中考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：整式乘法 重難點題型（解析版）

專題02整式乘法重難點題型

題型1同底數(shù)塞的乘法及其逆用

1.（2021?江蘇鼓樓?）計算的結(jié)果是（）

A.a3B.a5C.abD.a8

【答案】B

【分析】直接運用同底數(shù)幕乘法公式計算即可.

【詳解】解：a2-a3^a5.故選B.

【點睛】本題主要考查了同底數(shù)幕乘法，掌握并靈活利用曖是解答本題的關(guān)鍵.

2.（2021?山東大學(xué)附屬中學(xué)其他）若2*=4,2y=5,則2*+y=.

【答案】20

【分析】根據(jù)同底數(shù)幕的乘法法則可得出答案.

【解析】解：V2X=4,2y=5,.?.2x+y=2xx2y=4x5=20.故答案為：20.

【點睛】本題考查了同底數(shù)暴的乘法，哥的乘方的應(yīng)用，用了整體代入思想.

3.（2021?漳州市普通教育教學(xué)研究室）若加=3",3加=3萬，貝同=—.（用含。的式子表示）

【答案】a+1

【分析】根據(jù)幕的乘法運算法則以及同底數(shù)暴的乘法法則解答即可.

【詳解】解：???加=3",，3加=3"+|=3".6=。+1故答案為：a+1

【點睛】本題主要考查了同底數(shù)幕的乘法，熟記累的運算法則是解答本題的關(guān)鍵.

4.（2020?浙江杭州市?七年級其他模擬）計算機存儲設(shè)備中常用T,G,M,K,5等作為儲存容量的單位，例

如，老師常用的U盤的容量是64G,一張比較清晰的照片的大小是4M等.已知lT=2i°G，

lG=2i°M，1M=21OK?1K=21OB,目前存儲量最大的移動硬盤存儲量可以達(dá)到16T,那么它的容量

是（）個B.

A.232B.244C.256D.236

【答案】B

【分析】由單位互化可得：大化小，用乘法，從而可得：16T=16x2i°x2i°x2i°x2i°8,再利用同底數(shù)幕

的乘法可得答案.

【詳解】解：16T=16x2i°x2i°x2i°x2i°=24x2"=244A故選：B.

【點睛】本題考查的是同底數(shù)幕的乘法，掌握同底數(shù)累的乘法是解題的關(guān)鍵.

5.(2021?山東青島?七年級期中)觀察下列等式：31=3,32=9,3=27,34=81,35=243,36=729,

37=2187.解答下列問題：3沏7-27x3?必的末位數(shù)字是.

【答案】2

【分析】通過觀察m=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,3，=2187…可以發(fā)現(xiàn)末位數(shù)字分別是3,9,

7,1,3,9,7,1,可知每四個為一個循環(huán)，從而可以求得到3刈7-27><32。2|的末位數(shù)字是多少.

【詳解】:31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,37=2187...,

可以發(fā)現(xiàn)末位數(shù)字分別是3,9,7,1,3,9,7,1,可知每四個為一個循環(huán)，

?.?2017+4=504余1,.?J.的末位數(shù)字與3相同,即為3,

,/27x32021=33x32021=32024，2024-4=506,27x3的的末位數(shù)字與才相同，即為1,

.?.32。17-27x32°”的末位數(shù)字=3-1=2,故答案為：2.

【點睛】本題考查尾數(shù)的特征，解題的關(guān)鍵是通過觀察題目中的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律.

6.(2021?蘇州市工業(yè)園區(qū)第一中學(xué)七年級月考)已知10x102=1000=103,102x102=10000=104,

102x103=100000=105.(1)猜想106x104=,|0?>xl0"=.(冽，〃均為正整數(shù))

6

(2)運用上述猜想計算下列式子：①(1.5x104)x(1.2x105).②(-6.4x103)x(2xl0).

【答案】(1)1010,10m+?；(2)①1.8x109；②一1.28x101°

【分析】(1)根據(jù)所給式子進(jìn)行猜想即可；

(2)①由(1)的猜想進(jìn)行計算即可；②由(1)的猜想進(jìn)行計算即可.

【詳解】解：(1)V10xl02=1000=103,102x102=10000=103102x103=100000=105

.,.1O6X1O4=1O10,10mxl0?=10m+?故答案為:101°,10m+n

(2)①(1.5x104)X(1.2x105)=1.5X1,2X104X105=1,8X109

②(-6.4x103)x(2x106)=_6.4x2xlO3xlO6=-12.8xlO9=-1.28xlO10

【點睛】此題主要考查了同底數(shù)塞的乘法，正確得出運算規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵.

題型2嘉的乘方及其逆用

1.(2021?貴州銅仁?七年級期末)已知2加=°,16"="貝?。?328"=(用含a、6的式子表示).

【答案】蘇〃

【詳解】利用嘉的乘方的逆運算和同底數(shù)塞的乘法的逆運算法則進(jìn)行變形計算求解.

m3232

【解答】解：原式=23%28"=(2D3.(24)2”=(2)?(16")=<2Z>,故答案為：a3b2.

【點睛】本題主要考查了幕的乘方的逆運算和同底數(shù)幕的乘法的逆運算，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相

關(guān)計算法則.

2.（2021?全國八年級課時練習(xí)）（1）若（03）〔。=/9,則》=.⑵若/=5,貝U

a6x=.

【答案】625

【分析】（1）根據(jù)幕的乘方及同底數(shù)幕乘法計算；（2）根據(jù)幕的乘方逆運算解答.

【詳解】解：（1）:⑷＞咤/,..0=儲9,

：.a3x+l=a19,/.3x+l=19,解得x=6,故答案為：6；

（2）a3x=5,：.afa=（a3A）2=52=25,故答案為：25.

