和邊上，連接，將紙片沿折疊．(1)如圖（1），若點(diǎn)落在邊的延長線上的點(diǎn)處，求證：；(2)如圖（2），若點(diǎn)落在邊的中點(diǎn)處，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由折疊的性質(zhì)及矩形的性質(zhì)得出，則可得出結(jié)論；（2）設(shè)，由勾股定理得出，求出即可得出答案．【詳解】（1）證明：四邊形是矩形，，，將紙片沿折疊，，，；（2）解：四邊形是矩形，，是的中點(diǎn)，，由折疊的性質(zhì)可知：，設(shè)，，，解得，．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，翻折變換，等腰三角形的判定、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握折疊的性質(zhì)．【考點(diǎn)二菱形中的折疊問題】例題：（2022秋·九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，在菱形ABCD中，∠A＝120°，AB＝2，點(diǎn)E是邊AB上一點(diǎn)，以DE為對稱軸將△DAE折疊得到△DGE，再折疊BE使BE落在直線EG上，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H，折痕為EF且交BC于點(diǎn)F．（1）∠DEF＝________；（2）若點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，則DF的長為________．【答案】

90°

2.8【分析】（1）由折疊得∠，再根據(jù)平角的定義可得結(jié)論；（2）首先證明B、G、D在同一條直線上，再運(yùn)用勾股定理列方程求解即可．【詳解】解由折疊得，∠∴∠∵∠∴∠即∠故答案為：90°；（2）∵四邊形ABCD是菱形∴ADBC，DCAB，∴∵∠A=120°∴∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，且AB=2∴∵點(diǎn)A與點(diǎn)G重合，∴∵點(diǎn)B與點(diǎn)H重合∴又∴∴點(diǎn)G與點(diǎn)H重合∵∠∴三點(diǎn)在同一條直線上過點(diǎn)D作，交BC的延長線于點(diǎn)O，如圖，∵DCAB∴∠∴∠∴在中，由折疊得，，設(shè)，則∴，在中，∴解得，∴故答案為2.8【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理等知識，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，在菱形中，，將菱形折疊，使點(diǎn)恰好落在對角線上的點(diǎn)處不與、重合，折痕為，若，，則的長為______．【答案】【分析】作于，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，根據(jù)菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定定理得到為等邊三角形，得到，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可．【詳解】解：作于，由折疊的性質(zhì)可知，，由題意得，，四邊形是菱形，，，為等邊三角形，，設(shè)，則，在中，，，在中，，即，解得，，即，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、勾股定理、解直角三角形，掌握翻轉(zhuǎn)變換是一種對稱變換，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，在菱形中，F(xiàn)為邊上一點(diǎn)，將沿折疊，點(diǎn)C恰好落在延長線上的點(diǎn)E處，連接交于點(diǎn)G，若，，則的長為______．【答案】【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得CF=EF，DF⊥BC，代入相關(guān)數(shù)據(jù)可得CF=5，BC=7，由菱形的性質(zhì)得DC=7，最后根據(jù)勾股定理可得DF的長．【詳解】解：由折疊得，CF=EF，DF⊥BC，∵BE=3，BF=2∴EF=BE+BF=3+2=5∴CF=5∴BC=BF+FC=2+5=7∵四邊形ABCD是菱形∴DC=BC=7在Rt△DFC中，∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到CF=EF，DF⊥BC是解答本題的關(guān)鍵．3．（2023春·江蘇鹽城·九年級校考階段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊CD上，將△BCE沿BE折疊，使點(diǎn)C落在AD邊上的點(diǎn)F處，過點(diǎn)F作FG∥CD，交BE于點(diǎn)G，連接CG．(1)判斷四邊形CEFG的形狀，并說明理由．(2)若AB=6，AD=10，求四邊形CEFG的面積．【答案】(1)見解析(2)．【分析】（1）由翻折得∠BEC=∠BEF，F(xiàn)E=CE，根據(jù)FG∥CE，可得∠FGE=∠BEC，從而∠FGE=∠BEF，F(xiàn)G=FE，故FG=EC，四邊形CEFG是平行四邊形，即可得證；（2）在Rt△ABF中，利用勾股定理求得AF的長，可得DF=1，設(shè)EF=x，則CE=x，DE=3-x，在Rt△DEF中，用勾股定理列方程可解得CE，在Rt△BCE中，即可求出答案．