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文檔簡介
A卷18題:【反比例函數(shù)與一次函數(shù)壓軸】專題練習(xí)
1.(2022?成都中考)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xQy中,一次函數(shù)y=-2x+6的圖象與反比例函數(shù)y=勺的
X
圖象相交于4(。,4),B兩點(diǎn).
⑴求反比例函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)3的坐標(biāo);
(2)過點(diǎn)A作直線NC,交反比例函數(shù)圖象于另一點(diǎn)C,連接3C,當(dāng)線段NC被了軸分成長度比為1:2的兩
部分時(shí),求的長;
(3)我們把有兩個(gè)內(nèi)角是直角,且一條對(duì)角線垂直平分另一條對(duì)角線的四邊形稱為“完美箏形”.設(shè)尸是第三
象限內(nèi)的反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn),。是平面內(nèi)一點(diǎn),當(dāng)四邊形是完美箏形時(shí),求尸,。兩點(diǎn)的坐
(2)4夜或平
⑶(-4,-1),(-1,5)
【分析】(1)首先把點(diǎn)/的坐標(biāo)代入了=-2X+6,即可求得點(diǎn)/的坐標(biāo),再把點(diǎn)/的坐標(biāo)代入>=&,即可
X
求得反比例函數(shù)的解析式,再利用方程組,即可求得點(diǎn)8的坐標(biāo);
(2)設(shè)直線/C的解析式為y=fcc+6,點(diǎn)C的坐標(biāo)為[加直線NC與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)。,把點(diǎn)/、。的
坐標(biāo)分別代入產(chǎn)a+b,可求得點(diǎn)。的坐標(biāo)為,,+£],可求得N。、CD的長,再分兩種情況分別計(jì)算,
即可分別求得;
4
(3)方法一:如圖,過點(diǎn)3作尸5,45,父》=—的另一支于點(diǎn)夕,過點(diǎn)。作不軸的平行線,過點(diǎn)3作x軸的
垂線,交于點(diǎn)C,作8c交于點(diǎn)D,設(shè)80,4P交于點(diǎn)刊,根據(jù)A/DBSABCP,求得點(diǎn)P的坐標(biāo),進(jìn)
而求得4P的解析式,設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(a,b),根據(jù)定義N0=AS以及M在直線4戶上,建立方程組,即可
求得點(diǎn)。的坐標(biāo).
【詳解】(1)解:把點(diǎn)/的坐標(biāo)代入了=-2%+6,
得4=-2°+6,解得a=l,
故點(diǎn)/的坐標(biāo)為(1,4),
k
把點(diǎn)4的坐標(biāo)代入丁=一,
x
得k=4,
4
故反比例函數(shù)的表達(dá)式為歹=—,
x
y=-2x+6
<4,
y=-
IX
得f—3x+2=0,
解得%=1,馬=2,
故點(diǎn)/的坐標(biāo)為(1,4),點(diǎn)3的坐標(biāo)為(2,2);
(2)解:設(shè)直線NC的解析式為產(chǎn)區(qū)+6,點(diǎn)C的坐標(biāo)為[相,:)直線/C與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)。,
把點(diǎn)4、C的坐標(biāo)分別代入^=履+6,得
%+6=4
<774,
mk+b=一
、m
k=~—
解得m,
6=4+3
、m
故點(diǎn)。的坐標(biāo)為(o,4+\J,
"=J(OT『+[4+:4]
CD=.(m-O)2+f—-4-—1=J/+16,
Vm)
如圖:當(dāng)/O:CD=1:2時(shí),連接BC,
解得加2=4或加2=—16(舍去),
故加二-2或冽=2(舍去),
故此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(?2,?2),
/.BC=J(-2-2/+(—2-2『二彳夜,
2+16_1]A
得I詔―2,得4加2_版+63=0,
V加2
得癡+63m2-16=0,
解得加2=_^或療=_]6(舍去),
故機(jī)=一;或加=;(舍去),
故此時(shí)點(diǎn)c的坐標(biāo)為1-g,-q,
+(「)丁孚
綜上,8C的長為4逝或%收;
4
(3)解:如圖,過點(diǎn)5作尸8,力8,交丁二一的另一支于點(diǎn)尸,過點(diǎn)。作入軸的平行線,過點(diǎn)8作工軸的
x
垂線,交于點(diǎn)C,作/。工8C交于點(diǎn)。,設(shè)8。,/月交于點(diǎn)新,如圖
。(2,4)
設(shè)尸機(jī),3,m<Q,則尸C=2—用,8C=2—2,。8=2,4。=1
Vrn)m
-ZABP=90°
/./ABD=90°-ZPBC=ZBPC
又/D=/C
「?AADBS^BCP
.AD_DB
'~BC~~PC
1_2
即D42—m
z-----
m
解得冽=-4或冽=2(舍去)
則點(diǎn)P(-4,一1)
設(shè)直線PN的解析式為y=sx+r,將點(diǎn)/(1,4),尸(-4,-1)
(~4s+t=-1
[s+/=4
[s=1
解得*.
