中考數(shù)學模型專項突破：飛鏢、8字模型（含答案及解析）

瑞模型介紹

模型一：飛鏢模型

（1）角的飛鏢模型

結(jié)論：ZBDC^ZA+ZB+ZC

解答：①方法一：延長8。交AC于點E得證

②方法二：延長CD交于點尸得證

③方法三：延長AD到在其延長方向上任取一點為點G得證

總結(jié)：利用三角形外角的性質(zhì)證明

（2）邊的飛鏢模型

結(jié)論：AB+AC>BD+CD

解答：延長8。交AC于點￡+三角形三邊關(guān)系+同號不等式

大的放左邊，小的放在右邊得證

模型二：8在模型

（1）角的8字模型

結(jié)論：ZA+ZB=ZC+ZD

解答：

①方法一：三角形內(nèi)角和得證②方法二：三角形外角NBOD的性質(zhì)得證

總結(jié)：①利用三角形內(nèi)角和等于180°證明

推出

O

(2)邊的8字模型

結(jié)論：AB+CD<AD+BC

解答：三角形三邊關(guān)系+同號不等式得證

總結(jié)：

①三角形兩邊之和大于第三邊

GJ^)例題精講

考點一：飛鏢模型

【例1】.如圖，Z/=70°,N8=40°,ZC=20°,則N8aH

A變式訓練

【變式17].如圖，ZABD、的角平分線交于點只若N4=55°,ZZ7=15°,則NP

C.25°D.30°

【變式1-2].在△43C中，N/8C與N/C8的平分線交于點ZABC+ZACB=1\00°,貝匕

8/C的度數(shù)為()

A.80°B.50°C.100°D.130°

A.

cR

【變式1-3].如圖，已知N80尸=120°,則N班N用尸的度數(shù).

【變式1-4].如圖所示，已知『是△/861內(nèi)一點，試說明必+陽+%＞』(AB+BC+AC").

考點二：8字模型

【例2].如圖，Z1=60°則N4+N陜N3N分/6/尸=

A變式訓練

【變式27].如圖，N/+N泓N/NZXNRNQ

B

【變式2-2].如圖，4,B,C,D,E,片是平面上的6個點，則/如■/用NANZAN日NF

【變式2-3].如圖，N今N班N/N9N曰NF=

【變式2-4].一副三角板如圖擺放，其中一塊三角板的直角邊寧落在另一塊三角板的斜邊

4C上，邊宓與〃尸交于點0,則N8勿的度數(shù)是

D

實戰(zhàn)演練

1.ZA=35°,則NO的度數(shù)為（）

C.55°D.65°

2.如圖，NA+N3+NC+NO+NE的度數(shù)為（）

A.120°B.150°C.180°D.200°

3.如圖，在△ABC中，M,N分別是邊AB,5C上的點，將△BMN沿MN折疊；使點5落

，則的度數(shù)為（）

C.54°D.63°

4.如圖，將分別含有30°、45°角的一副三角板重疊，使直角頂點重合，若兩直角重疊形

成的角為65°,則圖中角a的度數(shù)為

65°

5.已知如圖，8。平分NABP,C。平分/ACP,ZBAC=a,ZBPC=^,貝!]N8QC=.(用

a,P表示)

6.如圖，貝iJ/A+N8+NC+NZ)+/E+/F+/H=度.

7.如圖,求NA+NB+/C+/Z)+/E+/P=

8.如圖，求/A+/B+/C+NO+/E+N/+NG+NH+N/+NK的度數(shù)為

B

9.如圖是可調(diào)躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖），AE與8。的交點為C,且/A,ZB,/E保持不

變.為了舒適，需調(diào)整/￡）的大小，使NEED=110°,則圖中應(yīng)（填“增

力口”或“減少”）度.

10.如圖，求/A+N8+NC+/Z)+/E+/F+/G+/H+//的值.

11.如圖，已知ZABC./CED的平分線交于點孔探究NBFE與/8CE之間的

數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

12.如圖，。尸平分NAOC,尸2平分NA3C,求證：ZP=—（ZA+ZC）

2

D

13.如圖，在四邊形ABC。中，AM.CM分別平分NOAB和NOCB,AM與CM交于M.探

究NAMC與N3、NO間的數(shù)量關(guān)系.

