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文檔簡介
2025屆浙江省衢州一中高考壓軸卷數(shù)學試卷注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.直角坐標系中,雙曲線()與拋物線相交于、兩點,若△是等邊三角形,則該雙曲線的離心率()A. B. C. D.2.已知集合A={y|y=|x|﹣1,x∈R},B={x|x≥2},則下列結(jié)論正確的是()A.﹣3∈AB.3BC.A∩B=BD.A∪B=B3.胡夫金字塔是底面為正方形的錐體,四個側(cè)面都是相同的等腰三角形.研究發(fā)現(xiàn),該金字塔底面周長除以倍的塔高,恰好為祖沖之發(fā)現(xiàn)的密率.設胡夫金字塔的高為,假如對胡夫金字塔進行亮化,沿其側(cè)棱和底邊布設單條燈帶,則需要燈帶的總長度約為A. B.C. D.4.已知集合,,則()A. B.C.或 D.5.下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是()A. B. C. D.6.設、分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù),且,則()A. B.0 C.1 D.37.已知正項數(shù)列滿足:,設,當最小時,的值為()A. B. C. D.8.“哥德巴赫猜想”是近代三大數(shù)學難題之一,其內(nèi)容是:一個大于2的偶數(shù)都可以寫成兩個質(zhì)數(shù)(素數(shù))之和,也就是我們所謂的“1+1”問題.它是1742年由數(shù)學家哥德巴赫提出的,我國數(shù)學家潘承洞、王元、陳景潤等在哥德巴赫猜想的證明中做出相當好的成績.若將6拆成兩個正整數(shù)的和,則拆成的和式中,加數(shù)全部為質(zhì)數(shù)的概率為()A. B. C. D.9.已知集合A,B=,則A∩B=A. B. C. D.10.設,,則()A. B.C. D.11.設為虛數(shù)單位,為復數(shù),若為實數(shù),則()A. B. C. D.12.若復數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則其共軛復數(shù)的虛部為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知數(shù)列的前項和公式為,則數(shù)列的通項公式為___.14.已知隨機變量服從正態(tài)分布,,則__________.15.展開式中,含項的系數(shù)為______.16.在二項式的展開式中,的系數(shù)為________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)小麗在同一城市開的2家店鋪各有2名員工.節(jié)假日期間的某一天,每名員工休假的概率都是,且是否休假互不影響,若一家店鋪的員工全部休假,而另一家無人休假,則調(diào)劑1人到該店維持營業(yè),否則該店就停業(yè).(1)求發(fā)生調(diào)劑現(xiàn)象的概率;(2)設營業(yè)店鋪數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學期望.18.(12分)已知函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)若對任意恒成立,求的取值范圍.19.(12分)在平面直角坐標系中,已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),圓的方程為,以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系.(1)求和的極坐標方程;(2)過且傾斜角為的直線與交于點,與交于另一點,若,求的取值范圍.20.(12分)已知函數(shù),其中,.(1)當時,求的值;(2)當?shù)淖钚≌芷跒闀r,求在上的值域.21.(12分)如圖1,與是處在同-個平面內(nèi)的兩個全等的直角三角形,,,連接是邊上一點,過作,交于點,沿將向上翻折,得到如圖2所示的六面體(1)求證:(2)設若平面底面,若平面與平面所成角的余弦值為,求的值;(3)若平面底面,求六面體的體積的最大值.22.(10分)已知是拋物線:的焦點,點在上,到軸的距離比小1.(1)求的方程;(2)設直線與交于另一點,為的中點,點在軸上,.若,求直線的斜率.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