:?直線尸/的解析式為x+3
設(shè)QS,6),根據(jù)題意,2。的中點(diǎn)M在直線P8上,則M
QA=AB=ylAD2+DB2=V22+l2=也
a+2,b+2
------+3=-------
則《22
("1)2+(1)2=5
[<7=-1[a=0
解得八〈或入〃(在直線N8上,舍去)
\b=5p=6
■■.2(-1,5).
綜上所述,^(-4,-1),2(-1,5).
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合,利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及反比例函數(shù)的解析式,平
面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間距離公式,相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí),采用分類討論的思想和待定系數(shù)法求
解析式是解決本題的關(guān)鍵.
2.(2022?四川省成都市七中育才學(xué)校二模)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=3x+b經(jīng)過點(diǎn)-1,0),
k
與>軸正半軸交于8點(diǎn),與反比例函數(shù)V=-(x>0)交于點(diǎn)C,且4C=348,AD〃x軸交反比例函數(shù)
(2)如圖1,若點(diǎn)£為線段3c上一點(diǎn),設(shè)E的橫坐標(biāo)為加,過點(diǎn)E作E尸〃3。,交反比例函數(shù)y=&(x>0)
X
于點(diǎn)F.若=求相的值.
(3)如圖2,在(2)的條件下,連接陽并延長,交x軸于點(diǎn)G,連接OD,在直線OD上方是否存在點(diǎn)”,
使得與AODG相似(不含全等)?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)”的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)3,18
(2)m=l
(3)存在,0,勺或口⑶或色彳"1^,,
【分析】(1)將點(diǎn)A代入一次函數(shù)求出6的值,然后根據(jù)NC=3/8求出點(diǎn)C的坐標(biāo),即可求出反比例函
數(shù)的解析式;
(2)將E點(diǎn)橫坐標(biāo)代入>=3x+3,求出縱坐標(biāo),根據(jù)斯〃8。即可知道廠的縱坐標(biāo),代入反比例函數(shù)的
解析式,求出廠的橫坐標(biāo),即可表示出E尸的長度,同理將8點(diǎn)縱坐標(biāo)代入反比例函數(shù)求出。點(diǎn)橫坐標(biāo),
從而表示出BD的長,根據(jù)EF=;BD列方程即可求解加的值;
(3)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可知,需要分三種情況,當(dāng)/HO£>=/DOG時(shí),當(dāng)/"OD=/DG。時(shí),當(dāng)
=時(shí)三種情況,分別畫出圖形,列出等式求解即可.
(1)
作CMLx軸于如圖1:
圖1
???ZBOA=ZCMA,ZBAO=ZCAM,
/.ABOAsKMA,
?.?直線y=3x+b經(jīng)過點(diǎn)
—3+b=0,
解得6=3,
???直線解析式為:V=3X+3,
???5(0,3),
AC=3ABf
CM=3BO=9,AM=30A=3,
.??C點(diǎn)坐標(biāo)為(2,9),
將C點(diǎn)坐標(biāo)代入y=8,
得左=18.
(2)
BD//x軸,
1Q
.:。點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3,代入了=一,
X
得x=6,
?:£>點(diǎn)坐標(biāo)為(6,3),
將E點(diǎn)橫坐標(biāo)代入y=3x+3,
得》=3加+3,
???EF//BD
二."點(diǎn)縱坐標(biāo)為3加+3,
418
代入戶一,
x
得X=;,
m+1
:.F點(diǎn)坐標(biāo)為[—^―,3加+31,
I機(jī)+1)
-EF=-BD,
3
61,
------771=—X0,
m+1-----3
解方程得加=1或-4(舍),
:.m=\.
(3)
存在,理由如下:
如圖2,過點(diǎn)。作軸于點(diǎn)。,
由⑵知。(3,6),尸(6,3),
直線FD的解析式為:y=-x+9,00=6,00=3,
0G=9,
-DQ.G0=3,
ZQGD=ZQDG=45°.
OD=3y/5,DG=372.
I、當(dāng)/〃OD=NOOG時(shí),如圖2所示,設(shè)BD與OH交于點(diǎn)、P,
,ZBDO=ZDOG,
ZBDO=ZHOD,
:.OP=PD,
設(shè)OP=m,則BP=6-m,
在必AOBP中,由勾股定理可得,32+m2=(6-m)2,解得加=,;
4
???直線OP的解析式為:y=§x;
①若AODGSAODH,則OD:OD=OG:OH=l,不符合題意,舍去;
②若AODGSAOHD,
OD:OH=OG:OD,即3A/5:OH=9:3舊,
解得麗=5,
設(shè)“(3/,包,
⑶。+(4爐=52,
解得"1,負(fù)值舍去,
.??”(3,4);
II、當(dāng)時(shí),
圖3
①若AODGSADHO,如圖4,
ZDOG=ZODH,DG:OH=OG:DO,
:.DHHOG,即點(diǎn)〃在2。上,3亞:OH=9:36,
:.0H=屈,
BH=1,
???”(1,3),直線OH的解析式為:y=3x;
②若"DGsAHDO,
:.DG:OD=OG:OH,即3后:3A/5=9:OH,
解得OH=為低,
2
設(shè)
9
解得"5,負(fù)值舍去,
,直線S的解析式為:>=—x;
①若AODGsADOH,則。OD=OG:DH=\,不符合題意,舍去;
②若AODGSAHOD,如圖5,
OD:OH=DG:OD,即36:OH=3c:375,
解得OH="也,
2
設(shè)H&f,
.?/2+(T)2=(qi)2,
解得/=-£,正值舍去,
【點(diǎn)睛】本題屬于反比例函數(shù)綜合問題,涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,相似三角形的性質(zhì)與判定,分類
討論思想;用坐標(biāo)表示線段長度,然后列方程是解決這類試題的關(guān)鍵.
