中考數(shù)學(xué)新定義問題題型訓(xùn)練（解析版）

專題5新定義問題中考題型訓(xùn)練

在真題過關(guān)

.

1.(2022?婁底)若1(>X=N,則稱x是以10為底N的對(duì)數(shù).記作：x=lgN.

例如：102=100,則2=/gl00；10。=1,則0=/gl.

對(duì)數(shù)運(yùn)算滿足：當(dāng)朋>0,N>0時(shí)，lgM+lgN=lg(MN).

例如：/g3+/g5=/gl5,則(/g5)2+/g5X/g2+/g2的值為()

A.5B.2C.1D.0

【分析】首先根據(jù)定義運(yùn)算提取公因式，然后利用定義運(yùn)算計(jì)算即可求解.

【解答】解:原式=/g5(/g5+/g2)+lg2

=lg5Xlg(5X2)+lg2

=/g5/gl0+/g2

=/g5+/g2

=/gl0

=1.

故選：C.

2.(2022?重慶)在多項(xiàng)式工-7-2-加-"中任意加括號(hào)，加括號(hào)后仍只有減法運(yùn)算，然后按給出的運(yùn)算順

序重新運(yùn)算，稱此為"加算操作”.例如(x-y)-(z-m-w)-y-z+m+n,x-y-(z-m)-n=

x-y-z+m-n,….

下列說法：

①至少存在一種“加算操作”，使其運(yùn)算結(jié)果與原多項(xiàng)式相等；

②不存在任何“加算操作”，使其運(yùn)算結(jié)果與原多項(xiàng)式之和為0；

③所有可能的“加算操作”共有8種不同運(yùn)算結(jié)果.

其中正確的個(gè)數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

【分析】根據(jù)“加算操作”的定義可知，當(dāng)只給x-y加括號(hào)時(shí)，和原式相等；因?yàn)椴桓淖儀,y的運(yùn)算

符號(hào)，故不存在任何“加算操作”，使其運(yùn)算結(jié)果與原多項(xiàng)式之和為0在多項(xiàng)式x-y-z-機(jī)-〃中，可通

過加括號(hào)改變z,m,〃的符號(hào)，因?yàn)閦,m,〃中只有加減兩種運(yùn)算，求出即可.

【解答】解：①(x-y)-z-m-n=x-y-z-m-n,與原式相等，

故①正確；

②.在多項(xiàng)式x-y-Z-加-"中，可通過加括號(hào)改變z,m,〃的符號(hào)，無法改變x,y的符號(hào)，

故不存在任何“加算操作”，使其運(yùn)算結(jié)果與原多項(xiàng)式之和為0;

故②正確；

③在多項(xiàng)式x-y-z-機(jī)-〃中，可通過加括號(hào)改變z,m,〃的符號(hào)，加括號(hào)后只有加減兩種運(yùn)算,

；.2X2X2=8種，

所有可能的加括號(hào)的方法最多能得到8種不同的結(jié)果.

故選：D.

3.（2022?常德）我們發(fā)現(xiàn)：V6+3=3,個(gè)6+V^+3=3,個(gè)3,

JG+JG+VB+…+V6+>/b+§=3,一般地，對(duì)于正整數(shù)a,b,

n個(gè)根號(hào)

。時(shí)，稱（a,b）為一組完美方根數(shù)對(duì).如上面（3,6）是一組完美方根數(shù)對(duì)，則下面4個(gè)結(jié)論：①

（4,12）是完美方根數(shù)對(duì)；②（9,91）是完美方根數(shù)對(duì)；③若（a,380）是完美方根數(shù)對(duì)，則a=

20；④若（x,y）是完美方根數(shù)對(duì)，則點(diǎn)尸（x,y）在拋物線y=x2-x上，其中正確的結(jié)論有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【分析】將（4,12）,（9,91）代入驗(yàn)證即可判斷①②；將（a,380）代入公式，建立方程可得出結(jié)

論；若（x,y）是完美方根數(shù)對(duì)，則滿足給出公式，化簡(jiǎn)可得出結(jié)論.

【解答】解：將（4,12）代入52+4=4,V12+V12+4=4,712+412+712+4=%…，

（4,12）是完美方根數(shù)對(duì)；故①正確；

將（9,91）代入491+9=10-9,V91+V91+9=7101.

???（9,91）不是完美方根數(shù)對(duì)，故②錯(cuò)誤；

③:（a,380）是完美方根數(shù)對(duì)，

.?.將（a,380）代入公式，4380+a=a，4380+我80+a=。，

解得。=20或a=-19（舍去），故③正確；

④若（x,y）是完美方根數(shù)對(duì)，則yy+x=x,yl~y^jy+x=Xj

整理得y=N-x,

，點(diǎn)尸（x,y）在拋物線上，故④正確；

故選：C.

4.(2022?南通)定義：函數(shù)圖象上到兩坐標(biāo)軸的距離都不大于〃(n>0)的點(diǎn)叫做這個(gè)函數(shù)圖象的“"階

方點(diǎn)”.例如，點(diǎn)(工，1)是函數(shù)y=x圖象的“工階方點(diǎn)”；點(diǎn)(2,1)是函數(shù)>=2圖象的“2階方

332x

點(diǎn)”?