【點睛】此題考查整式乘法的計算公式，幕的乘方及逆運算，同底數(shù)幕乘法計算法則，熟記計算法則是解

題的關(guān)鍵.

3.（2021?武漢一初慧泉中學(xué)）計算：［（-?）4］3x［（-a）3］2=；

【答案】

【分析】先根據(jù)積的乘方的計算法則計算，再根據(jù)同底數(shù)塞的乘法法則進(jìn)行計算即可.

【詳解】解：［（-。）4］鼠［（-4］2=（/）3*（一/）2=/./="8.故答案為38.

【點睛】本題考查了積的乘方、幕的乘方、同底數(shù)幕的乘除法和合并同類項，熟練掌握運算法則是解題的

關(guān)鍵.

4.（2021?天津育賢中學(xué)八年級期中）已知N"=3,求G3"）2-3（%2）2”的結(jié)果（）

A.1B.-1C.0D.2

【答案】C

【分析】根據(jù)事的乘方和暴的乘方的逆運算的計算法則求解即可.

【詳解】解:（x3n）2-3（x2）2"=（N洋3-3（X2"）2=33-3x32=27-27=0,故選C.

【點睛】本題主要考查了幕的乘方和哥的乘方的逆運算，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)計算法則進(jìn)行

求解.

5.（2021?江蘇姑蘇?蘇州草橋中學(xué)七年級月考）（1）已知：2x+3y-4=0,求4、8的值.

（2）己知〃為正整數(shù)，且短"=4,求-2（一/的值.

【答案】⑴16；（2）32.

【分析】（1）逆運用哥的乘方公式給所求代數(shù)式適當(dāng)變形后將2x+3.y=4直接代入計算即可；

（2）運用幕的乘方公式給所求代數(shù)式適當(dāng)變形后將X?"=4直接代入計算即可

【詳解】解：(1)V2x+3^-4=0,；.2x+3y-4,/.4X-S5,=22x-23y=22X+3J,=24=16;

(2),/x2"=4,-,.(x2n)3-2(x2")2=43-2x42=32.

【點睛】本題考查幕的乘方運算.掌握幕的乘方公式并能逆運用公式給所求代數(shù)式正確變形是解題關(guān)鍵.

6.(2021?江蘇江都?)已知2”=3,2"=5(1)求戶""的值；(2)求Z?"1-2'"的值.

【答案】(1)675；(2)-116

【分析】(1)根據(jù)塞的乘方和同底數(shù)嘉的乘法及有理數(shù)的乘方進(jìn)行計算即可；

(2)根據(jù)幕的乘方和有理數(shù)的乘方運算求解

【詳解】(1)23m+2"=(2"Tx(2")2=33x52=27x25=675

(2)22Kl-23H=(2m)2-(2")3=32-53=9-125=-116

【點睛】本題考查了哥的乘方和同底數(shù)暴的乘法及有理數(shù)的乘方等運算，正確的計算是解題的關(guān)鍵.

題型3積的乘方及其逆運算

1.(2021?蘭州市第五十五中學(xué)七年級月考)計算：(一2孫)2=()

A.4xyB.~2x2y2C.4x2y2D.~4x2y2

【答案】C

【分析】直接利用幕的乘方和積的乘方運算法則計算得出答案.

【詳解】解：(-2肛丫=4》》，故選c.

【點睛】此題主要考查了幕的乘方和積的乘方運算，正確掌握運算法則是解題關(guān)鍵.

2.(2021?通道侗族自治縣教育科學(xué)研究室七年級期中)計算-(-3/丫的結(jié)果是()

A.—6a6B.—9a6C.6a6D.-9a9

【答案】B

【分析】根據(jù)積的乘方的運算法則求解即可.

【詳解】解：-(-3/丫=一(9產(chǎn)2)=_9/故答案為：B

【點睛】此題考查了積的乘方的運算法，積的乘方等于乘方的積；累的乘方法則：底數(shù)不變，指數(shù)相乘，

熟練掌握相關(guān)運算法則是解題的關(guān)鍵.

3.Q021?江蘇南京?初一期中)計算(心/)2=/.卜3)2=/.46=/,其中，第一步運算的依據(jù)是()

A.同底數(shù)塞的乘法法則B.察的乘方法則C.乘法分配律D.積的乘方法則

【答案】D

【分析】根據(jù)題意可知，第一步運算的依據(jù)是積的乘方法則：積的乘方，等于每個因式乘方的積.

【解析】解：計算：（心/）2=/.（/）2=/./=/,其中，第一步運算的依據(jù)是積的乘方法則.

故選：D.

【點睛】本題主要考查幕的運算，關(guān)鍵是熟練掌握累的運算法則是解題的關(guān)鍵.

4.（2021?河北灤南?）y2加2可以改寫成（）

A.ym+y2B.（ym）2C.ym,y2D.2ym

【答案】B

【分析】根據(jù)積的乘方法則的逆運用，即可得到答案.

【詳解】解：/"於=（y加）2,故選B.

【點睛】本題主要考查積的乘方法則的逆運用，掌握積的乘方法則是解題的關(guān)鍵.

5.（2021?隆昌市知行中學(xué)八年級月考）計算（-0.125產(chǎn)。x82。21的結(jié)果是（）

A.8B.0.125C.-8D.-0.125

【答案】A

（1v020

【分析】利用同底數(shù)幕的乘法與積的乘方的逆運算把原式化為-；x8x8,從而可得答案.

z1\2020/、2020

【詳解】解：(-0.125)2°2°x82°2i=bwX8202()X8=-1x8jx8=(-1產(chǎn)°x8=8.故選：A.