3.(2022?四川成都?二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線y=-與反比例函數(shù)夕=色的圖象交于A
2x
(2,m),3兩點(diǎn).
圖1圖2
(1)求直線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)如圖1,過點(diǎn)/的直線分別與x軸,了軸交于點(diǎn)“,N,若AM=MN,連接求△ZBM的面積;
k
(3)如圖2,以為邊作平行四邊形/BCD,點(diǎn)。在y軸負(fù)半軸上,點(diǎn)D在反比例函數(shù)y=—(左V0)的
x
圖象上,線段與反比例函數(shù)>=右(左<0)的圖象交于點(diǎn)E,若空=;,求左的值.
xAE1
【答案】(1%=-1x+4
(2)7
⑶-3
【分析】(1)將/(2,加)代入直線>=-與反比例函數(shù)y=£,可得答案;
2X
(2)首先求出交點(diǎn)2的坐標(biāo),過點(diǎn)/作軸于尸,利用△MWs/^vp/,可得?!钡拈L,從而得出
的長,再計(jì)算S^ABM=SAADM-S4BDM即可;
(3)設(shè)C(0,。),利用平行四邊形的性質(zhì)可得。(-4,。+2),過。作x軸的平行線/,過點(diǎn)4£作/
的垂線,垂足分別為G,H,根據(jù)△DEGs△£>/”,表示出點(diǎn)£的坐標(biāo),從而得出方程解決問題.
(1)
解:當(dāng)x=2時(shí),反比例函數(shù)y=g=3,
:.A(2,3),
將點(diǎn)/(2,3)代入y=-yx+b,得
3=-yx2+b,
解得:6=4,
一次函數(shù)的解析式為y=-yx+4;
(2)
解:聯(lián)立兩函數(shù)解析式,得
14
y=——x+4
玉=2X=6
/2,解得:2
6/=3%=1
y
X
???8(6,1),
當(dāng)y=0時(shí),-1~x+4=0,
.*.x=8,
AD(8,0),
過點(diǎn)4作4尸,歹軸于尸,
圖1
9:OM//AP,
:.ANOMsANPA,
.OMMN
,?AP~AN'
VAP=2,AM=MN,
,OM_1
??一,
22
OM=1,
:.MD=7,
:.S^ABM=S^ADM-SABDM=;x7x(3-l)=7;
(3)
設(shè)C(0,a),
?/四邊形N3CD是平行四邊形,
:.AB//CD,AB=CD,
:.D(-4,a+2),
過。作x軸的平行線/,過點(diǎn)/,垂足分別為G,H,
:./AHD=ZEGD,NEDG=ZADH,
:.△DEGs^DAH,
.DGEGDE_1
''DH~AH~AD~3'
,1111
..DG——DH—2,EG=—AH--------a,
3333
27
...點(diǎn)£(-2,—ClH—),
33
■:點(diǎn)D、E都在反比例函數(shù)尸與上,
27
-2X(—dH—)=-4(a+2),
33
解得。=-
4
:.k=-4(a+2)=-4X(--+2)=-3.
4
【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)綜合題,主要考查了函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征,反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)
圖象的交點(diǎn)問題,平行四邊形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí),作輔助線構(gòu)造相似三角形是解題
的關(guān)鍵.
4.(2022?四川成都?二模)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線尸-gx+3與x軸、y軸分別交于尸,E
兩點(diǎn),與反比例函數(shù)歹=;(》>0)的圖象交于點(diǎn)4(3,々)和點(diǎn)叢
圖1備用圖
(1)求反比例函數(shù)解析式和B點(diǎn)坐標(biāo);
(2)如圖1,連接CM,尸為線段。尸上一點(diǎn),使得S△4求P點(diǎn)坐標(biāo);
9
(3)在反比例函數(shù)y=5(x>0)圖象上是否存在一點(diǎn)M(不與/重合),直線分別與x軸,y軸交于點(diǎn)C,
。兩點(diǎn),使得以4C,尸為頂點(diǎn)的三角形與VADE相似,若存在,請(qǐng)求出此時(shí)直線的解析式;若不存
在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)夕=9;3(6,1)
(2*(4,0)
(3)存在,y=-3x+11
【分析】(1)把點(diǎn)力的坐標(biāo)代入直線解析式即可求得點(diǎn)力的坐標(biāo),再代入反比例函數(shù)即可求得反比例函數(shù)
的解析式;設(shè)點(diǎn)2口,-;1+3)代入反比例函數(shù)中,可求得點(diǎn)8坐標(biāo);
(2)由直線解析式可求得£、廠兩點(diǎn)的坐標(biāo),利用面積關(guān)系及割補(bǔ)思想即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)過點(diǎn)/作軸于點(diǎn)“,利用相似三角形的性質(zhì)可求得點(diǎn)C的坐標(biāo),即可求得直線的解析式.