根據(jù)題干得到點A坐標為,代入拋物線得到坐標為,再將點代入雙曲線得到離心率.【詳解】因為三角形OAB是等邊三角形,設直線OA為,設點A坐標為,代入拋物線得到x=2b,故點A的坐標為,代入雙曲線得到故答案為:D.【點睛】求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍),常見有兩種方法:①求出,代入公式;②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式,結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式,然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式),解方程(不等式)即可得(的取值范圍).2、C【解析】試題分析:集合考點:集合間的關(guān)系3、D【解析】
設胡夫金字塔的底面邊長為,由題可得,所以,該金字塔的側(cè)棱長為,所以需要燈帶的總長度約為,故選D.4、D【解析】
首先求出集合,再根據(jù)補集的定義計算可得;【詳解】解:∵,解得∴,∴.故選:D【點睛】本題考查補集的概念及運算,一元二次不等式的解法,屬于基礎題.5、C【解析】
結(jié)合基本初等函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性,結(jié)合各選項進行判斷即可.【詳解】A:為非奇非偶函數(shù),不符合題意;B:在上不單調(diào),不符合題意;C:為偶函數(shù),且在上單調(diào)遞增,符合題意;D:為非奇非偶函數(shù),不符合題意.故選:C.【點睛】本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性,屬于基礎題.6、C【解析】
先根據(jù)奇偶性,求出的解析式,令,即可求出?!驹斀狻恳驗椤⒎謩e是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù),,用替換,得,化簡得,即令,所以,故選C?!军c睛】本題主要考查函數(shù)性質(zhì)奇偶性的應用。7、B【解析】
由得,即,所以得,利用基本不等式求出最小值,得到,再由遞推公式求出.【詳解】由得,即,,當且僅當時取得最小值,此時.故選:B【點睛】本題主要考查了數(shù)列中的最值問題,遞推公式的應用,基本不等式求最值,考查了學生的運算求解能力.8、A【解析】
列出所有可以表示成和為6的正整數(shù)式子,找到加數(shù)全部為質(zhì)數(shù)的只有,利用古典概型求解即可.【詳解】6拆成兩個正整數(shù)的和含有的基本事件有:(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),而加數(shù)全為質(zhì)數(shù)的有(3,3),根據(jù)古典概型知,所求概率為.故選:A.【點睛】本題主要考查了古典概型,基本事件,屬于容易題.9、A【解析】
先解A、B集合,再取交集?!驹斀狻?所以B集合與A集合的交集為,故選A【點睛】一般地,把不等式組放在數(shù)軸中得出解集。10、D【解析】
由不等式的性質(zhì)及換底公式即可得解.【詳解】解:因為,,則,且,所以,,又,即,則,即,故選:D.【點睛】本題考查了不等式的性質(zhì)及換底公式,屬基礎題.11、B【解析】
可設,將化簡,得到,由復數(shù)為實數(shù),可得,解方程即可求解【詳解】設,則.由題意有,所以.故選:B【點睛】本題考查復數(shù)的模長、除法運算,由復數(shù)的類型求解對應參數(shù),屬于基礎題12、D【解析】
由已知等式求出z,再由共軛復數(shù)的概念求得,即可得虛部.【詳解】由zi=1﹣i,∴z=,所以共軛復數(shù)=-1+,虛部為1故選D.【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算和共軛復數(shù)的基本概念,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由題意,根據(jù)數(shù)列的通項與前n項和之間的關(guān)系,即可求得數(shù)列的通項公式.【詳解】由題意,可知當時,;當時,.又因為不滿足,所以.【點睛】本題主要考查了利用數(shù)列的通項與前n項和之間的關(guān)系求解數(shù)列的通項公式,其中解答中熟記數(shù)列的通項與前n項和之間的關(guān)系,合理準確推導是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運算能力,屬于基礎題.14、0.22.【解析】
正態(tài)曲線關(guān)于x=μ對稱,根據(jù)對稱性以及概率和為1求解即可?!驹斀狻俊军c睛】本題考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義,是一個基礎題.15、2【解析】