B

D

14.(1)探究：如圖1,求證：/BOC=/A+/B+/C.

(2)應(yīng)用：如圖2,ZABC=100°,/DEF=130°，求NA+NC+NO+NP的度數(shù).

15.如圖1,已知線段AB、。相交于點。，連接AC、BD,我們把形如圖1的圖形稱之為

“8字形如圖2,NC45和/BOC的平分線A尸和。P相交于點尸，并且與CD、AB

分別相交于點M、N.試解答下列問題：

①仔細觀察，在圖2中有一個以線段AC為邊的“8字形”；

②若NB=76°,NC=80°,試求NP的度數(shù)；

③/C和N8為任意角時AP、。尸分別是/CAB、/BOC的三等分線，寫出/尸與/C、

之間數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

16.閱讀材料，回答下列問題:

B

B

【材料提出】

“八字型”是數(shù)學幾何的常用模型，通常由一組對頂角所在的兩個三角形構(gòu)成.

【探索研究】

探索一：如圖1,在八字型中，探索/A、/B、/C、ND之間的數(shù)量關(guān)系

為;

探索二：如圖2,若48=36°,ZD=14°,求NP的度數(shù)為；

探索三：如圖3,CP、AG分別平分4BCE、/FAD,AG反向延長線交CP于點尸，則/

P、/B、之間的數(shù)量關(guān)系為.

【模型應(yīng)用】

應(yīng)用一：如圖4,延長8W、CN,交于點A,在四邊形MNC8中，設(shè)NM=a,/N=0,

a邛>180°,四邊形的內(nèi)角與外角NNCD的角平分線BP,CP相交于點P,則/

A=（用含有a和P的代數(shù)式表示），ZP=.（用含有a和p的代

數(shù)式表示）

應(yīng)用二：如圖5,在四邊形MNCB中，設(shè)NM=a,NN=0,a+p<180°,四邊形的內(nèi)

角NM8C與外角NNCD的角平分線所在的直線相交于點P,NP=.（用含

有a和0的代數(shù)式表示）

【拓展延伸】

拓展一：如圖6,若設(shè)NC=x,/B=y,ZCAP^IZCAB,NCDP=L/CDB,試問N

33

P與/C、NB之間的數(shù)量關(guān)系為.（用尤、y表示/P）

拓展二：如圖7,AP平分NBA。，CP平分/BCD的鄰補角NBCE,猜想/尸與NB、Z

。的關(guān)系，直接寫出結(jié)論

大招飛鏢模型和8字模型

模型介紹

模型一：飛鏢模型

（1）角的飛鏢模型

結(jié)論：ZBDC=ZA+ZB+ZC

解答：①方法一：延長8。交AC于點E得證

②方法二：延長CD交于點尸得證

③方法三：延長AD到在其延長方向上任取一點為點G得證

總結(jié)：利用三角形外角的性質(zhì)證明

（2）邊的飛鏢模型

結(jié)論：AB+AC>BD+CD

解答：延長8。交AC于點￡+三角形三邊關(guān)系+同號不等式

大的放左邊，小的放在右邊得證

模型二：8在模型

（1）角的8字模型

結(jié)論：ZA+ZB=ZC+ZD

解答：

①方法一：三角形內(nèi)角和得證②方法二：三角形外角NBOD的性質(zhì)得證

總結(jié)：①利用三角形內(nèi)角和等于180°證明

推出

O

(2)邊的8字模型

結(jié)論：AB+CD<AD+BC

解答：三角形三邊關(guān)系+同號不等式得證

總結(jié)：

①三角形兩邊之和大于第三邊

目比)例題精講

考點一：飛鏢模型

【例1】.如圖，ZA=70°,N8=40°,ZC=20°,則N80C三

解：延長80,交4c于點。，

?：NBOC=4⑶NODC,N0DC=N/+N8,NA=70°,N8=40°,/C=20°,

.??N80c=N/N/HN8

=20°+70°+40°

=130°.

