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甘肅省靖遠(yuǎn)第四中2025屆高考沖刺押題(最后一卷)數(shù)學(xué)試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.我國(guó)古代數(shù)學(xué)巨著《九章算術(shù)》中,有如下問題:“今有女子善織,日自倍,五日織五尺,問日織幾何?”這個(gè)問題用今天的白話敘述為:有一位善于織布的女子,每天織的布都是前一天的2倍,已知她5天共織布5尺,問這位女子每天分別織布多少?根據(jù)上述問題的已知條件,若該女子共織布尺,則這位女子織布的天數(shù)是()A.2 B.3 C.4 D.12.已知復(fù)數(shù)z1=3+4i,z2=a+i,且z1是實(shí)數(shù),則實(shí)數(shù)a等于()A. B. C.- D.-3.已知,,,是球的球面上四個(gè)不同的點(diǎn),若,且平面平面,則球的表面積為()A. B. C. D.4.如圖所示,三國(guó)時(shí)代數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用弦圖,給出了勾股定理的絕妙證明.圖中包含四個(gè)全等的直角三角形及一個(gè)小正方形(陰影),設(shè)直角三角形有一內(nèi)角為,若向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲500顆米粒(米粒大小忽略不計(jì),?。瑒t落在小正方形(陰影)內(nèi)的米粒數(shù)大約為()A.134 B.67 C.182 D.1085.復(fù)數(shù)().A. B. C. D.6.已知實(shí)數(shù)滿足不等式組,則的最小值為()A. B. C. D.7.設(shè),是空間兩條不同的直線,,是空間兩個(gè)不同的平面,給出下列四個(gè)命題:①若,,,則;②若,,,則;③若,,,則;④若,,,,則.其中正確的是()A.①② B.②③ C.②④ D.③④8.若函數(shù)在時(shí)取得極值,則()A. B. C. D.9.若復(fù)數(shù)()在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在直線上,則等于()A. B. C. D.10.若復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位),則的共軛復(fù)數(shù)的模為()A. B.4 C.2 D.11.若2m>2n>1,則()A. B.πm﹣n>1C.ln(m﹣n)>0 D.12.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,已知,則角的大小為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在某批次的某種燈泡中,隨機(jī)抽取200個(gè)樣品.并對(duì)其壽命進(jìn)行追蹤調(diào)查,將結(jié)果列成頻率分布表如下:壽命(天)頻數(shù)頻率40600.30.4200.1合計(jì)2001某人從燈泡樣品中隨機(jī)地購(gòu)買了個(gè),如果這個(gè)燈泡的壽命情況恰好與按四個(gè)組分層抽樣所得的結(jié)果相同,則的最小值為______.14.已知點(diǎn)是拋物線的準(zhǔn)線上一點(diǎn),F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn),P為拋物線上的點(diǎn),且,若雙曲線C中心在原點(diǎn),F(xiàn)是它的一個(gè)焦點(diǎn),且過P點(diǎn),當(dāng)m取最小值時(shí),雙曲線C的離心率為______.15.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知A0,a,B3,a+416.某校高三年級(jí)共有名學(xué)生參加了數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)(滿分分),已知這名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)均不低于分,將這名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)分組如下:,,,,,,得到的頻率分布直方圖如圖所示,則下列說法中正確的是________(填序號(hào)).①;②這名學(xué)生中數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诜忠韵碌娜藬?shù)為;③這名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)約為;④這名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)為.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知拋物線和圓,傾斜角為45°的直線過拋物線的焦點(diǎn),且與圓相切.(1)求的值;(2)動(dòng)點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上,動(dòng)點(diǎn)在上,若在點(diǎn)處的切線交軸于點(diǎn),設(shè).求證點(diǎn)在定直線上,并求該定直線的方程.18.(12分)已知橢圓的右焦點(diǎn)為,過作軸的垂線交橢圓于點(diǎn)(點(diǎn)在軸上方),斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn),過點(diǎn)作直線交橢圓于點(diǎn),且,直線交軸于點(diǎn).