江蘇省靖城中學(xué)2025屆高三下學(xué)期聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題含解析_第1頁
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文檔簡介

江蘇省靖城中學(xué)2025屆高三下學(xué)期聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.定義在上的偶函數(shù),對,,且,有成立,已知,,,則,,的大小關(guān)系為()A. B. C. D.2.在等差數(shù)列中,,,若(),則數(shù)列的最大值是()A. B.C.1 D.33.已知正方體的棱長為2,點(diǎn)為棱的中點(diǎn),則平面截該正方體的內(nèi)切球所得截面面積為()A. B. C. D.4.如圖,在中,點(diǎn)是的中點(diǎn),過點(diǎn)的直線分別交直線,于不同的兩點(diǎn),若,,則()A.1 B. C.2 D.35.已知函數(shù),下列結(jié)論不正確的是()A.的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對稱 B.既是奇函數(shù),又是周期函數(shù)C.的圖像關(guān)于直線對稱 D.的最大值是6.已知橢圓內(nèi)有一條以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦,則直線的方程為()A. B.C. D.7.函數(shù)的部分圖象如圖所示,則()A.6 B.5 C.4 D.38.已知函數(shù)fx=sinωx+π6+A.16,13 B.19.地球上的風(fēng)能取之不盡,用之不竭.風(fēng)能是淸潔能源,也是可再生能源.世界各國致力于發(fā)展風(fēng)力發(fā)電,近10年來,全球風(fēng)力發(fā)電累計(jì)裝機(jī)容量連年攀升,中國更是發(fā)展迅猛,2014年累計(jì)裝機(jī)容量就突破了,達(dá)到,中國的風(fēng)力發(fā)電技術(shù)也日臻成熟,在全球范圍的能源升級換代行動(dòng)中體現(xiàn)出大國的擔(dān)當(dāng)與決心.以下是近10年全球風(fēng)力發(fā)電累計(jì)裝機(jī)容量與中國新增裝機(jī)容量圖.根據(jù)所給信息,正確的統(tǒng)計(jì)結(jié)論是()A.截止到2015年中國累計(jì)裝機(jī)容量達(dá)到峰值B.10年來全球新增裝機(jī)容量連年攀升C.10年來中國新增裝機(jī)容量平均超過D.截止到2015年中國累計(jì)裝機(jī)容量在全球累計(jì)裝機(jī)容量中占比超過10.已知雙曲線的一條漸近線與直線垂直,則雙曲線的離心率等于()A. B. C. D.11.已知平面向量,滿足且,若對每一個(gè)確定的向量,記的最小值為,則當(dāng)變化時(shí),的最大值為()A. B. C. D.112.閱讀如圖的程序框圖,運(yùn)行相應(yīng)的程序,則輸出的的值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若方程有兩個(gè)不等實(shí)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____________.14.設(shè)P為有公共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn),且,橢圓的離心率為,雙曲線的離心率為,若,則______________.15.3張獎(jiǎng)券分別標(biāo)有特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)和二等獎(jiǎng).甲、乙兩人同時(shí)各抽取1張獎(jiǎng)券,兩人都未抽得特等獎(jiǎng)的概率是__________.16.在的二項(xiàng)展開式中,x的系數(shù)為________.(用數(shù)值作答)三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖所示,三棱柱中,平面,點(diǎn),分別在線段,上,且,,是線段的中點(diǎn).(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)若,,,求直線與平面所成角的正弦值.18.(12分)在直角坐標(biāo)系中,已知圓,以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知直線平分圓M的周長.(1)求圓M的半徑和圓M的極坐標(biāo)方程;(2)過原點(diǎn)作兩條互相垂直的直線,其中與圓M交于O,A兩點(diǎn),與圓M交于O,B兩點(diǎn),求面積的最大值.19.(12分)設(shè)函數(shù).(1)若,時(shí),在上單調(diào)遞減,求的取值范圍;(2)若,,,求證:當(dāng)時(shí),.20.(12分)已知,,,.(1)求的值;(2)求的值.21.(12分)已知函數(shù)是減函數(shù).(1)試確定a的值;(2)已知數(shù)列,求證:.22.(10分)如圖,在斜三棱柱中,側(cè)面與側(cè)面都是菱形,,.(Ⅰ)求證:;(Ⅱ)若,求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)和單調(diào)性即可判斷.【詳解】解:對,,且,有在上遞增因?yàn)槎x在上的偶函數(shù)所以在上遞減又因?yàn)椋?,所以故選:A【點(diǎn)睛】考查偶函數(shù)的性質(zhì)以及單調(diào)性的應(yīng)用,基礎(chǔ)題.2、D【解析】