【詳解】（1）證明：（1）∵△BCE沿BE折疊，點(diǎn)C落在AD邊上的點(diǎn)F處，∴△BCE≌△BFE，∴∠BEC=∠BEF，F(xiàn)E=CE，∵FG∥CE，∴∠FGE=∠BEC，∴∠FGE=∠BEF，∴FG=FE，∴FG=EC，∴四邊形CEFG是平行四邊形，又∵CE=FE，∴四邊形CEFG是菱形；（2）解：∵矩形ABCD中，AD=10，∴BC=10，∵△BCE沿BE折疊，點(diǎn)C落在AD邊上的點(diǎn)F處，∴BF=BC=10，在Rt△ABF中，AB=6，AF==8，∴DF=AD-AF=2，設(shè)EF=x，則CE=x，DE=6-x，在Rt△DEF中，DF2+DE2=EF2，∴22+（6-x）2=x2，解得x=，∴CE=，∴四邊形CEFG的面積是：CE?DF=×2=．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變化、菱形的性質(zhì)和判定、矩形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．【考點(diǎn)三正方形中的折疊問題】例題：（2022秋·廣東梅州·九年級校考階段練習(xí)）如圖，將正方形紙片按如圖折疊，為折痕，點(diǎn)落在對角線上的點(diǎn)處，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，，再由折疊可得，然后利用三角形的外角進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴，，由折疊得：，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，將正方形沿對折，使點(diǎn)落在對角線上的處，連接，則_________．【答案】67.5【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)求出，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得，進(jìn)而根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出答案．【詳解】∵四邊形為正方形，∴，，平分，∴，根據(jù)折疊可知，，∴，∴．故答案為：67.5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等，判定等腰三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·福建寧德·八年級校考階段練習(xí)）如圖，在正方形中，，點(diǎn)E在邊上，將沿對折至，延長交于點(diǎn)G，G恰好是邊的中點(diǎn)，則的長是________．【答案】##【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)證明，進(jìn)而得到，由G是的中點(diǎn)，得到，設(shè)，則，，在中由勾股定理建立方程求解即可．【詳解】解：連接，由折疊得：，，∵在正方形中，，，∴，，∵，∴，∴，∵，G是的中點(diǎn)，∴，設(shè)，則，，在中，由勾股定理得：，解得，即，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、三角形全等的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，理解折疊的性質(zhì)、合理的進(jìn)行轉(zhuǎn)化到一個(gè)直角三角形中是解決此類問題常用的方法．3．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖1，在正方形中，點(diǎn)E為上一點(diǎn)，連接，把沿折疊得到，延長交于G，連接．(1)求證：．(2)如圖2，E為的中點(diǎn)，連接．①求證：；②若正方形邊長為6，求線段的長．【答案】(1)證明見解析；(2)①證明見解析，②線段的長為2【分析】（1）由正方形的性質(zhì)可得．，由折疊的性質(zhì)得出，，，再求出，，然后由“”證明，由全等三角形對應(yīng)角相等得出，得出即可；（2）①由折疊的性質(zhì)和線段中點(diǎn)的定義可得，，再由三角形的外角性質(zhì)得出，然后利用同位角相等，兩直線平行證明即可；②設(shè)，表示出、，根據(jù)點(diǎn)是的中點(diǎn)求出、，從而得到的長度，再利用勾股定理列出方程求解即可；【詳解】（1）證明：如圖1：∵四邊形是正方形，．，沿折疊得到，，，，，，在和中，，，，，，，；（2）證明：如圖2所示：沿折疊得到，為的中點(diǎn)，，，，，，，即，；②解：設(shè)，則，，正方形邊長為6，為的中點(diǎn)，，，在中，根據(jù)勾股定理得：，解得：，即線段的長為2．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、翻折變換的性質(zhì)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證與計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)四矩形、菱形、正方形中旋轉(zhuǎn)問題】例題：（2023秋·陜西渭南·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，四邊形是矩形，以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形得到矩形，點(diǎn)，，的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，，，點(diǎn)恰好在的延長線上．(1)求證：：(2)若，求的長．【答案】(1)見解析(2)4【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)矩形可得，，再根據(jù)斜邊為公共邊，利用“”可證得結(jié)論；（2）由可知，由旋轉(zhuǎn)矩形可知，即可求得的長度．【詳解】（1）證明：∵旋轉(zhuǎn)矩形得到矩形，∴，，

