數(shù)值分析 課件ch7-數(shù)值積分與微分_第1頁
數(shù)值分析 課件ch7-數(shù)值積分與微分_第2頁
數(shù)值分析 課件ch7-數(shù)值積分與微分_第3頁
數(shù)值分析 課件ch7-數(shù)值積分與微分_第4頁
數(shù)值分析 課件ch7-數(shù)值積分與微分_第5頁
已閱讀5頁,還剩57頁未讀 繼續(xù)免費閱讀

下載本文檔

版權說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權,請進行舉報或認領

文檔簡介

數(shù)值積分與微分07Chapter7.1引言7.1引言

——Riemann積分積分的概念

即7.1引言黎曼是世界數(shù)學史上最具獨創(chuàng)精神的數(shù)學家之一,著作不多,卻異常深刻,富于對概念的創(chuàng)造與想象,思想極其深邃難以理解。許多奠基性、創(chuàng)造性的工作,直接影響了19世紀以后的數(shù)學發(fā)展,在黎曼思想的影響下數(shù)學許多分支取得了輝煌成就?!隼杪鼛缀巍⒘餍?、微分流形、橢圓幾何的創(chuàng)始人愛因斯坦用黎曼幾何將廣義相對論幾何化。黎曼幾何是現(xiàn)代理論物理必備的數(shù)學基礎?!鐾晟莆⒎e分理論的出杰人物之一

■解析數(shù)論、與復變函數(shù)的里程碑■組合拓撲的開拓者■代數(shù)幾何的奠基人

■在數(shù)學物理、微分方程等領域貢獻卓著7.1引言根據(jù)定義計算

積分的計算Riemann積分從定義上基本不可算

Newton-Leibniz公式求定積分的值,Newton-Leibnitz公式無論在理論上還是在解決實際問題上都起了很大作用,但它并不能完全解決定積分的計算問題7.1引言N-L公式的局限性積分學涉及的實際問題極為廣泛,而且極其復雜,在實際計算中經(jīng)常遇到以下三種情況:1.被積函數(shù)有原函數(shù),但形式復雜難解

2.找不到原函數(shù)

7.1引言希望研究一種新的積分方法來解決N-L公式所不能或很難解決的積分問題數(shù)值積分方法

7.1引言

左矩形公式

右矩形公式中矩形公式梯形公式

Simpson公式

7.1引言

求積系數(shù)求積節(jié)點值機械求積公式求積節(jié)點

為截斷誤差,又稱求積余項.7.1引言數(shù)值積分方法是近似方法近似程度(精度)代數(shù)精度考慮如何衡量代數(shù)精度

如果

7.1引言

考查

如果

一般,如果

則7.1引言

因此,判斷代數(shù)精度只需用最簡多項式

7.1引言代數(shù)精度

7.1引言

所以梯形公式具有1次代數(shù)精度

7.1引言

所以Simpson公式具有3次代數(shù)精度

7.1引言

具有三階的代數(shù)精度7.1引言

為插值型求積公式插值型求積公式

4.1引言

證:充分性

必要性所以該求積公式為插值型。

7.2Newton-Cotes公式7.2Newton-cotes公式Cotes系數(shù)

7.2Newton-cotes公式

Cotes系數(shù)

Newton-Cotes公式7.2Newton-cotes公式Cotes系數(shù)

Simpson求積公式

梯形公式

Cotes求積公式4.2Newton-cotes公式

7.2Newton-cotes公式

數(shù)值積分的誤差分析

7.2Newton-cotes公式以梯形公式誤差為例

7.2Newton-cotes公式

梯形公式Simpson公式

Cotes公式

7.2Newton-cotes公式

如何改進復化求積法復化求積法第一步:等分區(qū)間:

第三步:求和

7.2Newton-cotes公式

7.2Newton-cotes公式復化求積公式的誤差復化梯形公式為

7.2Newton-cotes公式同理,復化Simpson和復化Cotes公式的誤差分別為

復化梯形、復化Simpson和復化Cotes公式分別具有二階、四階和六階收斂精度。7.2Newton-cotes公式

7.3Romberg算法7.3Romberg算法考察復化梯形公式

二分前的步長

7.3Romberg算法

可以得到兩個結(jié)果結(jié)果一:

區(qū)間二分后的誤差是二分前后差值的三分之一結(jié)果二:

加速公式7.3Romberg算法

7.3Romberg算法考察復化Simpson公式

可以驗證得

7.3Romberg算法考察復化Cotes公式

稱Romberg公式7.3Romberg算法Romberg算法計算步驟

1.梯形公式2.變步長梯形公式3.加速公式

(1)二分前的步長(2)二分前的區(qū)間中值

二分點7.3Romberg算法解:

因此

例7.3.1:計算

對照值

7.3Romberg算法

7.3Romberg算法例7.3.2:用Romberg算法計算

0***1**2*3

7.4Gauss公式7.4Gauss公式

定義:如果適當選取求積公式

Gauss點

7.4Gauss公式Gauss點

定義

Gauss定理:對于插值型求積公式

7.4Gauss公式Gauss-Legendre公式回顧:Legendre多項式

n=3時

n=2時n=1時

見P587.4Gauss公式Legendre多項式的兩個重要結(jié)論

(1)

(2)

則Gauss-Legendre公式7.4Gauss公式Gauss-Legendre公式

例如取

利用兩個Gauss點構造求積公式:代入求積公式

又因為有3次代數(shù)精度(n=1)所以

即7.4Gauss公式兩點Gauss-Legendre求積公式因此

類似可得三點Gauss-Legendre求積公式

7.4Gauss公式解:(1)

7.4Gauss公式

7.4Gauss公式得Gauss點

根據(jù)代數(shù)精度得

7.4Gauss公式7.4Gauss公式梯形和Simpson求積公式低精度的方法,但對于光滑性較差的被積函教有時效果比用高精度的方法還好,再加上公式簡單,因而使用非常廣泛.特別在計算上,復化的梯形公式和Simpson公式便于采用逐次分半的方法,計算程序十分簡單Romberg求積方法算法簡單,程序也便于實現(xiàn),且當節(jié)點加密時,前面的計算結(jié)果直接參與后面的計算,因而大大減少了計算量.此方法的一個最大缺點是節(jié)點的增加是成倍的。Gauss型求枳公式最高代數(shù)精度的求積方法,但它的節(jié)點和求積系數(shù)都沒有規(guī)律,當節(jié)點增加時,前面的計算結(jié)果不能被利用,只能重新計算。它的最大優(yōu)點是適用于某些無窮區(qū)間上的廣義積分的計算。7.5數(shù)值微分7.5數(shù)值微分

關于微分的計算通過微分法則基本可以得到任意可微初等函數(shù)的導函數(shù),但對于列表函數(shù),求導數(shù)通常使用數(shù)值微分。

微分的數(shù)值運算大多應用于微分方程的離散化。

即將微分方程轉(zhuǎn)化為離散點上的代數(shù)方程.7.5數(shù)值微分插值函數(shù)數(shù)值微分法

思想方法:以插值多項式近似代替函數(shù),以插值多項式在節(jié)點上的導數(shù)值近似代替函數(shù)在節(jié)點上的導數(shù)值。推導公式:用此方法求微商,可以先求出插值多項式,然后各點上的微商就可以同時求出。

7.5數(shù)值微分

常用的數(shù)值微分公式

一階微商的兩點公式一階微商的三點公式

7.5數(shù)值微分一階微商的五點公式三點公式與五點公式中有中點項。由于中點的導數(shù)值的表達式中不含有中點的函數(shù)值項,且函數(shù)值項的系數(shù)不大,因此選取節(jié)點的方法:在考察的節(jié)點兩側(cè)選取。中點微分公式精度較高。實際應用中,多利用中點微分公式。用五點公式求數(shù)值導數(shù),其精確度高于三點公式(同階導數(shù))。7.5數(shù)值微分數(shù)值微分在常微分方程離散化的應用例

7.5數(shù)值微分整理得

即有其中事實上,本方程的解析解為

7.5數(shù)值微分解析解近似解h=(b-a)/10近似解h=(b-a)/20誤差h=(b-a)/10誤差h=(b-a)/20u11.45521.49741.47690.04220.0217u21.90331.98251.94410.07920.0408u32.33842.44762.39460.10920.0562u42.75552.88612.82270.13060.0672u53.1510

溫馨提示

  • 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
  • 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權益歸上傳用戶所有。
  • 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預覽,若沒有圖紙預覽就沒有圖紙。
  • 4. 未經(jīng)權益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
  • 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負責。
  • 6. 下載文件中如有侵權或不適當內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
  • 7. 本站不保證下載資源的準確性、安全性和完整性, 同時也不承擔用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

最新文檔

評論

0/150

提交評論