變換得到,展開式的通項為,計算得到答案.【詳解】,的展開式的通項為:.含項的系數(shù)為:.故答案為:.【點睛】本題考查了二項式定理的應用,意在考查學生的計算能力和應用能力.16、60【解析】
直接利用二項式定理計算得到答案.【詳解】二項式的展開式通項為:,取,則的系數(shù)為.故答案為:.【點睛】本題考查了二項式定理,意在考查學生的計算能力和應用能力.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)見解析,【解析】
(1)根據(jù)題意設出事件,列出概率,運用公式求解;(2)由題得,X的所有可能取值為,根據(jù)(1)和變量對應的事件,可得變量對應的概率,即可得分布列和期望值.【詳解】(1)記2家小店分別為A,B,A店有i人休假記為事件(,1,2),B店有i人,休假記為事件(,1,2),發(fā)生調(diào)劑現(xiàn)象的概率為P.則,,.所以.答:發(fā)生調(diào)劑現(xiàn)象的概率為.(2)依題意,X的所有可能取值為0,1,2.則,,.所以X的分布表為:X012P所以.【點睛】本題是一道考查概率和期望的??碱}型.18、(1);(2).【解析】
(1)通過討論的范圍,分為,,三種情形,分別求出不等式的解集即可;(2)通過分離參數(shù)思想問題轉(zhuǎn)化為,根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)求出最值即可得到的范圍.【詳解】(1)當時,原不等式等價于,解得,所以,當時,原不等式等價于,解得,所以此時不等式無解,當時,原不等式等價于,解得,所以綜上所述,不等式解集為.(2)由,得,當時,恒成立,所以;當時,.因為當且僅當即或時,等號成立,所以;綜上的取值范圍是.【點睛】本題考查了解絕對值不等式問題,考查絕對值不等式的性質(zhì)以及分類討論思想,轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.19、(1);(2)【解析】
(1)直接利用轉(zhuǎn)換公式,把參數(shù)方程,直角坐標方程與極坐標方程進行轉(zhuǎn)化;(2)利用極坐標方程將轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求解即可.【詳解】(1)因為,所以的普通方程為,又,,,的極坐標方程為,的方程即為,對應極坐標方程為.(2)由己知設,,則,,所以,又,,當,即時,取得最小值;當,即時,取得最大值.所以,的取值范圍為.【點睛】本題主要考查了直角坐標方程,參數(shù)方程與極坐標方程的互化,三角函數(shù)的值域求解等知識,考查了學生的運算求解能力.20、(1)(2)【解析】
(1)根據(jù),得到函數(shù),然后,直接求解的值;(2)首先,化簡函數(shù),然后,結(jié)合周期公式,得到,再結(jié)合,及正弦函數(shù)的性質(zhì)解答即可.【詳解】(1)因為,所以(2)因為即因為,所以所以因為所以所以當時,.當時,(最大值)當時,在是增函數(shù),在是減函數(shù).的值域是.【點睛】本題主要考查了簡單角的三角函數(shù)值的求解方法,兩角和與差的正弦、余弦公式,三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識,考查了運算求解能力,屬于中檔題.21、(1)證明見解析(2)(3)【解析】
根據(jù)折疊圖形,,由線面垂直的判定定理可得平面,再根據(jù)平面,得到.(2)根據(jù),以為坐標原點,為軸建立空間直角坐標系,根據(jù),可知,,表示相應點的坐標,分別求得平面與平面的法向量,代入求解.設所求幾何體的體積為,設為高,則,表示梯形BEFD和ABD的面積由,再利用導數(shù)求最值.【詳解】(1)證明:不妨設與的交點為與的交點為由題知,,則有又,則有由折疊可知所以可證由平面平面,則有平面又因為平面,所以....(2)解:依題意,有平面平面,又平面,則有平面,,又由題意知,如圖所示:以為坐標原點,為軸建立如圖所示的空間直角坐標系由題意知由可知,則則有,,設平面與平面的法向量分別為則有則所以因為,解得設所求幾何體的體積為,設,則,當時,,當時,在是增函數(shù),在上是減函數(shù)當時,有最大值,即六面體的體積的最大值是【點睛】本題主要考查線線垂直,線面垂直,面面垂直的轉(zhuǎn)化,二面角的向量求法和空間幾何體的體積,還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運算求解的能力,屬于難題.22、(1)(2)【解析】
(1)由拋物線定義可知,解得,故拋物線的
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