(1)在①(-2,-1)；②(7,7);③(1,1)三點(diǎn)中，是反比例函數(shù)尸上圖象的“1階方點(diǎn)”

2x

的有⑵⑶(填序號(hào))；

(2)若y關(guān)于x的一次函數(shù)>=6-30+1圖象的“2階方點(diǎn)”有且只有一個(gè)，求。的值；

(3)若y關(guān)于x的二次函數(shù)y=-(x-〃)2-2〃+1圖象的“"階方點(diǎn)”一定存在，請(qǐng)直接寫出〃的取值

范圍.

【分析】(1)根據(jù)定義進(jìn)行判斷即可；

(2)在以。為中心，邊長(zhǎng)為4的正方形N3C。中，當(dāng)直線與正方形區(qū)域只有唯一交點(diǎn)時(shí)，圖象的“2階

方點(diǎn)”有且只有一個(gè)，結(jié)合圖象求。的值即可；

(3)在以O(shè)為中心，邊長(zhǎng)為2n的正方形/BCD中，當(dāng)拋物線與正方形區(qū)域有公共部分時(shí),二次函數(shù)丁=-

G-")2-2?+1圖象的“"階方點(diǎn)”一定存在，結(jié)合函數(shù)圖象求解即可.

【解答】解：(1)①(-2,-1)到兩坐標(biāo)軸的距離分別是2,1,

22

V2>1,A<1,

2

(-2,-1)不是反比例函數(shù)了=工圖象的“1階方點(diǎn)”；

②(-1,-1)到兩坐標(biāo)軸的距離分別是1,1,

1W1,

(-1,-1)是反比例函數(shù)^=上圖象的“1階方點(diǎn)”；

X

③(1,I)到兩坐標(biāo)軸的距離分別是1,1

Vl^l,1W1,

...(1,1)是反比例函數(shù)y=L圖象的“1階方點(diǎn)”；

X

故答案為：②③；

(2)\?當(dāng)x=3時(shí)，y=ax-3a+l=a(x-3)+1=1,

J函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)(3,1),

如圖1,在以。為中心，邊長(zhǎng)為4的正方形45CZ)中，當(dāng)直線與正方形區(qū)域只有唯一交點(diǎn)時(shí)，圖象的“2

階方點(diǎn)”有且只有一個(gè)，

?.?一次函數(shù)y=6-3a+l圖象的“2階方點(diǎn)”有且只有一個(gè)，

當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)。時(shí)，。=-1,此時(shí)圖象的“2階方點(diǎn)”有且只有一個(gè)，

當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，。=3,此時(shí)圖象的“2階方點(diǎn)”有且只有一個(gè)，

綜上所述：。的值為3或-1；

(3)在以。為中心,邊長(zhǎng)為2"的正方形中，當(dāng)拋物線與正方形區(qū)域有公共部分時(shí)，二次函數(shù)y=-

(x-〃)2-2?+1圖象的“"階方點(diǎn)”一定存在，

如圖2,當(dāng)?>0時(shí)，A(n,〃)，C(-77,-n),B-〃)，D(,-n,n),

當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)2時(shí)，"=1；

當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)。時(shí)，n=-1(舍)或〃=JL；

4

時(shí)，二次函數(shù)^=-(X-〃)2-2?+1圖象有an階方點(diǎn)”；

4

綜上所述：當(dāng)工W〃W1時(shí)，二次函數(shù)》=-(x-n)2-2?+1圖象的階方點(diǎn)”一定存在.

4

5.(2022?安順)在平面直角坐標(biāo)系中，如果點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，則稱點(diǎn)尸為和諧點(diǎn).例如：點(diǎn)

(1,1),(1,1),(-圾,-圾),……都是和諧點(diǎn).

22

（1）判斷函數(shù)y=2x+l的圖象上是否存在和諧點(diǎn)，若存在，求出其和諧點(diǎn)的坐標(biāo);

（2）若二次函數(shù)y=ax2+6x+c（"0）的圖象上有且只有一個(gè)和諧點(diǎn)（/A）.

①求a,c的值；

②若IWxWnv時(shí)，函數(shù)＞=G2+6X+C+_1（aWO）的最小值為-1,最大值為3,求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

4

【分析】（1）設(shè)函數(shù)y=2x+l的和諧點(diǎn)為（x,x）,可得2x+l=x,求解即可；

（2）將點(diǎn)（$,互）代入y=aS+6x+c,再由辦?+6x+c=x有且只有一個(gè)根，A=25-4ac=0,兩個(gè)方程

22

聯(lián)立即可求a、C的值；

②由①可知y=--+6x-6=-Cr-3）2+3,當(dāng)x=l時(shí)，y=-l,當(dāng)x=3時(shí)，y=3,當(dāng)x=5時(shí)，y=-

1,則3W機(jī)W5時(shí)滿足題意.