【點睛】本題考查的是同底數(shù)募的乘法與積的乘方的逆運算，掌握屋""=。"’?屋,優(yōu)6"=（必）"（加，〃為正整

數(shù)）是解題的關(guān)鍵.

6.（2021?全國）已知a=2020,6是。的倒數(shù)，則（屋斤）?""<=

【答案】2020.

【分析】由b是。的倒數(shù)，可知6=盛，再化簡代數(shù)式進(jìn)行計算.

【詳解】由題意知：*=2^-（anb1\abn-2=ana-b1bn-2=an+'bn,

把a=2020,6=^—代入得：。"+%"=2020向?[^—]=2020?12020x_l—1=2020,故填：2020.

2020(2020)(2020J

【點睛】本題考查同底數(shù)幕的乘法、積的乘方法則，熟練掌握公式的正用、逆用是關(guān)鍵.

7.（2021?江蘇江寧?七年級月考）（1）積的乘方公式：（ab）”=（"是正整數(shù)），請寫出這一

公式的推理過程.（2）計算420KtX（A。?。.

【答案】（1）a"b",見解析（2）1

【分析】（1）根據(jù)乘方的定義，分式乘法法則，以及乘法的意義進(jìn)行計算即可；

（2）利用幕的乘方的逆向運算及積的乘方求解即可.

【詳解】解：（而〃=…（S=加.故答案為：出".

〃個“個〃個

2010402020120102010

（2）4x（--）=42°1°義（，）2*2010=4°x（—）=（4x-）=1.

【點睛】此題考查了幕的乘方與積的乘方，熟記募的乘方與積的乘方有關(guān)法則是解題的關(guān)鍵.

題型3同底數(shù)塞的除法及其逆用

1.（2021?重慶八中初一期中）已知a—2b=2,c=2"+46,則/一2b的值是.

【答案】16

【分析】根據(jù)題意利用同底數(shù)暴的除法以及暴的乘方的運算法則進(jìn)行變形與代入運算即可.

【解析】解：:"22=2,。=2、46=2、2幼=203,

2

：.c=2=4,以=42=16.故答案為：16.

【點睛】本題考查幕的運算，熟練掌握同底數(shù)幕的除法以及塞的乘方的運算法則是解題的關(guān)鍵.

2.（2021?上海?初一期末）下列運算正確的是（）

A.（a2）3=a5B.[一g/]=yj4C.a6^-a3=a2D,a2-a3=a5

【答案】D

【分析】利用嘉的乘方、積的乘方、同底數(shù)幕的乘法以及同底數(shù)累的除法的性質(zhì)求解即可求得答案.注意

掌握排除法在選擇題中的應(yīng)用.

24

【解析】解：A.（〃2）3=06,故本選項錯誤；B.（--/）2=—4,故本選項錯誤；

3'9

C.a64-a3=a3,故本選項錯誤；D.a2?a3=a5,故本選項正確.故選D.

【點睛】本題考查了幕的乘方、積的乘方、同底數(shù)幕的乘法以及同底數(shù)幕的除法.此題比較簡單，注意掌

握指數(shù)的變化是解答此題的關(guān)鍵.

3.（2020?河北開平?初三一模）計算3-（）=-9M1，則括號內(nèi)應(yīng)填入的式子為（）

A.3n+1B.3n+2C.-3n+2D.-3n+1

【答案】C

，n+12

【解析】解：?.-9=-（3）n+l=.32n+2=.3n+n+2=3n.（一3n+2）,.?.括號內(nèi)應(yīng)填入的式子為-3什2.故選C.

4.（2021?沈陽市第一二七中學(xué)期中）若存0,化簡下列各式，正確的個數(shù)有（）

（1）a0*a'a5—a5；（2）（a2）3—a6；（3）（-2a4）3=-6a12；（4）=（5）a6+a6—2a12；

（6）2二+寥X28=32；（7）層.（-°）7.〃i=-a20

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】分別根據(jù)零整數(shù)指數(shù)幕的定義，同底數(shù)事的乘除法法則，暴的乘方與積的乘方運算法則，合并同

類項法則以及負(fù)整數(shù)指數(shù)幕的定義逐一判斷即可.

【解析】解：。?！?=酒故（1）錯誤；（/）3=“故（2）正確；（-2/）3=-842,故（3）錯誤;

故（4）正確；a6-\-a6=2a6,故（5）錯誤；2"+25X28=2,故（6）錯誤；

昌（“）7.川=”20,故0）正確，所以正確的個數(shù)為3個.故選：C.

【點睛】本題考查零整數(shù)指數(shù)幕的定義，同底數(shù)幕的乘除法法則，募的乘方與積的乘方運算法則，合并同

類項法則以及負(fù)整數(shù)指數(shù)幕等知識，熟練掌握法則是關(guān)鍵.

5.（2021?浙江金華市?七年級期中）若優(yōu)=3，/=2，則24一等于（）

A.9B.18C.11D.14

【答案】A

【分析】根據(jù)同底數(shù)累的除法法則將24廠＞轉(zhuǎn)化為252工十/）,即可求解.

【詳解】解：：優(yōu)=3，4=2,，2a2r=2（〃工+/）=2[（，）2+/]=2*（9+2）=9.故選：A.

【點睛】本題主要考查了同底數(shù)幕的除法，解答本題的關(guān)鍵是掌握同底數(shù)幕的除法與幕的乘方法則.

6.（2021?余姚市蘭江中學(xué)七年級期中）若3工+32〉=27，則x-2y=.

【答案】3

【分析】根據(jù)同底數(shù)幕相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減即可即可求解.

【詳解】V3x-32y=27.A3（x-2y）=27-/.x-2j=3,故答案為：3.