在和中，，．∴．（2）解：由可得，∵旋轉(zhuǎn)矩形得到矩形，∴，

∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、解題關(guān)鍵是證明，利用矩形和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)求解．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·廣東廣州·九年級廣州市第一一三中學(xué)?？计谥校┤鐖D，將矩形繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到矩形，如果，那么_______．【答案】【分析】連接，先根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理求出，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理求出即可．【詳解】解：連接，，∵矩形，，∴，，∴，∵將矩形繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到矩形，∴，，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理等知識，掌握矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·江西宜春·九年級?？计谥校┤鐖D，將邊長為的正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°到的位置，則陰影部分的面積是___________．【答案】【分析】交于點(diǎn)，連接；根據(jù)全等三角形性質(zhì)，通過證明，得；結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得；根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算，得，結(jié)合正方形和三角形面積關(guān)系計(jì)算，即可得到答案．【詳解】如圖，交于點(diǎn)，連接根據(jù)題意得：，∵∴∴∵正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到∴，∴∴∴∴∴∴陰影部分的面積故答案為：．【點(diǎn)睛】本題是面積問題(旋轉(zhuǎn)綜合題)，考查了正方形、全等三角形、旋轉(zhuǎn)、三角函數(shù)的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形、全等三角形、旋轉(zhuǎn)、三角函數(shù)的性質(zhì)．3．（2022秋·安徽銅陵·九年級銅陵市第十五中學(xué)校考期中）如圖，在菱形中，，把菱形繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到菱形，則圖中陰影部分的面積為_________．【答案】##【分析】連接相交于O，與相交于E，根據(jù)菱形的性質(zhì)先求出，根據(jù)菱形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)可得，三點(diǎn)共線，再求出，最后根據(jù)，即可得答案．【詳解】解：如下圖，連接相交于O，與相交于E，四邊形是菱形，，，，，，菱形繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到菱形，，三點(diǎn)共線，，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題．4．（2022秋·山西呂梁·九年級統(tǒng)考期中）綜合與實(shí)踐【情境呈現(xiàn)】如圖1，將兩個(gè)正方形紙片和放置在一起.若固定正方形，將正方形繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)．(1)【數(shù)學(xué)思考】如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在邊上，點(diǎn)G在邊上時(shí)，線段與的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是．(2)如圖2，是將正方形繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)度得到的，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．(3)【拓展探究】如圖3，若點(diǎn)D，E，G在同一條直線上，且，求線段的長度（直接寫出答案）．【答案】(1)，(2)（1）中的結(jié)論成立，證明見解析；(3)【分析】（1）由正方形性質(zhì)可以得到與相等且垂直；（2）由可證，可得，，由余角的性質(zhì)可證；（3）由（2）問結(jié)論連接，表示出三邊即可利用勾股定理列方程解題．【詳解】（1）∵四邊形和均為正方形，∴，∴，即，∴與的數(shù)量關(guān)系是相等；位置關(guān)系是垂直故答案為：相等；垂直（2）（1）中結(jié)論成立，理由如下：設(shè)交于O，于N，∵四邊形和均為正方形，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴；（3）連接，∵，∴，∴,，由（2）可得：，∴在中，，則，∴解方程得：，∴，即線段的長度為．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)五矩形、菱形、正方形中求定值問題】例題：（2022秋·山東棗莊·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形中，，，是上異于和的任意一點(diǎn)，且于，于，則為_____．【答案】##2.4【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，，，可求出矩形的面積，的長，由此可知的面積，根據(jù)，即可求解．【詳解】解：如圖所示，設(shè)與相交于點(diǎn)，連接，∵在矩形中，，，∴，，∴，，∵，，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)，等面積法求高，掌握矩形的性質(zhì)，三角形的等面積法求高是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·廣東梅州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，點(diǎn)E是對角線上一點(diǎn)，有且，點(diǎn)P是上一動點(diǎn)，則點(diǎn)P到邊，的距離之和的值（