在等差數(shù)列中,利用已知可求得通項(xiàng)公式,進(jìn)而,借助函數(shù)的的單調(diào)性可知,當(dāng)時(shí),取最大即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?,所以,即,又,所以公差,所以,即,因?yàn)楹瘮?shù),在時(shí),單調(diào)遞減,且;在時(shí),單調(diào)遞減,且.所以數(shù)列的最大值是,且,所以數(shù)列的最大值是3.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系,借助函數(shù)單調(diào)性研究數(shù)列最值問題,難度較易.3、A【解析】

根據(jù)球的特點(diǎn)可知截面是一個(gè)圓,根據(jù)等體積法計(jì)算出球心到平面的距離,由此求解出截面圓的半徑,從而截面面積可求.【詳解】如圖所示:設(shè)內(nèi)切球球心為,到平面的距離為,截面圓的半徑為,因?yàn)閮?nèi)切球的半徑等于正方體棱長的一半,所以球的半徑為,又因?yàn)?,所以,又因?yàn)?,所以,所以,所以截面圓的半徑,所以截面圓的面積為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查正方體的內(nèi)切球的特點(diǎn)以及球的截面面積的計(jì)算,難度一般.任何一個(gè)平面去截球,得到的截面一定是圓面,截面圓的半徑可通過球的半徑以及球心到截面的距離去計(jì)算.4、C【解析】

連接AO,因?yàn)镺為BC中點(diǎn),可由平行四邊形法則得,再將其用,表示.由M、O、N三點(diǎn)共線可知,其表達(dá)式中的系數(shù)和,即可求出的值.【詳解】連接AO,由O為BC中點(diǎn)可得,,、、三點(diǎn)共線,,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的線性運(yùn)算,由三點(diǎn)共線求參數(shù)的問題,熟記向量的共線定理是關(guān)鍵.屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

通過三角函數(shù)的對稱性以及周期性,函數(shù)的最值判斷選項(xiàng)的正誤即可得到結(jié)果.【詳解】解:,正確;,為奇函數(shù),周期函數(shù),正確;,正確;D:,令,則,,,,則時(shí),或時(shí),即在上單調(diào)遞增,在和上單調(diào)遞減;且,,,故D錯(cuò)誤.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)周期性和對稱性的判斷,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)最值,屬于中檔題.6、C【解析】

設(shè),,則,,相減得到,解得答案.【詳解】設(shè),,設(shè)直線斜率為,則,,相減得到:,的中點(diǎn)為,即,故,直線的方程為:.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓內(nèi)點(diǎn)差法求直線方程,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.7、A【解析】

根據(jù)正切函數(shù)的圖象求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo),再求出向量的坐標(biāo),根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求出結(jié)果.【詳解】由圖象得,令=0,即=kπ,k=0時(shí)解得x=2,令=1,即,解得x=3,∴A(2,0),B(3,1),∴,∴.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查正切函數(shù)的圖象,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,屬于綜合題,但是難度不大,解題關(guān)鍵是利用圖象與正切函數(shù)圖象求出坐標(biāo),再根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得結(jié)果,屬于簡單題.8、A【解析】

將fx整理為3sinωx+π3,根據(jù)x的范圍可求得ωx+π3∈π【詳解】f當(dāng)x∈0,π時(shí),又f0=3sin由fx在0,π上的值域?yàn)?2解得:ω∈本題正確選項(xiàng):A【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦型函數(shù)的值域求解參數(shù)范圍的問題,關(guān)鍵是能夠結(jié)合正弦型函數(shù)的圖象求得角的范圍的上下限,從而得到關(guān)于參數(shù)的不等式.9、D【解析】