【點睛】本題主要考查同底數(shù)塞的除法的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握同底數(shù)累的除法的運算性質(zhì).

題型4暴的混合運算

解題技巧：根據(jù)運算規(guī)則，先將不同底數(shù)轉(zhuǎn)化為相同底數(shù)，然后再根據(jù)題意進(jìn)行相應(yīng)計算；利用塞的相關(guān)

法則，轉(zhuǎn)化為指數(shù)之間的關(guān)系。

1.（2021?長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學(xué)校）下列計算正確的是（）

A././=/B.（2a『=2/C.（tz3）2=a5D.（-2xl02）3=-8xl06

【答案】D

【分析】分別根據(jù)同底數(shù)幕的乘法法則，積的乘方運算法則，以及哥的乘方法則逐一判斷即可.

【詳解】解：A././=/片儲2,故本選項不符合題意；B.（2）2=4/w2a2,故本選項不合題意；

C.（/）-=/#/,故本選項不合題意；D.（-2x10）3=-8x103故本選項符合題意；故選：D.

【點睛】本題考查了同底數(shù)累的乘法法則，積的乘方運算法則，以及幕的乘方法則，掌握相關(guān)運算法則是

解題的關(guān)鍵.

2.（2021?湖南荷塘?七年級期末）下列各式運算正確的是（）

2352626

A.a+a=aB.（-3a）-=6aC.（/）=aD.（a/?）=ab

【答案】C

【分析】直接利用積的乘方以及累的乘方運算法則、合并同類項分別計算得出答案.

【詳解】解：A、/與/不是同類項，不能合并，該選項不符合題意；

B、（-3"）2=9/原計算錯誤，該選項不符合題意；C、（/）?=/原計算正確，該選項符合題意；

D、（。〃丫=。％6原計算錯誤，該選項不符合題意；故選c.

【點睛】本題主要考查了積的乘方以及幕的乘方運算法則、合并同類項，正確掌握運算法則是解題關(guān)鍵.

3.（2021?山東濟(jì)寧學(xué)院附屬中學(xué)）下列運算正確的是（）

A.（a3）4=〃2B.a3-a4=anC.a2+a2=a4D.（ab）2=ab2

【答案】A

【分析】利用幕的乘方的性質(zhì)、同底數(shù)幕的乘法法則、合并同類項法則、積的乘方的性質(zhì)分別進(jìn)行計算即

可.

【詳解】解：A、（〃）4=〃2,故原題計算正確；B、故原題計算錯誤；

C、。2+標(biāo)=202,故原題計算錯誤；D、（ab）2=^2,故原題計算錯誤；故選：A.

【點睛】本題主要考查幕的乘方、同底數(shù)幕的乘法、合并同類項、積的乘方，關(guān)鍵是熟練掌握各計算法

則.

4.（2021?貴州印江?）下列計算：①Mx4=xi6；②（—2°）2=4*③（研3=曲；④（/）2=〃.其中

正確的有（）

A.①②B.②C.①③D.④

【答案】B

【分析】根據(jù)同底數(shù)嘉的乘法、積的乘方、募的乘方法則逐個解題：

atn?an=am+n/）\n-amn,（/abi）\m=am?ibm.

【詳解】解：@X4?X4=X8,故①錯誤；②（-2°）2=4°2,故正確；③（"2）3=〃66,故③錯誤：④（°5）

2=排。，故錯誤，故正確的是：②，故選：B.

【點睛】本題考查幕的運算，涉及同底數(shù)暴的乘法、積的乘方、累的乘方等知識，是基礎(chǔ)考點，掌握相關(guān)

知識是解題關(guān)鍵.

5.（2021?揚州市江都區(qū)實驗初級中學(xué)七年級期中）下列計算正確的是（）

A.。3.a2=06B.（層）3=々6c.（2x2）3=6x6D.（-ab）2=-a2b2

【答案】B

【分析】分別根據(jù)同底數(shù)塞的乘法法則，塞的乘方運算法則，積的乘方運算法則逐一判斷即可.

【詳解】解：A、a3*a2—a5,故A錯誤；B、（a2）3—a6,故B正確；

C、（2N）3=躍6,故C錯誤；D、（"6）2=a262,故D錯誤；故選：B.

【點睛】本題主要考查同底數(shù)相乘、幕的乘方和積的乘方運算，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握幕的運算法

則.

6.（2021?浙江省衢州市衢江區(qū)實驗中學(xué)）下列算式①22x33；②（2x62）x（3x63）；③63+63；④（22）3x

（33）2中，結(jié)果等于66的有（）

A.①②B.①④C.②③D.②④

【答案】D

【分析】根據(jù)同底數(shù)幕的乘法、積的乘方、累的乘方分別計算即可求解.

【詳解】解：①22*33=2）333=62乂3/66,故不符合題意；

@（2X62）X（3X63）=2X3X62X63=6X65=66,故符合題意；

③63+S=2x6^63故不符合題意；④（22）葭（33『=26、36=66,故符合題意故選：D

【點睛】本題考查了同底數(shù)幕的乘法、幕的乘方和積的乘方運算，屬于基礎(chǔ)的運算求解題，難度不大.解

題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的運算法則.有關(guān)乘方的運算需注意兩點：一是乘方的本質(zhì)是乘法運算；二是找

準(zhǔn)乘方的底數(shù).

題型5募的運算法則與方程思想

1.（2020?江蘇姑蘇?蘇州草橋中學(xué)初一期中）已知3*+2.5X+2=153x1,求。一1）2一3式六2）-4的值.

【答案】x=3,原式=-9.