(1)
由題意,把點(diǎn)/坐標(biāo)代入直線y=-gx+3中,得:a=-1x3+3=2,
即4(3,2);
把點(diǎn)/代入反比例函數(shù)解析式中得:左=2x3=6,
...反比例函數(shù)的解析式為>=9;
X
設(shè)點(diǎn)+代入反比例函數(shù)了=:中,得:x(-;x+3]=6,
解得:項(xiàng)=6,々=3(舍去),
則_gx6+3=l,
.?.點(diǎn)2坐標(biāo)為(6,1);
(2)
如圖,設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(a,0).
在直線N=-;x+3中,令產(chǎn)0,得產(chǎn)3;令產(chǎn)0,得x=9,
即E(0,3),F(9,0);
191
X
S△&AOc/zEs=—2x3x3=—2,S△AAuOrF=2—9X2=9,
?SAPAB=gSAOAE,SAPAB=S“OF-SAAOP-S&BPF,
1159
A9——ax2——(9-tz)xl=-x-,
2292
Q=4,
即點(diǎn)尸坐標(biāo)為(4,0);
(3)
存在;
過點(diǎn)4作軸于點(diǎn)H
當(dāng)NCDO=N4/。時(shí),
/DAE=NFAC,
:.ADAEsAFAC,
VZDOC=ZFOE=90°,
/.△DOCsBOE,
.OPOF9
''~OC~~OE~3~
即OD=3OC;
,JAH//OD,
:.AAHCsADOC,
.AH_0D
??一—3,
HCOC
即AH=3HC;
??Z(3,2)
:.OH=3,AH=2,
:.HC=-AH=~,
33
211
.??OC=OH+HC=3+-=—,
33
即點(diǎn)C坐標(biāo)為
設(shè)直線的解析式為y=去+b,
3左+6=2
由題意得:,11,,八,
——k+b=O
[3
解得:
6=11
直線NM的解析式為N=-3x+ll.
【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)的綜合,考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì),待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,相似三
角形的判定與性質(zhì),三角形面積,函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識(shí),靈活運(yùn)用這些知識(shí)是解決問題的關(guān)
鍵.
k
5.(2022?四川成都?二模)如圖1,一次函數(shù)/=-3》+12的圖象與反比例函數(shù)>=—(左>0)的圖象相交于
(1)當(dāng)人=9時(shí),求A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo);
⑵在(1)的條件下,反比例函數(shù)圖象的另一支上是否存在一點(diǎn)P,使』上43是以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)的直角三
角形?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說明理由;
(3)如圖2,連接/。并延長交反比例函數(shù)>=&(左>0)圖象的另一支于點(diǎn)C,連接8C交y軸于點(diǎn)G.若
X
||=2,求反比例函數(shù)的表達(dá)式.
CG
【答案】⑴/(1,9),B(3,3)
(2)(-9,-1)
32
9
【分析】(1)把心9代入反比例解析式,得尸三,聯(lián)立兩函數(shù)解析式,得方程組,求解即可;
x
(2)當(dāng)N4BP=90。,過點(diǎn)3作于證明求出M坐標(biāo),再求直線BM交點(diǎn)、
即可;
BsBG
(3)過點(diǎn)5作5S_Ly軸于點(diǎn)S,過點(diǎn)。作CTUy軸于點(diǎn)T,證△CTGSZ\5SG,得一=——=2,所以
CTGC
kkkkk
BS=2CT,設(shè)C(-加,---),B(2m,~一),則4(加,一),把4(冽,一),B(2m,--)代入^=-31+12,得
m2mmm2m
?!璳
-3m+12=一
m
<7,解之求出左值即可.
-6m+l2=----
、2m
(1)
9
解:當(dāng)Q9時(shí),則反比例函數(shù)解析式為y=—,
x
7=3+12r1(3
聯(lián)立得9,解得:0,2°
y=-〔耳=91%=3
IX
:A在3的左側(cè),
:.A(1,9),B(3,3);
(2)
:.OH=3,BH=3,
由(2)①知0E=4,
:.HE=1,
;BH_LOE于H,
:.ZBHE=90°,
由勾股定理,得BE=YJBH2+HE2="+F=V10,
ZBHE=ZEBM=90°,
,:/BEH=/MEB,
:.ABHEsAMBE,
.B^_HE_mV101
ME~BE'ME一回
:.ME=10,
:.OM=ME-OE=10-4=6,,
:.M(-6,0),
設(shè)直線BM解析式為:y=mx+n,
1
-6m+n=0m=—
,解得:3,
3加+〃=3
n=2
二直線/N解析式為:歹=;x+2,
1c
y=—x+2
3xx=-9x2=3
聯(lián)立,解得:
9必二T力=3
歹二一
:.P(-9,-1);
綜上,點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(-9,-1).