先列表分析近10年全球風(fēng)力發(fā)電新增裝機(jī)容量,再結(jié)合數(shù)據(jù)研究單調(diào)性、平均值以及占比,即可作出選擇.【詳解】年份2009201020112012201320142015201620172018累計(jì)裝機(jī)容量158.1197.2237.8282.9318.7370.5434.3489.2542.7594.1新增裝機(jī)容量39.140.645.135.851.863.854.953.551.4中國累計(jì)裝機(jī)裝機(jī)容量逐年遞增,A錯(cuò)誤;全球新增裝機(jī)容量在2015年之后呈現(xiàn)下降趨勢,B錯(cuò)誤;經(jīng)計(jì)算,10年來中國新增裝機(jī)容量平均每年為,選項(xiàng)C錯(cuò)誤;截止到2015年中國累計(jì)裝機(jī)容量,全球累計(jì)裝機(jī)容量,占比為,選項(xiàng)D正確.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查條形圖,考查基本分析求解能力,屬基礎(chǔ)題.10、B【解析】由于直線的斜率k,所以一條漸近線的斜率為,即,所以,選B.11、B【解析】

根據(jù)題意,建立平面直角坐標(biāo)系.令.為中點(diǎn).由即可求得點(diǎn)的軌跡方程.將變形,結(jié)合及平面向量基本定理可知三點(diǎn)共線.由圓切線的性質(zhì)可知的最小值即為到直線的距離最小值,且當(dāng)與圓相切時(shí),有最大值.利用圓的切線性質(zhì)及點(diǎn)到直線距離公式即可求得直線方程,進(jìn)而求得原點(diǎn)到直線的距離,即為的最大值.【詳解】根據(jù)題意,設(shè),則由代入可得即點(diǎn)的軌跡方程為又因?yàn)?變形可得,即,且所以由平面向量基本定理可知三點(diǎn)共線,如下圖所示:所以的最小值即為到直線的距離最小值根據(jù)圓的切線性質(zhì)可知,當(dāng)與圓相切時(shí),有最大值設(shè)切線的方程為,化簡可得由切線性質(zhì)及點(diǎn)到直線距離公式可得,化簡可得即所以切線方程為或所以當(dāng)變化時(shí),到直線的最大值為即的最大值為故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的坐標(biāo)應(yīng)用,平面向量基本定理的應(yīng)用,圓的軌跡方程問題,圓的切線性質(zhì)及點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用,綜合性強(qiáng),屬于難題.12、C【解析】

根據(jù)給定的程序框圖,計(jì)算前幾次的運(yùn)算規(guī)律,得出運(yùn)算的周期性,確定跳出循環(huán)時(shí)的n的值,進(jìn)而求解的值,得到答案.【詳解】由題意,,第1次循環(huán),,滿足判斷條件;第2次循環(huán),,滿足判斷條件;第3次循環(huán),,滿足判斷條件;可得的值滿足以3項(xiàng)為周期的計(jì)算規(guī)律,所以當(dāng)時(shí),跳出循環(huán),此時(shí)和時(shí)的值對應(yīng)的相同,即.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的計(jì)算與輸出問題,其中解答中認(rèn)真審題,得出程序運(yùn)行時(shí)的計(jì)算規(guī)律是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與計(jì)算能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

由知x>0,故.令,則.當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.所以在(0,e)上遞增,在(e,+)上遞減.故,即.14、【解析】設(shè)根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可得,根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)可得,,即故答案為15、【解析】