【分析】首先由3*+2?5*+2=153%可得3*+2/+2=(15)X+2=153M,即可得方程X+2=3X-4,解此方程即可求得

X的值，然后化簡(x-l)2-3x(x-2)-4,再將x=3代入，即可求得答案.

【解析】解:?.?3X+2?5X+2=(15)X+2=153X-4,；.X+2=3X-4,解得:x=3,

(x-1)2-3x(x-2)-4=x2-2x+1-3x2+6x-4=-2x2+4x-3=-2x9+4x3-3=-9.故答案為-9.

【點睛】此題考查了積的乘方的性質(zhì)與化簡求值問題，熟練掌握是解題的關(guān)鍵.

2.(2020?江蘇蘇州?七年級期中)(1)已知4，=2"3,求x的值，(2)若/=3,b"=L求

4

(-歷產(chǎn).

3

【答案】⑴x=3；(2)—

16

【分析】(1)根據(jù)事的乘方的逆用可直接進(jìn)行求解；

(2)根據(jù)積的乘方和幕的乘方的逆用可直接進(jìn)行求解.

【詳解】解：(1)：4*=2川，/.22X=2X+3，，2x=x+3,解得：x=3；

(2)Va2"=3,b"=~,：.(-abV"=a2n-(b"]2=3x—=—.

4v7''1616

【點睛】本題主要考查積的乘方和幕的乘方的逆用，熟練掌握積的乘方和嘉的乘方的逆用是解題的關(guān)鍵.

3.(2021?奈曼旗第二中學(xué)期中)如果(2優(yōu)'""")3=8/6巴求m和n的值.

【答案】m=3,n=2

【分析】根據(jù)積的乘方和事的乘方即可求出結(jié)論.

【解析】解：：(2優(yōu)？'"")3=8as5/.Sa3mb3*3"=8az5

3m=9m=3

解得:〃二2眠m=3,n=2.

3m+3n=15

【點睛】此題考查的是幕的運算性質(zhì)，掌握積的乘方和累的乘方是解題關(guān)鍵.

4.(2021?德惠市第三中學(xué)八年級月考)如果(2優(yōu)"6"7=8/6%則加力=.

【答案】15

【分析】根據(jù)積的乘方和哥的乘方求出加，〃的值，代入即可求出.

【詳解】(2amZ>n)3=8a9Z>15,'.3m=9,3?=15m=?>,w=5；./n"=15故答案為:15

【點睛】此題考查的是積的乘方和暴的乘方運算性質(zhì)，掌握積的乘方和累的乘方法則是解題關(guān)鍵.

5.(2021?河南八年級月考)規(guī)定a*6=3"x3J求：

（1）求1*2；（2）若2*（x+l）=81,求x的值.

【答案】（1）27；（2）x=l

【分析】（1）根據(jù)規(guī)定即可完成；（2）根據(jù)規(guī)定及幕的運算，可得關(guān)于x的方程，解方程即可.

【詳解】（1）■.-a*b=rx3b,1*2=3'x32=3x9=27：

（2）,??2*（x+l）=81,32x3加=34,.?.37=34貝lJx+3=4,解得：x=l.

【點睛】本題是新定義運算問題，考查了同底數(shù)幕的運算，解方程等知識，理解新定義運算是解題的關(guān)

鍵.

6.（2021?全國初一■課時練習(xí)）若a"+i0"+"=*,且加-2〃=1,求加"的值.

【答案】?=3.

【分析】根據(jù)a*?型+"=〃，可得根+2〃=5,然后與機-2力=1聯(lián)立，解方程組即可.

【解析】解：由題意得，a"+i*am+n—am+2n+l—a6,則加+2〃=5,

m+2n=5[m=3

???〈c,，；?〈，，故””=3.

m-2n=I[n=1

【點睛】本題考查同底數(shù)幕的乘法，以及二元一次方程組的解法，根據(jù)題意列出方程組是解答本題的關(guān)

鍵.

7.（2021?浙江杭州?七年級期中）若科"=32”則盧+4，”的值是（）

1

A.—B.16C.20D.24

16

【答案】C

【分析】根據(jù)乘方、幕的乘方的性質(zhì)，通過列一元一次方程并求解，再根據(jù)代數(shù)式的性質(zhì)計算，即可得到

答案.

2+mm+l32+，5+1

[詳解】8=32（2）"=（2）"'26+3m=25m+56+3m=5m+52m=1m=—

44”+42，”=42+4=]6+4=20故選：C.

【點睛】本題考查了乘方、幕的乘方、一元一次方程、代數(shù)式的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握塞的乘方的

性質(zhì)，從而完成求解.

題型6利用塞運算比較大小.

1.（2020?蘇州新草橋中學(xué)七年級月考）已知。=255,6=344"=433,把訪b,C從小到大排列

__________________.（用”連接）

【答案】a<c<b

【分析】首先利用褰的性質(zhì)將原式都變?yōu)橹笖?shù)相同的數(shù)，進(jìn)而比較底數(shù)即可.

【詳解】?."=255^25)11=32"，6=344=(34)11=81",C=433=(43)11=6411,

a<c<b.故答案為：a<c<b.

【點睛】本題主要考查累的乘方運算及逆運算，正確利用幕的性質(zhì)將原式都變?yōu)橹笖?shù)相同的數(shù)是解題關(guān)

鍵.

61

2.(2020?山東中區(qū)?初一期末)已知、=8巴6=273c=9,b、c的大小關(guān)系是()

A.d>b>cB.d>c>bC.a<b<cD.b>c>a

【答案】A

【分析】先把a,b,c化成以3為底數(shù)的基的形式，再比較大小.

【解析】解：a=8131=3124,6=3巴c=961=3%a〉b>c.故選A.

