中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：相似三角形（知識點(diǎn)+題型分類練習(xí)）

相似三角形

一、知識概述

1.平行線等分線段定理

如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其它直線上截得的線段也相等。

2.平行線分線段成比例定理

三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例。

3.相似三角形的定義

對應(yīng)邊成比例、對應(yīng)角相等的兩個三角形叫做相似三角形.

4.相似三角形的基本性質(zhì)

①相似三角形的對應(yīng)邊成比例、對應(yīng)角相等.

②相似三角形的對應(yīng)高線的比，對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比。

③相似三角形的周長比等于相似比

④面積比等于相似比的平方

溫馨提示：

①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=l.所以全等三角形是相似三角形的特例.其區(qū)別在于

全等要求對應(yīng)邊相等，而相似要求對應(yīng)邊成比例.

②相似比具有順序性.例如△ABCs/\A，B'C的對應(yīng)邊的比，即相似比為k,則AA'B'L

ABC的相似比/,當(dāng)且僅當(dāng)它們?nèi)葧r，才有k=k，=1.

③相似比是一個重要概念，后繼學(xué)習(xí)時出現(xiàn)的頻率較高，其實(shí)質(zhì)它是將一個圖形放大或縮小的

倍數(shù)，這一點(diǎn)借助相似三角形可觀察得出.

5.相似三角形的判定定理

①平行于三角形一邊的直線和其他兩邊或其延長線相交，所得的三角形與原三角形相似；

②三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似；

③兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；

④兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似。

溫馨提示：

(1)判定三角形相似的幾條思路：

①條件中若有平行，可采用判定定理1;

②條件中若有一對角相等(包括隱含的公共角或?qū)斀?，可再找一對角相等或找夾邊對應(yīng)成比例；

③條件中若有兩邊對應(yīng)成比例，可找夾角相等；但是，在選擇利用判定定理2時，一對對應(yīng)角相等必須是

成比例兩邊的夾角對應(yīng)相等.

④條件中若有等腰關(guān)系，可找頂角相等或底角相等，也可找腰和底對應(yīng)成比例。

(2)在綜合題中，注意相似知識的靈活運(yùn)用，并熟練掌握線段代換、等比代換、等量代換技巧的應(yīng)用，培

養(yǎng)綜合運(yùn)用知識的能力。

(3)運(yùn)用相似的知識解決一些實(shí)際問題，要能夠在理解題意的基礎(chǔ)上，把它轉(zhuǎn)化為純數(shù)學(xué)知識的問題,

要注意培養(yǎng)當(dāng)數(shù)學(xué)建模的思想。

6.位似

①定義：如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過同一點(diǎn)，那么這樣的兩個圖

形叫做位似圖形，這個點(diǎn)叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比.因此，位似圖形一定是相似圖形,

但相似圖形不一定是位似圖形.

②性質(zhì)：位似圖形上任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比.

注意：(1)位似圖形是相似圖形的一個特例，位似圖形一定是相似圖形，但相似圖形不一定是位似

圖形.

(2)兩個位似圖形不僅相似而且對應(yīng)點(diǎn)連線交于一點(diǎn)，對應(yīng)邊平行或在同一直線上

7.三角形的重心

①三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心.

②三角形的重心與頂點(diǎn)的距離等于它與對邊中點(diǎn)的距離的兩倍

相似三角形解題思路：

1.尋找相似三角形對應(yīng)元素的方法與技巧

正確尋找相似三角形的對應(yīng)元素是分析與解決相似三角形問題的一項(xiàng)基本功.通常有以下幾種方法：

(1)相似三角形有公共角或?qū)斀菚r，公共角或?qū)斀鞘亲蠲黠@的對應(yīng)角；相似三角形中最大的

角(或最小的角)一定是對應(yīng)角；相似三角形中，一對相等的角是對應(yīng)角，對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊，對應(yīng)

角的夾邊是對應(yīng)邊；

(2)相似三角形中，一對最長的邊(或最短的邊)一定是對應(yīng)邊；對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角；對應(yīng)邊所夾的

角是對應(yīng)角.