【解答】解：（1）存在和諧點(diǎn)，理由如下，

設(shè)函數(shù)y=2x+l的和諧點(diǎn)為（x,x）,

??2x+1~~x,

解得X=-1,

.?.和諧點(diǎn)為（-1,-1）;

（2）①丁點(diǎn)（/.|.）是二次函數(shù)尸辦2+6X+C（aWO）的和諧點(diǎn)，

.?.9=至什15+。，

24

.?一-"-至，

42

??,二次函數(shù)y=a/+6x+c（aWO）的圖象上有且只有一個(gè)和諧點(diǎn)，

'.ax1+6x+c=x有且只有一個(gè)根，

A=25-4ac==0,

.'.a--1,c=-

4

②由①可知y=-/+6x-6=-（x-3）2+3,

拋物線的對(duì)稱軸為直線x=3,

當(dāng)x=l時(shí),y=-1,

當(dāng)x=3時(shí)，y=3,

當(dāng)x—5時(shí)，y--1,

??.函數(shù)的最大值為3,最小值為-1；

當(dāng)3W/nW5時(shí)，函數(shù)的最大值為3,最小值為-1.

6.(2022?遵義)新定義：我們把拋物線y=ox2+bx+c(其中MWO)與拋物線y=fef2+ax+c稱為“關(guān)聯(lián)拋物

線”.例如：拋物線y=2x2+3x+l的“關(guān)聯(lián)拋物線”為：y=3x2+2x+l.已知拋物線Q：y=4ax2+ax+4a-

3QW0)的“關(guān)聯(lián)拋物線”為

(1)寫出C2的解析式(用含a的式子表示)及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)若a>0,過x軸上一點(diǎn)尸，作x軸的垂線分別交拋物線Ci，C2于點(diǎn)M,N.

①當(dāng)MV=6a時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

②當(dāng)時(shí)，。2的最大值與最小值的差為2a,求。的值.

【分析】(1)根據(jù)“關(guān)聯(lián)拋物線”的定義可直接得出C2的解析式，再將該解析式化成頂點(diǎn)式，可得出

C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)①設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為根，則可表達(dá)點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可表達(dá)AW的長(zhǎng)，列

出方程，可求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

②分情況討論，當(dāng)a-4W-2Wa-2時(shí)，當(dāng)-2Wa-4Wa-2時(shí)，當(dāng)a-4Wa-2W-2時(shí)，分別得出C2

的最大值和最小值，進(jìn)而列出方程，可求出a的值.

【解答】解：(1)根據(jù)“關(guān)聯(lián)拋物線”的定義可得C2的解析式為：y=a/+4ax+4“-3,

"-'y=ax2+4ax+4a-3=a(x+2)2-3,

?"2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,-3)；

(2)①設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為加，

???過點(diǎn)P作x軸的垂線分別交拋物線Ci，C2于點(diǎn)河，N,

.'.M(m,4am2+am+4a-3),NCm,am2+4am+4a-3),

.'.MN=\4am2+am+4a-3-(,am~+4am+4a-3)|=|3am2-3am\,

,:MN=6a,

13am2-3a〃4=6a,

解得m=-1或m=2,

：.P(-1,0)或(2,0).

②的解析式為：V=a(x+2)2-3,

當(dāng)x=-2時(shí)，y--3,

當(dāng)x=a-4時(shí)，y=a(a-4+2)2-3—a(a-2)2-3,

當(dāng)x—a-2時(shí)，y—a(a-2+2)2-3=a，-3,

根據(jù)題意可知，需要分三種情況討論,

I、當(dāng)。-4W-2Wa-2時(shí)，0<aW2,

且當(dāng)0<〃Wl時(shí)，函數(shù)的最大值為q(q-2)2-3；函數(shù)的最小值為-3,

??a(。-2)2-3-(-3)=2q,解得a—2-或6Z—2+^/2(舍)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為〃3-3；函數(shù)的最小值為-3,

/.a3-3-(-3)=2q,解得a=或(舍)；

II、當(dāng)-2Wa-4WQ-2時(shí)，。22,

函數(shù)的最大值為涼-3,函數(shù)的最小值為。(。-2)2-3；

2=

??c?-3-[a(a-2)-3]2af

解得a=3(舍)；

2

III>當(dāng)a-4Wa-2W-2時(shí)，aWO,不符合題意，舍去；

綜上，a的值為2-a或近.

7.(2022?重慶)對(duì)于一個(gè)各數(shù)位上的數(shù)字均不為0的三位自然數(shù)N,若N能被它的各數(shù)位上的數(shù)字之和m

整除，則稱N是優(yōu)的“和倍數(shù)

例如：V2474-(2+4+7)=247+13=19,...247是13的“和倍數(shù)”.

又如：V2144-(2+1+4)=2144-7=30...4,二214不是“和倍數(shù)”.