【點睛】此題重點考察學(xué)生對幕的大小比較，掌握同底數(shù)幕的大小比較方法是解題的關(guān)鍵.

3.(2021?全國)比較大小：(1)比較21°°和375的大??；(2)已知。、b為正數(shù)，且/=2,及=3,試比

較a、b的大小.

10075

【答案】⑴2<3；(2)a<b.

【分析】⑴根據(jù)2必=(247=16%，375=03)25=2725,從而比較大小即可；

(2)由/=2,/=3,可以得到。6=(.2)3=23=8,加=僅3)2=32=9,由此求解即可.

【詳解】解:(1)?.?2KW=(24>=1625,375=(33)25=2725,

2100=(24)25=1625<375=(33)25=2725，:.2100<375；

(2)a1=216，=3,a6=(02)=23=8,66=伊)=3。=9,a6<b6>

又,：a、6都是正數(shù)二。<數(shù)

【點睛】本題主要考查了幕的乘方的逆運算，哥的乘方，實數(shù)比較大小，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相

關(guān)知識進(jìn)行求解.

4.(2021?四川省內(nèi)江市第六中學(xué)八年級開學(xué)考試)比較2⑼與3'5的大?。阂驗?0=(24)”=1625,

375=(3)"=2725,而16<27,所以1625<2725,即2Kxi<375.據(jù)此可知3$5、4"、533的大小關(guān)系是()

A.355<444<533B.533<444<355C.444<533<355D.533<355<4^

【答案】D

【分析】利用基的乘法把355、4”、533化為指數(shù)都為11的哥，然后比較底數(shù)的大小即可.

5113331111

【詳解】解:因為355=（3）11=243%444=（44）n=256,5=（5）=125,

而125<243<256,所以1251y2431y256、即533<355<444.故選：D.

【點睛】本題考查了幕的乘方與積的乘方：幕的乘方法則：底數(shù)不變，指數(shù)相乘，即（〃"）"=心"（m,n

是正整數(shù)）；積的乘方法則：把每一個因式分別乘方，再把所得的幕相乘，即（"）"=。丐"（〃是正整

數(shù)）.

61

5.（2021?杭州綠城育華學(xué)校七年級月考）已知4=8131,6=273c=9,則下列關(guān)系中正確的是（）

A.b>c>aB.a>c>bC.a>b>cD.

【答案】c

【分析】直接利用幕的乘方運算法則將原式變形進(jìn)而得出答案.

【詳解】解：Va=8131=3124,6=2741=3123,c=961=3122,：.a>b>c.故選：C.

【點睛】此題主要考查了幕的乘方運算，正確將原式變形是解題關(guān)鍵.

6.（2021?河北衡水市?八年級期末）已知。=8產(chǎn)，6=27*,c=9611則“c的大小關(guān)系是（）

A.a>c>bB.a>b>cC.c>b>aD.b>c>a

【答案】B

【分析】根據(jù)嘉的乘方和積的乘方的運算法則求解.

31124

【詳解】解：a=81=3-buz7’=.，0=961=3122,

*；a、b、c的底數(shù)相同，；.a>b>c.故選：B.

【點睛】本題考查了有理數(shù)的大小比較，募的乘方，解答本題的關(guān)鍵是掌握哥的乘方的運算法則.

題型7利用塞運算進(jìn)行代數(shù)式表示

1.（2020?漢中市楊河學(xué)校初一月考）按題目要求計算：

（1）已知2"'—1=2，求3+4"'的值；（2）已知78=4、g=b，用含有。、b的式子表示5656.

78

【答案】⑴12；（2）ab

【分析】（1）將已知變形為2"=3,再將中化為底數(shù)為2的形式，然后將2m=3代入求值即可；

（2）將5656化為（7x二仁了.⑹。然后代入求解即可.

mm2mm22

【解析】(1)V2"'-1=2>/.2=3,/.3+4=3+2=3+(2)=3+3=12：

（2）5656=（7X8）7X8=77X8X87X8=（78）?.（87）8=//.

【點睛】本題考查了幕的乘方和積的乘方，掌握運算法則并靈活運用募的乘方和積的乘方的逆運算是解答

本題的關(guān)鍵.

2.（2021?山東寒亭?七年級期中）若*3,4=5,8。=15,則（）

A.a+2b=3cB.a+b=cC.a+2b=cD.2a+b=c

【答案】A

【分析】直接利用同底數(shù)幕的乘法運算法則以及幕的乘方運算法則將所給出的條件式進(jìn)行變形得出答案.

【詳解】解：：2。=3,41=5,8。=15,/.2,=3,226=5,230=15,

■:3x5=152ax226=23c，即T+lb=23ca+2b=3c故選：A

【點睛】此題主要考查了同底數(shù)幕的乘法以及哥的乘方運算，熟練掌握相關(guān)運算法則是解答此題的關(guān)鍵.

3.（2021?江蘇南京鐘英中學(xué)）若=優(yōu)（。＞0且awl,相、〃是正整數(shù)），則加=〃.利用上面結(jié)論解決

下面的問題：（1）如果2+8*-16*=25,求x的值；（2）如果2"2+2川=24,求x的值；

（3）若x=5"—3,y=4-25m,用含x的代數(shù)式表示y.

【答案】（1）x=4：（2）x=2-.（3）y=-x2-6x-5

【分析】（1）先,將底數(shù)都化為2,再利用同底數(shù)幕的乘除法法則計算；（2）利用積的乘方逆運算解答；

（3）利用等式的性質(zhì)及幕的乘方逆運算將式子變形為x+3=5"',4-y=25'"=52m,即可得到x與y的關(guān)系

式，由此得到答案.

