圓錐曲線離心率歸類（15題型提分練）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)清單

專題23圓錐曲線離心率

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目錄

題型一：離心率基礎(chǔ)計(jì)算..........................................................................1

題型二：定義型求離心率..........................................................................2

題型三：第三定義型（點(diǎn)差法）....................................................................3

題型四：雙曲線：漸近線型離心率..................................................................4

題型五：中點(diǎn)與離心率............................................................................5

題型六：a、b、c齊次型...........................................................................6

題型七：焦點(diǎn)三角形：內(nèi)切圓型....................................................................7

題型八：焦點(diǎn)三角形：焦半徑型....................................................................8

題型九：焦點(diǎn)三角形：離心率范圍最值..............................................................9

題型十：焦點(diǎn)弦定比分點(diǎn)求離心率.................................................................10

題型十一：焦點(diǎn)三角形：余弦定理.................................................................10

題型十二：焦點(diǎn)三角形：雙角度型.................................................................11

題型十三：重心型...............................................................................12

題型十四：雙曲線橢圓共焦點(diǎn)型...................................................................14

題型十五：離心率“小題大做”型.................................................................15

結(jié)束..........................................................................

^突圍?錯(cuò);住蝗分

題型一：離心率基礎(chǔ)計(jì)算

指I點(diǎn)I迷I津

圓錐曲線的離心率的常見基本思維方法和基礎(chǔ)計(jì)算：

定義法：通過已知條件列出方程組，求得a，c得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率e；

基礎(chǔ)計(jì)算：由已知條件得出關(guān)于a，c的二元齊次方程或不等式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的一元二次方程或不等式,

結(jié)合離心率的定義求解；

特殊值計(jì)算法：根據(jù)特殊點(diǎn)與圓錐曲線的位置關(guān)系，利用取特殊值或特殊位置，求出離心率問題.

22

1.（24-25高三?重慶?階段練習(xí)）已知橢圓「:下方=1（。＞10）的焦距為2c,若直線履-3y+化+8）c=0恒

與橢圓「有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則橢圓「的離心率范圍為（）

2

2.（2025?安徽?模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C:x2-￡=1僅＞0）的左焦點(diǎn)為R過坐標(biāo)原點(diǎn)。作C的一條漸近

線的垂線/,直線/與C交于A,8兩點(diǎn)，若尸的面積為其1,則C的離心率為（）.

3

A.3B.qC.2D.73

3.（24-25高三?全國?模擬）設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為耳，尸2,過工作橢圓長軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P,若ARPF?

為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是（）

c.72-16-1

ATB?理"4

V-2V2V2V2

4.（23-24高三?河南漠河?階段練習(xí)，多選）已知橢圓C|：土+2-=1與雙曲線Q：'一4=1（9〈左<16）,

16916-kk-9

下列關(guān)于兩曲線的說法正確的是（）

A.。的長軸長與C2的實(shí)軸長相等B.Q的短軸長與C2的虛軸長相等

C.焦距相等D.離心率不相等

22

5.（24-25高三上?北京?階段練習(xí)）已知雙曲線C:=-當(dāng)=1僅>0）的兩條漸近線互相垂直，則C的離心

ab

率為.

題型二：定義型求離心率

指I點(diǎn)I迷I津

解題時(shí)要把所給的幾何特征轉(zhuǎn)化為反C的關(guān)系式.求離心率的常用方法有：

（1）根據(jù)條件求得。，4C,利用e=￡或e求解；

aVar

（2）根據(jù)條件得到關(guān)于。，瓦c的方程或不等式，利用e=￡將其化為關(guān)于e的方程或不等式，然后解方程或不等式

a

即可得到離心率或其范圍.