利用排列組合公式進(jìn)行計(jì)算,再利用古典概型公式求出不是特等獎(jiǎng)的兩張的概率即可.【詳解】解:3張獎(jiǎng)券分別標(biāo)有特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)和二等獎(jiǎng),甲、乙兩人同時(shí)各抽取1張獎(jiǎng)券,則兩人同時(shí)抽取兩張共有:種排法排除特等獎(jiǎng)外兩人選兩張共有:種排法.故兩人都未抽得特等獎(jiǎng)的概率是:故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的概率公式的應(yīng)用,是基礎(chǔ)題.16、-40【解析】

由題意,可先由公式得出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng),再令10-3r=1,得r=3即可得出x項(xiàng)的系數(shù)【詳解】的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為,r=0,1,2,3,4,5,令,所以的二項(xiàng)展開式中x項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為:-40.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,解題關(guān)鍵是靈活掌握二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)的公式,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)證明見詳解;(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)取中點(diǎn)為,根據(jù)幾何關(guān)系,求證四邊形為平行四邊形,即可由線線平行推證線面平行;(Ⅱ)以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,求得直線的方向向量和平面的法向量,即可求得線面角的正弦值.【詳解】(Ⅰ)取的中點(diǎn),連接,.如下圖所示:因?yàn)椋謩e是線段和的中點(diǎn),所以是梯形的中位線,所以.又,所以.因?yàn)椋?,所以四邊形為平行四邊形,所?所以,.所以四邊形為平行四邊形,所以.又平面,平面,所以平面.(Ⅱ)因?yàn)椋移矫?,故可以為原點(diǎn),的方向?yàn)檩S正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,如下圖所示:不妨設(shè),則,所以,,,,.所以,,.設(shè)平面的法向量為,則所以可取.設(shè)直線與平面所成的角為,則.故可得直線與平面所成的角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查由線線平行推證線面平行,以及用向量法求解線面角,屬綜合中檔題.18、(1),(2)【解析】

先求出,再求圓的半徑和極坐標(biāo)方程;(2)設(shè)求出,,再求出得解.【詳解】(1)將化成直角坐標(biāo)方程,得則,故,則圓,即,所以圓M的半徑為.將圓M的方程化成極坐標(biāo)方程,得.即圓M的極坐標(biāo)方程為.(2)設(shè),則,用代替.可得,【點(diǎn)睛】本題主要考查直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的互化,考查極徑的計(jì)算,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.19、(1)(2)見解析【解析】

(1)在上單調(diào)遞減等價(jià)于在恒成立,分離參數(shù)即可解決.(2)先對求導(dǎo),化簡后根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷唯一零點(diǎn)所在區(qū)間,構(gòu)造函數(shù)利用基本不等式求解即可.【詳解】(1),時(shí),,,∵在上單調(diào)遞減.∴,.令,,時(shí),;時(shí),,∴在上為減函數(shù),在上為增函數(shù).∴,∴.∴的取值范圍為.(2)若,,時(shí),,,令,顯然在上為增函數(shù).又,,∴有唯一零點(diǎn).且,時(shí),,;時(shí),,,∴在上為增函數(shù),在上為減函數(shù).∴.又,∴,,.∴.,.∴當(dāng)時(shí),.【點(diǎn)睛】此題考查函數(shù)定區(qū)間上單調(diào),和零點(diǎn)存在性定理等知識點(diǎn),難點(diǎn)為找到最值后的構(gòu)造函數(shù)求值域,屬于較難題目.20、(1)(2)【解析】

(1)先利用同角的三角函數(shù)關(guān)系解得和,再由,利用正弦的差角公式求解即可;(2)由(1)可得和,利用余弦的二倍角公式求得,再由正切的和角公式求解即可.【詳解】解:(1)因?yàn)?所以又,故,所以,所以(2)由(1)得,,,所以,所以,因?yàn)榍?即,解得,因?yàn)?所以,所以,所以,所以【點(diǎn)睛】本題考查已知三角函數(shù)值求值,考查三角函數(shù)的化簡,考查和角公式,二倍角公式,同角的三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用,考查運(yùn)算能力.21、(Ⅰ)(Ⅱ)見證明【解析】

(Ⅰ)求導(dǎo)得,由是減函數(shù)得,對任意的,都有恒成立,構(gòu)造函數(shù)

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