A變式訓練

【變式1-1】.如圖，/ABD、N/①的角平分線交于點P,若N4=55°,N〃=15°,則NP

D.30°

解：如圖，延長外交劭于￡,

"?ZABD,N/3的角平分線交于點P,

：.Z1=Z2,Z3=Z4,

由三角形的內(nèi)角和定理得，Z/H-Z1=Z^Z30,

在/\PBE中,N5=N2+NP,

在△。宏中，N5=N4-N〃，

乙2+乙P=Z4-ZZX2),

①-②得，ZA-4P=4因乙D,

(Z/4-N。)，

2

VZ>4=55°,N〃=15°,

：.ZP=1-(55°-15°)=20°.故選：B.

2

【變式1-2].在△/8C中，N/8C與N/第的平分線交于點/,ZABC+AACB=^°,則N

8/C的度數(shù)為()

A.80°B.50°C.100°D,130°

解(1)：N/8C與N/C8的平分線交于點/,

NBC/=LNACB,

2

NCB/=LNABC,

2

AZ5/^7=180°-N8C7-NC8/=180°-x100°=130°;故選：D.

【變式1-3].如圖，已知NBOF=120°,則N/J+N陰廠的度數(shù).

A

解：如圖，

根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，N1=N4+NC,N2=N〃N。

?.,N80尸=120°,

AZ3=180°-120°=60°,

根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，ZS-Z1=180°-60°=120°,

Z/H-Z2=180°-60°=120°,

所以，N1+N2+N6N廠=120°+120°=240°,

即N4N用N/N外N6N尸=240°.

【變式1-4].如圖所示，已知戶是△43C內(nèi)一點、,試說明〃+陽+%>」(AB+BC+AC).

2

證明：在△/S"中：AP+BP>AB.

同理：BP+POBC,AP+POAC.

以上三式分別相加得到:

2(.PA+PB+PO>AB+BC+AC,PA+PB^PO^-{AB+BC+4C).

2

考點二：8字模型

【例2】.如圖，Z1=60°,則N4+NS'ZQNZ^N曰/尸=

VZ1+Z2+Z3=180°,Z1=60°,

AZ2+Z3=120°,

即：ZA+ZB-ZF+ZD=]20°,

?.?N決Nai20°,

???N>4+N用N/NZ^NmN尸=240°.

A變式訓練

【變式2—1].如圖，/姑乙階乙乙&匕F=360°.

解：在△/宏中：ZAFZ^Z￡=180°,

在△劭「中：N/N6N廠=180°,

則：N4+N泓///6/氏/尸=360°,故答案為：360.

【變式2-2].如圖，4,B,C,D,E,尸是平面上的6個點，則N/1+N陰廠

的度數(shù)是360度.

解：延長任交加于必設(shè)不交3于”,

?：2CNE=4步ZDEF,2FMB=ZRNA,

義,：乙ON濟ZCN&ZFMB=36Q°,

：.乙0乙訃ZANDEF+2aZA=360°,

即N/HN*N3N9氏N尸=360°,

故答案為：360.

【變式2-3].如圖，N今N班N/N用ZB~NF=360°.

解：VZ1=Z/+Z5,Z2=ZC+ZP,

又：N1+N2+NE+N尸=360°

AZ/+Z^-ZCM-ZZ^Za-ZA=360°.故答案為：360.

【變式2-41.一副三角板如圖擺放，其中一塊三角板的直角邊防落在另一塊三角板的斜邊

4;上，邊8c與爐交于點0,則N80。的度數(shù)是交5°.

D

解：/\COF中,：NCFO=45°,NFCO=30°,

...NC0尸=180°-ZCFO-NFCO=180°-45°-30°=105°,

"：^COF=ABOD,

:.NBOD=\Q5°,故答案為：105°.

Qp

ari實戰(zhàn)演練

1.加苣I,已知AC±CD,ZA=35°,則NO的度數(shù)為（）

B、r

A.35°B.45°C.55°D.65°

解：因為/AE2與/DEC是一組對頂角，

所以NAEB=NOEC.

在△ABO中ZA=35°,

所以/AEB=65°.