(1)判斷357,441是否是“和倍數(shù)”？說明理由；

(2)三位數(shù)/是12的“和倍數(shù)”，a,b,c分別是數(shù)/其中一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字，且”>6>c.在a,b,

c中任選兩個(gè)組成兩位數(shù)，其中最大的兩位數(shù)記為尸(/),最小的兩位數(shù)記為GG4),若上但)氈

16

為整數(shù)，求出滿足條件的所有數(shù)4

【分析】(1)根據(jù)“和倍數(shù)”的定義依次判斷即可；

(2)根據(jù)“和倍數(shù)”的定義表示歹(A)和G(A),代入F(A).(A)中,根據(jù)F(A)+C(A)為整數(shù)

1616

可解答.

【解答】解:(1)V3574-(3+5+7)=357+15=23...12,

；.357不是“和倍數(shù)”；

V441-?(4+4+1)=4414-9=49,

.??441是9的“和倍數(shù)”；

(2)由題意得：a+b+c=12,a>b>c,

由題意得：F(A)=ab，G(A)=cb，

?F(A)4(A)=ab+cb=lOa+b+lOc+b=10(a+c)+2b

-761616

'：a+c=n-b,F(A)W(A)為整數(shù),

16

?F(A)用(A)=10(12-b)+2b=120-8b=112+8-8b=什1(1_b)＞

"^616-16~16~2

■：l＜b＜9,

：.b=3,5,7,

a+c=9,7,5,

'a=8(a=7

(J)當(dāng)6=3,a+c=9時(shí)，?b=3(舍)，,b=3，

,c=l〔c=2

則4=732或372；

'a=6

②當(dāng)6=5,a+c=7時(shí)，＜b=5，

,c=l

則4=516或156；

③當(dāng)6=7,a+c=5時(shí),此種情況沒有符合的值;

綜上，滿足條件的所有數(shù)/為：732或372或516或156.

8.(2022?長(zhǎng)沙)若關(guān)于x的函數(shù)乃當(dāng)工時(shí)，函數(shù)y的最大值為最小值為N,令函數(shù)〃=

22

號(hào)L我們不妨把函數(shù)〃稱之為函數(shù)y的“共同體函數(shù)”.

(1)①若函數(shù)y=4044x,當(dāng)，=1時(shí)，求函數(shù)y的“共同體函數(shù)”/?的值；

②若函數(shù)了=履+6k,6為常數(shù))，求函數(shù)了的“共同體函數(shù)”〃的解析式；

(2)若函數(shù)y=2(x>l),求函數(shù)y的“共同體函數(shù)”〃的最大值；

X

(3)若函數(shù)y=-x2+4x+比是否存在實(shí)數(shù)后，使得函數(shù)y的最大值等于函數(shù)y的“共同體函數(shù)的最

小值.若存在，求出發(fā)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【分析】(1)①由題意求出M=6066,N=2022,再由定義可求的值；

②分兩種情況討論：②當(dāng)人＞0時(shí)，M=kt+ljc+b,N=kt-ljc+b,〃=Lt；當(dāng)左＜0時(shí)，M=kt-ljc+b,

2222

有N—kt+^-k+b,h--L；

22

(2)由題意則〃=——,所以人有最大值工；

2J4t2-12

t212

(3)分四種情況討論：①當(dāng)2＜「工時(shí)，M=-(Z-A-2)2+4+總N=-(Z+A-2)2+4+k,h=t-

222

2；②當(dāng)什上《2時(shí)，N=-(z-JL-2)2+4+k,M=-(7+■1-2)2+4+上h=2-t,；③當(dāng)f-Lw2W

2222

t,即N=-(什工-2)2+4+左，M—4+k,h——(f-—)2；④當(dāng)f<2Wf+LN--(t---

222222

2)2+4+k,M—4+k,h——(?-—)畫出〃的函數(shù)圖象，結(jié)合圖象可得」>=4+左，解得左=-3L

2288

【解答】解：(1)①..)=1,

.??_Lwx<3,

22

*.*函數(shù)y=4044x,

???函數(shù)的最大值M=6066,函數(shù)的最小值N=2022,

，〃=2022；

②當(dāng)人＞0時(shí)，函數(shù)在L有最大值M=H+Lt+6,有最小值N=%-1+6,

2222

2

當(dāng)上＜0時(shí)，函數(shù)y=fcc+6在LLWxW/+上有最大值」#+b,有最小值N=〃+L+6,

2222

.".h=-Afc；

2

綜上所述：〃=|L|；

(2)即

22

函數(shù)y=2(xNl)最大值M=二丁，最小值N=一"

xt—t+-

x2x2

；.h=---------,

4t2-1

當(dāng)時(shí)，〃有最大值工；

22

(3)存在實(shí)數(shù)上使得函數(shù)y的最大值等于函數(shù)y的“共同體函數(shù)“〃的最小值，理由如下:

,?y=-X2+4X+A=-(x-2)2+4+左，

...函數(shù)的對(duì)稱軸為直線尤=2,y的最大值為4+左，

①當(dāng)2〈「工時(shí)，即注回,

22

止匕時(shí)M=-(?--1-2)2+4+k,N=-(Z+A-2)2+4+左,

22

：?h=t-2,

此時(shí)h的最小值為工；

2

②當(dāng)什工W2時(shí)，即辰3,

22

止匕時(shí)N=-(f-A-2)2+4+左，M=-(Z+A-2)2+4+公

22

:?h=2-t,

此時(shí)h的最小值為工；

2

③當(dāng)LJLW2W3即2WfW$,

22

此時(shí)N=-(f+A-2)2+4+左，M=4+k,

2

/./7=—(?--)2,

22

：.h的最小值為工；

8

④當(dāng)f<2W/+-l,即

22

此時(shí)N=-(r-A-2)2+A+k,M=4+k,

2

.,.h——(/--)2,

22

：.h的最小值為工；

8

〃的函數(shù)圖象如圖所示：力的最小值為工，

8

由題意可得上=4+左，

8

解得k=-11；

8

綜上所述：發(fā)的值為-1L

9.(2022?湘西州)定義：由兩條與x軸有著相同的交點(diǎn)，并且開口方向相同的拋物線所圍成的封閉曲線稱

為“月牙線”，如圖①，拋物線Q：y=x2+2x-3與拋物線。2：y=ox2+2ax+c組成一個(gè)開口向上的“月

牙線”，拋物線G和拋物線。2與x軸有著相同的交點(diǎn)/(-3,0)、B(點(diǎn)3在點(diǎn)/右側(cè))，與y軸的交

點(diǎn)分別為G、〃(0,-1).

(1)求拋物線。2的解析式和點(diǎn)G的坐標(biāo).

(2)點(diǎn)M是x軸下方拋物線Q上的點(diǎn)，過點(diǎn)M作MNLx軸于點(diǎn)N,交拋物線C2于點(diǎn)〃，求線段"N

與線段。河的長(zhǎng)度的比值.

(3)如圖②，點(diǎn)E是點(diǎn)"關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接EG,在x軸上是否存在點(diǎn)尸，使得△EFG

是以EG為腰的等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

圖①圖②

【分析】(1)將/(-3,0)、H(0,-1)代入V="2+2G+C中，即可求函數(shù)的解析式；

(2)設(shè)於+2「3),則。(t,AZ2+ZZ-1),N(r,0),分別求出MN,DM,再求比值即可;

33

(3)先求出E(-2,-1),設(shè)廠G,0),分兩種情況討論：①當(dāng)EG=E尸時(shí)，2近=寸(x+2)2+l，

可得尸(4-2,0)或(-4-2,0)；②當(dāng)￡G=bG時(shí)，2&=再，，尸點(diǎn)不存在?

【解答】解：(1)將/(-3,0)、H(0,-1)代入丁=。/+2辦+c中，

.f9a-6a+c=0

1c=-l

'二

解得，,

,c=-l

.'.y=—x2+-?_r-1,

33

在產(chǎn)/+2%-3中，令％=(),貝仃=一3,

：.G(0,-3)；

(2)設(shè)MG,於+2/-3),則。(f,1/2+4-i),N(t,0),

33

：.NM=--2什3,0M=12+4-i_(於+2/-3)=-當(dāng)2_生+2,

3333

2

...MN=-（t+2t-3）__3_.

DM-y（t2+2t-3）2

（3）存在點(diǎn)尸，使得△EFG是以EG為腰的等腰三角形，理由如下:

由（1）可得y=/+2x-3的對(duì)稱軸為直線》=-1,

:E點(diǎn)與〃點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸x=-1對(duì)稱，

：.E(-2,-1),

設(shè)F(x,0),

①當(dāng)EG=￡F時(shí)，

,:G(0,-3),

:.EG=2近,

2企=V(X+2)2+1'

解得尤=夜-2或x=-V7-2,

：.F(V7-2,0)或(-V7-2,0)；

②當(dāng)EG=AG時(shí)，2企=49+X2.

此時(shí)x無實(shí)數(shù)根；

綜上所述：F點(diǎn)坐標(biāo)為（4-2,0）或（-夜-2,0）.

10.（2022?德州）教材呈現(xiàn)

以下是人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第53頁的部分內(nèi)容.

如圖，四邊形/BCD中，AD=CD,AB=CB.我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫

做“箏形”.

概念理解

（1）根據(jù)上面教材的內(nèi)容，請(qǐng)寫出“箏形”的一條性質(zhì)：;

（2）如圖1,在△/BC中，AD±BC,垂足為。，△瓦15與△D4B關(guān)于所在的直線對(duì)稱，△"。與△

D/C關(guān)于NC所在的直線對(duì)稱，延長(zhǎng)E8,FC相交于點(diǎn)G.請(qǐng)寫出圖中的“箏形”：；（寫

出一個(gè)即可）

應(yīng)用拓展

（3）如圖2,在（2）的條件下，連接斯，分別交48,NC于點(diǎn)“，H,連接2H.

①求證：NBAC=/FEG；

②求證：NAHB=90；

AAA

圖1圖2備用圖

【分析】（1）根據(jù)線段的垂直平分線的判定可得結(jié)論；

（2）根據(jù)“箏形”的定義判斷即可；

（3）①利用同角的余角相等證明即可；

②利用相似三角形的判定和性質(zhì)證明即可.

【解答】（1）W：'：DA=DC,BA=BC,

.?.8。垂直平分線段NC.