）A．有最大值a B．有最小值 C．是定值 D．是定值【答案】D【分析】連接，過點(diǎn)作，利用，即可得解．【詳解】解：連接，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，∵在矩形中，，，∴，∵即：，∴；∵，∴，∴；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)和勾股定理以及等積法求線段．熟練掌握矩形的性質(zhì)，以及等積法求線段的長度是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·吉林長春·八年級長春外國語學(xué)校?？计谀┤鐖D，菱形的周長為20，面積為24，是對角線上一點(diǎn)，分別作點(diǎn)到直線、的垂線段、，則等于______【答案】【分析】首先利用菱形的性質(zhì)得出，，進(jìn)而利用三角形面積求法得出答案．【詳解】解：連接，如圖，∵菱形ABCD的周長為20，∴，∴，∴，而，，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)：菱形的對邊分別平行，四條邊都相等，兩條對角線互相垂直平分，并且分別平分兩組內(nèi)角．也考查了三角形的面積公式．3．（2022·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，已知四邊形為正方形，，點(diǎn)E為對角線上一動點(diǎn)，連接，過點(diǎn)E作交于點(diǎn)F，以為鄰邊作矩形，連接．(1)求證：矩形是正方形；(2)探究：的值是否為定值？若是，請求出這個(gè)定值；若不是，請說明理由．【答案】(1)見解析(2)是定值，【分析】（1）作出輔助線，得到，然后再判斷，得到，則有，即可判斷矩形為正方形；（2）由四邊形為正方形，四邊形是正方形可知，，故可得，得到，即可判斷，為定值．【詳解】（1）解：如圖所示，過作于點(diǎn)，過作于點(diǎn)，四邊形為正方形，，，，，，四邊形為矩形，，，即，是正方形對角線的點(diǎn)，，在和中，，，

，矩形為正方形．（2）的值為定值，矩形為正方形，，，四邊形是正方形，，，，即，在和中，

，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)，關(guān)鍵是結(jié)合圖形得出三角形全等．【考點(diǎn)六矩形、菱形、正方形中求最小值問題】例題：（2022秋·重慶沙坪壩·八年級重慶市鳳鳴山中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，為正方形邊上一點(diǎn)，，，為對角線上一個(gè)動點(diǎn)，則的最小值為（

）A．5 B． C． D．10【答案】A【分析】連接交于P點(diǎn)，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，可知的最小值即為線段的長，求出的長即可.【詳解】連接，交于P點(diǎn)∵四邊形為正方形∴A點(diǎn)和C點(diǎn)關(guān)于對稱根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，可知的最小值即為線段的長.∵，∴的最小值為5故選：A

