中考數(shù)學復習：選擇題壓軸題之函數(shù)圖像信息問題（解析版）

專題1押全國卷8-12題選擇壓軸題之函數(shù)圖象信息問題（解析版）

專題詮釋：函數(shù)圖象信息問題是歷年中考的熱點，通常作為選擇題的壓軸題，位于選擇題的倒數(shù)第一或第

二題。函數(shù)圖象是函數(shù)的一種表現(xiàn)形式，形象的顯示了函數(shù)的性質，為研究數(shù)量提供了形的直觀性。他是

探究解題途徑，獲得問題的結果的重要工具。它蘊含了重要的數(shù)學思想，如數(shù)形結合思想，分類討論思想

等。

模塊一R真題回顏H

1.（2021?南通T9）如圖，四邊形N8CD中，ABWC,DE1AB,CFVAB,垂足分別為￡,F,MAE=EF=

12cm.動點P,。均以1c機/s的速度同時從點/出發(fā)，其中點P沿折線AD

運動到點B停止，點Q沿AB運動到點B停止,設運動時間為/（s）,△^尸。的面積為歹（。加2）,則y與

/對應關系的圖象大致是（）

DC

AAE*QkFB

2

心小y/cm?y/cm

1318

A.°\311B

二1小v/cm2

Co\13151831t/sDO\13151831圣

K命題探究工動態(tài)問題的函數(shù)圖象，分類討論思想，邏輯推理能力

思路引領：根據(jù)點P在AD,DC,BC上分三種情況，將面積表示成t的函數(shù)，即可確定對

應的函數(shù)圖象.

解：:AD=7AE2+DE2=-122+52=13,

：.AB>AD,

???點P先到D,

當0?13時，

過點P作PHLAB于H,

PHPH12

^APt13

12

=-t,

1126

■■SAAQP=2XtX13t=T3f，

.?.圖象開口向上，

■-A,C不符合題意，

當18ct<31時，點尸在3C上，

112902790

■■SAAQP=5X15X二X（31-t）=--t+—7T-,

只有。選項符合題意，

故選：D.

K解題秘籍』本題主要考查動點問題求面積，關鍵是要根據(jù)動點在不同的線段上分情況討論，依次來確定

對應的分段的函數(shù)的圖象.

2.（2021?甘肅省武威市T10）如圖1,在A48C中，AB=BC,BDL4C于點力（AD>BD）.動點〃從/點

出發(fā)，沿折線48—8C方向運動，運動到點C停止.設點M的運動路程為x,的面積為y,y與x

的函數(shù)圖象如圖2,則/C的長為（）

（命題探究］動點問題的函數(shù)圖象.應用意識.

思路引領：先根據(jù)結合圖2得出48=相，進而利用勾股定理得，AD2+BD2^13,再由運動結

1

合人4。河的面積的變化，得出點M和點2重合時，A4OM的面積最大，其值為3,即］1D?AD=3,進

而建立二元二次方程組求解，即可得出結論.

解：由圖2知，AB+BC=2月,

,:AB=BC,

-'-AB=V13,

"B=BC,BDLAC,

：.AC=1AD,ADB=90。,

在RtAABD中,AD2+BD2=AB2=13①，

設點加到ZC的距離為萬，

1

:,SAADM=^AD?h,

「動點”從/點出發(fā)，沿折線48—8。方向運動，

???當點M運動到點8時，41?！钡拿娣e最大，即

由圖2知，41。/的面積最大為3,

1

:京D,BD=3,

.-.AD-BD=6@,

①+2*②得，AD2+BD2+2AD?BD^13+2/6=25,

???（AD+BD）2=25,

.■.AD+BD=5（負值舍去），

:.BD=5-AD@,

將③代入②得，AD（5-/。）=6,

.?.AD=3或AD=2,

■：AD>BD,

；.4C=24D=6,

故選：B.

