數(shù)值分析 課件ch4-非線性方程的近似解法

非線性方程的近似解法04ChapterCh4方程求根從多項式方程求根說起

20世紀考古發(fā)現(xiàn)，公元前1700年，美索不達米亞人已經(jīng)有了解二次方程的成法；用現(xiàn)代的代數(shù)語言來敘述就是：Ch4方程求根意大利數(shù)學(xué)家費羅(S.d.Ferro，1465～1526)首先得到了該方程的一般求根公式，沒有公開他的解法，按當(dāng)時的習(xí)俗作為挑戰(zhàn)對手的秘密武器；

Ferro在臨終前將解法傳給了他的學(xué)生安東尼奧·菲奧爾(AntonioM.Fior);費羅去世后，菲奧爾向當(dāng)時意大利最大的數(shù)學(xué)家之一塔爾塔利亞(Tartaglia，1500—1557)提出挑戰(zhàn)，要他解出30個三次方程,塔爾塔利亞用8天時間解出了全部30個方程，得到了解缺項三次方程的一般方法。Ch4方程求根從二次方程到三、四次方程求根公式歷經(jīng)至少3245年；米蘭的數(shù)學(xué)和物理教授卡爾達諾(Cardano，1501—1576)獲悉該事后央求塔爾塔利亞將密訣告訴他，并發(fā)誓保密，在卡爾達諾的懇求下，塔爾塔利亞把他的方法寫成一首晦澀的詩告訴了卡爾達諾；

1545年卡爾達諾出版著作《大法》(Arsmagna)，公布了一般三次方程求根公式，稱為卡爾達諾公式；《大法》同時公布了意大利數(shù)學(xué)家費拉里（Ferrali，1522-1565）仿照一般三次方程求根思想，推導(dǎo)的一般四次方程求根公式；Ch4方程求根意大利數(shù)學(xué)家的成功促使當(dāng)時的眾多數(shù)學(xué)家開始尋求更高次方程的解法；量變引起了質(zhì)變，數(shù)學(xué)家們徒勞了兩個多世紀，沒有成功；

1771年法國數(shù)學(xué)家拉格朗日在論文《關(guān)于代數(shù)方程解法的思考》中指出，用代數(shù)運算解一般的(n>4)次方程是不可能的,或者這個問題超出了人類的智力范圍，或者是根的表達方式不同于當(dāng)時所知道的一切;

1824年，天才的挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾(Abel，1802—1829)在其出版的著作中證明：如果方程的次數(shù)n≥5，并且將方程的系數(shù)看成字母，那么任何一個由這些字母組成的根式都不可能是方程的根；近300年的努力果然是徒勞的；Ch4方程求根阿貝爾之后，不少人找到了特殊高次方程的求根方法，得到了有理根式形式的解；到底哪些方程可以得到有理根式形式的解？

1831年天才的法國數(shù)學(xué)家伽羅瓦(E.Galois，1811—1832)給出了高次方程存在根式解的充分必要條件。Ch4方程求根天才的伽羅華

1829年，伽羅華中學(xué)畢業(yè)前，把關(guān)于群論的初步研究結(jié)果的論文提交給法國科學(xué)院，科學(xué)院委托當(dāng)時法國最杰出的數(shù)學(xué)家柯西審核論文。在1830年1月18日柯西計劃對伽羅華的研究成果在科學(xué)院舉行一次全面的意見聽取會。他在一封信中寫道：“今天我應(yīng)當(dāng)向科學(xué)院提交一份關(guān)于年輕的伽羅華的工作報告……但因病在家，我很遺憾未能出席今天的會議，希望安排我參加下次會議，討論已指明的議題?！盋h4方程求根

1830年2月，伽羅華將論文寄給當(dāng)時的科學(xué)院終身秘書傅立葉，傅立葉于當(dāng)年5月去世，在他的遺物中未發(fā)現(xiàn)伽羅華的手稿。伽羅華遞交的兩次數(shù)學(xué)論文均被遺失。

1831年1月，伽羅華將包含新成果的論文提交給法國科學(xué)院，負責(zé)審查的數(shù)學(xué)家泊松（Possion),四個月后，以“完全不能理解”，建議科學(xué)院退稿。

1831年1月8日，因伽羅華揭發(fā)校長的政治兩面派行為，被皇家國民教育委員會批準開除出巴黎師范大學(xué)；第二周，柯西向科學(xué)院宣讀他自己的一篇論文時，忘記了原來的議題。Ch4方程求根