I_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

22

1.（23-24高二下?湖南郴州,模擬）已知尸為橢圓C:=+冬=l（a>6>0）上一動(dòng)點(diǎn)，耳、8分別為其左右焦

ab

點(diǎn)，直線尸耳與C的另一交點(diǎn)為A,AAPg的周長為16.若尸片的最大值為6,則該橢圓的離心率為（）

A.1B-|12

C.—D.一

23

22_

2.（2023?廣西南寧?模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C：A+l=l（a>6>0）,耳，F(xiàn)?分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，直線y=也彳

ab

與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，若居、A、尸2、8四點(diǎn)共圓，則橢圓的離心率為（）

A."B.y/3C.y/3-1D.

32

22

3.（2024?貴州?三模）己知橢圓C:=+5=1（4>。>0）的左、右焦點(diǎn)分別為居,不，過點(diǎn)F?的直線/與橢圓C

ab

交于P,Q兩點(diǎn)，若內(nèi)。：國可：|月。=1：3:5,則該橢圓的離心率為（）

22

4.（23-24高三?云南?階段練習(xí)，多選）橢圓C：T+2=l（a>0>0）的左、右兩焦點(diǎn)分別是耳，耳，其中

ab

忖用=2c.過左焦點(diǎn)的直線與橢圓交于A,2兩點(diǎn).則下列說法中正確的有（）

A.AAB鳥的周長為4。

B.若48的中點(diǎn)為所在直線斜率為3則向”?左=-斗

C.若I的最小值為3c,則橢圓的離心率e=；

D.若福?它=3c?,則橢圓的離心率的取值范圍是

5.（20-21?河南駐馬店?模擬）已知鳥，工是雙曲線。：+-我=1（。>0力>0）的左右焦點(diǎn)，過片且傾斜角

為60。的直線/與C的左、右兩支分別交于A、8兩點(diǎn).若招工，則雙曲線C的離心率為.

題型三：第三定義型（點(diǎn)差法）

指I點(diǎn)I迷I津

橢圓：設(shè)直線和橢圓廣、,2的兩個(gè)交點(diǎn)A（x1,％）,8（%,當(dāng)），代入橢圓方程，得與+與=1

12

+ab

2b2

二+與=1；將兩式相減，可得之亡+匚正=（）；&+可-々）=_（%+%?-%）；

a2b2a2b2a-b1

最后整理得：1-：…）…）nl=-^4-A

/7（再+%2）（再一天2）bXo

同理，雙曲線用點(diǎn)差法，式子可以整理成：］=：（』+%）（￥-%）ni=k?一?迎

/?（再+九2）（西一九2）bXo

A（X］,yJ,y；=2?］；

拋物線：設(shè)直線和曲線的兩個(gè)交點(diǎn)B（x2,y2）,代入拋物線方程，得7n=2px2;

1--------二------kAB-%

可將Xi~X2

22

1.（22-23高三?山西長治?模擬）已知直線>=-尤+1與橢圓:>齊=l（a>b>0）相交于AB兩點(diǎn)，且線段A3

的中點(diǎn)在直線尤-2y=0上，則此橢圓的離心率為（）

A6nJ_,也c布

A.D.C..U.

3222

22

2.（20-21高三?江西南昌?模擬）雙曲線=-々=l（a>0,b>0）的右焦點(diǎn)為*4,0）,設(shè)A、8為雙曲線上關(guān)

ab

于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，AF的中點(diǎn)為昉的中點(diǎn)為N,若原點(diǎn)。在以線段"N為直徑的圓上，直線AB的

斜率為3旦，則雙曲線的離心率為（）

7

A.4B.2C.qD.V3

fv21

3.（20-21高三?江西撫州?模擬）已知橢圓的方程為芯+==1（。>6>0）,斜率為的直線/與橢圓相交

于A,8兩點(diǎn)，且線段A5的中點(diǎn)為M（L2）,則該橢圓的離心率為（

A1RV2g

A?D.L.L

3532

2

4.（2021?河北石家莊?二模，多選）已知雙曲線C：三-/=1（。>0）,其上、下焦點(diǎn)分別為我1,F2,。為

坐標(biāo)原點(diǎn).過雙曲線上一點(diǎn)作直線/,分別與雙曲線的漸近線交于尸，。兩點(diǎn)，且點(diǎn)M為PQ中點(diǎn)，

則下列說法正確的是（）

A.若軸，則|PQk2.