(1)設(shè)橢圓的離心率為,當(dāng)點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)時(shí),的坐標(biāo)為,求的值.(2)若橢圓的方程為,且,是否存在使得成立?如果存在,求出的值;如果不存在,請(qǐng)說明理由.19.(12分)已知函數(shù),.(1)當(dāng)時(shí),①求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程;②比較與的大小;(2)當(dāng)時(shí),若對(duì)時(shí),,且有唯一零點(diǎn),證明:.20.(12分)如圖,底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形,,平面ABCD,,,BE與平面ABCD所成的角為.(1)求證:平面平面BDE;(2)求二面角B-EF-D的余弦值.21.(12分)已知函數(shù).(1)證明:當(dāng)時(shí),;(2)若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.22.(10分)已知函數(shù).(Ⅰ)若,求曲線在處的切線方程;(Ⅱ)當(dāng)時(shí),要使恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
將問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問題,最終變?yōu)榍蠼獾缺葦?shù)列基本量的問題.【詳解】根據(jù)實(shí)際問題可以轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問題,在等比數(shù)列中,公比,前項(xiàng)和為,,,求的值.因?yàn)?,解得,,解得.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用,難度較易.熟悉等比數(shù)列中基本量的計(jì)算,對(duì)于解決實(shí)際問題很有幫助.2、A【解析】分析:計(jì)算,由z1,是實(shí)數(shù)得,從而得解.詳解:復(fù)數(shù)z1=3+4i,z2=a+i,.所以z1,是實(shí)數(shù),所以,即.故選A.點(diǎn)睛:本題主要考查了復(fù)數(shù)共軛的概念,屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】
由題意畫出圖形,求出多面體外接球的半徑,代入表面積公式得答案.【詳解】如圖,取BC中點(diǎn)G,連接AG,DG,則,,分別取與的外心E,F(xiàn),分別過E,F(xiàn)作平面ABC與平面DBC的垂線,相交于O,則O為四面體的球心,由,得正方形OEGF的邊長(zhǎng)為,則,四面體的外接球的半徑,球O的表面積為.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查多面體外接球表面積的求法,考查空間想象能力與思維能力,是中檔題.4、B【解析】
根據(jù)幾何概型的概率公式求出對(duì)應(yīng)面積之比即可得到結(jié)論.【詳解】解:設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為1,則小直角三角形的邊長(zhǎng)為,
則小正方形的邊長(zhǎng)為,小正方形的面積,
則落在小正方形(陰影)內(nèi)的米粒數(shù)大約為,
故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何概型的概率的應(yīng)用,求出對(duì)應(yīng)的面積之比是解決本題的關(guān)鍵.5、A【解析】試題分析:,故選A.【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)運(yùn)算【名師點(diǎn)睛】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算的法則是進(jìn)行復(fù)數(shù)運(yùn)算的理論依據(jù),加減運(yùn)算類似于多項(xiàng)式的合并同類項(xiàng),乘法法則類似于多項(xiàng)式的乘法法則,除法運(yùn)算則先將除式寫成分式的形式,再將分母實(shí)數(shù)化.6、B【解析】
作出約束條件的可行域,在可行域內(nèi)求的最小值即為的最小值,作,平移直線即可求解.【詳解】作出實(shí)數(shù)滿足不等式組的可行域,如圖(陰影部分)令,則,作出,平移直線,當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí),截距最小,故,即的最小值為.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題,解題的關(guān)鍵是作出可行域、理解目標(biāo)函數(shù)的意義,屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】
根據(jù)線面平行或垂直的有關(guān)定理逐一判斷即可.【詳解】解:①:、也可能相交或異面,故①錯(cuò)②:因?yàn)椋?,所以或,因?yàn)椋?,故②?duì)③:或,故③錯(cuò)④:如圖因?yàn)?,,在?nèi)過點(diǎn)作直線的垂線,則直線,又因?yàn)?,設(shè)經(jīng)過和相交的平面與交于直線,則又,所以因?yàn)椋?,所以,所以,故④?duì).故選:C【點(diǎn)睛】考查線面平行或垂直的判斷,基礎(chǔ)題.8、D【解析】
對(duì)函數(shù)求導(dǎo),根據(jù)函數(shù)在時(shí)取得極值,得到,即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?,所以,又函?shù)在時(shí)取得極值,所以,解得.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)的問題,屬于??碱}型.9、C【解析】