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短，這是一個(gè)將軍飲馬模型.熟練掌握正方形的性質(zhì)并且能夠識別出將軍飲馬模型是解題的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·陜西寶雞·九年級統(tǒng)考期末）已知菱形ABCD的兩條對角線分別為6和8，M、N分別是邊BC、CD的中點(diǎn)，P是對角線BD上一點(diǎn)，則PM+PN的最小值是（）A．5 B．5 C．5 D．不能確定【答案】A【分析】作M關(guān)于BD的對稱點(diǎn)Q，連接NQ，交BD于P，連接MP，此時(shí)MP+NP的值最小，連接AC，求出CP、BP，根據(jù)勾股定理求出BC長，證出MP+NP＝QN＝BC，即可得出答案．【詳解】解：作M關(guān)于BD的對稱點(diǎn)Q，連接NQ，交BD于P，連接MP，此時(shí)MP+NP的值最小，連接AC，則P是AC中點(diǎn)，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠QBP＝∠MBP，AB=BC，即Q在AB上，∵M(jìn)為BC中點(diǎn)，∴Q為AB中點(diǎn)，∵M(jìn)Q⊥BD，∴，∵N為CD中點(diǎn)，四邊形ABCD是菱形，∴，BQ＝CN，∴四邊形BQNC是平行四邊形，∴，∴，而點(diǎn)Q是AB的中點(diǎn)，故PQ是△ABD的中位線，即點(diǎn)P是BD的中點(diǎn)，同理可得，PM是△ABC的中位線，故點(diǎn)P是AC的中點(diǎn)，即點(diǎn)P是菱形ABCD對角線的交點(diǎn)，∵四邊形ABCD是菱形，則△BPC為直角三角形，∴CP＝AC＝3，BP＝BD＝4，在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC＝5，即NQ＝5，∴MP+NP＝QP+NP＝QN＝5，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱—最短路線問題，平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能根據(jù)軸對稱找出P的位置．2．（2022秋·吉林長春·八年級長春外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）△ABC中，AC＝1，AB＝，BC＝2，點(diǎn)P為BC邊上一動點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，在點(diǎn)P運(yùn)動的過程中，EF的最小值是（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】由矩形的性質(zhì)得出EF，AP互相平分，且EF＝AP，再由垂線段最短的性質(zhì)得出AP⊥BC時(shí)，AP的值最小，即AM的值最小，然后由勾股定理求出BC，最后由面積關(guān)系建立等式求出其解即可．【詳解】解：連接AP，∵在△ABC中，AB＝，AC＝1，BC＝2，∴，即∠BAC＝90°．又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴四邊形AEPF是矩形，∴EF＝AP．根據(jù)垂線段最短可知，AP的最小值即為直角三角形ABC斜邊上的高，此時(shí)即，解得：∴EF的最小值為，故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理、矩形的判定與性質(zhì)、垂線段最短、三角形面積等知識；由直角三角形的面積求出AP是解決問題的關(guān)鍵，屬于中考常考題型．3．（2022春·江蘇淮安·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在正方形中，邊長，點(diǎn)Q是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段上的動點(diǎn)，則的最小值為_____．【答案】【分析】先連接，連接、，再根據(jù)正方形的對稱性得，進(jìn)而得出的最小值，然后根據(jù)勾股定理求出解即可.【詳解】解：連接，交于點(diǎn)P，連接、．∵四邊形是正方形，∴點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于對稱，∴，∴．∵，點(diǎn)Q是邊的中點(diǎn)，∴，，在中，，∴的最小值為．故答案為:．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理等，得出點(diǎn)P的位置是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)七矩形、菱形、正方形中求最大值問題】例題：（2022秋·貴州貴陽·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）矩形中，，，點(diǎn)A是y軸正半軸上任意一點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸正半軸上．連接．則的最大值是___________．【答案】##【分析】取的中點(diǎn)M，連接，當(dāng)成一條直線時(shí)，有最大值，利用勾股定理及直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：取的中點(diǎn)M，連接，當(dāng)成一條直線時(shí)，有最大值，在中，，在中，，∴的最大值是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、三角形三邊關(guān)系、直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，讀懂題意，得出當(dāng)成一條直線時(shí)，有最大值是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·福建漳州·九年級?？计谥校┤鐖D，平面內(nèi)三點(diǎn)A、B、C，，，以為對角線作正方形，連接，則的最大值是（

）A．6 B．11 C． D．【答案】D【分析】如圖將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．由旋轉(zhuǎn)不變性可知：，．，得出是等腰直角三角形，推出，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，的值最大，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求出的最大值即可解決問題．【詳解】解：如圖，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，由旋轉(zhuǎn)不變性可知：，，，是等腰直角三角形，，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，的值最大，，，的最大值為11，的最大值為．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，動點(diǎn)問題，三角形的三邊關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題．2．（2022秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在菱形ABCD中，AB＝6，，AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)N在AC上且AN＝2，點(diǎn)M在BC上且BM＝BC，P為對角線BD上一點(diǎn)，則PM﹣PN的最大值為____．【答案】2【分析】作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，從而可得，再根據(jù)菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定證出是等邊三角形，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，由此即可得．【詳解】解：四邊形是菱形，，，，，，是等邊三角形，，，，，如圖，作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，則，，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)，等號成立，，，，是等邊三角形，，即的最大值為2，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)等知識點(diǎn)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．3．（2022秋·湖北黃石·九年級校考階段練習(xí)）如圖所示，在菱形ABCD中，AB＝6，∠BAD＝120°，△AEF為等邊三角形，點(diǎn)E、F分別在菱形的邊BC．CD上滑動，且E、F不與B、C、D重合．（1）計(jì)算：=________；（2）當(dāng)點(diǎn)E、F在BC、CD上滑動時(shí)，△CEF的面積最大值是____________．【答案】