(3)
解:過點(diǎn)3作軸于點(diǎn)S,過點(diǎn)C作CTUy軸于點(diǎn)T,
:.^CTGs叢BSG,
,BSBG
??------------=2,
CTGC
:.BS=2CT,
kk
設(shè)C(-冽,),5(2m,—),
m2加
???點(diǎn)4、。在反比例函數(shù)圖象上,4C過原點(diǎn),
???點(diǎn)/與點(diǎn)。關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,
.\A(m,一),
m
把4(m,1),5(2冽代入尸-3x+12,得
m2m
4
-3m+12=—m=-
\,解得:3
-6m+12=—
2m
32
反比例函數(shù)的表達(dá)式為:尸w=
x3x
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的綜合題,相似三角形的判定和性質(zhì),待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式,正確
的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.
6.(2022?四川成都?二模)如圖,一次函數(shù)歹=丘-4左的圖象與x軸、了軸分別交于點(diǎn)/、點(diǎn)3與反比例
2
函數(shù)y=Jx>0)的圖象交于點(diǎn)C、點(diǎn)D
(1)直接寫出點(diǎn)8的坐標(biāo);
(2)作軸于E,作。尸_Lx軸于尸.連接E尸,求證:EF//CD,
⑶若點(diǎn)N在x軸上,且滿足/CND=90。的N點(diǎn)有且只有一個(gè),求人的值.
【答案】(1)(4,0)
⑵見詳解
(3次的值為-1
【分析】(1)一次函數(shù)了=依-4左,令尸0,解方程可得x的值,可得點(diǎn)2的坐標(biāo);
(2)設(shè)點(diǎn)C、點(diǎn)。的橫坐標(biāo)分別為孫n,聯(lián)立一次函數(shù)與反比例函數(shù),可得加+力=4,由題意可得點(diǎn)/的
OFnOF
坐標(biāo)為(0,-4左),可得=:==,進(jìn)而可證瓦7/CD;
7O7AT4OB
CPPN
(3)過點(diǎn)C、。分別作CP、DQ垂直于x軸,易得ACNPs4NDQ,可得而=而,設(shè)N(x,0),代
入可得關(guān)于尤的一元二次方程,因?yàn)榇嬖谖ㄒ坏狞c(diǎn)N,所以方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,可得左的值.
(1)
解:點(diǎn)8的坐標(biāo)為(4,0)
點(diǎn)8為一次函數(shù)與x軸的交點(diǎn),當(dāng)y=0時(shí),kx-4k=Q,x=4,
.?.點(diǎn)8的坐標(biāo)為(4,0).
(2)
2
證明:一次函數(shù)歹=h-4后的圖象與反比例函數(shù)>=((x>0)的圖象交于點(diǎn)°、點(diǎn)。兩點(diǎn),
2
kx—4k——,
x
kx2—4Ax—2=0,
設(shè)點(diǎn)。、點(diǎn)。的橫坐標(biāo)分別為加,n,
則m+n=4,
如圖,由點(diǎn)C是一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象的交點(diǎn),
2
**?點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為一,
m
22
代入一次函數(shù)解析式得:—=km—4k,則左二1―-,
mm(rn—4)
由題意可得,點(diǎn)4的坐標(biāo)為(0,-4左),
2_
OE_~m_1_1_m-4
,示―與—_2加左—2m2—4'
又m+n=4,
m-4=-n,
.OE_m-4_-n_n
,U~OA~-4~^4~4
OFnOE
2
解:一次函數(shù)歹=履-4左的圖象與反比例函數(shù)歹=((x〉0)的圖象交于點(diǎn)。、點(diǎn)。兩點(diǎn),
2
kx-4k=—,
x
**.kx1—Akx—2=0,
設(shè)點(diǎn)C、點(diǎn)。的橫坐標(biāo)分別為加,n
貝!Jm+〃=4,mn=—
k
如圖,過點(diǎn)C、D分別作CP、DQ垂直于X軸,
O\PNQ4x
當(dāng)ZCND=90°時(shí),ZCNP+ZDNQ=90°,
又/CNP+/NCP=90°,
ZNCP=ZDNQ,
:ACNPs叢NDQ,
.CPNP
,?而一而‘
設(shè)N(x,0),
2_
r,x-m
則一^m=—,
n—x/
-x2+(加+n)x-mn=—,
mn
7
即X1-Ax——2左=0,
2X
當(dāng)△=(_4)9一4(——2左)=16+—+8左=0時(shí),
kk
即4-1時(shí),滿足/。\。=90。的N點(diǎn)有且只有一個(gè)
即左的值為-1.