K解題秘籍』此題主要考查了等腰三角形的性質與直角三角形的性質，三角形的面積公式，判斷出=

市和點M和點B重合時，4ADM的面積為3是解本題的關鍵.

3.（2021?北京T8）如圖，用繩子圍成周長為10加的矩形，記矩形的一邊長為xm,它的鄰邊長為夕加，矩形

的面積為際2.當X在一定范圍內變化時，V和S都隨X的變化而變化，則了與X,S與X滿足的函數(shù)關

系分別是()

X

A.一次函數(shù)關系，二次函數(shù)關系

B.反比例函數(shù)關系，二次函數(shù)關系

C.一次函數(shù)關系，反比例函數(shù)關系

D.反比例函數(shù)關系，一次函數(shù)關系

K命題探究』二次函數(shù)的應用；一次函數(shù)的應用；函數(shù)思想；應用意識.

思路引領：矩形的周長為2(x+y)=10,可用x來表示y,代入S=孫中，化簡即可得到S關于x的函

數(shù)關系式.

解：由題意得，

2(x+y)=10,

■?■x+y=5,

■?■y=5-x,

即了與x是一次函數(shù)關系.

?■"S=xy=x(5-x)=-X2+5X,

矩形面積滿足的函數(shù)關系為S=-/+5x,

即滿足二次函數(shù)關系，

故選：A.

R解題秘籍】本題考查了二次函數(shù)在實際問題中的應用，一次函數(shù)的應用等知識，理清題中的數(shù)量關系并

熟練掌握二次函數(shù)的解析式形式是解題的關鍵.

4.(2021?河南)如圖1,矩形N8CD中，點E為8c的中點，點尸沿從點8運動到點C,設3,尸兩點

間的距離為x,PA-PE=y,圖2是點P運動時y隨x變化的關系圖象，則5C的長為(

A.4B.5C.6D.7

(命題探究]動點問題的函數(shù)圖象；等腰三角形與直角三角形；運算能力；推理能力.

思路引領：當x=0,即尸在8點時，BA-BE=\-,利用三角形兩邊之差小于第三邊，得到P/-PEW

AE,得y的最大值為NE=5；在中，由勾股定理求出的長，再根據(jù)3c=22E求出2c的

長.

解：由函數(shù)圖象知：當x=0,即P在8點時，BA-BE=I.

利用三角形兩邊之差小于第三邊，得到PA-PEWAE.

的最大值為NE,

：.AE=5.

在RtZk48E中，由勾股定理得：BA2+BE2=AE2=25,

設3E的長度為t,

則BA=t+],

(f+1)2+於=25,

即：fi+t-12=0,

/.(f+4)-3)=0,

由于f>0,

"4>0,

"3=0,

；1=3.

：.BC=2BE=2t=2X3=6.

故選：C.

K解題秘籍》本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，根據(jù)勾股定理求出BE的長是解題的關鍵.

5.(2021?濰坊)記實數(shù)修，Y2，…，X”中的最小數(shù)為加切{xi，x2，…，xn},例如加"{-1,1,2}--1,

則函數(shù)>=加沅{2x-1,x,4-x}的圖象大致為()

K命題探究』函數(shù)圖象新定義最小值問題

思路引領：根據(jù)最小數(shù)的定義可知：函數(shù)y=/mR{2x-1,x,4-x}的圖象是每一段圖象的最低處，即可

得函數(shù)圖象.

解：如圖，由2x-l=x得：x—i,

二點/的橫坐標為1,

由4-x=x得：x=2,

；?點C的橫坐標為2,

當xWl時，y=min{2x-1,x,4-x}=2x-1,

當l<x<2時，y=min{2x-1,x,4-x}=x,

故選：B.

K解題秘籍』此題考查了新定義最小值問題，同時考查了同學們的閱讀理解能力，題型新穎，值得關注,

確定圖象的最小值就是兩個或多個圖象的最低位置是本題的關鍵.