6

【分析】（1）連接AC，證明，從而得到：，即可求出；（2）利用，可以推出四邊形AECF的面積等于△ABC的面積，利用△CEF的面積等于△ABC的面積減去△AEF的面積，當(dāng)△AEF的面積面積最小時(shí)，即可求出△CEF的面積．【詳解】解：（1）連接，∵四邊形為菱形，∴，∴，∴，∵△AEF為等邊三角形，∴，∵，，又∵，∴，∵，∴（ASA），∴，∴；故答案為：6．（2）∵∴四邊形AECF的面積=，∴，∴當(dāng)最小時(shí)，最大，根據(jù)垂線段最短，當(dāng)時(shí)，最短，此時(shí)最小，∵為等邊三角形，∴當(dāng)時(shí)，，，∴，同理可求：，∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是連接菱形的對角線，構(gòu)造全等三角形．【考點(diǎn)八矩形、菱形、正方形中點(diǎn)四邊形問題】例題：（2022春·安徽合肥·八年級?？计谥校┤鐖D，、、、分別是四邊形四條邊的中點(diǎn)，順次連接、、、得四邊形，連接、，下列命題不正確的是（）A．當(dāng)四邊形是矩形時(shí)，四邊形是菱形B．當(dāng)四邊形是菱形時(shí)，四邊形是矩形C．當(dāng)四邊形滿足時(shí)，四邊形是菱形D．當(dāng)四邊形滿足，時(shí)，四邊形是矩形【答案】C【分析】先證四邊形EFGH是平行四邊形；再根據(jù)選項(xiàng)條件結(jié)合矩形、菱形的判定定理進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：，分別是，的中點(diǎn)，，，，分別是，的中點(diǎn)，，，，，四邊形是平行四邊形；，分別是，的中點(diǎn)，、分別是、中點(diǎn)，，，當(dāng)四邊形是矩形時(shí)，，，四邊形是菱形，故A正確，不符合題意；當(dāng)四邊形是菱形時(shí)，，，，，四邊形是菱形，故B正確，不符合題意；當(dāng)四邊形滿足時(shí)，不能證明四邊形是菱形，故C錯誤，符合題意；當(dāng)四邊形滿足，時(shí)，∵，，∴AC是BD的垂直平分線，即∵，∴∠HEF=∠EFG=∠DGH=∠GHE=90°∴四邊形是矩形，故D正確，不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了中點(diǎn)四邊形，靈活利用矩形、菱形的判定定理是解答本題的關(guān)鍵【變式訓(xùn)練】1．（2022春·北京西城·八年級?？计谥校┧倪呅蔚膶蔷€，交于點(diǎn)，點(diǎn)，，，分別為邊，，，的中點(diǎn)．有下列四個(gè)推斷：①對于任意四邊形，四邊形都是平行四邊形；②若四邊形是平行四邊形，則與交于點(diǎn)；③若四邊形是矩形，則四邊形也是矩形；④若四邊形是正方形，則四邊形也一定是正方形．所有正確推斷的序號是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．③④【答案】A【分析】根據(jù)三角形中位線定理、平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定定理判斷即可．【詳解】點(diǎn)分別為邊的中點(diǎn)，是的中位線，是的中位線，是的中位線，是的中位線，，，，四邊形是平行四邊形，正確；若四邊形是平行四邊形，∴,∵分別為的中點(diǎn)，∴∴四邊形是平行四邊形，由（1）可得四邊形是平行四邊形，與互相平分，的中點(diǎn)就是的中點(diǎn)，則與交于點(diǎn)正確；若四邊形是矩形，則，，四邊形是菱形，不是矩形；不正確；四邊形中，若，則四邊形是正方形，若四邊形是正方形，則四邊形不一定是正方形，不正確；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、菱形的判定、正方形的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角形中位線定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，在四邊形中，，分別是，的中點(diǎn)，，分別是對角線，的中點(diǎn)，依次連接，，，，連接，．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）當(dāng)時(shí)，與有怎樣的位置關(guān)系？請說明理由；【答案】（1）見解析；（2）當(dāng)AB=CD時(shí)，EF⊥GH，理由見解析【分析】（1）利用三角形的中位線定理可以證得四邊形EGFH的一組對邊平行且相等，即可證得；（2）根據(jù)菱形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）證明：∵四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AD、BC、BD、AC的中點(diǎn)，∴F