B.若點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1,2）,則直線/的斜率為:

C.直線尸。的方程為岑-x°x=l.

a

D.若雙曲線的離心率為1，則三角形。尸Q的面積為2.

2

22

5.（23-24高三?黑龍江哈爾濱?模擬）已知直線y=-x+l與橢圓會(huì)+方=1（。>。>0）相交于A8兩點(diǎn)，且

線段的中點(diǎn)在直線/：-4y=0上，則此橢圓的離心率為.

題型四：雙曲線：漸近線型離心率

指I點(diǎn)I迷I津

雙曲線漸近線性質(zhì)：

（1）焦點(diǎn)到漸近線的距離為b

（2）定點(diǎn)到漸近線的距離為白

a

22/2

（3）一直線交雙曲線3=1的漸近線于A.B兩點(diǎn)。A,B的中點(diǎn)為M,則七

aba

22

（4）過雙曲線=-A=1上任意一點(diǎn)P做切線，分別角兩漸近線于M,N兩點(diǎn)，0為坐標(biāo)原點(diǎn)則有如下結(jié)論:

ab

22

①OM?ON=a2+b2；②ON.OM=a+b；③S^ONM=ab

22

1.（2022高三?全國?專題練習(xí)）雙曲線C:*?-==l（a>0,g0）的右焦點(diǎn)為尸，若以點(diǎn)尸為圓心，半徑

為a的圓與雙曲線C的漸近線相切，則雙曲線C的離心率等于（）

A.fB.0C.2D.272

22

2.（2022?山西晉中?二模）已知雙曲線C：斗=l（a>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為E（-c,0）,g（G。），

ab

4

平面內(nèi)一點(diǎn)尸滿足尸片,尸工，的面積為點(diǎn)。為線段尸1的中點(diǎn)，直線。。為雙曲線的一條漸近

線，則雙曲線c的離心率為（）

A.75B.百或好C.—D.2

22

22

3.（2024?全國?模擬預(yù)測(cè)）己知雙曲線C：A一2=1（°>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為居，F(xiàn)2,過6

ab

作以F?為圓心，虛半軸長為半徑的圓的切線，切點(diǎn)為若線段加耳恰好被雙曲線C的一條漸近線平分，

則雙曲線C的離心率為（）

A.72B.6C.2D.75

22

4.（22-23高三?河北保定?模擬，多選）己知雙曲線。:鼻-2=1（。＞0]＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為片，F(xiàn)2,

ab

點(diǎn)M為雙曲線C右支上一點(diǎn)，且嗎，M，若"與一條漸近線平行，則（）

A.雙曲線C的離心率為遙

B.雙曲線C的漸近線方程為y=±Vix

C.△〃耳鳥的面積為^

D.直線M1與圓。:/+丁=/相切

6.（21-22高三上?遼寧?階段練習(xí)）等軸雙曲線是一種特殊的雙曲線，特點(diǎn)是漸近線互相垂直且離心率為四,

y=-（左WO）的圖象是等軸雙曲線，設(shè)雙曲線＞=三的焦點(diǎn)為A、B,則直線的方程為,若。

xx+3

為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為.