在△OCO中AC_LC￡>,ZDEC=65°,所以/。=35°.故選：A.

2.如圖，NA+/B+/C+NO+/E的度數(shù)為（）

A

A

A.120°B.150°C.180°D.200°

解：如圖可知：

VZ4是三角形的外角，

AZ4=ZA+Z2,

同理N2也是三角形的外角，

.\Z2=ZE+ZC,

在△BDG中，VZB+ZD+Z4=180°,

：.ZB+ZE+ZA+ZD+ZC=18Q°.故選：C.

3.如圖，在△ABC中，M,N分別是邊43,BC上的點，將沿MN折疊；使點B落

在點8處，若NB=35°,/BNM=28°,則的度數(shù)為（）

BNC

A.30°B.37°C.54°D.63°

解：,?,△3MN沿折疊，使點5落在點8處，

:,ABMN咨AB'MN,

：.ZBMN=ZB1MN,

VZB=35°,/BNM=28°,

：.ZBMN=180°-35°-28°=117°,ZAMN=35°+28°=63°,

：.ZAMB^ZB'MN-ZAMN=U7°-63°=54°,故選：C.

4.如圖，將分別含有30°、45°角的一副三角板重疊，使直角頂點重合，若兩直角重疊形

成的角為65°,則圖中角a的度數(shù)為140°

A65°

65°

解：如圖,

VZB=30°,ZDCB=6>5

ZDFB=ZB+ZDCB=30°+65°=95°,

：.Za=ZD+ZDFB=45a+95°=140°，故答案為：140。.

5.已知如圖，BQ平分/ABP,CQ平分NACP,ZBAC^a,NBPC=0,則NBQC=_1

—"2

解：連接3C,

平分/ABP,C。平分/ACP,

.?.N3=/NABP,N4=//ACP,

VZ1+Z2=18O°-p,2(Z3+Z4)+(Z1+Z2)=180°a,

/.Z3+Z4=A(B-a),

2

VZBeC=180°-(Z1+Z2)-(Z3+Z4)=180°-(180°-p)--1(p-a),

即：NBQC=W(a邛).

故答案為:1(a+p).

6.如圖，則NA+NB+NC+/Z)+/E+/F+///=540度.

解：如圖，連接CH,

由三角形的內(nèi)角和定理得，ZA+ZB=Z1+Z2,

由多邊形的內(nèi)角和公式得，Zl+Z2+ZC+Z￡)+ZE+ZF+ZZ/=(5-2)780°=540°,

所以，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZH=540°.

故答案為：540.

解：'：Z1=ZA+ZB,Z2=ZD+ZE,

又,Z2+ZC=115°,

AZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=115°+115°=230°.

故答案為：230°.

8.如圖，求/A+/B+/C+ND+/E+/尸+/G+/H+N/+NK的度數(shù)為

：7邊形48COE/K的內(nèi)角和=(7-2)X1800=900°,

AZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZK^9Q0°-(Z1+Z2),

BPZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZK+(Z1+Z2)=900°,

VZ1+Z2=Z3+Z4,Z5+Z6+ZW=180°,

ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZK+(Z3+Z4)=900°,

AZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZK+(N3+N4)+Z5+Z6+ZH=900°+180°,

???NA+NB+NC+NO+NE+N尸+NG+NH+N/+NK=1080°.故選：C.

9.如圖是可調(diào)躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖），AE與5。的交點為C,且NA,NB,NE保持不

變.為了舒適，需調(diào)整N。的大小，使/瓦7）=110°,則圖中ND應(yīng)減少（填“增

力口”或"減少"）10度.

解：連接CR并延長至點如圖所示.

在△A3C中，ZA=50°,ZB=60°,

AZACB=180°-ZA-ZB=180°-50°-60°=70°,

：.ZDCE=ZACB=70°.

ZDFM=/DCF+/D,ZEFM=NECF+/E,

：.ZEFD=NDCF+/ECF+/D+NE=/DCE+/D+/E,

即110°=70°+Z￡>+30°,

AZD=10°,

.*.20°-10°=10°,

???圖中NO應(yīng)減少(填“增加”或“減少”)10度.