【詳解】解:（1）,.,2-8r-16v=25,A2-23x-24'=25，Al-3x+4x=5,解得x=4；

（2）V2x+2+2x+1=24,A2r.22+2x-2=24，2*（4+2）=24,2工=4=2Z,x=2；

（3）Vx=5m-3,y=4-25m,，x+3=5",4-y=25m=52m,

4-y=（無+3）2,y=4-（x+3）2=-x2-6x-5.

【點睛】此題考查整式的乘法公式：同底數(shù)幕相乘、同底數(shù)暴相除、積的乘方以及塞的乘方的計算法則，

熟記法則及其逆運算是解題的關(guān)鍵.

4.（2020?江蘇高港實驗學(xué)校初一期中）若3壯L27,2工=4'—,則無-產(chǎn).

【答案】0

【分析】首先化成同底數(shù)可得x+l=3,x=2y-2,解方程可得x、y的值，進(jìn)而可得答案.

【解析】由題意得27=33,4=22,，x+l=3,x=2y-2,解得:x=2,y=2,x-y=0.故答案為：0.

【點睛】此題考查同底數(shù)累的乘法，解題關(guān)鍵在于掌握運算法則.

5.(2021?浙江八年級期末)我們知道下面的結(jié)論：若儲"=a"(。>0,且,則加=".利用這個結(jié)

論解決下列問題：設(shè)3"，=2,3"=6,3。=18.現(xiàn)給出加，"，?三者之間的三個關(guān)系式：@m+p=?.n,②

3m+n=4p-6,③/2-2加=3.其中正確的是()

A.①②B.①③C.②③D.①

【答案】B

【分析】根據(jù)同底數(shù)累的乘除法公式即可求出〃?、〃、〃的關(guān)系.

【詳解】解：；3"=6=3x2=3x3'"=3'"+1，〃=1+加，m=n-\,

3P=18=3x6=3x3"=3"",."./?=1+n=1+1+m=2+m,

①m+/?="-l+l+"=2",故正確；②3加+〃=3(0-2)+p-l=4p-7,故錯誤；

22

(3)p-n-2m=(p+n)(<p-n)-2m=(2+m+l+m)(2+m-l-m)-2m=3,故正確；故選B.

【點睛】本題考查同底數(shù)暴的乘除法，解題的關(guān)鍵是熟練運用同底數(shù)暴的乘除法公式，本題屬于中等題

型.

題型7與募運算有關(guān)的新定義

1.(2021?儀征市第三中學(xué))如果4=6,那么我們規(guī)定(a,b)=c.例如：因為23=8,所以(2,8)=

3.(1)根據(jù)上述規(guī)定，填空：(3,27)=,(4,16)=,(2,16)=.

(2)記(3,5)—a,(3,6)—b,(3,30)—c.求證：a+b—c.

【答案】(1)3,2,4；(2)詳見解析

【分析】(1)由題意直接根據(jù)規(guī)定的兩數(shù)之間的運算法則進(jìn)行分析即可解答；

(2)由題意根據(jù)積的乘方法則，結(jié)合定義進(jìn)行分析計算即可.

【詳解】解：(1)=33=27,(3,27)=3；V42=16,/.(4,16)=2；

：24=16,/.(2,16)=4；故答案為：3；2；4；

(2)證明：(3,5)=a,(3,6)=b,(3,30)—c,

：.3a=5,3b=6,3c=30,；.3ax3b=30,.,.3a+b=30,

:3。=30,.\3a+b=3c,；.a+b=c

【點睛】本題考查的是幕的乘方和積的乘方以及有理數(shù)的混合運算，熟練掌握幕的乘方和積的乘方法則是

解題的關(guān)鍵.

2.(2021?鎮(zhèn)江實驗學(xué)校)規(guī)定兩數(shù)a,6之間的一種運算，記作(。⑼，如果"=6,貝U(a,b)=c.我們叫

(。,6)為“雅對”.例如：因為23=8,所以(2,8)=3.我們還可以利用“雅對”定義說明等式(3,3)+(3,5)=(3,15)

成立.證明如下：

設(shè)(3,3)=%,(3,5)=〃，貝!13M=3,3"=5,

故3"'.3"=3"""=3x5=15,

則(3,15)=m+n,即(3,3)+(3,5)=(3,15).

(1)根據(jù)上述規(guī)定，填空：(2,0.25)=；(5,1)=；(—,16)=4.

(2)計算(5,2)+(5,7)=,并說明理由.

⑶利用“雅對”定義證明：(2",3")=(2,3),對于任意自然數(shù)〃都成立.

【答案】(1)-2,0,2；(2)(5,14)；(3)見解析

【分析】(1)根據(jù)上述規(guī)定即可得到結(jié)論；

(2)設(shè)(5,2)=x,(5,7)=y，根據(jù)同底數(shù)基的乘法法則即可求解；

(3)設(shè)(2",3")=x,于是得到(2")*=3",即(2，)〃=3"根據(jù)“雅對”定義即可得到結(jié)論.

【詳解】解：(1)V2-2=0.25,A(2,0.25)=-2；

,.?5°=1,(5,1)=0；:24=16,；.(2,16)=4,

故答案為：-2,0,2；

(2)設(shè)(5,2)=x,(5,7)=y,貝U5*=2,*=7,5y=14,

(5,14)=x+y,；.(5,2)+(5,7)=(5,14),故答案為：(5,14)；

(3)設(shè)(2",3")=x,則(2")』3",即(2工)"=3",

所以2工=3,即(2,3)=x,所以(2",3")=(2,3).

【點睛】此題考查了有理數(shù)的運算，幕的乘方，同底數(shù)幕的乘法，弄清題中的新運算是解本題的關(guān)鍵.