6.（2021?哈爾濱）周日，小輝從家步行到圖書館讀書，讀了一段時間后，小輝立刻按原路回家.在整個過

程中，小輝離家的距離s（單位：加）與他所用的時間1（單位：min）之間的關系如圖所示，則小輝從家

去圖書館的速度和從圖書館回家的速度分別為（)

B.82mlmin,90m/min

C.75nlimin,1OOm/minD.80m/min,100m/min

K命題探究』由圖象理解對應函數(shù)關系及其實際意義

思路引領：根據(jù)題意可知小輝家與圖書館的距離為1500m,去圖書館花了20分鐘，回來時用了15分鐘,

再根據(jù)“速度=路程+時間”列式計算即可求解.

解：由題意，得:

小輝從家去圖書館的速度為：1500+20=75（機/加〃）；

小輝從圖書館回家的速度為：15004-（70-55）=100（m/min）.

故選：C.

（解題秘籍】本題考查由圖象理解對應函數(shù)關系及其實際意義，應把所有可能出現(xiàn)的情況考慮清楚.

7.（2021?河南）如圖1,矩形ABCD中，點E為2c的中點，點尸沿2C從點2運動到點C,設2,尸兩點

間的距離為x,PA-PE=y,圖2是點尸運動時y隨x變化的關系圖象，則2C的長為（）

圖1

A.46D.7

思路引領：當x=0,即尸在8點時，BA-BE=1；利用三角形兩邊之差小于第三邊，得至I]P4-PEW

AE,得y的最大值為/￡=5；在中，由勾股定理求出的長，再根據(jù)2c=2AE求出2C的

長.

解：由函數(shù)圖象知：當x=0,即尸在8點時，BA-BE=1.

利用三角形兩邊之差小于第三邊，得到PA-PEWAE.

的最大值為/E,

：.AE=5.

在RtZ\48E中，由勾股定理得：BA2+BE2=AE2=25,

設BE的長度為t,

則BA=t+\,

(f+1)2+Z2=25,

即：fi+t-12=0,

(f+4)(/-3)=0,

由于f>0,

：.t+4>0,

"3=0,

:.BC=2BE=2t=2X3=6.

故選：C.

(解題秘籍』本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，根據(jù)勾股定理求出的長是解題的關鍵.

模塊二R押題沖關H

I.(2022?鄭州一模)如圖1,在平行四邊形N5CD中，z5=60°,BC=2AB,動點尸從點/出發(fā)，以每秒1

個單位的速度沿線段N8運動到點8停止，同時動點。從點8出發(fā)，以每秒4個單位的速度沿折線

8-C-。運動到點。停止.圖2是點尸、0運動時，△AP0的面積S與運動時間f函數(shù)關系的圖象，則

a的值是()

思路引領由點尸和點。的運動可知，48=1x6=6,BC=\2,當點。在5c上時，即09<3時，BQ=

46當點。在CD上時，即30江6時，分別表達出45尸。的面積，分析可知當點。到達點。時，S=a,

此時％=3,再結合△5P0的面積公式求解即可.

解：由題圖2得，方=6時點尸停止運動，

???點P以每秒1個單位速度從點A運動到點5用了6秒，

1義6=6,

??.BC=24B=12,

由點尸和點。的運動可知，AP=t,BP=6-t,

當點0在5C上時，即0MV3時，BQ=4t,過點尸作尸于點

??.PM=BP?sinB(6-t),

2

此時△APQ的面積=^BQ-PM=(6-Z)=-V3Z2+6V3Z,

當點0在CO上時，即3W”6時，

：.AB\iCD,

11

-'-SABPQ—SABPC—^BC*PM=2X驍X—(6-Z)=-3V3Z+18V3,

由上可知，當點。到達點C時，S=a,

即當f=3時，a=-3V3X3+18V3=9V3,

故選：B.

點睛：本題主要考查了動點函數(shù)的圖象，解決本題的關鍵是由點的運動結合圖2得出N8及8C的長.