1832年5月29日夜，伽羅華倉促地把自己生平的數(shù)學(xué)研究心得扼要寫出，附以論文手稿，并在給朋友舍瓦利葉的信中說：“我在分析方面做出了一些新發(fā)現(xiàn)。有些是關(guān)于方程論的；有些是關(guān)于整函數(shù)的……。公開請求雅可比或高斯，不是對這些定理的正確性，而是對這些定理的重要性發(fā)表意見。我希望將來有人發(fā)現(xiàn)，這些對于消除所有有關(guān)的混亂是有益的。”

l832年3月16日伽羅華獲釋后不久，為了一個舞女決定為“愛情與榮譽”決斗；

1832年5月30日上午，伽羅華死于決斗；

1831年5月l0日，伽羅華以“企圖暗殺國王”的罪名被捕，關(guān)押在圣佩拉吉監(jiān)獄；Ch4方程求根伽羅華死后，舍瓦利葉把他的信發(fā)表在《百科評論》中。

1846年，法國數(shù)學(xué)家劉維爾領(lǐng)悟到伽羅華的天才思想，他花了幾個月的時間將伽羅華手稿中的部分內(nèi)容發(fā)表在他的極有影響的《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》上，并向數(shù)學(xué)界推薦。

1870年法國數(shù)學(xué)家約當(dāng)根據(jù)伽羅華的思想，寫了《論置換與代數(shù)方程》一書，向人類展示了跨越世紀的伽羅華思想：關(guān)于群和域的理論。這套理論創(chuàng)立了抽象代數(shù)學(xué)，把代數(shù)學(xué)的研究推向了一個新的里程，并標志著數(shù)學(xué)發(fā)展現(xiàn)代階段的開始。Ch4方程求根

困難：方程的解難以用公式表達。例如:1)多項式方程：

需要一定精度的近似解！2)超越方程:

4.1根的搜索4.1根的搜索

逐步搜索法

求根問題的三個方面：存在性，分布，精確化4.1根的搜索

二分法

4.1根的搜索解：

f(1)=-5<0有根區(qū)間f(2)=14>0-(1,2)+f(1.5)>0-(1,1.5)+f(1.25)<0-(1.25,1.5)+f(1.375)>0(1.25,1.375)f(1.313)<0(1.313,1.375)f(1.344)<0(1.344,1.375)f(1.360)<0(1.360,1.375)f(1.368)>0(1.360,1.368)

4.1根的搜索

因此，一般常用該方法求根的初始近似值，然后再用其它的求根方法精確化。4.2迭代法4.2迭代法迭代法基本思想

不動點迭代法

迭代法是一種逐次逼近方法4.2迭代法

迭代函數(shù)有多種選擇4.2迭代法

4.2迭代法

由此可見，這種迭代格式是發(fā)散的

4.2迭代法

同樣的方程不同的迭代格式有不同的結(jié)果什么形式的迭代法能夠收斂呢?4.2迭代法

迭代法的幾何意義4.2迭代法

4.2迭代法

4.2迭代法迭代法的收斂性

4.2迭代法4.2迭代法4.2迭代法4.2迭代法迭代法的收斂性

4.2迭代法

kxk迭代法(1)迭代法(2)迭代法(3)迭代法(4)0123

?

x0

x1

x2

x3

?23987?21.521.5?21.751.734751.732631?21.751.7321431.732051?

4.2迭代法迭代法的收斂階

4.2迭代法迭代法的收斂階下面給出超線性收斂的一個充分條件

4.3牛頓迭代法4.3牛頓迭代法基本思想：將非線性方程轉(zhuǎn)化為線性方程來求解。牛頓迭代法思想

Newton迭代法4.3牛頓迭代法yx0abx0x1x2x*y=f(x)Newton迭代法逼近過程Newton法的幾何意義是逐次用切線代替曲線，求切線與橫坐標軸的交點。

Newton法亦稱為切線法4.3牛頓迭代法

01230.50.571020.567160.56714

4.3牛頓迭代法

0123411.51.347831.325201.324724.3牛頓迭代法牛頓迭代法的局部收斂性

4.3牛頓迭代法

(2)寫出一個一般迭代公式，分析迭代公式的收斂性.

4.3牛頓迭代法牛頓迭代法的優(yōu)缺點yx0abx0x1x2x*y=f(x)優(yōu)點:牛頓迭代法具有平方收斂的速度,所以在迭代過程中只要迭代幾次就會得到很精確的解.這是牛頓迭代法比簡單迭代法優(yōu)越的地方.缺點:選定的初值要接近方程的解,否則有可能得不到收斂的結(jié)果;再者,牛頓迭代法計算量比較大,因每次迭代除計算函數(shù)值外還要計算微商值.4.3牛頓迭代法牛頓下山法

4.3牛頓迭代法

012341.51.347831.325201.324720.617.9發(fā)散0.6