由題意得,可求得,再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義可得選項(xiàng).【詳解】由題意得,解得,所以,所以,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何表示和共軛復(fù)數(shù)的定義,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】
由復(fù)數(shù)的綜合運(yùn)算求出,再寫出其共軛復(fù)數(shù),然后由模的定義計(jì)算模.【詳解】,.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算,考查共軛復(fù)數(shù)與模的定義,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】
根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合特殊值進(jìn)行辨析.【詳解】若2m>2n>1=20,∴m>n>0,∴πm﹣n>π0=1,故B正確;而當(dāng)m,n時(shí),檢驗(yàn)可得,A、C、D都不正確,故選:B.【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)指數(shù)冪的大小關(guān)系判斷參數(shù)的大小,根據(jù)參數(shù)的大小判定指數(shù)冪或?qū)?shù)的大小關(guān)系,需要熟練掌握指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì),結(jié)合特值法得出選項(xiàng).12、A【解析】
先利用正弦定理將邊統(tǒng)一化為角,然后利用三角函數(shù)公式化簡(jiǎn),可求出解B.【詳解】由正弦定理可得,即,即有,因?yàn)椋瑒t,而,所以.故選:A【點(diǎn)睛】此題考查了正弦定理和三角函數(shù)的恒等變形,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、10【解析】
先求出a,b,根據(jù)分層抽樣的比例引入正整數(shù)k表示n,從而得出的最小值.【詳解】由題意得,a=0.2,b=80,由表可知,燈泡樣品第一組有40個(gè),第二組有60個(gè),第三組有80個(gè),第四組有20個(gè),所以四個(gè)組的比例為2:3:4:1,所以按分層抽樣法,購(gòu)買的燈泡數(shù)為n=2k+3k+4k+k=10k(),所以的最小值為10.【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣基本原理的應(yīng)用,涉及抽樣比、總體數(shù)量、每層樣本數(shù)量的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
由點(diǎn)坐標(biāo)可確定拋物線方程,由此得到坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程;過作準(zhǔn)線的垂線,垂足為,根據(jù)拋物線定義可得,可知當(dāng)直線與拋物線相切時(shí),取得最小值;利用拋物線切線的求解方法可求得點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)雙曲線定義得到實(shí)軸長(zhǎng),結(jié)合焦距可求得所求的離心率.【詳解】是拋物線準(zhǔn)線上的一點(diǎn)拋物線方程為,準(zhǔn)線方程為過作準(zhǔn)線的垂線,垂足為,則設(shè)直線的傾斜角為,則當(dāng)取得最小值時(shí),最小,此時(shí)直線與拋物線相切設(shè)直線的方程為,代入得:,解得:或雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為,焦距為雙曲線的離心率故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的求解問題,涉及到拋物線定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用、雙曲線定義的應(yīng)用;關(guān)鍵是能夠確定當(dāng)取得最小值時(shí),直線與拋物線相切,進(jìn)而根據(jù)拋物線切線方程的求解方法求得點(diǎn)坐標(biāo).15、(-53,【解析】
求出AB的長(zhǎng)度,直線方程,結(jié)合△ABC的面積為5,轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離進(jìn)行求解即可.【詳解】解:AB的斜率k=a+4-a3-0=4=3設(shè)△ABC的高為h,則∵△ABC的面積為5,∴S=12|AB|h=即h=2,直線AB的方程為y﹣a=43x,即4x﹣3y+3若圓x2+y2=9上有且僅有四個(gè)不同的點(diǎn)C,則圓心O到直線4x﹣3y+3a=0的距離d=|3a|則應(yīng)該滿足d<R﹣h=3﹣2=1,即|3a|5得|3a|<5得-53<故答案為:(-53,【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,求出直線方程和AB的長(zhǎng)度,轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離是解決本題的關(guān)鍵.16、②③【解析】