題型五：中點(diǎn)與離心率

指I點(diǎn)I迷I津

直線與曲線相交，涉及到交線中點(diǎn)的題型，多數(shù)用點(diǎn)差法。按下面方法整理出式子，然后根據(jù)實(shí)際情況處理該

式子。主要有以下幾種問題：

（1）求中點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求中點(diǎn)軌跡方程；（3）求直線方程；（4）求曲線；

中點(diǎn)X（）=^L±^,/=必；%

22

1.（22-23高三上?浙江?模擬）已知雙曲線C:*-2=1（。＞0,人＞0）的左右焦點(diǎn)分別為片，F(xiàn)2,過F2的直

ab

線/交雙曲線的右支于A,8兩點(diǎn).點(diǎn)M滿足衣+而=2麗7,且畫？?明=0,若cos/A￡2=；,則雙曲

線的離心率是（）

A.gB.73C.2D.75

22

2.（23-24高三下?湖北武漢?階段練習(xí)）已知雙曲線片:二-2=1（。＞0）＞0）的右焦點(diǎn)為F,其左右頂點(diǎn)分

ab

別為A8,過產(chǎn)且與x軸垂直的直線交雙曲線E于M,N兩點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)為尸，若直線族與直線⑷V

的交點(diǎn)在，軸上，則雙曲線E的離心率為（）

A.2B.3C.也D.73

22

3.（2024?四川雅安三模）設(shè)片,旦分別為雙曲線C:3-]=1（。＞0,6＞0）的左右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F2的直線交雙

ab

曲線右支于點(diǎn)M,交'軸于點(diǎn)N，且尸2為線段MN的中點(diǎn)，并滿足而，而，則雙曲線C的離心率為（）

A.B.退+1C.2D.75+1

22

4.（23-24高三?內(nèi)蒙古巴彥淖爾?模擬，多選）已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，歹是橢圓C:=+4=1（。＞6＞0）的右

ab

焦點(diǎn)，y=履與C交于A8兩點(diǎn)，加,"分別為4尸,8尸的中點(diǎn)，若OMLON,則C的離心率可能為（）

22

5.（2025高三?全國?專題練習(xí)）已知橢圓A+2=1（。>6>0）的左焦點(diǎn)是耳，左頂點(diǎn)為A,直線y=履交

ab

橢圓于尸、。兩點(diǎn)（P在第一象限），直線尸月與直線AQ交于點(diǎn)￡）,且點(diǎn)。為線段AQ的中點(diǎn)，則橢圓的離心

率為.

題型六：a、b、c齊次型

指I點(diǎn)I迷I津

只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于。，6,C的齊次式，結(jié)合〃=4—°2轉(zhuǎn)化為q,c的齊次式，然后等式（不等式）

兩邊分別除以a或02轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范圍）.

22

1.（2022?山東臨沂?模擬）耳，耳是雙曲線C:0-3=l（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)，直線I為雙曲線C的一

ab

條漸近線，耳關(guān)于直線I的對(duì)稱點(diǎn)為且點(diǎn)R在以F2為圓心、以半虛軸長b為半徑的圓上，則雙曲線C

的離心率為

A.V2B.y/5C.2D.V3

2

2.（2024?湖南?三模）己知耳,耳是橢圓。:?鼻+斗v=l（a>6>0）的左、右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，過耳作直線

與c交于48兩點(diǎn)，若|你RABI,且AOA工的面積為9b2,則橢圓c的離心率為（

D,顯

2

22

3.（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?一模）已知橢圓C：T+a=l（a>6>。）的左、右頂點(diǎn)分別為A,8,左焦點(diǎn)為￡尸

為橢圓上一點(diǎn)，直線AP與直線x交于點(diǎn)的角平分線與直線x交于點(diǎn)N,若

7

的面積是△、出面積的萬倍，則橢圓C的離心率是（）

1111

A.-B.—C.—D.一

8763

22

4.（22-23高三?遼寧鐵嶺?階段練習(xí)，多選）如圖，已知橢圓C：\+2=1（46>1）,A”為分別為左、

右頂點(diǎn)，耳，分別為上、下頂點(diǎn)，儲(chǔ)，工分別為左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，則下列條件中能使C

的離心率為好二1的是（）

%X

I。4闋=1。⑷2/耳耳4=90°

軸，且PO//&4

四邊形4月4坊的內(nèi)切圓過焦點(diǎn)片，F(xiàn)2

22

5.（2024?福建?模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C:5-2=1（。>0,6>0）的左焦點(diǎn)為E過尸的直線/交圓尤2+/=/

ab

于A,B兩點(diǎn)，交。的右支于點(diǎn)尸.若IA/1=1BPI,\PF\=2\AB\,則。的離心率為.