故答案為：減少；10.

10.如圖，求NA+NB+NC+NO+NE+NF+NG+NH+N/的值.

解：如圖所示，分別延長BC、

由三角形的外角的性質(zhì)可知：

NC+ND=N1,

ZG+ZH=Z2,

N4=N1+N8=NC+NO+N3,

Z3=Z2+ZF=ZG+ZH+ZF,

AZ3+Z4=Z5+ZHW+Z5+ZCW=180°+Z5,

???N5=N6=360°-ZA-ZB-Z/,

.*.ZC+Z￡)+ZB+ZG+ZH+ZF=180°+360°-ZA-ZB-ZZ,

ZA+ZB+ZC+ZZ)+ZE+ZF+ZG+ZH+ZZ=180°+360°=540°

11.如圖，已知A8〃￡>E,ZABC.NCED的平分線交于點尸.探究NBFE與N5CE之間的

數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

解：過點。作直線MN〃AB,

U：AB//DE,MN//AB,

：.MN//DE,

：.ZDEC=/ECN,

9：AB//DE,

：.ZABC=ZBCN,

：.ZBCE=ZABC+ZDEC,

同理N3尸石=NABF+NDEF,

ZABC.NCEO的平分線交于點尸,

/.ZABC=2ZABF,ZDEC=2ZDEF,

：.NBCE=2/ABF+2NDEF=2/BFE.

12.如圖，。尸平分/AOC,PB平分/ABC,求證：ZP=A(ZA+ZC)

2

證明：如右圖所示，

ZCMP^ZC+ZCDP=ZP+ZCBP,AANP=ZP+ZADP=ZA+ZABP,

：.ZP+ZCBP+ZP+ZADP=ZC+ZCDP+ZA+ZABP,

又,：DP、BP是/ADC、/ABC的角平分線，

ZCDP=ZADP,ZCBP=NABP,

：.2ZP=ZC+ZA,

：.ZP=A(ZA+ZC).

2

13.如圖，在四邊形ABC。中，AM.CM分別平分/DAB和/。CB,AM與CM交于M.探

究/AMC與NB、間的數(shù)量關(guān)系.

解：ZAMC=180°-AZB+AZD,理由如下:

22

'：AM,CM分別平分/D48和NDCB,

：.ZBAD=2ZBAM,NBCD=2/BCM,

ZBAD+ZB+ZBCD+Zd^360°,

：.ZBAM+ZBCM+AzB+Az￡>=180°,

22

ZBAA/+ZJ3CM=18O°-工/B-Azo,

22

ZB+ZAMC+ZBAM+ZBCM=ZB+ZAMC+1800-工/B-2/。=360。，

22

ZAMC=360°-(180°-工/B-工NO)-ZB=180°-^ZB+^-ZD.

2222

14.(1)探究：如圖1,求證：ZBOC^ZA+ZB+ZC.

(2)應(yīng)用：如圖2,ZABC=100°,ZZ)EF=130°,求NA+/C+ND+/F的度數(shù).

F

圖1c圖2°

解：(1)作射線A。，

是△AB。的外角，

?,.Z1+ZB=Z3,①

/4是△AOC的外角，

.\Z2+ZC=Z4,②

①+②得，Z1+ZB+Z2+ZC=Z3+Z4,

即NBOC=ZA+ZB+ZC；

(2)連接AD,同(1)可得，ZF+Z2+Z3=ZDEF?,Z1+Z4+ZC=ZABC@,

③+④得，ZF+Z2+Z3+Z1+Z4+ZC=ZZ)EF+ZABC=13O°+100°=230°,

BPZBAF+ZC+ZCDE+ZF=230°.