由頻率分布直方圖可知,解得,故①不正確;這名學(xué)生中數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诜忠韵碌娜藬?shù)為,故②正確;設(shè)這名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)為,則,解得,故③正確;④這名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)為,故④不正確.綜上,說法正確的序號(hào)是②③.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)點(diǎn)在定直線上.【解析】
(1)設(shè)出直線的方程為,由直線和圓相切的條件:,解得;(2)設(shè)出,運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求得切線的斜率,求得為切點(diǎn)的切線方程,再由向量的坐標(biāo)表示,可得在定直線上;【詳解】解:(1)依題意設(shè)直線的方程為,由已知得:圓的圓心,半徑,因?yàn)橹本€與圓相切,所以圓心到直線的距離,即,解得或(舍去).所以;(2)依題意設(shè),由(1)知拋物線方程為,所以,所以,設(shè),則以為切點(diǎn)的切線的斜率為,所以切線的方程為.令,,即交軸于點(diǎn)坐標(biāo)為,所以,,,.設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為,則,所以點(diǎn)在定直線上.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的方程和性質(zhì),直線與圓的位置關(guān)系的判斷,考查直線方程和圓方程的運(yùn)用,以及切線方程的求法,考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力,屬于綜合題.18、(1);(2)不存在,理由見解析【解析】
(1)寫出,根據(jù),斜率乘積為-1,建立等量關(guān)系求解離心率;(2)寫出直線AB的方程,根據(jù)韋達(dá)定理求出點(diǎn)B的坐標(biāo),計(jì)算出弦長(zhǎng),根據(jù)垂直關(guān)系同理可得,利用等式即可得解.【詳解】(1)由題可得,過點(diǎn)作直線交橢圓于點(diǎn),且,直線交軸于點(diǎn).點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)時(shí),的坐標(biāo)為,即,,化簡(jiǎn)得:,即,解得或(舍去),所以;(2)橢圓的方程為,由(1)可得,聯(lián)立得:,設(shè)B的橫坐標(biāo),根據(jù)韋達(dá)定理,即,,所以,同理可得若存在使得成立,則,化簡(jiǎn)得:,,此方程無(wú)解,所以不存在使得成立.【點(diǎn)睛】此題考查求橢圓離心率,根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系解決弦長(zhǎng)問題,關(guān)鍵在于熟練掌握解析幾何常用方法,尤其是韋達(dá)定理在解決解析幾何問題中的應(yīng)用.19、(1)①見解析,②見解析;(2)見解析【解析】
(1)①把代入函數(shù)解析式,求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)得到,再求出,利用直線方程的點(diǎn)斜式求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程;②令,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,可得當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.(2)由題意,,在上有唯一零點(diǎn).利用導(dǎo)數(shù)可得當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,當(dāng),時(shí),在,上單調(diào)遞增,得到.由在恒成立,且有唯一解,可得,得,即.令,則,再由在上恒成立,得在上單調(diào)遞減,進(jìn)一步得到在上單調(diào)遞增,由此可得.【詳解】解:(1)①當(dāng)時(shí),,,,又,切線方程為,即;②令,則,在上單調(diào)遞減.又,當(dāng)時(shí),,即;當(dāng)時(shí),,即;當(dāng)時(shí),,即.證明:(2)由題意,,而,令,解得.,,在上有唯一零點(diǎn).當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減,當(dāng),時(shí),,在,上單調(diào)遞增..在恒成立,且有唯一解,,即,消去,得,即.令,則,在上恒成立,在上單調(diào)遞減,又,,.在上單調(diào)遞增,.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程,考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查邏輯思維能力與推理論證能力,屬難題.20、(1)證明見解析;(2)【解析】
(1)要證明平面平面BDE,只需在平面內(nèi)找一條直線垂直平面BDE即可;(2)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OA,OB,OG所在直線分別為x、y、z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面BEF的法向量,平面的法向量,算出即可.【詳解】(1)∵平面ABCD,平面ABCD.∴.又∵底面ABCD是菱形,∴.∵,∴平面BDE,設(shè)AC,BD交于O,取BE的中點(diǎn)G,連FG,OG,,,四邊形OCFG是平行四邊形,平面BDE∴平面BDE,又因平面BEF,∴平面平面BD
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