【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)綜合題,主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題,一元二次方程根
與系數(shù)的關(guān)系,根的判別式,比例線段等,綜合分析問題,靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.
7.(2022?四川成都?二模)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形OA8C的邊04,OC分別在x軸和>軸
上,頂點(diǎn)8的坐標(biāo)為(4,2),反比例函數(shù)>=々》>0)的圖象經(jīng)過對(duì)角線?的中點(diǎn)£,與矩形的邊8C,氏4分
X
別交于點(diǎn)尸,G,設(shè)直線尸G的函數(shù)表達(dá)式為了="+以
備用圖
k
(2)利用圖象,直接寫出當(dāng)G+64—時(shí)x的取值范圍;
X
⑶若點(diǎn)P在矩形的邊。/上,且△PPG為等腰三角形,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
【答案】⑴發(fā)《,
(2)0<xVl或xZ4
小,。]或
:,0)或(4一而,0).
(3)
k2)
【分析】(過點(diǎn)作于點(diǎn)先證明則篇=黑=器=!
1)EAOMESAOCB,然后求出點(diǎn)
(JBnCC/C2
E的坐標(biāo);然后再求出點(diǎn)尸G的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法即可求出答案;
(2)利用圖像法,即可求出辦+64公時(shí)x的取值范圍;
X
(3)由題意,可分為3種情況進(jìn)行分析:當(dāng)G/=尸尸時(shí);當(dāng)尸尸=PG時(shí);當(dāng)G/=PG時(shí);分別求出每一
種情況的答案即可.
(1)
NOME=ZOCB=90°,ZMOE=ZCOB.
AOMES^OCB.
點(diǎn)片為對(duì)角線03的中點(diǎn),
,OEMEOM\
"'OB~^C~~OC~2,
V5(4,2),
OM=—OC=1,EM=—BC=2.
22
???E(2,l).
??,反比例函數(shù)歹="a〉o)的圖象經(jīng)過點(diǎn)E,
x
k
.\1=-,即左=2.
2
2
???、=一.
x
??,點(diǎn)RG分別在矩形的邊5。,區(qū)4上,
???設(shè)廠(加,2),G(4/).
2
???點(diǎn)R6在歹=一上,
x
m=l,n=—.
2
尸(1,2),G(4,\.
將尸(1,2),G(4,.分別代入廣辦+b得:
a+b=2
I4a+b7=—1,
I2
1
a=——
解得J,
b=-
l2
?15
,?y——xH—.
22
k=2,a——,b=一.
22
(2)
解:?.?歹(1,2),63,,
...結(jié)合圖象可知:當(dāng)0<xWl或X之4時(shí),^ax+b<~.
X
(3)
解::△PPG為等腰三角形,設(shè)尸(x,0),
V尸(l,2),G[4,g],
GF2=9+1=y,PF2=(x-1)2+4,PG2=(x-4)2+.
45
當(dāng)GP=P尸時(shí),y=(X-1)2+4,
解得:x=絲.(負(fù)值舍去)
2
當(dāng)尸尸=PG時(shí),同理可得:x=—.
8
當(dāng)GA=PG時(shí),同理可得x=4土而.(4+a1舍去)
綜上,點(diǎn)尸的坐標(biāo)為["g,。]或0]或(4-而,0).
12J18J
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì),反比例函數(shù)的性質(zhì),一次函數(shù)的圖像和性質(zhì),等腰三角形
的定義等知識(shí),解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識(shí),運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行分析.
8.(2022?四川成都?二模)如圖,直線>=2x與反比例函數(shù)y=?(x>0)的圖象交于點(diǎn)/(加,6),以。4為邊
作出AA8。,使點(diǎn)B在第二象限,ZAOB=90°,AO=2BO.
X
(2)求直線的表達(dá)式;
k
(3)過點(diǎn)B的反比例函數(shù)》=:(%<0)與直線AB的另一個(gè)交點(diǎn)為C,求NBOC的面積.
1Q
【答案】⑴V—
315
⑵尸產(chǎn)了;
【分析】(1)先求出點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,6),再代入反比例函數(shù)丁=?(x>0)即可求出勺=18;
(2)過A作軸,垂足為點(diǎn)。,過8作軸,垂足為點(diǎn)£,證明ABOESAOAD,根據(jù)相似的
性質(zhì)得到813,1),根據(jù)待定系數(shù)法即可求出直線45的解析式;
(3)求出反比例函數(shù)>=幺的表達(dá)式為>=-之,與直線N8聯(lián)立方程組求出點(diǎn)C坐標(biāo),設(shè)43交7軸于
x2x
F,則則O尸=9,利用割補(bǔ)法即可求出ASOC的面積.