3.(2021?河南金水?)如果/=6,那么我們規(guī)定(a,6)=c.例如；因為23=8,所以(2,8)=3.

(1)根據(jù)上述規(guī)定填空：(4,16)=,(3,1)=,(2,0.25)=；

(2)若(3,4)=a,(3,6)=6,(3,96)=c.判斷。也c之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【答案】(1)2;0;-2；(2)2a+b=c；理由見解析.

【分析】(1)根據(jù)代入數(shù)運算即可；(2)根據(jù)題意列出等式求解即可.

【詳解】⑴(4,16)=2;(3,1)=0;(2,0.25)=-2

(2)因為(3,4)=/(3,6)=6,(3,96)=。3"=4,3*=6,3°=96,

(3a)2x3z,=16x6=3c=96,32ax3b=3c,：.2a+b=c.

【點睛】此題考查了新定義問題和同底數(shù)募的乘法結(jié)合問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出等式.

4.(2021?安徽安慶?七年級期末)規(guī)定兩數(shù)之間的一種運算，記作(。力)；如果簫=人那么m6)=c,

例如：因為2，=8,所以(2,8)=3

(1)根據(jù)上述規(guī)定，填空：(5,125)=；(5,1)=,〔2,.

(2)小明在研究這種運算時發(fā)現(xiàn)一個特例：對任意的正整數(shù)“，(3",4")=(3,4).小明給了如下的證明：設(shè)

(3",4")=x,(3")"=4",(3?=4”,所以3,=4,(3,4)=x,所以(3",4)=(3,4),請根據(jù)以上規(guī)律：計算：

(16,10000)-(64,1000000).(3)證明下面這個等式：(3,20)-(3,4)=(3,5).

【答案】⑴3,0,-2；(2)0；(3)見解析

【分析】(1)根據(jù)題目中的規(guī)定，進(jìn)行運算即可得出結(jié)果(2)(16,10000)可轉(zhuǎn)化為(24,104),(64,1000000)

可轉(zhuǎn)化為②，106),從而可求解；(3)設(shè)(3,20)=仁(3,4)=九貝I]3^=20,3，'=4,從而可得3、3y=5,得

3r=5,即有(3,5)=x-y,從而得證.

【詳解】(1)解：?/53=125,(5,125)=3；?；5。=1,(5,1)=0；

■■-2-2=^,：.(2-)=-2.故答案為：3,0,-2；

(2)解：(16,10000)-(64,1000000)=(24,104)-(26,106)=(2,10)-(2,10)=0；

(3)證明：設(shè)(3,20)=x,(3,4)=y,貝3"=20，3y=4,

:.r^3y,=20+4,=5,.-.(3,5)=x->,

又；(3,20)-(3,4)=x-y,:.(3,20)-(3,4)=(3,5)

【點睛】本題考查了幕的乘方，熟練掌握暴的乘方是解題的關(guān)鍵.

5.(2020?浙江杭州市?七年級其他模擬)我們知道，同底數(shù)暴的乘法法則為a".a"=am+n(其中ah0,

m、”為正整數(shù)),類似地我們規(guī)定關(guān)于任意正整數(shù)切、〃的一種新運算：h(m+〃)=h(m)?h(〃)；比如

h(2)-3,貝(]4(4)=>(2+2)=3x3=9,若h(2)=k(k力0),那么力(8)=,h(2n)-7?(2020)=

【答案】k4j^n+1010

【分析】根據(jù)h(m+n)=h(m)-h(n),通過對所求式子變形，然后根據(jù)同底數(shù)幕的乘法計算即可解答本

題.

【詳解】解：：%(％+〃)=%(%)?%(〃),hQ)=k(k手0),

力(8)=7/(2+2+2+2)=力(2)?力(2)?力(2)?力(2)=/,

,:h(2)=k(k豐0),

力(2〃).1(2020)=2(2+2+…+2)?。(2+2+…+2)=〃(2).h(2)...-力(2)x〃(2).h⑵…?〃(2)

n+101

=kn.k1010=kn+1010；故答案為：甘,k°.

【點睛】本題考查同底數(shù)事的乘法、新定義，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用新運算求出所求式子的

值.

6.(2021?鎮(zhèn)江市外國語學(xué)校七年級月考)一般地，〃個相同的因數(shù)a相乘。"；記為a"；如

2x2x2=23=8,止匕時；3叫做以2為底8的對數(shù)，記為log?8(即10gz8=3).一般地，若a"=b(。>0且

g1,b>0),則〃叫做以。為底6的對數(shù)，記為log*(BPlogab=n).如34=81,則4叫做以3為底

81的對數(shù)，記為1叫81(gpiog381=4).(1)計算下列各對數(shù)的值：1(^4=；log216=；

log264=；

(2)你能得到log?4、log216、log?64之間滿足怎樣的關(guān)系式：；

(3)由(2)的結(jié)果，請你歸納出log.河、bg“N、log.九W之間滿足的關(guān)系式：,

(4)根據(jù)哥的運算以及對數(shù)的含義驗證(3)的結(jié)論.

【答案】(1)2,4,6；(2)Iog2^+log216=/og264；(3)logaM+logaN=loga(.MN)；(4)見解析

【分析】(1)根據(jù)對數(shù)的定義求解；(2)認(rèn)真觀察，不難找到規(guī)律：根據(jù)4x16=64,可判斷

Iog24+log216=/og264；

(3)由特殊到一般，得出結(jié)論：logaM+logaN=loga(MN)；

(4)首先可設(shè)觸聲=仇，loSaN=b2,再根據(jù)塞的運算法則：心型=產(chǎn)加以及對數(shù)的含義證明結(jié)論.

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