2.(2020?西華縣一模)如圖1,在菱形4BCD中，動點尸從點2出發(fā)，沿折線2-C—Dr2運動，設點尸

經過的路程為x,A42P的面積為分把/看作x的函數(shù)，函數(shù)的圖象如圖2所示，則圖2中的。等于

()

圖2

A.25B.20C.12D.8V3

思路引領：x=5時，BC=5；x=10時，BC+CD^10,則CD=5；x=18時，CB+CD+BD=18,則

8,進而求解.

解：如圖2,

x—5時，BC—5,

x=10時，BC+CD=IO,貝UCD=5,

x=18時，CB+CD+BD=IS,則AD=8,

如下圖，過點C作CH1AD交于

在RtACD77中，

■：CD=BC,CHVBD,

1

：.DH=~BD=4,而CZ>=5,故S=3,

當x=5時，點尸與點C重合，即AP=5,

11

a=^AABP=^AABC=萬xBD^CH=]x8><3=12,

故選：C.

點睛：本題考查的是動點圖象問題，涉及到圖形的面積、解直角三角形等知識，此類問題關鍵是：弄清

楚不同時間段，圖象和圖形的對應關系，進而求解.

3.Q021秋?丹東期末）如圖1,在RtAlBC中，NC=90。，點。是2c的中點，動點P從點C出發(fā)沿C4-AB

運動到點8,設點尸的運動路程為x,△PC。的面積為y,y與x的函數(shù)圖象如圖2所示，則的長為

思路引領：由圖象可知：當x=3時，S等于3,由此可得出CA的長，進而得出3c的長；當x=8時，

面積最大，且面積發(fā)生轉折，此時點尸和點/重合，可得/C=8,最后由勾股定理可得結論.

解：由圖象可知：當x=3時，CP=3,

11

S=--PC-CD=3,即］X3?CD=3,

解得CD=2,

???點。是8c的中點，

■■.BC=4,

當x=8時，面積發(fā)生轉折，此時點尸和點/重合，

■■.AC=8,

在RtZUBC中，zC=90°,BC=4,AC=8,

由勾股定理可得，AB=4病.

故選：D.

點睛：本題考查了動點問題的函數(shù)圖象：函數(shù)圖象是典型的數(shù)形結合，圖象應用信息廣泛，通過看圖獲

取信息，不僅可以解決生活中的實際問題，還可以提高分析問題、解決問題的能力.解決本題的關鍵是

利用分類討論的思想求出AC和BC的長.

4.（2021春?北京期末）周末的早晨王老師從家出發(fā)去燕山公園鍛煉，她連續(xù)、勻速走了60分鐘后回到

家.如圖線段04-N8-8C是她出發(fā)后所在位置離家的距離s（公里）與行走時間;（分鐘）之間的函數(shù)

關系.則下列圖形中可以大致描述王老師行走的路線是（）

思路引領：根據(jù)給定s關于f的函數(shù)圖象，分析N2段可得出該段時間王老師繞以家為圓心的圓弧進行運

動，由此即可得出結論.

解：觀察s關于f的函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)：

在圖象段，該時間段王老師離家的距離相等，即繞以家為圓心的圓弧進行運動，

可以大致描述王老師行走的路線是A.

故選：A.

5.（2021?方城縣模擬）如圖1,在平面直角坐標系中，口48c。在第一象限，且BCIIx軸.直線y=x從原

點O出發(fā)沿x軸正方向平移.在平移過程中，直線被口/BC。截得的線段長度〃與直線在x軸上平移的

距離"2的函數(shù)圖象如圖2所示，那么口/BCD的面積為（）

n

2

圖2

A.3V2B.6V2C.3D.6

思路引領：根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)可以分別求得平行四邊形的邊/。的長和邊4D邊上的高的長，從而

可以求得平行四邊形的面積.