故答案為：垂直平分線段NC.

（2）解：由翻折變換的性質(zhì)可知NADC=N4FC=90°,

'：AC=AC,

...RtZUCDgRtZUCF（HL）,

；.CD=CF,

...四邊形/DC尸是“箏形”，

故答案為：四邊形4DCF（答案不唯一）；

（3）①證明：如圖1中，

A

G

圖1

由翻折變換的性質(zhì)可知/C4D=NC/尸，ZBAD=ZBAE,ZADB=ZAEB=90,AD=AF=AE,

：.ZEAF=2ZBAC,ZAEF=ZAFE,

：.ZEAF+2ZAEF=1SO°,

A2ZBAC+2ZAEF=180°，

：.ZBAC+ZAEF=90°,

VZFEG-^ZAEF=90°,

???ZBAC=ZFEG；

②證明：如圖2中，

圖2

■:/AMH=/EMB,NMAH=/MEB,

：.AEMBsAAMH,

?,?膽=坦，NAHM=NABE,

MAMH

???膽=迪，

MBMH，

?.*/AME=/HMB,

：.AAMEs^HMB,

：.ZEAM=/MHB,

VZAEB=90°,

AZMAE+ZMBE=90°,

AZMHB+ZAHM=90°,

；?/AHB=90°.

在模擬檢測(cè)

a

1.（2023?敘州區(qū)校級(jí)模擬）新定義：［a,6,c］為二次函數(shù)y=ax2+6x+c（a#0,a,b,c為實(shí)數(shù)）的“圖象

數(shù)”，如：y=/-2x+3的“圖象數(shù)”為［1,-2,3］,若“圖象數(shù)”是阿，2〃?+4,2〃?+4］的二次函數(shù)的圖

象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則加的值為（）

A.-2B-IC.-2或2D.2

【分析】根據(jù)新定義得到二次函數(shù)的解析式為了=/^2+Q%+4)x+2m+4,然后根據(jù)判別式的意義得到△=

(2%+4)2-4m(2m+4)=0,從而解的方程即可.

【解答】解：二次函數(shù)的解析式為>=樞，+(2加+4)x+2m+4,

根據(jù)題意得△=(2m+4)2-4m(2m+4)=0,

解得m\=-2,加2=2,

故選：C.

2.(2022?武侯區(qū)校級(jí)模擬)對(duì)于給定△/8C內(nèi)(包含邊界)的點(diǎn)尸，若點(diǎn)尸到△N2C其中兩邊的距離相等,

我們稱點(diǎn)尸為△NBC的“等距點(diǎn)”，這段距離的最大值稱為△/BC的“特征距離”.如圖，在平面直角坐

標(biāo)系中，已知點(diǎn)/(6,0),動(dòng)點(diǎn)、M(m,3),連接(W,AM.則△04〃的“特征距離”的最大值

【分析】理解材料中的意思，結(jié)合三角形知識(shí)求解，也就是求三角形的角平分線與其他邊的交點(diǎn)到該邊

的距離.

M的軌跡是直線y=3,

當(dāng)”(3,3)時(shí)0M=3近,

通過觀察圖，可以得知，0c為的“特征距離”的最大值.

由角平分線的性質(zhì)得：NMOC=45°,

VZO￡>C=90°,

；.CD=3點(diǎn),

2_

所以：CO=WZ為△CM”的“特征距離”的最大值，

2

故答案為：舅2.

2

3.(2022?西湖區(qū)一模)已知為，及均為關(guān)于x的函數(shù)，當(dāng)X=Q時(shí)，函數(shù)值分別為小，42，若對(duì)于實(shí)數(shù)

當(dāng)0VQV1時(shí)，都有-1〈小-4V1，則稱為，為為親函數(shù)，則以下函數(shù)為和為是親函數(shù)的是()

22

A.yi=x+l,y2=-AB.yX=x+l,及=2x-1

x

2

C.y\=x-1,y2=」D.乃=N-1,y2=2x-1

x

【分析】結(jié)合題意，根據(jù)二次函數(shù)、反比例函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)分析，即可得了答案.

【解答】解：(1)4選項(xiàng)，

y2=」，

x

??歹1-及=~+1

當(dāng)OVxVl時(shí)，工>1,且

X

，歹1-及=/+1」>>1，

X

即此選項(xiàng)不合題意；

(2)8選項(xiàng)，

??'1=工2+1,歹2=2%-L

*.y\-及=/+1-(2x-1)

=(x-1)2+1,

當(dāng)OVxVl時(shí)，(x-1)2+1>1,

即此選項(xiàng)不合題意；

(3)。選項(xiàng)，

y\=x2-1，y2=」?，

；?乃-y2—x2-1-(—)

X

=/+工-1,

X

當(dāng)工=?1^，x2+—-1=—>1,

2x4

即此選項(xiàng)不合題意；

(4)。選項(xiàng)，

,**yi=x^-1,及=2工1,

_

??y\1y2=N-1-(2x-1)