15.如圖1,已知線段A3、CO相交于點O,連接AC、BD,我們把形如圖1的圖形稱之為

“8字形如圖2,NCA3和/BOC的平分線AP和。P相交于點P,并且與C￡＞、AB

分別相交于點〃、N.試解答下列問題：

①仔細觀察，在圖2中有3個以線段AC為邊的“8字形”;

②若NB=76°,NC=80°,試求NP的度數(shù)；

③NC和NB為任意角時AP、DP分別是NCA8、/2DC的三等分線，寫出/尸與NC、

之間數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

②證明：：/CA8和NBDC的平分線AP和DP相交于點P,

：.ZCAP=ZBAP,ZBDP=ZCDP,

NCAP+NC=NCDP+NP,NBAP+/P=/BDP+NB,

r.zc-ZP=ZP-ZB,

即/尸=2(ZC+ZB),

2

VZC=80°,ZB=76°,

：.ZP=A(80°+76°)=78°；

2

③/尸=」(2ZC+ZB)或/尸=工(ZC+2ZB).

33

證明：設(shè)NC4B=3a,ZBDC=3p,

z)如圖3,ZCAP：ZBAP=ZCDPtZBDP=2：1,

NC4P=2a,ZBAP^a,/2￡>P=B，ZCDP=2p,

,/NCAP+/C=NCDP+NP,ZBAP+ZP=ZBDP+ZB,

：.ZC-ZP=2P-2a,ZP-ZB=p-a,

：.ZC-ZP=2ZP-2ZB,

：.ZP=A(ZC+2ZB),

3

z'z)如圖4,ZCAP：ZBAP=ZCDP：ZBDP=1：2,

：.ZCAP=a,NBAP=2a,ZBDP=2^,ZCDP=^,

ZCAP+ZC=ZCDP+ZP,ZBAP+ZP=ZBDP+ZB,

：.ZC-ZP=p-a,ZP-ZB=2P-2a,

：.l(ZC-ZP)=ZP-ZB,

ZP=-1(2ZC+ZB),

3

16.閱讀材料，回答下列問題:

圖5圖6圖7

【材料提出】

“八字型”是數(shù)學幾何的常用模型，通常由一組對頂角所在的兩個三角形構(gòu)成.

【探索研究】

探索一：如圖1,在八字型中，探索NA、/B、NC、之間的數(shù)量關(guān)系為/A+/

B=/C+/D；

探索二：如圖2,若/B=36°,ZD=14°,求NP的度數(shù)為25。；

探索三：如圖3,CP、AG分別平分/BCE、/FAD,AG反向延長線交CP于點P,則/

P、/B、之間的數(shù)量關(guān)系為ZP=ZB+ZD.

2―

【模型應(yīng)用】

應(yīng)用一：如圖4,延長8M、CN,交于點A,在四邊形MNC8中，設(shè)/M=a,/N=0,

a邛>180°,四邊形的內(nèi)角與外角/NCD的角平分線BP,CP相交于點P,則/

Q+180

A=a+B-180。（用含有a和B的代數(shù)式表示）,ZP=_~0（用含

有a和0的代數(shù)式表示）

應(yīng)用二：如圖5,在四邊形中，設(shè)NM=a,/N=0,a+p<180°,四邊形的內(nèi)

角ZMBC與外角NNCD的角平分線所在的直線相交于點P,NP=

180°（用含有a和p的代數(shù)式表示）

【拓展延伸】

拓展一：如圖6,若設(shè)/C=x,ZB=y,ZCAP=^ZCAB,NCDP=L/CDB,試問/

33

P與NC、/B之間的數(shù)量關(guān)系為/「=空空.（用x、y表示/P）

3—

拓展二：如圖7,AP平分/BAO,CP平分NBCD的鄰補角NBCE,猜想NP與NB、Z

O的關(guān)系，直接寫出結(jié)論2/尸-/P=18O°.

解：探索一：如圖1,?.?NAO8+/A+/B=NCOD+NC+NQ=180°,ZAOB=ZCOD,

：.ZA+ZB=ZC+ZD,

故答案為/A+/2U/C+/O；

探索二：如圖2,：”、CP分別平分NBA。、NBCD,

：.Z1=Z2,Z3=Z4,

由（1）可得：Z1+ZB=Z3+ZP,Z2+ZP=Z4+ZD,

：.ZB-NP=NP-ZD,

即2NP=NB+/D,

VZB=36°,Z￡>=14°,

：.ZP=25°,故答案為25°；

探索三：由①ND+2Nl=/B+2/3,

由②2N2+2