2.常見的相似三角形的基本圖形:

學(xué)習(xí)三角形相似的判定，要與三角形全等的判定相比較，把證明三角形全等的思想方法遷移到相

似三角形中來；對一些出現(xiàn)頻率較高的圖形，要善于歸納和記憶；對相似三角形的判定思路要善于總結(jié),

形成一整套完整的判定方法.如:

(1)“平行線型”相似三角形，基本圖形見上節(jié)圖.“見平行，想相似”是解這類題的基本思路；

(2)“相交線型”相似三角形，如上圖.其中各圖中都有一個公共角或?qū)斀?“見一對等角，找另一對

等角或夾等角的兩邊成比例”是解這類題的基本思路；

(3)“旋轉(zhuǎn)型”相似三角形，如圖.若圖中Nl=/2,NB=/D(或NC=/E),則△ADEs^ABC,該圖可看成

把第一個圖中的4ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)某一角度而形成的.

溫馨提示：

從基本圖形入手能較順利地找到解決問題的思路和方法，能幫助我們盡快地找到添加的輔助線.以上

“平行線型”是常見的，這類相似三角形的對應(yīng)元素有較明顯的順序，“相交線型”識圖較困難，解題時

要注意從復(fù)雜圖形中分解或添加輔助線構(gòu)造出基本圖形.

相似三角形專題分類練習(xí)講解

題型一：線段的比、黃金分割

1.在比例尺1:10000的地圖上，相距2cm的兩地的實(shí)際距離是（）

A.200cmB.200dmC.200mD.200km

2.若-則下列各式中不正確的是（）

y4

A./B./C./D./

3.若，貝仁；已知，貝卜；已知，且，貝心

4.若且，貝仁=。

5.2和8的比例中項(xiàng)是；線段2cm與8cm的比例中項(xiàng)為—

6.已知a:b:c=2:3:4,且2a■+3b—2c=10,求a,b,c的值。

題型二：相似的性質(zhì)

1.如果兩個相似三角形的面積比為3：4,則它們的周長比為。

2.已知△ABCs/MJEF,且AB:DE=1:2,則AABC的面積與ADEF的面積之比為

3.如圖,DE〃BC,AD:BD=2：3,貝!IAADE的面積：四邊形DBCE的面積=。

4.如圖，已知等邊三角形ABC的邊長為2,DE是它的中位線，則下面四個結(jié)論：（1）DE=1,（2）ACDE

sZXCAB,（3）Z\CDE的面積與4CAB的面積之比為1:4.其中正確的有：個

5.如圖，在梯形ABCD中，AD〃BC,AADE與4BCE面積之比為4：9,那么4ADE與4ABE面積之比為

6.平行四邊形ABCD中，AB=28,E、F是對角線AC上的兩點(diǎn)，且AE=EF=FC,DE交AB于點(diǎn)M,MF交CD于點(diǎn)

第6題

7.如圖，已知平行四邊形ABCD中，E是AB邊的中點(diǎn)，DE交AC于點(diǎn)F,AC,DE把平行四邊形ABCD分成的

四部分的面積分別為SI,S2,S3,S4.

下面結(jié)論：①只有一對相似三角形；②EF：ED=1：2；/③SI：S2：S3：S4=l：2：4/：5.

其中正確的結(jié)論是（）

A.①③B.③C.①D.①②

8.如圖，大正方形中有2個小正方形，如果它們的面積分別是S1.S2,那么S1.S2的大小關(guān)系是（）

A.S..S...B.S..S.....C.SKS....D.SLS.的大小關(guān)系不確定

9.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在AB邊上，且AE：EB=2：1,AF_LDE于G交BC于F,則△AEG的面

積與四邊形BEGF的面積之比為（）

A.1：2B.1：4C.4：9D.2：3

10.如圖，已知DE〃:BC,CD和BE相交于點(diǎn)O,：=4：9,則AE：EC為（）

A.2：1B.2：3C.4：9D.5：4

11.已知三個邊長為2,3,5的正方形按圖4排列，則圖中陰影部分的面積為.

第7題第8題第9題第10題第11題

12.如圖在4ABC中,矩形DEFG,G、F在BC上,D.E分別在AB.AC上，AHXBC交DE于M,DG：DE=1：

2,BC=12cm,AH=8cm,求矩形的各邊長。

13.已知如圖，正方形ABCD中，AB=2,E是BC的中點(diǎn)，DFLAE,F為垂足，求4DFA的面積和四邊形

CDFE的面積。

題型三：相似的有關(guān)證明

1.已知：如圖，梯形ABCD中，AB〃DC,E是AB的中點(diǎn)，直線ED分別與對角線AC和BC的延長線

交于M、N點(diǎn)

求證:MD:ME=ND:NE

2.如圖,D在AB上，S.DE//BC,交AC于E,F在AD上，且，求證：△AEFs^ACD.