—~x^-2x,

當(dāng)0cxe1時(shí)，

即此選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

4.（2022?平桂區(qū)一模）在數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，我們總會(huì)對(duì)其中一些具有某種特性的數(shù)充滿好奇，如學(xué)習(xí)自

然數(shù)時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)一種特殊的自然數(shù)一一“好數(shù)”.定義：對(duì)于三位自然數(shù)%各位數(shù)字都不為0,且百

位數(shù)字與十位數(shù)字之和恰好能被個(gè)位數(shù)字整除，則稱這個(gè)自然數(shù)〃為“好數(shù)”.例如：426是“好數(shù)”，

因?yàn)?,2,6都不為0,且4+2=6,6能被6整除；643不是“好數(shù)”，因?yàn)?+4=10,10不能被3整

除.則百位數(shù)字比十位數(shù)字大5的所有“好數(shù)”的個(gè)數(shù)是（）

A.8B.7C.6D.5

【分析】設(shè)這個(gè)三位數(shù)為云，根據(jù)題意可以得出。與b的關(guān)系，以及它們的取值范圍，然后把所有可

能的情況都列舉出來，從而確定“好數(shù)”.

【解答】解：設(shè)這個(gè)“好數(shù)”為以，由題意得，

a=b+5,且0<aW9,0<6W9,解得0<6W4,

取整數(shù)1,2,3,4,

則a對(duì)應(yīng)取整數(shù)6,7,8,9.

的對(duì)應(yīng)值為：7,9,11,13.

能分別被這四個(gè)數(shù)整除的數(shù)有：1,7,1,3,9,1,11,1,13,共計(jì)9個(gè)數(shù).

又只能取個(gè)位數(shù)，

只能取1,7,1,3,9,1,1這7個(gè)數(shù).

符合條件的“好數(shù)”共有7個(gè).

故選：B.

5.（2022?威縣校級(jí)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形0/5C的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為/（8,0）,C（0,

6）.把橫，縱坐標(biāo)均為偶數(shù)的點(diǎn)稱為偶點(diǎn).

（1）矩形。N2C（不包含邊界）內(nèi)的偶點(diǎn)的個(gè)數(shù)為6.

（2）若雙曲線Ly=K上（x>0）將矩形O43C（不包含邊界）內(nèi)的偶點(diǎn)平均分布在其兩側(cè)，則左的整

X

數(shù)值有3個(gè).

y

~0\A~~

【分析】⑴根據(jù)題意可知偶點(diǎn)有(2,2),(2,4),(4,2),(4,4),(6,2),(6,4)；

(2)當(dāng)y=K經(jīng)過點(diǎn)(4,2)時(shí)，k=8,當(dāng)y=K經(jīng)過點(diǎn)(6,2)時(shí)，左=12,則8〈人〈12時(shí)，偶點(diǎn)平均

XX

分布在y=K的兩側(cè)，求出滿足條件的整數(shù)人即可.

X

【解答】解：(1),?,四邊形。是矩形，A(8,0),C(0,6),

：.B(8,6),

J偶點(diǎn)有(2,2),(2,4),(4,2),(4,4),(6,2),(6,4),

??.矩形。45。(不包含邊界)內(nèi)的偶點(diǎn)共有6個(gè)，

故答案為：6；

(2)當(dāng)y=K經(jīng)過點(diǎn)(4,2)時(shí)，左=8,

x

當(dāng)y=K經(jīng)過點(diǎn)(6,2)時(shí)，左=12,

x

???8〈左〈12時(shí)，偶點(diǎn)平均分布在y=K的兩側(cè)，

x

??"的整數(shù)值為9,10,11,

故答案為：3.

6.(2022?寧波模擬)在平面直角坐標(biāo)系宜方中，對(duì)于點(diǎn)尸(Q,b),若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(ka+b,a+—)(其

k

中左為常數(shù)且左W0),則稱點(diǎn)P為點(diǎn)尸的“左關(guān)聯(lián)點(diǎn)”.已知點(diǎn)N在反比例函數(shù)>=返■的圖象上運(yùn)動(dòng)，

X

且點(diǎn)/是點(diǎn)8的“向關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，當(dāng)線段OB最短時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為―(3,近)或(-3,-

_4—44—

返一

4一_

【分析】由點(diǎn)4是點(diǎn)8的“北關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，可設(shè)點(diǎn)8坐標(biāo)，表示出點(diǎn)4坐標(biāo)，由點(diǎn)/在函數(shù)y=恒的圖

x

象上，就得到點(diǎn)3在一個(gè)一次函數(shù)的圖象上，可求出這條直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)M、N,過。作這條直線

的垂線，這點(diǎn)到垂足之間的線段。8,此時(shí)。8最小，由/M0O=6O°可得出點(diǎn)8的坐標(biāo).