題型七：焦點(diǎn)三角形：內(nèi)切圓型

22

1.（23-24高三下?重慶沙坪壩?階段練習(xí)）如圖，雙曲線￡：二一2=1的左右焦點(diǎn)分別為乙，F(xiàn)2,若存在

ab

過F2的直線/交雙曲線E右支于A,8兩點(diǎn)，且AAG居，月鳥的內(nèi)切圓半徑4，4滿足"=44，則雙曲

線E的離心率取值范圍為（）

C.（2,4>/3）D.八4⑹

22

2.（2024?山東濟(jì)寧?三模）已知雙曲線C:3-斗=1（°>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為根據(jù)雙曲線

的光學(xué)性質(zhì)可知，過雙曲線C上任意一點(diǎn)P（XO,%）的切線/:學(xué)-第=1（。>0,6>0）平分NRPF。.直線4過

F2交雙曲線C的右支于A,8兩點(diǎn)，設(shè)AA片工,力丹工,耳的內(nèi)心分別為/“乙，/，若人與Ag/j的面

3

積之比為不，則雙曲線。的離心率為（）

A.-B.巫C.-D.巫.

2333

22

3.（24-25高三上?云南昆明?階段練習(xí)）已知橢圓。:今+4=1（（1>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為片，F(xiàn)2,點(diǎn)

a23bz

P（%,yl）是c上的一點(diǎn)，△尸月月的內(nèi)切圓圓心為QO2,%），當(dāng)玉=2時(shí)，A=垂>,則c的離心率為（）

A.—B.6一1C.—D.2->/3

23

22

4.（24-25高三?全國?模擬，多選）設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，耳月分別是雙曲線C:1-與=l（a>0力>0）的左、

ab

右焦點(diǎn)，P是c上的一點(diǎn)，且（圾+痂>％=0,若4尸耳外的內(nèi)切圓半徑為。，設(shè)內(nèi)切圓圓心/（毛,％）,

貝U（）

A.x0=2aB.AP與&為直角三角形

C.的面積為acD.C的離心率為G+I

22

5.（23-24高三?廣東揭陽?模擬）已知橢圓￡：3+與=l（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為《，工，尸為E上且不與

ab

3

頂點(diǎn)重合的任意一點(diǎn)，/為△。耳工的內(nèi)心，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，記直線OR。/的斜率分別為匕，自，若尤=5網(wǎng)，

則E的離心率為.

題型八：焦點(diǎn)三角形：焦半徑型

指I點(diǎn)I迷I津

圓錐曲線焦半徑統(tǒng)一結(jié)論=——又——,（e二NPFX（PFY））,其中P為交點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，對(duì)橢圓和

1-ecos^

雙曲線而言p=P—

c

對(duì)于拋物線，則附=——,(，=/PFX(PFY))

1-cos^

22

1.（21-22高三上?全國?階段練習(xí)）已知點(diǎn)加（3,屏）是橢圓￡+'=1（4>匕>0）上的一點(diǎn)，工,尸2是橢

圓的左、右焦點(diǎn)，若49居為等腰三角形，則該橢圓的離心率為（)

A.2B.W

34

C.?；颉闐.《或巫二

2333

22

2.⑵3高二下?重慶沙坪壩,階段練習(xí)）設(shè)橢圓（a>b>0）的右焦點(diǎn)為R橢圓C上的兩

點(diǎn)A、8關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足麗.麗=0,|FB|<|/V1|<3|FB|,則橢圓C的離心率的取值范圍是（）