(1)
角軍:把4(機(jī),6)帶入y=2x得6=2加,
m=3,
二/(3,6),
把A(m,6)帶入反比例函數(shù)y=\(x>0)得6=g,
《=18,
1o
反比例函數(shù)的表達(dá)式為"";
X
(2)
解:過A作4D_Lx軸,垂足為點(diǎn)。,過8作8瓦Lx軸,垂足為點(diǎn)E,
???N4=N5=90°,N2+N3=90°,
IZAOB=90°,
???Zl+Z2=90°,
???N1=N3,
fZ4=Z5
在MOE和AO4。中〈八「,
=N3
^BOESAOAD,
,BEEO_BO
"'OD~^A~~OA,
.BE_EO
??—―,
362
3
:.BE=—,EO=3,
設(shè)直線45的解析式為V=b+"
/3、3左+6=6
把點(diǎn)/(3,6),8-3,不代入得-3,
k2)-3k+b=—
解得;
b=—
I4
315
???直線"的解析式為廣片+了;
(3)
解:把《-3,3帶入反比例函數(shù)y=}(x<0)得心=-|,
反比例函數(shù)”^的表達(dá)式為>=-2,
x2x
石二—3
3
設(shè)N8交y軸于尸,則尸則OF^―
4
:.NBOC的面積=!x"x3-』x"義2="
24248
【點(diǎn)睛】本題為反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合題,考查了相似等知識(shí),綜合性較強(qiáng),熟知相關(guān)知識(shí),添加輔
助線,構(gòu)造相似是解題關(guān)鍵.
9.(2022?四川成都?模擬預(yù)測(cè))如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=3x+6經(jīng)過點(diǎn)/(-1,0),與夕軸正
左k
半軸交于5點(diǎn),與反比例函數(shù)>=一(x>0)交于點(diǎn)C,S.AC=3AB,AD〃x軸交反比例函數(shù)〉=一(x>
xx
0)于點(diǎn)D.
⑴求直線y=3x+6的表達(dá)式;
⑵求人的值.
k
(3)若點(diǎn)E為射線2c上一點(diǎn),設(shè)E的橫坐標(biāo)為機(jī),過點(diǎn),E作EF〃BD,交反比例函數(shù)>=一(x>0)于點(diǎn)
x
F.若EF=;BD,求m的值.
【答案】(l?=3x+3
(2)418
(3)m=l或1+廠
【分析】(1)將點(diǎn)/代入一次函數(shù)求出6的值,即可求得一次函數(shù)的解析式;
(2)根據(jù)NC=3/2,結(jié)合相似三角形的判定和性質(zhì)求出點(diǎn)C的坐標(biāo),即可求出反比例函數(shù)的解析式;
(3)將E點(diǎn)橫坐標(biāo)代入y=3x+3,求出縱坐標(biāo),根據(jù)防〃即可知道尸的縱坐標(biāo),代入反比例函數(shù)的
解析式,求出廠的橫坐標(biāo),即可表示出£尸的長度,同理將8點(diǎn)縱坐標(biāo)代入反比例函數(shù)求出。點(diǎn)橫坐標(biāo),
從而表示出BD的長,根據(jù)8。列方程即可求解加的值.
(1)
解::直線尸3x+b經(jīng)過點(diǎn)4(-1,0),
.,.-3+6=0,
解得6=3,
?,?直線解析式為:y=3x+3;
(2)
作C〃J_x軸于“,如圖所示:
VZBOA=ZCHA,ZBAO=ZCAH,
:.△BOAs^CHA,
...由(1)可知點(diǎn)2(0,3),
;AC=3AB,
:.CH=3BO=9,4H=304=3,
.?.點(diǎn)C坐標(biāo)為(2,9),
???將點(diǎn)C坐標(biāo)代入y=X,得QI8.
X
(3)
,??瓦)〃次軸,
1Q
???點(diǎn)。的縱坐標(biāo)為3,代入y=一,得尸6,
x
二點(diǎn)。坐標(biāo)為(6,3),
將點(diǎn)E橫坐標(biāo)代入y=3x+3,
得產(chǎn)3冽+3,
?:EF〃BD,
???點(diǎn)/縱坐標(biāo)為3加+3,
,;BD=6,EF=-BD
39
???點(diǎn)T7坐標(biāo)為(m+2,3m+3)或(冽-2,3冽+3),
.?.(加+2)(3加+3)=18①或(加—2)(3加+3)=18②
解方程①得m=l或-4,
解方程②得機(jī)=上叵,
2
??,點(diǎn)E為射線BC上一點(diǎn),
?1—p.1+、33
..m=l或------.
2
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合,用坐標(biāo)表示線段長度,然后列方程是解決這類試題的
關(guān)鍵.
10.(2022?四川成都?二模)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A,B在反比例函數(shù)y=g(x>0)的圖象
上(點(diǎn)3在點(diǎn)A右側(cè)),過點(diǎn)A作X軸的平行線,過點(diǎn)B作歹軸的平行線,兩線相交于點(diǎn)C,OC交4B于
點(diǎn)、E,過點(diǎn)B作8O〃x軸交OC于點(diǎn)。,連接4D.設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1,點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為加.