解：存在兩種情況:

如圖1,過2作8必/。于點“，分別過2,。作直線y=x的平行線，交.AD于E,如圖1所示,

由圖象和題意可得,

/￡=6-4=2,￡>E=7-6=1,BE=2,

???4D=2+1=3,

???直線BE平行直線歹=x,

:.BM=EM=&,

???平行四邊形45C。的面積是：AD?BM=3xV2=3魚.

如圖2,過。作于河，延長C8交直線。廠于￡,

：.AD=DF=2,BE=T,

-t-Z.DAF=Z-DFA,

-ADWBC,

???Z-DAF=Z.EBF=Z-EFB,

：?EF=BE=1,

??.￡)￡=1+2=3,

vzDW=45°,/LDME=90°,

:、DM=EM=-7==至名

722

平行四邊形ABCD的面積是：AD>DM=2X呼=3五.

故選：A.

點睛：本題考查動點問題的函數(shù)圖象，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)

形結合的思想解答.

模塊三I［考南預測H

1.(2021?玉林)圖(1),在RtA42C中，乙4=90。，點尸從點”出發(fā)，沿三角形的邊以IcM秒的速度逆時

針運動一周，圖(2)是點尸運動時，線段NP的長度y(cm)隨運動時間x(秒)變化的關系圖象，則

圖（2）中尸點的坐標是（）

A.（13,4.5）B.（13,4.8）C.（13,5）D.（13,5.5）

思路引領：圖（2）中的圖象有三段，正好對應圖（1）中的線段BC,AC,所以N8=8,BC=10,

當x=13時，則P點為5c的中點，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，求得此時/尸的長度，

即圖（2）中點尸的縱坐標八

解：由圖象可知：48=8,2c=18-8=10,

當x=13時，即點運動了13>8,

;此時點尸在線段3c上，BP=13-8=5,

則P點為2C的中點，

又因為乙4=90。，

1

所以/P=￥C=5.

所以圖（2）中P的坐標為（13,5）.

故選：C.

點睛：本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，解題時注意圖（2）中的點尸的y并不是最小值，另外不要求成圖

（1）中的點尸的坐標.

2.（2021?海南）李叔叔開車上班，最初以某一速度勻速行駛，中途停車加油耽誤了幾分鐘，為了按時到單

位，李叔叔在不違反交通規(guī)則的前提下加快了速度，仍保持勻速行駛，則汽車行駛的路程y（千米）與

行駛的時間/（小時）的函數(shù)關系的大致圖象是（）

思路引領：首先看清橫軸和縱軸表示的量，然后根據(jù)實際情況：汽車行駛的路程y與行駛的時間,之間

的關系采用排除法求解即可.

解：隨著時間的增多，行進的路程也將增多，排除。；

由于途中停車加油耽誤了幾分鐘，此時時間在增多，而路程沒有變化，排除4

后來加快了速度，仍保持勻速行進，所以后來的函數(shù)圖象的走勢應比前面勻速前進的走勢要陡.故選：

B.

點睛：此題主要考查了函數(shù)圖象，解題的關鍵是根據(jù)函數(shù)圖象的性質分析得出函數(shù)的類型和所需要的條

件，結合實際意義得到正確的結論.

3.（4分）（2021?黃岡）如圖，/C為矩形/BCD的對角線，已知ND=3,CD=4,點P沿折線C-/-。以

每秒1個單位長度的速度運動（運動到D點停止），過點P作PE1BC于點E,則的面積y與點P

思路引領：根據(jù)點p運動路徑分段寫出△CPE的面積y與點尸運動的路程x間的函數(shù)關系式即可.