V2./io7D.［石-1,1）

B.，，丁c?惶H

3.（2024?陜西西安?一模）已知農(nóng)歷每月的第，+1天（OV/429jeN）的月相外邊緣近似為橢圓的一半，方

其中「為常數(shù).根據(jù)以上信息，下列說法中正確的有（

①農(nóng)歷每月M6/（1<30,6?eN*）天和第30-4天的月相外邊緣形狀相同；

②月相外邊緣上的點(diǎn)到橢圓焦點(diǎn)的距離的最大值為2r；

。月相外邊緣的離心率第8天時(shí)取最大值；

④農(nóng)歷初六至初八的月相外邊緣離心率在區(qū)間內(nèi).

A.①③B.②④C.①②D.③④

22

4.（23-24高三上?江西?模擬，多選）已知0為坐標(biāo)原點(diǎn)，耳，尸2分別為雙曲線C：二一當(dāng)=1（°>0,b>0）

ab

的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)/為雙曲線右支上一點(diǎn)，設(shè)月=0,過M作兩漸近線的垂線，垂足分別為P,Q,

則下列說法正確的是（）

A.\F2M\的最小值為

B.為定值

c.若當(dāng)。=B時(shí)△。咋恰好為等邊三角形，則雙曲線C的離心率為2g-2

當(dāng)。=：時(shí)若直線片加與圓尤?+/=/相切，則雙曲線C的離心率為"21+66

D.

33

22

5.（23-24高三?河南許昌?階段練習(xí)）已知橢圓J+A=l（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳居,P是橢圓上

ab

一點(diǎn)，APKB是以BP為底邊的等腰三角形，且60°</尸片&<120。，則該橢圓的離心率的取值范圍是.

題型九：焦點(diǎn)三角形：離心率范圍最值

;指I點(diǎn)I迷I津

求圓錐曲線的離心率（或離心率的取值范圍），常見有兩種方法：

①求出a，c,代入公式e=9；

a

②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于瓦。的齊次式，結(jié)合Z?=a2—02轉(zhuǎn)化為風(fēng)。的齊次式，然后等式（不等式）

；兩邊分別除以?；?轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范圍）.

22

1.（20-21高三?新疆烏魯木齊?階段練習(xí)）已知乙，F(xiàn)?是橢圓=+2=1伍>方>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，若存在點(diǎn)P

ab

為橢圓上一點(diǎn)，使得N耳PR=60。，則橢圓離心率e的取值范圍是（）.

22

2.（22-23高三上?內(nèi)蒙古呼和浩特?階段練習(xí)）已知橢圓二+2=1（4>萬>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為

ab

耳（-0,0）、片（c,0）,M是橢圓上一點(diǎn)，且滿足耳求橢圓的離心率e的取值范圍為（）

3.（22-23高三?廣東湛江?模擬）橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是Fi,F2,若C上的點(diǎn)P滿足|FF1|F尤？I，

則橢圓C的離心率e的取值范圍是

A.e<-^B.e>^

C.D.f或e<1

22

4.（20-21高三?江蘇南京?階段練習(xí)，多選）已知橢圓二+A=l（a>6>0）的離心率為e,片、只分別為橢圓

ab

的兩個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)P使得2可尸耳是鈍角，則滿足條件的一個(gè)e的值（）

22

5.（2020?山東棗莊?一模）已知橢圓=+2=l（a>b>0）的左右焦點(diǎn)分別為K（-G。），工（c,0）且b>c,若

ab

在橢圓上存在點(diǎn)P,使得過點(diǎn)P可作以耳鳥為直徑的圓的兩條互相垂直的切線，則橢圓離心率的范圍

為.