(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)及直線0C的表達(dá)式(直線OC表達(dá)式用含加的式子表示);
⑵求證:四邊形為矩形;
(3)若44OC=2乙4c。,求加的值.
【答案】(1)/(1,1),OD的表達(dá)式為〉
m
(2)見解析
⑶2+百
【分析】(1)根據(jù)反比例函數(shù)解析式以及點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1,點(diǎn)8的橫坐標(biāo)為冽,分別求得點(diǎn)43的坐
標(biāo),然后求得點(diǎn)C的坐標(biāo),即可求得直線。。的表達(dá)式;
(2)根據(jù)直線0C的解析式,求得點(diǎn)。的坐標(biāo),進(jìn)而證明/DIB。,結(jié)合BCLBD,/C/BC即可證明
ADBC是矩形;
(3)根據(jù)題意可得4。=/£,求得點(diǎn)£的坐標(biāo),即可求得加的值.
(1)
???點(diǎn)A,8在反比例函數(shù)y=g(x>0)的圖象上,點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1,點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為心,
??,/C〃x軸,軸,
:.ACLBC,
???3C〃y軸,AD〃x軸,
/.BCLBD,
設(shè)直線OC的表達(dá)式為y=kx,則1=碗,
解得左=L
m
直線OC的表達(dá)式為V=Lx;
m
(2)
?.,。在歹=4■上,點(diǎn)3的橫坐標(biāo)為機(jī).軸,
/.40〃y軸,
AD1BD,
■:BC1BD,AC1BC,
ZADB=ZDBC=/ACB=90°,
.??四邊形/CB。為矩形;
(3)
v四邊形為矩形;
AE=CE
ZEAC=ZECA
NAEO=2ZACO
yZAOC=2ZACO
ZAEO=ZAOC
:.AO=AE
??T(l」),5m,—
m
1+m\+m
2'2m
AO=41+1=42,AE=
角牟得"?=2+行或機(jī)=2-g或加=-1(舍)
???點(diǎn)8在點(diǎn)A右側(cè),則/77>1,
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與幾何圖形,矩形的性質(zhì)與判定,等角對(duì)等邊,勾股定理,數(shù)形結(jié)合是解
題的關(guān)鍵.
II.(2022?四川成都?二模)如圖,點(diǎn)和點(diǎn)3是反比例函數(shù)必=?后>0,x>0)圖象上的兩點(diǎn),一次
函數(shù)>2="+2(。wo)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A,與歹軸交于點(diǎn)C,過點(diǎn)8作軸,垂足為。,連接
OA.OB.已知AOAC與AOBD的面積滿足S^OAC:S^OBD=2:3.
⑴求AQ4c的面積和k的值;
(2)求直線NC的表達(dá)式;
⑶過點(diǎn)B的直線分別交x軸和V軸于兩點(diǎn),NB=2MB,若點(diǎn)尸為NMON的平分線上一點(diǎn),且滿
足OP1=OM>ON,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo).
【答案】(1)],3
(2)%=x+2
【分析】(1)首先可知C的坐標(biāo),從而得出△O/C的面積,再根據(jù)工。數(shù):4。皿=2:3得工。處的值,則可
根據(jù)反比例函數(shù)的人的幾何定理,即可解答;
(2)由點(diǎn)/(I,加)在反比例函數(shù)圖象上,代入/點(diǎn)坐標(biāo)求出機(jī)值,從而得出/點(diǎn)坐標(biāo),則可利用待定系數(shù)
法求直線NC解析式;
(3)設(shè)2(a,b),分兩種情況討論,即點(diǎn)N在〉軸正半軸上或點(diǎn)N在y軸負(fù)半軸,分別根據(jù)相似三角形的
判定與性質(zhì)求出和ON的長,從而得出OP的長,即可得出答案.
(1)
解:(1):一次函數(shù)》=◎+2與〉軸交于C,
.,.C(0,2),
OC=2,
S
AU/iL=—2x2x2x1=1,
?^\OAC-SbOBD=2?3,
?S-I
,,QQBD-2'
..?點(diǎn)8在反比例函數(shù)弘=幺上,
X
3?
左=2x—=3;
2
(2)
3
解:???點(diǎn)4(1,加)在反比例函數(shù)弘=一上,
x
m=3,
???力(I,3),
將/(I,3)代入一次函數(shù)”="+2得,
。+2=3,
a=l,
一次函數(shù)為=x+2;
(3)
解:設(shè)b),
當(dāng)點(diǎn)N在了軸正半軸上時(shí),作AWLy軸于〃,
當(dāng)點(diǎn)N在了軸負(fù)半軸上時(shí),如圖,
同理可得,OM=;BH=~a,ON=OH=b,
???OP=JOMxON=jgaxb,
???點(diǎn)P為/MON的平分線上一點(diǎn),
???ZMON=90°,
???點(diǎn)P到x軸和歹軸的距離相等為且,
2
綜上所述,尸(孚,孚]或.
【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)綜合題,主要考查了
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