【解答】解：設(shè)2(x,y),

???點(diǎn)/是點(diǎn)8的“迎關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，

??A（計(jì)y,x+-^-）

V3

?..點(diǎn)N在函數(shù)（x>0）的圖象上，

X

?*.（V3x+y））=^3,

即：百葉y=正或向r+y=-如,

當(dāng)點(diǎn)2在直線y=-正x+北上時(shí)，

設(shè)直線y=-費(fèi)什正與x軸、y軸相交于點(diǎn)〃、N,則“（1,0）、N（0,丁§）,

當(dāng)O8J_MN時(shí)，線段08最短，此時(shí)OB=I*遮=亞_,

22

由N7WO=60°,可得點(diǎn)2（至，1）；

44_

設(shè)直線>=-我?舊時(shí)，同理可得點(diǎn)8（-3,-近）；

44

故答案為：（3,近）或（-3,-1）.

4444

7.（2022?天府新區(qū)模擬）給定一個(gè)矩形，如果存在另一個(gè)矩形，它的周長(zhǎng)和面積分別是已知矩形的周長(zhǎng)和

面積的2倍，則我們稱這個(gè)矩形是給定矩形的“加倍矩形”，當(dāng)己知矩形的長(zhǎng)和寬分別為3和1時(shí)，其

“加倍矩形”的對(duì)角線長(zhǎng)為_^V13_.

【分析】設(shè)“加倍矩形”的長(zhǎng)為x,則寬為[2X（3+1）-x],根據(jù)矩形的面積計(jì)算公式，即可得出關(guān)于x

的一元二次方程，解之取其較大值即可得出結(jié)論.

【解答】解：設(shè)“加倍”矩形的長(zhǎng)為x,則寬為[2X（3+1）-%],

依題意，得：x[2X（3+1）-x]=2X3Xl,

整理，得：x2-8x+6=0,

解得：XI=4+A/10>%2=4-V10，

當(dāng)x=4+JT5時(shí)，2X（3+1）-X=4-VTO<4+V1O,符合題意；

當(dāng)x=4-何時(shí)，2X（3+1）-x=4+V10>4-VIo，符不符合題意，舍去.

...“加倍矩形”的對(duì)角線長(zhǎng)為｛（4+715）2+（4f/記）2=2/石.

故答案為：2丁石.

8.（2023?蘇州模擬）定義：如果三角形的一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的2倍，那么稱這個(gè)三角形為“倍角三角

形”.若△4BC是“倍角三角形"，N/=90°,BC=4,則△/8C的面積為4或2\依.

【分析】根據(jù)題意可分四種情況：當(dāng)N4=2N8=90°時(shí)；當(dāng)NZ=2NC=90°時(shí)；當(dāng)NB=2NC時(shí)；當(dāng)

NC=2N5時(shí)，然后分別進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：???△N3C是“倍角三角形”,

分四種情況：

當(dāng)N/=2N3=90°時(shí)，

.,./8=45°,

AABC是等腰直角三角形,

\'BC=4,

.'.AB=AC=方方2匹

???的面積=145?/。=工><2&義2&=4；

22

當(dāng)NZ=2NC=90°時(shí)，同理可得：ZX/BC的面積為4；

當(dāng)NB=2NC時(shí),

VZA=90°,

：?/B+NC=90°,

*.?/B=2/C,

/.ZC=30°,NB=60°,

9：BC=4,

:?AB=1~BC=2,4。=愿45=2愿，

2

???AABC的面積=L5?4。=工X2X2?=2?；

22

當(dāng)NC=2N5時(shí)，

VZA=90°,

???N5+NC=90°,

VZC=2Z5,

???N5=30°,ZC=60°,

?；BC=4,

.\AC=—BC=2,AB=y[^AC=2yl"^,

：.的面積=X15?4C=工X2%X2=2?；

22

綜上所述：△45。的面積為4或2日，

故答案為：4或2%.

9.（2022?金牛區(qū)模擬）射線45繞點(diǎn)力逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a°,射線A4繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)/,0°<a<90°,

0°<6<90°,旋轉(zhuǎn)后的兩條射線交點(diǎn)為C,如果將逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)記為“+”，順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)記為

則稱（a,-6）為點(diǎn)C關(guān)于線段的“雙角坐標(biāo)”，如圖1,已知△/8C,點(diǎn)C關(guān)于線段的

“雙角坐標(biāo)”為（50,-60）,點(diǎn)C關(guān)于線段5/的“雙角坐標(biāo)”為（-60,50）.如圖2,直線?=

交x軸、y軸于點(diǎn)/、B,若點(diǎn)。關(guān)于線段N8的"雙角坐標(biāo)"為（-m,n）,y軸上一點(diǎn)E關(guān)

于線段N8的“雙角坐標(biāo)”為（-n,m）,AE與BD交點(diǎn)、為F,若△/￡>￡與△4D尸相似，則點(diǎn)尸在該平

【分析】由交x軸、y軸于點(diǎn)/、B,可得點(diǎn)2的坐標(biāo)為（0,如）,OB=M；點(diǎn)/的坐標(biāo)

為（-1,0）,OA=1,ZABO=30°,ZOAB=60°,分別求得直線5尸的解析式為：y=-x+V3，直

線/尸的解析式為：y=（V3-2）x+V3-2,聯(lián)立方程組即可得出點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【解答】解：?.）=?什遙交x軸、y軸于點(diǎn)/、B,

.,.當(dāng)x=0