題型十：焦點(diǎn)弦定比分點(diǎn)求離心率

指I點(diǎn)I迷I津

性質(zhì)：過圓錐曲線的焦點(diǎn)F的弦AB與對(duì)稱軸（橢圓是長軸，雙曲線是實(shí)軸）的夾角為

6,且羽=4而,（注意方向）貝!Jecosg巴|（e為離心率）

22

1.（2023?湖北?模擬預(yù)測(cè)）已知鳥，F(xiàn)?分別是雙曲線-方=1（。>0,>>0）的左、右焦點(diǎn)，過月的直線

分別交雙曲線左、右兩支于A,8兩點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸上，區(qū)=3季，3鳥平分則雙曲線「的離心

率為（）_

A.77B.qC.6D.72

22

2.（22-23高二下?湖南岳陽?模擬）已知雙曲線。:=-之=1（。>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為片，工.點(diǎn)A

ab

在c上，點(diǎn)B在y軸上，率1而,KA=-JKB,則c的離心率為（）

.V5?375-73n2^/3

5533

22

3.（2024?浙江臺(tái)州?二模）設(shè)片，F(xiàn)2是雙曲線C：「-4=1（。>0*>0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M,N分別在雙

ab

曲線。的左、右兩支上，且滿足NM4N=。，麗=2而，則雙曲線。的離心率為（）

7廠5

A.2B.-C.5/3D.一

32

22

4.（23-24高三上?遼寧朝陽?階段練習(xí)，多選）已知雙曲線C/>0）的右焦點(diǎn)為尸，過點(diǎn)

尸作C的一條漸近線的垂線，垂足為A,該垂線與另一條漸近線的交點(diǎn)為8,若|冏=（4+1）1冏（X>0）,則

C的離心率e可能為（）

“I3A+30124+2I3A+3

'L+1'VA+2D.

V2Z

22

5.（23-24高三下?西藏拉薩?階段練習(xí)）設(shè)雙曲線C:三-2=1（。>0*>0）的左、右焦點(diǎn)分別為用，耳,A為左

ab

頂點(diǎn)，過點(diǎn)片的直線與雙曲線C的左、右兩支分別交于點(diǎn)（點(diǎn)M在第一象限）.若帆=4麗，則雙曲

線C的離心率e=,cosZFtMF2=.

題型十一：焦點(diǎn)三角形：余弦定理

指I點(diǎn)I迷I津

圓錐曲線具有中心對(duì)稱性質(zhì)，內(nèi)接焦點(diǎn)四邊形性質(zhì)：

1.焦點(diǎn)四邊形具有中心對(duì)稱性質(zhì)。

2.焦點(diǎn)四邊形可分割為兩個(gè)焦點(diǎn)三角形，具有焦點(diǎn)三角形性質(zhì)。

3.焦點(diǎn)四邊形可分割為兩個(gè)余弦定理形雙三角形，可以用雙余弦定理求解

22

1.（2023?山西?模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線E:1-與=1（。>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為乙，F(xiàn)2,尸是雙曲線

ab

S5

E上一點(diǎn)，PF.VF^,/與P區(qū)的平分線與無軸交于點(diǎn)。，產(chǎn)^=鼻，則雙曲線E的離心率為（）

^/\PF2Q3

A.J2B.2C.好D.有

2

22

2.（23-24高三?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí)）已知〃為橢圓：.+3=1（。>6>0）上一點(diǎn)，片，B為左右焦

ab

#sina-sinacos0_1

點(diǎn)，設(shè)/“耳工=。,則離心率6=（）

sin〃+cosasin'3’

1112

A.一B.—C.一D.-

4323

3.（23-24高二下?江蘇?開學(xué)考試）雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)為耳、F2,以C的實(shí)軸為直徑的圓記為。，過耳作

圓。的切線與C的兩支分別交于M、N兩點(diǎn)，且/與N鳥=45。，則C的離心率為（）

A.—B.—C.V3D.77

22

22

4.（2024?廣東廣州?模擬預(yù)測(cè)，多選）已知橢圓E：二+當(dāng)=1的左、右焦點(diǎn)為片，F(xiàn)2,過F?