解：???3CII皿

,.乙4cB=〃)AC,

■:乙PEC=4D=9Q°,

??.△PCEFACD,

CPCEPE

：rA￡=~AD=~CDf

-AD=3,CZ）=4,

???4C=，=02+82=5,

???當尸在C4上時，即當0＜立5時，

CDPC4

依==-=身

ADPC3

CE=R-=F，

11346c

???y=;PE?CE=-x—xx-x=T-x2,

乙乙JJ乙J

當尸在上運動時，即當5V爛8時，

PE=CD=4,

C￡=8-x,

11

?.y=-PE^CE=-x^（8-x）=16-2x,

綜上，當OV爛5時，函數(shù)為二次函數(shù)圖象，且y隨x增大而增大，當5〈爛8時，函數(shù)為一次函數(shù)圖象,

且〉隨x增大而減小，

故選：D.

點睛：本題主要考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質，熟練掌握二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質是解題的關鍵.

4.（2021?武漢）一輛快車和一輛慢車將一批物資從甲地運往乙地，其中快車送達后立即沿原路返回，且往

返速度的大小不變，兩車離甲地的距離y（單位：好?）與慢車行駛時間/（單位：〃）的函數(shù)關系如圖，

aa

思路引領：根據(jù)圖象得出，慢車的速度為快車的速度為5歷71次.從而得出快車和慢車對應的y

與/的函數(shù)關系式.聯(lián)立兩個函數(shù)關系式，求解出圖象對應兩個交點的坐標，即可得出間隔時間.

解：根據(jù)圖象可知，慢車的速度為

對于快車，由于往返速度大小不變，總共行駛時間是4〃，

a

因此單程所花時間為2肌故其速度為5左巾".

a

所以對于慢車，y與t的函數(shù)表達式為y=不(0<t<6)..................①.

償(t—2)(2<t<4)…?…②，

對于快車，y與/的函數(shù)表達式為y=2G4V,二G合

聯(lián)立①②，可解得交點橫坐標為,=3,

聯(lián)立①③，可解得交點橫坐標為f=4.5,

因此，兩車先后兩次相遇的間隔時間是1.5,

故選：B.

點睛：本題主要考查根據(jù)函數(shù)圖象求一次函數(shù)表達式，以及求兩個一次函數(shù)的交點坐標.解題的關鍵是

利用圖象信息得出快車和慢車的速度，進而寫出》與f的關系.

5.(4分)(2021?蘇州)如圖，線段/2=10,點C、。在48上，AC=BD=1.已知點尸從點C出發(fā)，以

每秒1個單位長度的速度沿著向點。移動，到達點D后停止移動.在點尸移動過程中作如下操作:

先以點P為圓心，PA、P8的長為半徑分別作兩個圓心角均為60。的扇形，再將兩個扇形分別圍成兩個圓

錐的側面，設點尸的移動時間為f(秒)，兩個圓錐的底面面積之和為S,則S關于f的函數(shù)圖象大致是

思路引領：先用，的代數(shù)式表示出兩個扇形的半徑，根據(jù)扇形的弧長等于底面圓的周長求出兩個圓錐底

面圓的半徑，最后列出兩個圓錐底面積之和關于，的函數(shù)關系式，根據(jù)關系式即可判斷出符合題意的函

數(shù)圖形.

解：???48=10,AC=BD=\,

.-.0)=10-1-1=8,

?；PC=t,

?,?4尸=什1,PB=S-t+l=9-t,

設圍成的兩個圓錐底面圓半徑分別為一和H則:

6060

27tr=-^7T-(t+1)；27TR=^7T?(9一t).

t+19-t

解得：一丁,R^~

t+1Q―/-2

???兩個圓錐的底面面積之和為S=7l（—―）2+7T（――）

oO

71n

=翥⑴+2t+1)+^(t2-18t4-81)

7T

=y^(t2-8t+4i),

根據(jù)函數(shù)關系式可以發(fā)現(xiàn)該函數(shù)圖形是一個開口向上的二次函數(shù).

故選：D.

點睛：本題考查的是動點圖象問題，涉及到扇形、圓錐有關知識，解決此類問題關鍵是：弄清楚題意思

列出函數(shù)關系式.

6.（2021?衢州）己知4