3.如圖，在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)A作AELBC,垂足為E,連接DE,F為線段DE上一點(diǎn)，且NAFE=

ZB

(1)求證：△ADFS/\DEC；

(2)若AB=8,AD=6/,AF=4/,求AE的長.

題型四：函數(shù)與相似

1.如圖，正方形ABCD中，AB=1,G為DC中點(diǎn)，E為BC上任一點(diǎn),（E點(diǎn)與點(diǎn)B、點(diǎn)C不重合）設(shè)BE=/,

過E作GA平行線交AB于F,設(shè)AFEC面積為/,寫出/與/的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量/的取值范圍。

2.如圖，ABCD是矩形，AH=2,HD=4,DE=2,EC=1,F是BC上任一點(diǎn)（F與點(diǎn)

B.點(diǎn)C不重合），過F作EH的平行線交AB于G,設(shè)BF為/,四邊形HGFE面積為/,寫出/與/的函數(shù)關(guān)系

式，并指出自變量/的取值范圍。

3.如圖，有一塊直角梯形鐵皮ABCD,AD=3cm,BC=6cm,CD=4cm,現(xiàn)要截出矩形EFCG,(E點(diǎn)在AB上，與

點(diǎn)A.點(diǎn)B不重合)，設(shè)BE=/,矩形EFCG周長為/,(1)寫出/與/的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量/取值范

圍；(2)/取何值，矩形EFCG面積等于直角梯形ABCD面積的/。

4.如圖，已知拋物線y=x2—1與x軸交于A.B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.(1)求A.B.C三點(diǎn)的坐標(biāo).(2)

過點(diǎn)A作AP〃CB交拋物線于點(diǎn)P,求四邊形ACBP的面積.(3)在x軸上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)M,過

M作MGLx軸于點(diǎn)G,使以A.M、G三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與4PCA相似？若存在，請求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；否則，

請說明理由.

5.如圖，已知4ABC的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(-4,0)、B(l,0)、C(-2,6).(1)求經(jīng)過A.B.C三點(diǎn)的拋物

線解析式；(2)設(shè)直線BC交y軸于點(diǎn)E,連接AE,求證：AE=CE;(3)設(shè)拋物線與y軸交于點(diǎn)D,連接AD交

BC于點(diǎn)F,試問以A.B.F,為頂點(diǎn)的三角形與AABC相似嗎？請說明理由.

題型五、圓與相似

1.(2013?綏化)如圖，點(diǎn)A,B,C,D為00上的四個點(diǎn)，AC平分/BAD,AC交BD于點(diǎn)E,CE=4,CD=6,則

AE的長為()

A.4B.5C.6D.7

2.如圖，AB為。。的直徑，D是弧BC的中點(diǎn)，DE,AC交AC的延長線于E,。。的切線BF交AD的延長

線于點(diǎn)F。

⑴求證：DE是。。的切線；

⑵若DE=3,。。的半徑為5,求BF的長。

3.如圖，Rtz^ABC中，ZC=90°,0為直角邊BC上一點(diǎn)，以0為圓心，0C為半徑的圓恰好與斜邊AB相

切于點(diǎn)D,與BC交于另一點(diǎn)E.

(1)求證：△AOCgZkAOD；

(2)若BE=1,BD=3,求。。的半徑及圖中陰影部分的面積S.

4.如圖。。是AABC外接圓，AB是直徑，D是AB延長線上一點(diǎn)，AELDC的延長線于點(diǎn)E,且AC平分NEAB。

(1)求證:DE是。0的切線；(2)若AB=6,AE=4,求BC和BD的長

5.(2012遼寧)如圖，AB是。。的直徑，點(diǎn)C在。0上，NCAB的平分線交。0于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作AC的垂

線交AC的延長線于點(diǎn)E,連接BC交AD于點(diǎn)F。

(1)猜想ED與。0的位置關(guān)系，并證明你的猜想；

(2)若AB=6,AD=5,求AF的長。

6.(2013?十堰)如圖1,AABCCA=CB,點(diǎn)0在高CH上，OD_LCA于點(diǎn)D,OE_LCB于點(diǎn)E,以0為圓心,

0D為半徑作。0.

(1)求證：。。與CB相切于點(diǎn)E；

(2)如圖2,若。。過點(diǎn)H,且AC=5,AB=6,連接EH,求aBHE的面積.

題型六、因動點(diǎn)產(chǎn)生的相似問題

1.D是AABC的AB邊上一點(diǎn)，過A.D及三角形邊上的一點(diǎn)E的三角形與AABC相似，畫出示意圖。

D是RtaABC的BC邊上一點(diǎn)，過C、D及三角形邊上的一點(diǎn)E的三角形與aABC相似，畫出示意圖。

2.已知RtZkOAB在直角坐標(biāo)系中的位置如圖，P(3,4)為0B的中點(diǎn)，點(diǎn)C為折線OAB上的動點(diǎn)，線段

PC把RtZXOAB分成兩部分，問點(diǎn)C在什么位置時，分割得到的三角形與AOAB相似？畫出所有符合要求

的線段，寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)。

3.在直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)A(4,0),B(0,2),如果點(diǎn)C在x軸上(C與A不重合)，當(dāng)點(diǎn)C的坐

標(biāo)為時，使得由點(diǎn)B.0、C組成的三角形與AAOB相似。

4.已知：如圖，P是邊長為4的正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且PB=3,BF±BP,垂足為B,請?jiān)谏渚€BF上找

一點(diǎn)此使以B.M、C為頂點(diǎn)的三角形與AABP相似。

5.正方形ABCD邊長為4,M、N分別是BC、CD上的兩個動點(diǎn)，當(dāng)M點(diǎn)在BC上運(yùn)動時，保持AM和MN垂

直.(1)證明：RtAABM^RtAMCN；

(2)設(shè)BM=x,梯形ABCN的面積為y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動到什么位置時，四邊

形ABCN面積最大，并求出最大面積；

(3)當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動到什么位置時RtAABM^RtAAMN,求此時x的值.

6.如圖，在AABC中，ZBAC=90",AD是BC邊上的高，E是BC邊上的一個動點(diǎn)(不與B,C重合)，EF±

AB,EG±AC,垂足分別為F,G.

(1)求證：；

(2)FD與DG是否垂直？若垂直，請給出證明；若不垂直，請說明理由；

(3)當(dāng)AB=AC時，4FDG為等腰直角三角形嗎？并說明理由.

7.矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中位置如圖所示，A.C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(6,0),C(0,-3),直線

=-x與BC邊相交于D點(diǎn).

(1)求點(diǎn)〃的坐標(biāo)；

(2)若拋物線丫=2*2-x經(jīng)過點(diǎn)A,試確定此拋物線的表達(dá)式；

(3)設(shè)(2)中的拋物線的對稱軸與直線0D交于點(diǎn)M,點(diǎn)P為對稱軸上一動點(diǎn)，以P、0、M為頂點(diǎn)的三角

形與aOCD相似，求符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).

、3

y=---x

4

8.如圖，拋物線y=—x2+x—2與x軸相交于點(diǎn)A.B,與y軸相交于點(diǎn)C.

(1)求證：△A0CS/XC0B；

(2)過點(diǎn)C作CD//x軸交拋物線于點(diǎn)D.若點(diǎn)P在線段AB上以每秒1個單位的速度由A向B運(yùn)動，同時

點(diǎn)Q在線段CD上也以每秒1個單位的速度由D向C運(yùn)動，則經(jīng)過幾秒后，PQ=AC.

9.如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D(0,),且頂點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為4,該圖象在x軸上截得的線段AB的長為

6.⑴求二次函數(shù)的解析式；⑵在該拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)P,使PA+PD最小，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；⑶在拋

物線上是否存在點(diǎn)Q,使4QAB與4ABC相似？如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.

題型三：位似

1.如圖所示，以點(diǎn)0為位似中心，將五邊形ABCDE放大后得到五邊形A'B'C'D，E.己知0A=10cm,0A'

=20cm,則五邊形ABCDE的周長與五邊形"B7C'>E，的周長的比值是.

2.如圖，在6X8的網(wǎng)格圖中，每個小正方形邊長均為1,點(diǎn)0和4ABC的頂點(diǎn)均為小正方形的頂點(diǎn)..⑴以

0為位似中心，在網(wǎng)格圖中作B，L,使AA，B，「和AABC位似，且位似